Mécanique des Fluides : Travaux dirigés de l’uv p8 initiation à la mécanique des fl
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Exercice 13 : Fosse océanique
1. Calculer la pression au fond d’une fosse océanique de 4000 mètres de profondeur, sachant que la densité de l’eau est de 1030 kg/m³.
2. À quelle profondeur la pression est-elle de 2 bars ?
Exercice 14 : Le principe d’un manomètre différentiel
Le dispositif est formé de deux récipients cylindriques de sections droites respectives S₁ et S₂ reliées par un tube de section intérieure S constante. L’ensemble contient deux liquides incompressibles non miscibles : l’eau, de masse volumique ρ₀ = 1000 kg/m³, et l’aniline, de masse volumique ρ = 880 kg/m³. Initialement, la pression P₀ au-dessus des deux liquides est la même. On provoque au-dessus de l’eau du récipient de gauche une surpression ΔP.
1. Déterminer le déplacement Δh de la surface de séparation entre l’eau et l’aniline dans le tube.
2. Évaluer la sensibilité Δh/ΔP du manomètre et commenter ce résultat.
Exercice 15 : Le modèle d’atmosphère
L’atmosphère terrestre est assimilée à un gaz parfait de masse molaire M = 29 g/mol dont la température T varie en fonction de l’altitude z selon la loi : T = T₀ - αz, avec T₀ = 300 K et α = 0,006 K/m.
1. Déterminer analytiquement puis numériquement la pression en fonction de z.
Exercice 16 : Vase en rotation
Un vase cylindrique de section circulaire, de rayon R = 10 cm, contient de l’eau sur une hauteur h = 20 cm. On met le vase en rotation autour de son axe à la vitesse angulaire constante ω. On supposera que le fond du vase ne se découvre pas.
1. Calculer l’abaissement de hauteur Δh du milieu de la surface libre par rapport à sa position lorsque le liquide est au repos.
2. Comparer Δh au relèvement Δh’ sur les parois du vase.
3. Une application possible consiste à déterminer la vitesse angulaire ω en fonction de Δh.
4. Calculer le nombre de tours par minute du vase avec R = 10 cm, Δh = 2 cm et g = 9,81 m/s².
5. Quelle doit être la vitesse maximale de rotation du vase pour que le fond ne se découvre pas, h étant donné ?
Exercice 17 : Le vérin hydraulique
Un vérin hydraulique est constitué de deux cylindres verticaux remplis d’eau et communiquant à leur partie inférieure par un tube de faible dimension. Le piston d’entrée a un diamètre d = 4 cm, et le piston de sortie a un diamètre D = 40 cm. Leurs masses sont négligeables.
1. On exerce une force f = 100 N vers le bas sur le piston d’entrée. Calculer la force F qu’il faut exercer sur l’autre piston pour maintenir l’ensemble en équilibre.
2. On enfonce le piston d’entrée de 10 cm. Calculer de combien s’élève le piston de sortie.
3. On pose une masse de 1 kg sur le piston d’entrée. Trouver la position d’équilibre.
Exercice 18 : Résultante des forces de pression sur un récipient
Un bol a la forme d’une demi-sphère et est rempli d’un liquide de masse volumique ρ. Calculer la résultante des forces de pression s’exerçant sur le bol. Le résultat n’est-il pas évident ?
Exercice 19 : Corps immergé dans deux fluides différents
Un solide assimilable à un cylindre de section S et de hauteur 2h, de masse volumique ρ, est immergé dans un récipient contenant deux liquides non miscibles de masses volumiques ρ₁ et ρ₂. Le récipient est supposé de grandes dimensions, de sorte que les niveaux sont indépendants de la position du solide. Par un guidage sans frottements, le cylindre reste vertical. On repère sa position par z.
1. Écrire l’équation permettant de déterminer la position d’équilibre du solide.
2. Discuter l’existence de cette position d’équilibre et étudier sa stabilité.
Exercice 20 : Loi de Jurin – Mesure de la tension superficielle
Un capillaire de rayon R est partiellement introduit dans un récipient contenant un fluide de masse volumique ρf. Les forces de tension superficielle, dues au contact entre le fluide et le gaz (masse volumique ρg), forment un ménisque d’angle de raccordement θ et une surélévation h du fluide dans le capillaire.
