Séries d’exercices avec corrigés mécanique des fluides pdf

Mécanique des Fluides : Séries d’exercices avec corrigés mécanique des fluides

Séries d’exercices avec corrigés en Hydraulique

Mécanique des Fluides

Poussée d’Archimède

Exercice 1 : Un morceau de granite de masse 1,5 kg plonge dans l’eau et pèse 8,83 N. Déterminer son volume V_gr et sa masse volumique ρ_gr.

Exercice 2 : On pèse dans l’eau un objet en forme de parallélépipède (20 × 20 × 40 cm³) à une profondeur de 50 cm et on trouve 5 kg. Quel est son poids dans l’air et sa densité ?

Exercice 3 : Un solide de masse volumique ρ_c = 900 kg/m³ se trouve entre l’eau et l’huile. La masse volumique de l’huile est ρ_h = 850 kg/m³. Déterminer la fraction de volume de ce corps immergée dans l’eau.

Exercice 4 : Un morceau de bois de densité 0,651 a une section carrée de 7,50 cm de côté et une longueur de 1,50 m. Combien de kg de plomb, de poids spécifique 11200 kg/m³, doit-on attacher à l’une de ses extrémités pour qu’il flotte verticalement en dépassant de 30 cm de la surface de l’eau ?

Exercice 5 : On envisage le transport par flottation d’un radier de pile de pont en béton armé, de forme parallélépipédique (L = 10 m, l = 5 m, H = 5 m) et de masse 300 tonnes.

1. Le radier flottera-t-il dans une eau de masse volumique ρ = 1000 kg/m³ ?

2. Quel volume d’air minimal supplémentaire serait nécessaire pour assurer sa flottation ?

3. On décide de disposer tout autour du radier 50 caissons étanches de 2 m³ chacun, de poids propre négligeable. En supposant que tous les caissons sont immergés, calculer la hauteur de la partie du radier immergée.

Exercice 6 : De combien s’enfonce dans l’eau douce un tronc de 2,4 m de diamètre et de 4,5 m de longueur, de densité 0,425 ?

Cinématique des Fluides

Exercice 1 : Soit le champ de vitesse suivant :

u = 2x²t, v = 4x + 3xy², w = 2xz + 2xz.

Trouver l’accélération dans les directions x, y, z au point (1, 2, 2) à t = 1 s.

Exercice 2 : Le champ de vitesse d’un écoulement permanent bidimensionnel, incompressible, est défini par :

u = (0,5 + 0,8x), v = (1,5 + 0,8y).

Déterminer s’il y a un point de stagnation dans la conduite.

Exercice 3 : Un champ de vitesse est défini par :

u = 10x, v = -10y.

L’écoulement est-il irrotationnel ?

Exercice 4 : La fonction potentielle des vitesses d’un écoulement est donnée par Φ = x² + y².

1. Déterminer l’équation de continuité.

2. Calculer la fonction de courant Ψ.

Exercice 5 : Un écoulement est défini en variables d’Euler par :

u(t) = at + b, v(t) = ct + d, w(t) = 0.

1. Quelle est la nature du mouvement ?

2. Déterminer les lignes de courant.

3. Déterminer les trajectoires.

Exercice 6 : Soit les composantes u et v de la vitesse d’un écoulement bidimensionnel :

u = a + bxy, v = ax + by.

Calculer le rotationnel de la vitesse.

Trouver les composantes de l’accélération a_x et a_y pour un écoulement stationnaire, en prenant a = 0 et b = 1.

Théorème de Bernoulli

Exercice 1 : L’entrée E d’un tuyau se trouve à 10 m sous la surface libre d’un réservoir d’eau de grande dimension et la sortie à 30 m en dessous de cette même surface libre. Le tuyau a un diamètre D = 8 cm et se termine par une tuyère T de diamètre D = 4 cm.

1. Quelle est la valeur de la vitesse V_T à la sortie de la tuyère ?

2. Quel est le débit d’eau qui s’écoule ?

3. Quelle est la valeur de la pression statique en E et dans une section S située juste en amont de la tuyère de sortie ?

