Probabilités et Statistiques : Série Supplémentaire N˚1– Statistiques Descriptives
Télécharger PDFSérie d'Exercices sur les Statistiques Descriptives
Cette série d'exercices est conçue pour renforcer votre compréhension des concepts fondamentaux en statistiques descriptives, incluant la classification des variables, la construction de distributions de fréquences, la représentation graphique des données, et le calcul des principales mesures de tendance centrale et de dispersion.
Exercice 1 : Classification des variables statistiques
Spécifier parmi les caractères ci-dessous, quels sont les caractères qualitatifs (nominaux et ordinaux) et quels sont les caractères quantitatifs (discrets et continus) :
- Groupe sanguin
- Sexe
- Mention du Bac
- Nombre d'accidents sur une autoroute
- Le diamètre des pièces fabriquées par une machine
- Région de résidence d'un étudiant
- La marque de son téléphone portable
- Son poids
- Sa taille
- Nombre de pièces de monnaie distinctes dans sa poche
- État matrimonial d'une personne
Explications :
- Une variable qualitative nominale décrit des catégories sans ordre inhérent (ex: groupe sanguin, sexe).
- Une variable qualitative ordinale décrit des catégories avec un ordre spécifique (ex: mention du Bac : passable, bien, très bien).
- Une variable quantitative discrète prend des valeurs isolées, souvent des nombres entiers, résultant généralement d'un dénombrement (ex: nombre d'accidents, nombre de pièces de monnaie).
- Une variable quantitative continue peut prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle donné, résultant généralement d'une mesure (ex: diamètre, poids, taille).
Exercice 2 : Analyse du volume sanguin
La mesure en cm³ du volume des éléments figurés dans 100 cm³ de sang a été effectuée chez 100 sujets. Les fréquences cumulées croissantes (Fi) sont données ci-dessous pour les classes de volume (Vol x).
| Vol x (cm³) | Fréquence cumulative (Fi ↑) |
|---|---|
| [38.5, 39.5[ | 0.03 |
| [39.5, 40.5[ | 0.13 |
| [40.5, 41.5[ | 0.36 |
| [41.5, 42.5[ | 0.64 |
| [42.5, 43.5[ | 0.84 |
| [43.5, 44.5[ | 0.95 |
| [44.5, 45.5[ | 1 |
- Quelle est la nature de la variable étudiée ?
- Donner la distribution de cette variable et sa représentation graphique.
- Tracer la courbe cumulative croissante. Donner la fonction de répartition.
- Quelle est la fréquence des individus ayant un volume entre 40 et 42.5 cm³ ?
- Calculer la moyenne, l'écart-type et l'intervalle interquartile.
Exercice 3 : Analyse des notes d'examen
Un examen est noté de 0 à 30, la note étant considérée comme une variable statistique continue. Le paquet contient 100 copies et l'on observe les effectifs cumulés pour les notes inférieures à x :
| Note < x | Nombre de copies ayant une note < x |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 5 | 15 |
| 10 | 27 |
| 15 | 52 |
| 20 | 90 |
| 30 | 100 |
- Tracer l'histogramme ainsi que le polygone des fréquences, puis calculer le mode.
- Tracer la courbe des fréquences cumulées croissantes.
- Calculer la médiane et l'intervalle interquartile.
- Calculer la moyenne et l'écart-type de cette série.
- Donner le pourcentage de copies portant une note entre 12 et 20.
- Que deviendraient la moyenne et l'écart-type :
- Si l'on ajoutait 1 point à chaque note ?
- Si l'on ajoutait 10% à chaque note ?
Exercice 4 : Distribution de taille d'étudiants
Les centres de classe de la distribution de taille d'étudiants (en cm) sont les suivants : 138, 146, 154, 162, 170 et 178.
Sur un échantillon de 200 étudiants, on a observé les effectifs : 16, 44, 60, 44, 26 et 10 respectivement.
- Reconstituer les classes d'amplitudes égales.
-
- Donner le tableau statistique de cette série.
- Donner la représentation graphique adéquate ainsi que les courbes cumulatives croissante et décroissante.
- Déterminer, par deux méthodes différentes : le mode et la médiane de cette série, puis donner sa moyenne et son écart-type.
- Déterminer l'écart interquartile. Interpréter.
Exercice 5 : Analyse d'une série statistique incomplète
Les données de cette série statistique sont résumées dans le tableau suivant :
| Classes | ni | Fi ↑ |
|---|---|---|
| [5, 7[ | n1 | 0.04 |
| [7, 11[ | n2 | 0.14 |
| [11, 13[ | n3 | 0.44 |
| [13, 15[ | n4 | 0.96 |
| [..., 19[ | n5 | 1 |
| Total | n |
- Compléter le tableau statistique sachant que ∑5i=1 ni xi = 1905.
- Calculer la variance et l'écart-type.
- Tracer le polygone des fréquences.
- Calculer le mode et dites comment le retrouver graphiquement.
- Tracer les deux courbes cumulatives.
- Calculer Q1, Q2, Q3 et les représenter graphiquement.
Exercice 6 : Poids des œufs et fonction de répartition
Les œufs obtenus dans un élevage de poules ont été pesés et la fonction de répartition de la variable représentant le poids des œufs est donnée par :
- F(x) = 0, pour x ≤ 155
- F(x) = 0.0032x - 0.496, pour 155 ≤ x ≤ 160
- F(x) = 0.0168x - 2.672, pour 160 ≤ x ≤ 165
- F(x) = 0.066x - 10.79, pour 165 ≤ x ≤ 170
- F(x) = 0.1x - 16.57, pour 170 ≤ x ≤ 175
- F(x) = 0.014x - 1.52, pour 175 ≤ x ≤ 180
- F(x) = 1, pour x ≥ 180
- Tracer la courbe de F(x).
- Définir la population étudiée, l'unité statistique, le caractère étudié et sa nature.
- Donner la distribution de cette variable et sa représentation graphique.
- Calculer le mode, la médiane et l'intervalle interquartile.
- Déterminer la fréquence d'œufs ayant un poids compris entre 162 et 172.
Foire Aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'une variable qualitative nominale ?
Une variable qualitative nominale est un type de variable statistique qui représente des catégories sans ordre hiérarchique ou de classement. Les valeurs prises par cette variable sont des noms ou des étiquettes qui ne peuvent pas être classées logiquement. Par exemple, le sexe (homme/femme), la couleur des yeux (bleu, vert, marron) ou la région de résidence sont des variables qualitatives nominales.
Quelle est la différence entre une variable quantitative discrète et continue ?
Une variable quantitative discrète ne peut prendre qu'un nombre fini ou dénombrable de valeurs isolées, souvent des nombres entiers, généralement obtenues par comptage (ex: nombre d'enfants dans une famille). En revanche, une variable quantitative continue peut prendre n'importe quelle valeur au sein d'un intervalle donné et est généralement le résultat d'une mesure (ex: taille d'une personne, poids d'un objet, température).
Pourquoi est-il important de calculer l'écart-type ?
L'écart-type est une mesure de dispersion qui indique la variabilité ou la propagation des données autour de la moyenne. Un écart-type faible signifie que les points de données sont très proches de la moyenne, tandis qu'un écart-type élevé indique que les données sont plus dispersées sur une plus grande plage de valeurs. Il est crucial pour comprendre la fiabilité de la moyenne comme mesure représentative et pour comparer la variabilité entre différents ensembles de données.