1. On assimile le ménisque à une calotte sphérique de rayon r. Exprimer ce rayon en fonction de R et de θ.
2. Appliquer le théorème fondamental de la statique associant les pressions en A et C, puis en B et D.
3. Appliquer l’équation de Laplace de part et d’autre de l’interface liquide-gaz du ménisque (points A et B).
4. Appliquer l’équation de Laplace de part et d’autre de l’interface plane (points C et D).
5. Déduire la loi de Jurin permettant la mesure de la tension superficielle en fonction de θ et de h.
Exercice 21 : Stationnarité et incompressibilité
Vérifier que le champ de vitesse défini par : Ux = -2y² + 3x² Uy = 2xy représente le champ de vitesse d’un écoulement stationnaire incompressible.
Exercice 22 : Dérivée particulaire et équation de continuité
Les composantes de la vitesse d’un écoulement stationnaire sont données par : Ux = -y² + 2x² Uy = 2xy
1. Déterminer les coordonnées x(t), y(t), z(t) pour une particule située en x = y = 1, z = 0 à l’instant t = 0.
2. Déterminer la composante γx de l’accélération en dérivant deux fois x(t), puis retrouver son expression à partir de la dérivée hydrodynamique.
3. Vérifier l’équation de continuité.
Exercice 23 : Cinématique d’un écoulement compressible
Le champ de vitesse d’un écoulement est donné par : Ux = t + x La masse volumique du fluide varie selon ρ = ρ₀(1 + t), avec ρ₀ constante.
1. Vérifier l’équation de continuité.
2. Calculer la masse totale et le taux de variation temporel de la masse à l’intérieur d’un volume de contrôle cylindrique de section S et limité par les plans x = 1 et x = 3.
3. Déterminer le flux de masse traversant le volume de contrôle.
4. Calculer l’accélération.
5. En déduire une description de l’écoulement.
Exercice 24 : Alimentation d’une tuyère
L’entrée E d’un tuyau se trouve à 10 mètres sous la surface libre d’un réservoir d’eau R, et la sortie à 30 mètres sous cette même surface. Le diamètre du tuyau est de 8 cm et se termine par une tuyère T de diamètre 4 cm.
1. Quelle est la valeur de la vitesse VT à la sortie de la tuyère ?
2. Quel est le débit massique d’eau qui s’écoule ?
3. Quelle est, dans le tuyau, la valeur de la pression statique en E ?
Exercice 25 : Équation de Bernoulli en écoulement instationnaire
Un grand réservoir est rempli d’un liquide incompressible de masse volumique ρ. À la hauteur h sous la surface libre, un tuyau d’évacuation horizontal de section faible et de longueur a est fermé par une vanne V. On ouvre brusquement V à l’instant t = 0. À un instant ultérieur, on admet que le niveau du réservoir ne varie pas et que la vitesse V du fluide est négligeable dans tout le volume du réservoir. Le long de la conduite (0 < x < a), on a : Ux(t) = V(x,t) = ρ.
1. Établir que la vitesse du fluide dans la conduite ne dépend que de t.
2. Donner la valeur v₀ de la vitesse débitante pour un temps suffisamment long devant le temps d’établissement de l’écoulement stationnaire et suffisamment court devant la durée de vidange.
3. En utilisant l’expression instationnaire du théorème de Bernoulli, montrer que, à t donné, la pression P dans la conduite est une fonction affine de x.
4. Établir l’équation différentielle décrivant l’évolution de v(t). L’intégrer en posant τ = √(2a/(2gh)).
5. Quelle est la signification physique du paramètre τ ? Calculer sa valeur dans le régime permanent avec h = 1,66 m et a = 0,55 m.
6. Calculer la durée T à partir de l’ouverture du robinet permettant à la vitesse débitante d’atteindre 99 % de la vitesse du régime permanent. Dans quelles conditions ce résultat permet-il de supposer la stationnarité d’un écoulement de vidange d’un réservoir ?
Exercice 26 : Durée de vidange d’un réservoir
Le réservoir a une surface libre d’aire S = 1 m² et est initialement rempli d’une hauteur h₀ = 1,6 m de liquide. À l’instant t = 0, on ouvre au fond du réservoir un orifice de section s = 2 cm². On prendra g = 10 m/s².