4. Tracer les lignes de charge et piézométrique de l’installation.

Exercice 2 : Un siphon permet l’écoulement de l’eau d’un réservoir de grandes dimensions. Il est constitué d’un tuyau de 0,10 m de diamètre dont la ligne centrale se trouve à 4 m au-dessus du niveau de la surface libre.

1. Quel débit maximal peut-on espérer obtenir avec ce dispositif sans qu’il se produise de cavitation ?

2. Quelle doit être la cote de sortie S ?

3. Tracer les lignes de charge et piézométrique de l’installation.

Exercice 3 : Une conduite de différents diamètres est branchée à un réservoir de grandes dimensions contenant de l’eau.

1. Quelle doit être la hauteur d’eau dans le réservoir pour assurer un débit de 22 l/s ?

2. Tracer soigneusement la ligne de charge et la ligne piézométrique.

Exercice 4 : Un liquide est en écoulement permanent dans une conduite horizontale de différents diamètres (D₁ = 0,20 m, D₂ = 0,15 m, D₃ = 0,175 m). La canalisation est munie d’un tube de Venturi, d’un manomètre à mercure et d’un tube de Pitot.

1. Calculer H_v.

2. Calculer le débit Q_v.

3. Calculer P₃, Z_b puis H_d.

Exercice 5 : Une pompe est traversée par un débit Q. Sa conduite d’aspiration a un diamètre de 0,30 m et une pression P₁. Sa conduite de refoulement horizontale a un diamètre de 0,20 m et une pression P₂ sur son axe situé à 1,22 m plus haut que le précédent. En supposant que le rendement de la pompe est de 80 %, quelle puissance mécanique doit-on lui fournir ?

Théorème de Quantité de Mouvement

Exercice 1 : Une conduite métallique (fig 1) de diamètre D et de masse m est traversée de façon permanente par une masse M, de débit volumique q et de pression p. La conduite est contenue dans un plan horizontal. Déterminer les composantes F_x, F_y, F_z de la force F qu’il faudrait appliquer à la conduite pour la maintenir en équilibre.

AN : D = 1 m ; m = 400 kg ; M = 120 kg ; q = 2 m³/s ; P = 75 kPa ; α = 30°.

Exercice 2 : Soit un tube (fig 2) de section circulaire de diamètre 0,20 m coudé à angle droit et posé sur un plan horizontal, contenant de l’eau à la pression moyenne de 6 bars.

1. Quelles sont, en projection horizontale, les forces résultantes s’exerçant sur le coude quand la vitesse d’écoulement est négligeable ?

2. Que devient cette résultante quand la vitesse d’écoulement n’est plus négligeable et correspond à un débit de 0,16 m³/s ?

Exercice 3 : Un jet horizontal de liquide, supposé parfait, de vitesse V uniforme parallèle à OX et de débit volumique q est partiellement dévié par un obstacle contenu dans le plan horizontal xOy et dont la paroi est parallèle à Oy.

1. Que valent les modules des vitesses V₁ et V₂ en fonction de V ?

2. Déterminer, sous forme vectorielle, l’expression de la force F exercée par le fluide sur l’obstacle.

3. Sachant que F est perpendiculaire à Oy, en déduire que le jet (1) est dévié d’un angle α que l’on calculera en fonction de q et q₂.

4. Calculer F en fonction de ρ.

Exercice 4 : Un jet en forme de lame horizontale, de diamètre d = 10 mm, frappe une plaque carrée homogène de côté c = 150 mm, inclinée de 60° et dont le poids G = 16,87 N. Trouver la vitesse du jet si la hauteur de l’axe de rotation de la plaque à l’axe du jet est h = 50 mm.

FAQ

1. Qu’est-ce que la poussée d’Archimède ?

La poussée d’Archimède est une force verticale ascendante exercée par un fluide sur un corps immergé ou flottant, égale au poids du volume de fluide déplacé.

2. Comment calculer la densité d’un objet immergé ?

La densité se calcule en divisant la masse volumique de l’objet par celle du fluide dans lequel il est immergé. Par exemple, pour un objet dans l’eau, densité = ρ_objet / ρ_eau.

3. À quoi sert le théorème de Bernoulli ?

Le théorème de Bernoulli permet de relier la pression, la vitesse et l’altitude d’un fluide en écoulement permanent et incompressible, facilitant le calcul des débits et des pressions dans les systèmes hydrauliques.