Mécanique des Fluides : Séries d’exercices avec corrigés mécanique des fluides
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Mécanique des Fluides
Séries d’exercices avec corrigés
Théorème de quantité de mouvement Préparé par Amirouche TiGhilt
2ème Année ST Hydraulique Section “R” 2014/2015
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Mécanique des Fluides
d’exercices avec corrigés
Poussée D’Archimède Cinématique des fluides Théorème de Bernoulli Théorème de quantité de mouvement
Préparé par Amirouche TiGhilt de Groupe HYD-6
2ème Année ST Hydraulique Section “R” 2014/2015
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RÉUSSIR SES ÉTUDES EN HYDRAULIQUE Mécanique des Fluides d’exercices avec corrigés 6
2ème Année ST Hydraulique Section “R” 2014/2015 , les exercices corrigés ainsi que les sujets d'examens sur: FGC/USTHB 2
ème Année ST GC Hydraulique Série d’exercices Poussée D’Archimède Exercice 1 : Un morceau de granite de masse 1.5 kg plonger dans l’eau, il pèse 8.83 N. Déterminer son Volume V
gr et sa masse volumiqueρ gr
. Exercice 2 : On pèse dans l’eau un objet en forme de parallélépipède (20×20×40 cm3 ), à une profondeur de 50 cm et on trouve 5 kg. Quel est son poids dans l’air et sa densité ? Exercice 3 : Un solide de masse volumique ρ
c = 900 kg/m
3 se trouve entre l’eau et l’huile. La masse volumique de l’huile est ρ
h = 850 kg/m3 . Déterminer la fraction de volume de ce corps est immergé dans l’eau. Exercice 4 : Un morceau de bois de densité 0.651 a une section carrée de 7.50 cm de côté et 1.50 m de long. Combien de kg de plomb, de poids spécifique 11200 kg/m
3 doit on attaché a l’une de ses extrémité pour qu’il flotte verticalement en dépassant de 30 cm de la surface d’eau ? Exercice 5 : On envisage le transport par flottation d’un radier de pile de pont en béton armé, qui a la forme d’un parallélépipède : L = 10m, l =5m, H = 5m, pour une masse de 300 tonne. 1. Le radier flottera-t-il dans une eau de masse volumique ρ = 1000 kg/m
3 ? 2. Quel volume d’air minimal supplémentaire serait nécessaire pour assurer sa flottation ? 3. On décide de disposer tout autour de radier 50 caissons étanches de 2 m
3 chacun et de poids propre négligeable. En supposant que tous les caissons sont immergé, calculer la hauteur de la partie radier immergé. Exercice 6 : De combien s’enfonce dans l’eau douce un tronc de 2.4m de diamètre et de 4.5m de longueur et de densité 0.425.2 ème Année ST GC Hydraulique Section “R” 2014/2015 Corrigés série d’exercices Poussée d’Archimède
Exercice 1 : 1) le volume immergé ∑ = 0 ⇒
+
+
= 0 –
–
= 0
⇒ m.g = T + .g.V
gr V
gr = . .
AN : V
gr = .. = 6.17 m
3 2) La masse volumique : #
= $% = 2431.11 )*/$, Exercice 2 : 1) Le poids dans l’air : +
+
= 0 T + F – P = 0⇒ P = T + F P = M.g + ρ.vp .g AN : P = (5.10) + (0.016.104 ) = 210 N.
2) La densité : Remarque : la densité d’un objet dans l’eau : P = m.g
m = - = 21 )* ./#01
= 210.016 = 1312.5 )*/$, 3= /45
#6#7. 50cm 2
ème Année ST GC Hydraulique Section “R” 2014/2015
d = ,8. = 1.31 Exercice 3: 2
• La fraction de volume immerge dans l’eau : 1∑
= 0 1 + 2 –
= 0 .*.% 9:
+ <=>.*.% 9:<=>
= .
