Mécanique des fluides. chapitre 2. - mécanique des fluides

Mécanique des Fluides : Mécanique des fluides. chapitre 2.

Exercices de Mécanique des Fluides et Travail d'Énergie

Sauf indications contraires, les valeurs suivantes sont utilisées pour les exercices : pression atmosphérique de 10⁵ Pa, masse volumique de l’eau de 10³ kg·m^-3, constante de pesanteur g = 9,8 m·s^-2.

Travail et Énergie

1. Calculer le travail du poids d’un corps de masse m = 2 kg lors de sa chute libre d’une hauteur de 5 m.

2. Calculer l’énergie cinétique d’une automobile de masse 1 tonne roulant à la vitesse de 45 km·h^-1. Que devient cette énergie lorsque la vitesse est doublée ?

3. Un réservoir de section S = 2,5 m² contient 5 m³ d’eau. La base du réservoir se situe à 8 m au-dessus du sol. Calculer l’énergie potentielle de pesanteur de la masse d’eau contenue dans ce réservoir.

Débit Volumique et Massique

Dans une conduite de diamètre 20 cm s’écoule un liquide de densité d = 0,85. Le débit volumique est Q_V = 20 L·s^-1.

1. Calculer la vitesse d’écoulement du liquide ainsi que le débit massique.

2. Calculer la masse d’eau traversant chaque section de la conduite en 10 minutes.

Raccord entre Deux Conduites et Effet Venturi

Deux tubes coaxiaux, d’axe horizontal, ont des diamètres de 20 cm et 10 cm. Le débit volumique est Q_V = 20 L·s^-1.

1. Calculer les vitesses V_A et V_B. Conclure sur l’effet Venturi.

2. La pression en A est de 1020 hPa. En appliquant le théorème de Bernoulli, calculer la pression en B. Commenter ce résultat.

Vidage d’un Réservoir

L’aire S de la surface libre est égale à 100 fois l’aire s de l’ouverture.

1. Montrer que la vitesse v_A de déplacement du liquide en A peut être négligée devant la vitesse v_B d’écoulement en B.

2. Exprimer la valeur de v_B en fonction de la dénivellation H.

La Relation de Bernoulli

1. Vérifier l’homogénéité de la relation de Bernoulli par une analyse dimensionnelle : p est la pression effective, p + ρ·g·z est la pression statique, et ½·ρ·v² est la pression dynamique. Toutes ces grandeurs s’expriment en Pa.

2. Montrer que la relation de Bernoulli permet de retrouver le théorème fondamental de l’hydrostatique.

Remplissage d’un Bassin par Pompage

On souhaite remplir un bassin situé au niveau du sol en pompant de l’eau depuis une nappe phréatique à plus de 100 mètres de profondeur. La masse volumique de l’eau est ρ = 1000 kg·m^-3.

1. Une pompe immergée dans la nappe phréatique évacue l’eau avec un débit volumique Q_V = 65 m³·h^-1 via une canalisation de diamètre constant d = 8 cm.

1.1. Calculer le débit massique Q_m de la pompe en kg·s^-1.

1.2. Déterminer la vitesse d’écoulement v de l’eau.

2. À la sortie de la pompe, au point A, la pression est p_A = 15·10⁵ Pa. On admet que l’eau arrive au bassin, au point B, à la pression atmosphérique normale : p_B = 1,0·10⁵ Pa.

Calculer la profondeur h = z_B - z_A à laquelle se trouve la pompe.

3.1. Exprimer puis calculer la puissance mécanique fournie par la pompe en fonction du débit massique Q_m et de la profondeur h.

3.2. Cette pompe est actionnée par un moteur électrique avec un rendement global de η = 70 %. Quelle est la puissance électrique consommée ?

Conduite d’Eau avec Rétrécissement

Une conduite cylindrique verticale comporte un rétrécissement. Le fluide est considéré comme parfait, et l’écoulement se fait de A vers B. Voici les données :

- Altitudes respectives des points A et B : z_A = 0 ; z_B = 5 m

- Diamètres de la conduite en A : D_A = 60 mm ; en B : D_B = 40 mm

- Débit volumique : Q_V = 1,2 L·s^-1

- Masse volumique de l’eau : ρ = 1000 kg·m^-3

- Accélération de la pesanteur : g = 9,8 m·s^-2

1.1. Exprimer les vitesses v_A et v_B de l’eau aux points A et B en fonction du débit volumique Q_V et des diamètres D_A et D_B.

1.2. Calculer les valeurs numériques de ces vitesses.

2.1. Exprimer la différence de pression p_A - p_B entre les points A et B en fonction de ρ, g, z_A, z_B, v_A et v_B.

2.2. Calculer la valeur numérique de p_A - p_B.

3.1. Considérer le cas où l’eau est au repos dans la canalisation. Calculer la nouvelle valeur de p_A - p_B.

3.2. Décrire l’influence de l’écoulement sur la valeur de p_A - p_B.

FAQ

1. Qu’est-ce que le théorème de Bernoulli ?

Le théorème de Bernoulli décrit la conservation de l’énergie mécanique dans un fluide en écoulement. Il relie la pression, la vitesse et l’altitude d’un fluide à différents points d’une conduite.

2. Comment calculer le débit massique ?

Le débit massique Q_m se calcule en multipliant le débit volumique Q_V par la masse volumique ρ du fluide : Q_m = ρ × Q_V.

3. Qu’est-ce que l’effet Venturi ?

L’effet Venturi désigne la diminution de pression et l’augmentation de vitesse d’un fluide lorsqu’il traverse un rétrécissement dans une conduite.