1. Quelle est la vitesse débitante initiale v₀ prévue par le théorème de Torricelli ?
2. Ce théorème considère que la vitesse du fluide en haut du réservoir est nulle. Quelle vitesse débitante initiale v₀’ obtient-on en tenant compte du mouvement de la surface libre ? La correction est-elle indispensable ou négligeable ?
3. Quel est le débit de volume initial qv₀ ? Quelle serait la durée t de vidange si celle-ci se faisait à débit constant ?
4. En assimilant qu’à chaque instant t de la vidange l’écoulement peut être considéré permanent, établir une équation différentielle décrivant l’évolution de h(t). La résoudre et en déduire la valeur de la durée T de la vidange.
Exercice 27 : Action d’un jet sur un coude
Un tube de section circulaire de diamètre 0,2 m, coudé à angle droit, contient de l’eau portée à une pression moyenne de 6 bars.
1. Quelle est, en projection horizontale, la résultante des forces s’exerçant sur le coude quand la vitesse d’écoulement est négligeable ?
2. Que devient cette résultante quand la vitesse d’écoulement correspond à un débit de 0,16 m³/s ? On négligera les frottements et on prendra ρ = 1000 kg/m³.
Exercice 28 : Action d’un jet sur une paroi
Un jet d’eau, en forme de lame horizontale de section s = 100 cm² et de vitesse V = 30 m/s, frappe une plaque carrée homogène de côté a = 90 cm, mobile autour d’un axe horizontal passant par un de ses côtés. La plaque s’incline d’un angle α sur la verticale. Calculer α en fonction de la distance verticale h = 60 cm du jet à l’axe et de la masse M = 240 kg de la plaque. On négligera l’influence des frottements sur l’écoulement.
Exercice 29 : Lignes de courant
On considère un écoulement permanent défini par le champ de vitesse suivant : Ux = -3y² + 2x² Uy = 2xy
1. Montrer que le fluide est incompressible.
2. Déterminer le champ des accélérations.
3. Déterminer les lignes de courant et leur forme. Tracer celle qui passe par M(1,1,0).
Exercice 30 : Profil d’un sablier
Un sablier de profil d(z) est rempli de sable, considéré comme un fluide incompressible. On suppose que d(z) est bien supérieur à d (le diamètre minimum de la section).
1. Calculer la vitesse de l’écoulement à la hauteur z = 0, où la contraction du jet est maximale.
2. À l’aide de la loi de conservation du débit, déterminer la fonction de profil à adopter pour que la vitesse de l’interface sable-air soit constante.
3. Avec ce même profil, la vitesse de descente de l’interface est-elle différente avec un fluide plus dense que le sable ?
Exercice 31 : Ravitaillement d’un avion en vol
Un chasseur MIRAGE est ravitaillé en vol par un avion KC-135 à l’aide d’une conduite souple de diamètre intérieur d = 104 mm. Le débit de kérosène (ρ = 700 kg/m³) est qv = 26,7 L/s, et sa surpression est Δp = 0,5 bar. En supposant que les parois de la conduite n’exercent pas de forces sur l’avion, calculer la poussée supplémentaire ΔF que les réacteurs doivent exercer pour que la vitesse de l’avion reste constante.
FAQ
Q : Comment calculer la pression dans un fluide en fonction de la profondeur ?
R : La pression hydrostatique dans un fluide incompressible est donnée par la formule P = ρgh, où ρ est la masse volumique du fluide, g l’accélération due à la gravité et h la profondeur.
Q : Qu’est-ce qu’un écoulement stationnaire incompressible ?
R : Un écoulement est stationnaire si ses caractéristiques (vitesse, pression) ne varient pas avec le temps. Il est incompressible si la masse volumique du fluide reste constante au cours de l’écoulement.
Q : À quoi sert l’équation de Bernoulli ?
R : L’équation de Bernoulli permet de relier la pression, la vitesse et l’altitude dans un écoulement incompressible et stationnaire. Elle est essentielle pour analyser les écoulements fluides et calculer des paramètres comme la vitesse ou la pression.