. *. %. V
cT = V
CIhuile + VCIeau ⤇ V
CIhuile = V
cT – VCIeau .%9: + <=>. % .
− %9:
= ..% 9% 9:. − <=> + <=>.% 9
= 9.% 9% :9% 9= .@AB @AB =
900 − 850
1000 − 850= 50150 = 0.33.100 = 33%V CI = Volume de corps immergé Exercice 5 : 1. Pour que le corps flotte F
≥ G ∑ = 0
+
= 0 = $.* = 300.10, .10 = 3.10H = .*.% =#é#J=#
F = 1000.10. 10.5.5 = 25.10 P > F donc le radier ne flotte pas dans l'eau 2. Pour assuré sa flottation :
P = F Eau Huile 2
ème Année ST GC Hydraulique Section “R” 2014/2015 $ = % .: + %=#
$ = %9: + %=# %=# =
$ − %9: % =#= 300.10, − 1000.250 1000 = 50 $, 3. La parti de radier immergé : 2 1∑
= 0
1 + 1 + 2 = 0
F1 + F2 = P = .*.% :K
= 1000.10.%9:K 8 = .*.% :9
= 1000.10.100 = 10
H L = $.* = 3.10
H L AN : 10M .%:K + 10H = 3.10
H ⇒ %:K = 3.108 − 108 = 200 $, N:K =200 50
= 4 $ Exercice 6 : O
= 0 +
= 0 − + 0
⇒ +
$.* = .*.%4 $.* = 0.425.1000.10.P.Q 84 .4.5 = 86.49.10
, L %9: = R=#é .S R: = R − R8 R T
2P → PV8 2W → R X2 ème Année ST GC Hydraulique Section “R” 2014/2015 R = 2 8
YZ ⇒ [
Y = V sin W
Z = V cos WX R8 = V8 .cos W .sinW R: = WV² − V²cos W sin W P = F 86.49×10
3 = 103 ×10(SI ×l) W − cos W sinW =
86.49 × 10, 4.5 × 10M × c1 2d 8
= 7.688 1.33 = W − cos W Par approximation W = 83° Donc : Z = V cosW = 1.2 cos 83 = 1.46 $ H = R – b = 1.2 – 0.14 = 1.06 m FGC/USTHB 2
ème Année ST GC Hydraulique Série d’exercice Cinématique des fluides Exercice 1 : Soit le champ de vitesse suivant : = 2x² t + 3xy² + 2xz Trouver l’accélération dans les directions x, y, z au point (1, 2, 2) à t=1s Exercice 2 : Le champ de vitesse d’un écoulement permanent bidimensionnel, incompressible, est Défini par : = (0.5 + 0.8x) + (1.5 + 0.8y) Déterminer s’il y a un point de stagnation dans la conduite. Exercice 3 : Un champ de vitesse est définie par : = 10x – 10y
L’écoulement est il i-rotationnel ? Exercice 4 : La fonction potentielle des vitesses d’un écoulement est donnée par Φ = Déterminer l’équation de continuité Calculer la fonction de courant Ψ ? Exercice 5 : Un écoulement est définie en variable d’Euler par : (t)=
= = + a, b, c étant des constantes. 1. Quelle est la nature de Mouvement ? 2. Déterminer les lignes de courants. 3. Déterminer les lignes de courants. 4. Déterminer les trajectoires. FGC/USTHB 2
ème Année ST GC Hydraulique Exercice 6 : Soit les composantes u et v de la vitesse d’un écoulement bidimensionnel. =+ ²²
=+ ²²
Calculer le rotationnel de
Trouver les composante de l’accélération a
x et a
y de l’écoulement stationnaire, on prendra a=0 et b=1 2
ème Année ST GC Hydraulique Section “R” 2014/2015 Corrigés série Exercices Cinématique Exercice 1 : 1. L’accélération a
x : = 2² +2 4 = 2²+8
