Probabilités et Statistiques : Examen SMC4‐M26 probabilités Session de printemps 2016 2017
Télécharger PDFProblèmes de Probabilités
Ces exercices abordent divers aspects des probabilités, incluant les probabilités conditionnelles, les lois de distribution discrètes et continues, ainsi que leurs applications concrètes.
Exercice I : Probabilités Conditionnelles et Théorème de Bayes
Pour se rendre à son lieu de travail, une personne a le choix entre quatre lignes de bus : A, B, C et D.
La probabilité de choisir la ligne A est 1/3, la ligne B est 1/4 et la ligne C est 1/12.
Les probabilités d'arriver en retard sont : 1/20 pour la ligne A, 1/10 pour la ligne B et 1/5 pour la ligne C.
Avec la ligne D, la personne n’est jamais en retard.
- Quelle est la probabilité qu’elle choisisse la ligne D ?
- Quelle est la probabilité qu’elle arrive en retard à son lieu de travail ?
- Calculer la probabilité que la personne ait choisi la ligne C, sachant qu’elle est arrivée en retard.
Exercice II : Lois de Probabilité Discrètes
Une usine fabrique des éprouvettes de laboratoire. Un contrôle de qualité montre que 2 % des éprouvettes fabriquées ne sont pas conformes. On dispose d’un échantillon de 200 éprouvettes choisies au hasard. Soit X la variable aléatoire dont la valeur est le nombre d'éprouvettes non conformes dans l'échantillon.
- Quelle est la loi de probabilité de X ? Quelles sont sa moyenne et sa variance ?
- Calculer la probabilité qu’il y ait au moins 2 éprouvettes non conformes dans l’échantillon.
- En utilisant une approximation que l'on justifiera, donner une valeur approchée de P(3 ≤ X ≤ 6).
Exercice III : Loi Exponentielle et Durée de Vie Radioactive
On considère l’élément radioactif Iode 131 pour lequel la demi-vie (période radioactive) est de 8,02 jours. Soit X la variable aléatoire représentant la durée de vie de cet élément.
- Quelle est la loi de X ? Quelle est la durée de vie moyenne de cet élément ?
- Calculer la probabilité pour qu'un élément Iode 131 ne soit pas désintégré après 16 jours.
- Sachant qu’un élément radioactif Iode 131 ne s'est pas désintégré après 16 jours, calculer la probabilité pour que cet élément ne se désintègre pas dans les 24 jours suivants.
- Au bout de combien de jours cet élément se désintègrera-t-il avec une probabilité de 0,99 ?
Exercice IV : Loi Normale pour le Contrôle Qualité
Une entreprise produit des bouteilles d’eau minérale de 150 cL. Une bouteille est considérée comme « acceptable » si elle contient entre 147,5 cL et 152,5 cL d’eau (soit 150 ± 2,5 cL). Soit X la variable aléatoire qui correspond au volume d’eau contenu dans une bouteille. On suppose que X suit une loi normale : N(150, 1,44), où 1,44 est la variance (donc l'écart-type σ est √1,44 = 1,2 cL).
- Calculer la probabilité pour qu’une bouteille soit « acceptable ».
- Sachant qu’une bouteille est « acceptable », quelle est la probabilité qu’elle contienne moins de 150 cL d’eau ?
Exercice V : Densité de Probabilité Continue et Moments
Soit X une variable aléatoire continue ayant une densité de probabilité f(x) définie par :
f(x) = kx2 pour x ∈ [1, 3]
f(x) = 0 ailleurs
- Quelle est la valeur de la constante k ?
- Déterminer la fonction de répartition de X. En déduire la valeur de P(-1/8 < X ≤ 1/8).
- Calculer la valeur de E(X2).
Foire Aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'une probabilité conditionnelle et comment est-elle utilisée ?
Une probabilité conditionnelle mesure la probabilité qu'un événement (A) se produise, sachant qu'un autre événement (B) s'est déjà réalisé. Elle se note P(A|B) et est calculée par la formule P(A ∩ B) / P(B), à condition que P(B) > 0. Elle est essentielle pour l'analyse de dépendances entre événements, par exemple, dans les diagnostics médicaux ou les prévisions météorologiques.
Quelle est la distinction principale entre une variable aléatoire discrète et continue ?
Une variable aléatoire discrète ne peut prendre qu'un nombre fini ou un nombre infini dénombrable de valeurs distinctes (comme le nombre de côtés pile lors de lancers de pièces). Une variable aléatoire continue, en revanche, peut prendre n'importe quelle valeur au sein d'un intervalle donné (comme la hauteur d'une personne ou la durée de vie d'une batterie). Les lois discrètes utilisent des fonctions de masse de probabilité, tandis que les lois continues utilisent des fonctions de densité de probabilité.
Dans quelles situations peut-on approximer la loi binomiale par d'autres lois de probabilité ?
La loi binomiale peut être approximée par la loi de Poisson lorsque le nombre d'essais (n) est grand et la probabilité de succès (p) est faible (généralement n ≥ 50 et np < 5), ce qui simplifie les calculs d'événements rares. Elle peut également être approximée par la loi normale lorsque n est grand et que p n'est pas extrême (c'est-à-dire pas trop proche de 0 ou 1, typiquement np ≥ 5 et n(1-p) ≥ 5), ce qui est utile pour des calculs sur de grands échantillons où les distributions deviennent symétriques.