Mécanique des Fluides : Exercice de mécanique des fluides hydro
Télécharger PDFExercice 1 : Pression et débit dans un cylindre à piston
Un piston se déplace sans frottement dans un cylindre de section S1 et de diamètre d1 = 4 cm, rempli d’un fluide parfait de masse volumique ρ = 1000 kg/m3. Le piston est poussé par une force d’intensité F = 62,84 N à une vitesse constante. Le fluide peut s’échapper vers l’extérieur par un orifice de section S2 et de diamètre d2 = 1 cm à une vitesse V2 et une pression P2 = Patm = 1 bar.
1) Détermination de la pression P1 du fluide
En appliquant le principe fondamental de la dynamique au piston, on obtient l’équation suivante : F = P1 × S1 - Patm × S1 où S1 = π × (d1/2)2.
2) Équation de continuité et expression de V1
L’équation de continuité s’écrit : S1 × V1 = S2 × V2 On en déduit : V1 = (S2/S1) × V2.
3) Équation de Bernoulli et vitesse d’écoulement V2
L’équation de Bernoulli entre les sections S1 et S2 (Z1 = Z2) donne : P1/ρ + V12/2 = Patm/ρ + V22/2. On en déduit l’expression de V2 en fonction de P1, Patm, et ρ.
4) Débit volumique Qv
Le débit volumique s’exprime par : Qv = S2 × V2.
Exercice 2 : Buse et étranglement du fluide
Une buse est connectée à un tuyau dans lequel circule de l’eau à une pression P1 = 2,875 bar. Le fluide subit un étranglement : sa section S1 de diamètre d1 = 20 mm est réduite à une section S2 de diamètre d2 = 10 mm. On suppose que le fluide est parfait et que la buse est horizontale. La pression de sortie est P2 = Patm = 1 bar, et la masse volumique de l’eau est ρ = 1000 kg/m3.
1) Rapport des sections
Le rapport des sections est donné par : α = S2/S1 = (d2/d1)2.
2) Calcul de la vitesse d’écoulement V2
En appliquant l’équation de Bernoulli entre les points 1 et 2, on obtient : P1/ρ + V12/2 = P2/ρ + V22/2. On en déduit V2 en utilisant l’équation de continuité : V1 × S1 = V2 × S2.
Exercice 3 : Buse conique et manomètre en U
De l’huile est accélérée à travers une buse en cône convergent. Un débit volumique qv = 0,4 L/s traverse la section S1 de diamètre d1 = 10 mm à une vitesse V1 et une pression P1, puis sort vers l’atmosphère par la section S2 de diamètre d2 à une vitesse V2 = 4 × V1 et une pression P2 = Patm = 1 bar. La masse volumique de l’huile est ρhuile = 800 kg/m3.
1) Calcul de la vitesse d’écoulement V1
Le débit volumique s’écrit : qv = S1 × V1. On en déduit V1 en utilisant la section S1 = π × (d1/2)2.
2) Équation de continuité et diamètre d2
L’équation de continuité donne : S1 × V1 = S2 × V2. On en déduit d2 en fonction de d1, V1, et V2.
3) Pression P1 en bar
L’équation de Bernoulli entre les points 1 et 2 (Z1 = Z2) donne : P1/ρhuile + V12/2 = P2/ρhuile + V22/2. On en déduit P1.
Partie 2 : Étude du manomètre (tube en U)
Le manomètre contient du mercure de masse volumique ρmercure = 13600 kg/m3. On mesure la pression P1 à partir de la dénivellation h = (Z4 - Z3). On donne : (Z1 - Z3) = L = 1274 mm, P4 = Patm = 1 bar, et g = 9,81 m/s2.
1) Pression P3
La relation fondamentale de l’hydrostatique entre les points 1 et 3 donne : P1 = P3 + ρmercure × g × (Z3 - Z1). On en déduit P3.
2) Dénivellation h du mercure
La relation fondamentale de l’hydrostatique entre les points 3 et 4 donne : P3 = P4 + ρmercure × g × h. On en déduit h.
Exercice 4 : Mesure du débit volumique dans une conduite
Une conduite de diamètre intérieur d = 40 mm transporte de l’eau à une vitesse V. Pour mesurer le débit volumique, deux tubes plongeants sont utilisés : un en A face au courant et un autre en B le long des lignes de courant. La dénivellation h du liquide dans les deux tubes permet de déterminer la vitesse V. On admet les hypothèses suivantes : l’écoulement est permanent, le fluide est parfait et incompressible, VB = V, VA = 0, et ZA = ZB. La masse volumique de l’eau est ρ = 1000 kg/m3, et g = 9,81 m/s2.
1) Pression PA en fonction de PB, ρ, et V
L’équation de Bernoulli entre les points A et B donne : PB/ρ + V2/2 = PA/ρ + 0. On en déduit PA.
2) Relation fondamentale de l’hydrostatique entre A et A’
PA = PA' + ρ × g × (ZA' - ZA).
3) Relation fondamentale de l’hydrostatique entre B et B’
PB = PB' + ρ × g × (ZB' - ZB).
4) Expression de V en fonction de g et h
La différence de pression entre A et B est liée à la dénivellation h par : PA - PB = ρ × g × h. On en déduit V.
5) Débit volumique qv et application numérique
Le débit volumique est donné par : qv = S × V, où S = π × (d/2)2. Pour h = 3,2 cm, calculer qv.
Exercice 5 : Conduite avec étranglement et mesure de débit
Une conduite de section principale SA et de diamètre d subit un étranglement en B où sa section est SB. Le rapport des sections est α = SB/SA. Un fluide parfait incompressible de masse volumique ρ s’écoule dans cette conduite. Deux tubes plongent dans la conduite aux points A et B, permettant de mesurer le débit volumique qv via la dénivellation h.
1) Équation de continuité et vitesse VB
L’équation de continuité donne : SA × VA = SB × VB. On en déduit VB = VA/α.
2) Relation de Bernoulli et différence de pression (PA - PB)
L’équation de Bernoulli entre les points A et B donne : PA/ρ + VA2/2 = PB/ρ + VB2/2. On en déduit (PA - PB) = ρ × (VB2 - VA2)/2.
3) Relation fondamentale de l’hydrostatique entre A et A’
PA = PA' + ρ × g × (ZA' - ZA).
4) Relation fondamentale de l’hydrostatique entre B et B’
PB = PB' + ρ × g × (ZB' - ZB).
5) Expression de VA en fonction de g, h, et α
En combinant les relations précédentes, on obtient : PA - PB = ρ × g × h. On en déduit VA.
6) Débit volumique qv et application numérique
Le débit volumique est donné par : qv = SA × VA. Pour d = 50 mm, α = 2, g = 9,81 m/s2, et h = 10 mm, calculer qv.
FAQ
Qu’est-ce qu’un fluide parfait en mécanique des fluides ?
Un fluide parfait est un modèle théorique supposé incompressible, sans viscosité et dont l’écoulement est laminaire, c’est-à-dire sans turbulence ni frottement interne.
Comment appliquer l’équation de Bernoulli dans un cas horizontal ?
Dans un cas horizontal (Z1 = Z2), l’équation de Bernoulli se simplifie à : P1/ρ + V12/2 = P2/ρ + V22/2, où P1 et P2 sont les pressions aux points 1 et 2, et V1 et V2 les vitesses d’écoulement.
Quelle est la différence entre un manomètre et un tube de Pitot ?
Un manomètre mesure la pression statique via une dénivellation de fluide, tandis qu’un tube de Pitot mesure la pression totale (statique + dynamique) en un point d’arrêt, permettant de déterminer la vitesse d’écoulement.