² 2. L’accélération a
y : = 2 3 +3 6
= 6²² +18² 3. L’accélération a
z : = 2 2+2 2
= 4
+4 Au point (1,2, 2) t = 1s :a x = 10m/s² a
y = 168m/s² a
z = 16m/s² Exercice 2 : 1. Détermination de points de stagnation :
= 0 0.5+0.8 +
1.5−0.8
= 0
0.5 + 0.8 = 0 ⇒ =−0.5 0.8 1.5−0.8 = 0 ⇒ =
!."#.$ 2
ème Année ST GC Hydraulique Section “R” 2014/2015 Exercice 3 : Exercice 4 : 1. Equation de continuité : Φ = &'&( +)*+, = 0
(Équation de continuité) *+, =-. - +-, -+ -/- 2
ème Année ST GC Hydraulique Section “R” 2014/2015 . =&0 &
= . , =&0 &
= . / =&0 &
= 0. *+, = &
1 &+ &
1 &
+0 = 0 (Écoulement incompressible) -)
- = 0 2. fonction de courant : 2&3 &
= .&3 &
= −, ⇒ 4
-Ψ = .-
-Ψ = −,-
66 . 7
Ψ =8 .-
Ψ =8 −,-
⇒ 7
Ψ =8 -
Ψ =8 −-66 . 2Ψ != 1² +91Ψ = :1 +9 6 ⇒ 1² +9! =:1² +9
. 29 != :1² 9 =1²
⇒ Ψ =1² − 1² 6
. Exercice 5 : 1. Nature de mouvement : =4 . =
, = ;+< 6
*+, =-. -+ -,-, +-/ -= -
-+ -
;+< -
+0 = 0 (Écoulement incompressible) 2. Les lignes de courant : *. =* ,= */ *. =* ,
⇒ =,* = =.* ;+< +9! = +9 2
ème Année ST GC Hydraulique Section “R” 2014/2015 =
;+< +9 = ;+< + 9
3. La trajectoire : *. =* ,
= * >* .
= * *, = * 6
⇒ ?@ A=*
= =* =* ;+< = =* 62 = +9! = ; +
< ²2 +9 6
Exercice 6 : FGC/USTHB 2
ème Année ST GC Hydraulique Série d’exercices Théorème de Bernoulli Exercice 1 : L’entrée E d’un tuyau se trouve à 10m sous la surface libre d’un réservoir d’eau de grande dimension et la sortie à 30m en dessous de cette même surface libre (voir figure 1) Le tuyau a un diamètre D=8cm. Il se termine par une courte tuyère T de diamètre D=4cm. 1) Quelle est la valeur de la vitesse V
T à la sortie de la tuyère ? 2) Quel est le débit d’eau qui s’écoule ? 3) Quelle est, dans le tuyau, la valeur de la pression statique en E, ainsi que dans une section S située juste en amont de la tuyère de sortie. 4) Tracer les lignes de charge et piézométrique de l’installation. On prendra g=10m/s²
M A
E AV TT Fig 1
Fig 2
S Exercice 2 : Un siphon permet l’écoulement de l’eau d’un réservoir de grandes dimensions.il est constitué par un tuyau de 0.10 m de diamètre et dont la ligne centrale se trouve à 4m au dessus du niveau de la surface libre. 1) Quel débit maximal peut-on espérer obtenir avec ce dispositif sans qu’il se produise de cavitation. 2) Quelle doit être la cote de sortie S ? 3) Tracer les lignes de charge et piézométrique de l’installation. On prendra G=10m/s² et on admettra que la tension de vapeur de l’eau est négligeable dans les conditions expérimentales. Exercice 3 : Une conduite, de différents diamètres, est branchée à un réservoir de grandes dimensions contenant de l’eau. 1) Quelle doit être la hauteur d’eau dans le réservoir pour assuré un débit de 22l/s. 2) Tracer soigneusement la ligne de charge et la ligne piézométrique.d 1
