Mécanique des Fluides : Exercices – ecoulement parfait bernoulli
Télécharger PDFExercices sur l'écoulement parfait et le théorème de Bernoulli
Exercice 1 : Jauge de Venturi
Une jauge de Venturi est constituée d’un tube de section circulaire, de surface SA (diamètre dA) qui présente un rétrécissement de section SB (diamètre dB). On mesure à l’aide d’un tube en U contenant du mercure la différence de pression entre A et B. La dénivellation du mercure est h. Déterminer la vitesse de l’eau en A et le débit à travers la jauge. On assimilera l’eau à un fluide parfait et incompressible en écoulement stationnaire.
Données : h = 35,0 cm ; dA = 30,0 cm ; dB = 15,0 cm ; μ(Hg) = 13 600 kg·m-3 ; g = 9,81 m·s-2.
Exercice 2 : Débimètre
Dans une rivière, le champ de vitesse est horizontal, supposé uniforme près de la surface, et l’eau est assimilée à un fluide parfait. On y plonge un tube coudé de section uniforme S, qui descend à la profondeur y et dépasse la surface libre de la rivière d’une hauteur z. L’axe ascendant a pour origine la surface libre de la rivière.
1. Faire un schéma. Dans un premier temps, on suppose que l’eau monte dans le tube jusqu’à la hauteur z au-dessus de la surface de la rivière. Établir la relation entre z et y.
2. À partir de quelle vitesse critique d’écoulement de la rivière un jet d’eau peut-il se former au-dessus du tube ? Jusqu’à quelle hauteur (au-dessus de la rivière) ce jet monte-t-il ?
3. En supposant que le jet d’eau est vertical à sa base et que les lignes de courant sont toutes parallèles, quelle est la vitesse de l’eau à la sortie du tube ? Quelle est alors la vitesse de l’eau dans le tube ?
Exercice 3 : Analyse d’une expérience avec le canal hydrodynamique
De l’eau s’écoule dans un canal de section rectangulaire constante. À l’entrée du canal, la hauteur d’eau est h0. À la sortie, la hauteur d’eau est h1. À l’entrée, la vitesse est de l’ordre de quelques cm·s-1. La surface libre de l’eau est au contact de l’air ambiant, à pression atmosphérique.
Montrer que la baisse du niveau de l’eau dans le canal traduit une perte de charge, dont on estimera l’ordre de grandeur en Pa, puis en mètres.
Exercice 4 : Micro-centrale hydraulique
La centrale est alimentée par une conduite d’eau cylindrique de diamètre constant D, dite conduite forcée, issue d’un barrage. L’eau est considérée comme un fluide parfait, incompressible et de masse volumique μ. Elle sort de l’injecteur à l’air libre, sous la pression atmosphérique P0, supposée indépendante de l’altitude. Le jet est cylindrique d’axe horizontal et de section circulaire de diamètre D dans la conduite puis d dans l’injecteur.
Données : P0 = 50 105 Pa ; g = 10 m·s-2 ; D = 60 cm ; H = 300 m ; μ = 103 kg·m-3.
I – Conduite forcée
1. Dans cette question — et dans cette question seulement — on suppose que l’extrémité aval de la conduite n’est pas reliée à l’injecteur ; l’eau sort à l’air libre au point A. En justifiant l’utilisation de la relation de Bernoulli entre le point A et un point quelconque de la canalisation et en considérant la conservation du débit, exprimer la pression P1(z) à l’intérieur de la conduite sous la forme : P1(z) = P0 - μg(z - z0), où P0 = μgz0. Calculer z0. La pression de vapeur saturante de l’eau à la température ambiante est Psat ≈ 3 × 103 Pa. Montrer qu’au-delà d’une certaine altitude, ce modèle de pression n’est plus applicable.
2. Pour pallier cet inconvénient, on visse en A un injecteur de section décroissante et de diamètre de sortie d < D. Montrer que la vitesse en sortie de l’injecteur, notée c, est c = √(2gH) (relation de Torricelli). Calculer c.
3. Exprimer la pression P2(z) à l’intérieur de la conduite munie d’injecteur. Montrer que les phénomènes de cavitation disparaissent dans toute la conduite si d est inférieur à un certain d0, dont on établira l’expression en fonction de D, P0, H, g et μ. Vérifier que d0 ≈ 26 cm.
4. Le diamètre de sortie de l’injecteur est d = 12 cm. La vitesse du jet mesurée en sortie de l’injecteur est c' = 174 m·s-1. À quelle dénivellation H' cette vitesse correspondrait-elle ? Exprimer et calculer le coefficient de contraction cH = c'/√(2gH'). Donner quelques raisons de l’écart à l’unité de ce coefficient.
5. Exprimer et calculer le débit volumique q de l’injecteur sans pertes, puis le débit massique mD (en litres par seconde) en fonction de d, de c et de μ. Exprimer et calculer la puissance cinétique réelle Pc du jet en sortie (énergie cinétique par unité de temps, pour la vitesse de sortie c' et le débit associé q').