=20mm d2 =15mm d3 =10mm
H d1d2 d3
Fig 3 FGC/USTHB 2
ème Année ST GC Hydraulique Exercice 4 : Un liquide est en écoulement permanent dans une conduite horizontale de différents diamètre, D1 =0.2m, D
2 0.15m, D3 =0.175m. La canalisation est munie d’un tube de venturi, d’un manomètre à mercure et d’un tube de piton (figure 4). On donne la pression : P1 =0.8 bar, P2 =0.75 bar et Hs =0.697 m 1. Calculer Hv. 2. Calculer le débit Qv. 3. Calculer P3 , Z
b puis Hd. Exercice 5 : Une pompe est traversée par un débit Q. sa conduite d’aspiration a un diamètre de 0.30 m et sur l’axe rège une pression P1 . Sa conduite de refoulement horizontale a un diamètre de 0.20 m et sur son axe situé à 1.22 m plus haut que le précédent règne une pression P2 . En supposant que le rendement de la pompe est de 80%, quelle puissance mécanique doit-on lui fournie ? Q = 9000l/mm, p
1 - p
2 = 0.972 * 10
5 Pa P
2 P
2 1.22 m 2
ème Année ST GC Hydraulique Section “R” 2014/2015 Corrigés série d’exercice Théorème de Bernoulli Exercice 1 :
1) La valeur de la vitesse a la sorti de la tuyère : Bernoulli entre A et T : Z +V ² 2g+ P ρg
= Z+ V² 2g+ P
ρg =
= 0
= 0 /
=
; =
= −30
= ?
= !" = −30 + ² 2"+ !" ² = 30 × 2" ⇒ =% 30 × 2"= 24.5 / 2) calcule le débit qui s’écoule : ) = . * = 24.5 × +, 0.02- .
= 0.03 // 3) La pression statistique en E : Bernoulli entre A et E : + ² 2"+ !"
= 0 + 0² 2"+ 0 !" =1 = 0
= 0 /
= ;
2 = 1 0
= −10 0 =) *0 =0.03 + × 4² 0
= ?
/ 105 106 = −10 +,5.99-² 20+ 0 106 105 106 + 10 −,5.99-² 20= 0 106 0 = 1.82 × 10
5 9: 4) La pression dans la section S située en amont de la tuyère de sortie : Bernoulli entre A et S : 2
ème Année ST GC Hydraulique Section “R” 2014/2015 + ² 2"+ !"
= ; + ;² 2"+ ; !"
* =
<= > ;
= −30 ;= )* =0.03 + × ,0.04-² ;
= ? = 5.99 / 105 106 = −30 +, 5.99- .20 + ;10 6 ;
= 106 ×, 40 − 1.8- = 38.2 × 10
6 9: 5) La ligne de charge : ? = ?0 = ?; = ? ? = + ² 2"+ !"= 105 106 = 10 6) Les lignes piézométriques : ℎ = ? − . 2"
= 10 ℎ0 = ? − 0² 2"
= 10 −, 5.97- .20 = 8.2 ℎ; = ℎ0 = 8.2 ℎ = ? − ² 2"
= 10 −,24.5-² 20
= −20 Ligne de charge
Les lignes piézométriques 2
ème Année ST GC Hydraulique Section “R” 2014/2015 Exercice 2 :
1) Débit maximal peut-on espérer obtenir : Remarque : sans produise de cavitation ; ça veut dire pas de circulation dans la conduite et P = 0 pas On applique Bernoulli entre A et M : + ² 2"+ !"
= B + B² 2"+ B !" ∶ = 0
= 0 /
= ; D ∶ B = 4 B
= ? B
= 0 9: 105 106 = 4 + B² 20 B
= 10.9 / Q = V.S = 10.9× (3.14× (0.05)²) = 0.08 m3 /s 2) La cote de la sortie S : Bernoulli entre A et S : + ² 2"+ !"
= ; + ;² 2"+ ; !
* ∶ 1 ;
= ? ;= )* = 10.9 / ; = 10
5 9: ;
∶ E
= 0
= 0/
= 10
5 9: ; = − ;² 2"
= −,10.9-² 20
= −5.94 3) La ligne de charge : ? = ? = ?B = ?; ? = + ² 2"+ !"
= 10 4) Les lignes piézométriques : ℎ = ? − ² 2"
= 10 ℎB = ? − B² 2"
= 10 −, 10.9- .20 = 4.06 2
ème Année ST GC Hydraulique Section “R” 2014/2015 ℎ; = ? − ;² 2"
= 10 − 5.94 = 4.06 La ligne de charge Les lignes pièzométriques Exercice 4 : 1) Calcule de H
V : On applique la relation Fondamental de l’hydrostatique : = !GH . ". + I J = !KL . ". ?M + !GH . "., − ?M -
+ . = J !GH . ". + I = !KL . ". ?M + !GH . ". − !GH . ". ?M + . I − . = ?M ,!KL . " − !GH . "- ?M = I
− . ",!KL − !GH -
= 0.04 2) Calcule de débit Q
V : Bernoulli entre 1 et 2 : I + I² 2"+ I !"
= . + .² 2"+ . !"2 ème Année ST GC Hydraulique Section “R” 2014/2015 9NOP 1 ∶
<Q =Q > I
= 0 I= )* I / I
= 0.8 × 10
5 9:* I
= +., 0.1- .
= 0.031 ² ; 9NOP 2 ∶ <Q Q= QQ > .
= 0 .= )* . / .
= 0.75. 10
5 9:* .
= +.0.015² 2
= 0.017 ² R) 0.031S .20 +
0.08. 105 20= R) 0.017S .20 +
0.75. 105 106 ). ,
52.03 − 173.01- = 7.5 − 8 ) = 0.06 / 3) La pression P
3 : Bernoulli entre 2 et 3 : . + .² 2"+ . !"
= / + /² 2"+ / !"
9NOP 2 ∶
<Q =Q > .
= 0 .== )* =0.06 +. R0.15 52S = 3.76 / .
= 0.75. 10
5 9: ;
9NOP 3 ∶ <= > /
= 0 /= )* /
= 2.62 / /
= ?
T ∶, 3.56- .20 +
0.75. 105 106 =, 2.62- .20 +9 /10 6 /
= 0.76. 10
5 9: 4) Calcule de H
d : • La ligne isobare entre P
B et P
B’ : U = !KL . ". ?; + UJ = !GH . ". U + / NV : ∶ U =
UJ T ∶ U = 11.80 • ligne isobare entre P
C et P
C’ : W = !KX . ". ?Y + 6 ZJ = !GH . ". Z + 5 2
ème Année ST GC Hydraulique Section “R” 2014/2015 Calcule P
5 : Bernoulli entre 1 et 5 : NOP 1 : <= > I
= 0 I= )* I
= 2.06 / I
= 0.8. 10
5 9: ;
9NOP 2 ∶
5 = 0 5
= 0 ,\O]^ _^ 9`\N\- 5
= ?
T ∶2.06 .20 +0.8.10 510 6= 5 106 5 = 0.8. 10
5 9: W =
WJ Donc : ?Y = 5
− 6 ",!KL − !KL -
= 0.031 Exercice 5 : Puissance mécanique doit-on lui fournir : a =
^V^P"`^ bNOPV`^ ^V^P"`^ :]NP]é^
= 80% 2. b = !. ". ). 2 2. :] = 9O`:Ve^ ée:V`fO^ On applique Bernoulli entre 1 et 2 pour calculer énergie fournie : I + I² 2"+ I !"
+ 2 = . + .² 2"+ . !"