6. Justifier que l’on nomme puissance potentielle la quantité Ppot = qgμH. Exprimer et calculer le rendement de la conduite η = Pc/Ppot en fonction de cH.
Exercice 5 : Vase de Tantale, oscillateur de relaxation mécanique
On note ρ la masse volumique de l’eau, g l’accélération de la pesanteur, et on prend pour valeurs numériques : ρ = 103 kg·m-3 ; g = 9,8 m·s-2.
I.1. Vidange d’un réservoir
On considère un réservoir cylindrique dont la section horizontale est un disque d’aire S. Les hauteurs sont repérées à l’aide d’un axe vertical (Oz) orienté vers le haut, dont l’origine coïncide avec le fond du réservoir. Ce réservoir est rempli d’eau jusqu’à une certaine hauteur h et percé d’un orifice situé au niveau du point B à hauteur zB. Cet orifice possède une section droite σ. On nomme Ds le débit volumique d’eau sortant par l’orifice B associé à l’écoulement de vidange du réservoir. La surface libre du réservoir et l’extrémité de l’orifice sont en contact avec l’air, à la pression atmosphérique P0 = 1 bar.
Tous les écoulements considérés sont assimilés à des écoulements non visqueux, homogènes, incompressibles et laminaires.
I.1.1 On assimile la vidange du réservoir à un écoulement stationnaire, en faisant l’hypothèse que la hauteur h(t) de la surface libre varie lentement par rapport aux vitesses caractéristiques de l’écoulement. Tracer l’allure plausible des lignes de courant associées à l’écoulement. Quelle relation peut-on écrire entre la vitesse de la surface libre vA, la vitesse vB en B, et les sections σ et S ? Justifier.
I.1.2 Enoncer et appliquer le théorème de Bernoulli le long de l’une de ces lignes de courant, et déterminer, dans le cadre des hypothèses, et pour des sections droites S et σ quelconques, la vitesse du fluide vB au niveau de l’orifice B. Que vaut alors le débit Ds ?
I.1.3 Que vaut la vitesse vB dans la limite où σ ≪ S ? On conservera l’hypothèse σ ≪ S pour toute la suite du problème. En déduire la valeur algébrique de dh/dt = -√(2gh).
I.1.4 Calculer la valeur numérique du débit Ds lorsque h = 2 m, zB = 0,1 m et σ = 2 cm². Exprimer le résultat dans les unités du système international, puis en litre par seconde (L·s-1).
I.2. Influence du siphon
Un siphon est une portion coudée de conduite, de section constante σ, dont la hauteur maximale, représentée par le point C de la figure, se trouve à une hauteur zC supérieure à la hauteur zB de l’orifice d’entrée de la conduite.
1.2.1. Lorsque le siphon est amorcé, le réservoir se vide avec un débit constant Ds, que l’on exprimera en fonction de h, g, σ et de la hauteur d’eau d’un des trois points B, C ou D.
1.2.2. Former une équation différentielle du premier ordre pour l’évolution temporelle de la hauteur h(t) de la surface libre, dans le régime où le siphon est amorcé.
1.2.3. Trouver la solution de cette équation différentielle en partant d’une condition initiale h(0) = h0 > zC. En déduire la durée nécessaire t1 pour que le siphon se désamorce.
I.3. Réservoir alimenté
Le réservoir est désormais alimenté en permanence par un filet d’eau de débit Di, arrivant par l’orifice A, et qui ne perturbe pas l’écoulement de vidange.
3.1. Comment doit-on modifier l’équation différentielle portant sur h(t) en présence du débit Di, le siphon étant amorcé ?
3.2. Montrer que l’équation différentielle obtenue admet une solution stationnaire de hauteur hs constante, que l’on exprimera en fonction de zD, Di, σ et g. Cette solution est-elle acceptable si la valeur de hS associée à un débit Di est telle que hS < zB ? Justifier.
3.3. Décrire l’évolution de la hauteur h(t) lorsque le siphon est désamorcé.
3.4. Montrer que si le débit Di est plus faible qu’une valeur critique Dc, le système représenté sur la figure se comporte comme un oscillateur, dont le débit de sortie est une fonction périodique du temps. Déterminer la valeur de Dc.
3.5. On suppose Di < Dc. Représenter schématiquement l’allure temporelle de la hauteur h(t) en fonction du temps t.
FAQ
Qu’est-ce qu’un écoulement parfait ?
Un écoulement parfait est un modèle théorique où le fluide est considéré comme non visqueux, incompressible et sans frottement, simplifiant les calculs en mécanique des fluides.
À quoi sert la relation de Bernoulli ?
La relation de Bernoulli permet de calculer les variations de pression, de vitesse et d’altitude dans un écoulement stationnaire, incompressible et sans frottement.
Qu’est-ce que la cavitation ?
La cavitation est un phénomène où des bulles de vapeur se forment dans un fluide en mouvement lorsque la pression chute localement en dessous de la pression de vapeur saturante, entraînant des perturbations mécaniques et acoustiques.