NOP 1 : <Q =Q > I
= 0 I= )* I= g
9000. 10h/ 60i +,0.15-² I
− . = 0.972. 105 ; 9NOP 2 ∶
<= > .
= 1.22 .= )* .
= 4.77 / I
− . = 0.972. 105 , 2.12- ²20 + I
− . !"
+ 2 = 1.22 +, 4.77- .20 2 = 2.13 j 2b = 106 . 0.15.2.13 = 31955 j 9O`:Ve^ ée:V`fO^ =2b a= 31950.8 = 3993.75 k:\ FGC/USTHB 2
ème Année ST GC Hydraulique Série d’exercice Théorème de quantité de mouvement Exercice 1 : Une conduite métallique (fig 1) de diamètre D et de masse m est traversé d’une façon permanente par une masse M, de débit volumique q et de pression p. la conduite est contenue dans un plan horizontal. Déterminer les composante F
x F
y F
z de la force F qu’il faudrait appliquer à la conduite pour la maintenir en équilibre. AN: D = 1 m; m = 400 kg; M = 120 kg;
q = 2m3 /s; P = 75 kpa; = 30° Exercice 2: Soit un tube (fig2) de section circulaire de diamètre 0.2m coudé à angle droit et posé sur un plan horizontal, il contient de l’eau à la pression moyenne de 6 bars. 1. Quelles sont en projection horizontale la résultant des forces s’exerçant sur le
coude quand la vitesse d’écoulement est négligeable ? 2. Que devient cette résultante quand la vitesse d’écoulement n’est plus négligeable et correspond à un débit de 0.16 m3 /s Exercice 3 : Un jet horizontal de liquide, supposé parfait, de vitesse uniforme parallèle a OX et de débit volumique q est partiellement dévié par un obstacle (fig : 3) contenu dans le plan horizontal xOy et dont la paroi est parallèle à Oy. La partie interceptée (2) forme un jet sortant de débit q
2 et de vitesse 2 uniforme et parallèle à Oy . La partie (1) non interceptée forme un jet de vitesse uniforme 1 située dans le même plan xOy. 1. Que valent les module des vitesses 1 et 2 en fonction de 2. Déterminer, sous forme vectorielle, l’expression de la force exercée par le fluide sur l’obstacle. 3. Sachant que est perpendiculairement à Oy, en déduire que le jet (1) est dévié d’un angle a que l’on calculera en fonction de q et q2 . 4. Calculer F en fonction de FGC/USTHB 2
ème Année ST GC Hydraulique Exercice 4 : Un jet en forme de lame horizontale, de diamètre d = 10 mm frappe une plaque carrée homogène de coté c = 150 mm, inclinée de Trouver la vitesse du jet si la hauteur de l’axe de rotation de la plaque à de h = 50 mm. Année ST GC Hydraulique Un jet en forme de lame horizontale, de diamètre d = 10 mm frappe une plaque carrée homogène de coté c = 150 mm, inclinée de = 60° et dont le poids G = 16.87 N.
Trouver la vitesse du jet si la hauteur de l’axe de rotation de la plaque à Un jet en forme de lame horizontale, de diamètre d = 10 mm frappe une plaque carrée = 60° et dont le poids G = 16.87 N. Trouver la vitesse du jet si la hauteur de l’axe de rotation de la plaque à l’axe du jet est FGC/USTHB 2
ème Année ST GC Hydraulique Corrigés série d’exercices Théorème de quantité de mouvement Exercice 3 : Les module des vitesses en fonction de • Bernoulli entre (0,1) : + ² 2+
= + ² 2+ 0 ∶
= 0
=
=
!
" ∶ 1 ∶ = 0 =
=
!" Donc :
= • Bernoulli entre (0,2) :
2
= 0
= =
!" Donc on trouve : V
2 = V La forme vectorielle de exercée par le fluide sur l’obstacle : $
%& = '( ) − + , On a : –
= . . = '
+ '
− ' ⇒ = &a