Exercices – ecoulement parfait bernoulli - mécanique des flu

Mécanique des Fluides : Exercices – ecoulement parfait bernoulli

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1 Moreggia PSI 2015/2016 Exercices – Ecoulement parfait : Bernoulli Exercice 1 : Jauge de Venturi Une jauge de Venturi est constituée d’un tube de section circulaire, de surface S

A (diamètre dA ) qui présente un rétrécissement de section SB (diàmètre dB ). On mesure à l’aide d’un tube en U contenant du mercure la différence de pression entre A et B. La dénivellation du mercure est h’’. Déterminer la vitesse de l’eau en A et le débit à travers la jauge. On assimilera l’eau a un fluide parfait et incompressible en écoulement stationnaire. Données : h’’ = 35,0 cm ; d

A = 30,0 cm ; d

B = 15,0 cm ; μ(Hg) = 13 600 kg.m

-3 ; g = 9,81 m.s-2 . Exercice 2 : Débimètre Dans une rivière, le champ de vitesse est horizontal, supposé uniforme près de la surface

, et l’eau est assimilée à un fluide parfait. On y plonge un tube coudé de section uniforme S, qui descend à la profondeur et qui dépasse la surface libre de la rivière d’une hauteur . L’axe ascendant a pour origine la surface libre de la rivière. 1. Faire un schéma. Dans un premier temps, on suppose que l’eau monte dans le tube jusqu’à la hauteur

au-dessus de la surface de la rivière. Etablir la relation entre et . 2. A partir de quelle vitesse critique

d’écoulement de la rivière un jet d’eau peut-il se former au-dessus du tube ? Jusqu’à quelle hauteur

(au-dessus de la rivière) ce jet monte-t-il ? 3. En supposant que le jet d’eau est vertical à sa base, et que les lignes de courant sont toutes parallèles, quelle est la vitesse de l’eau à la sortie du tube ? Quelle est alors la vitesse de l’eau dans le tube ? Exercice 3 : Analyse d’une expérience avec le canal hydrodynamique De l’eau s’écoule dans le canal de section rectangulaire constante, disponible en TP. A l’entrée du canal, la hauteur d’eau est

. A la sortie, la hauteur d’eau est

. A l’entrée, la vitesse est de l’ordre de quelques

. La surface libre de l’eau est au contact de l’air ambiant, à pression atmosphérique. Montrer que la baisse du niveau de l’eau dans le canal traduit une perte de charge, dont on estimera l’ordre de grandeur en

, puis en mètres. z h0 h1 2 Moreggia PSI 2015/2016 Exercice 4 : Micro-centrale hydraulique (MPonts PSI 2006) La centrale est alimentée par une conduite d’eau cylindrique de diamètre constant D

, dite conduite forcée, issue du barrage (Fig. 1). La capacité de ce barrage est suffisamment impor-

tante pour que l’on considère l’eau qu’il contient comme immobile. L’extrémité aval de la conduite, notée A, est reliée à une tubulure de section décroissante, appelée injecteur. L’axe vertical repérant l’altitude z est orienté vers le haut. L’altitude du point A est, par convention, nulle ; on note H la dénivellation entre la surface libre de l’eau et l’axe de l’injecteur et h la différence de niveau entre l’entrée de la conduite et la sortie, en A (la différence de niveau entre la surface libre et l’entrée de la conduite est donc hHh  ). L’eau est considérée comme un fluide parfait, incompressible et de masse volumique  ; elle sort de l’injecteur à l’air libre, sous la pression atmosphérique0 P

, supposée indépendante de l’altitude. Le jet est cylindrique d’axe horizontal et de section circulaire de diamètre D dans la conduite puis d dans l’injecteur. Ce jet frappe la turbine et l’anime d’un mouvement de rotation. On considère les écoulements comme permanents et irrotationnels. On néglige tout frottement. On néglige les variations avec l’altitude de l’accélération de la pesanteur g

. Fig. 1 - Retenue et conduite forcée pour installation hydroélectrique. L’injecteur, en A, est schématisé dans le rectangle en pointillés. Données : 50 10 PaP, 2

10 m.sg 

, 60 cmD

, 300 mH et 33

10 kg.m 

. I – Conduite forcée 1 – Dans cette question — et dans cette question seulement — on suppose que l’extrémité aval de la conduite n’est pas reliée à l’injecteur ; l’eau sort à l’air libre au point A. En justifiant l’utilisation de la relation de Bernoulli entre le point A et un point quelconque de la canalisation et en considérant la conservation du débit, exprimer la pression 1 Pz à l’intérieur de la conduite sous la forme 10 01 z

P zPz   , avec 00 Pz g . Calculer 0z . La pression de vapeur saturante de l’eau à la température ambiante est 3sat 3 10 PaP

. Montrer qu’au-delà d’une certaine altitude, à préciser, ce modèle de pression n’est plus applica-

ble. Le phénomène qui intervient alors (cavitation) engendre toutes sortes de perturbation (attaque des matériaux, bruits ...). 3 Moreggia PSI 2015/2016  2 – Pour pallier cet inconvénient, on visse en A sur la partie finale horizontale de la conduite un injecteur (encart de la Fig. 1) de section décroissante et de diamètre de sortie dD

. Montrer que la vitesse en sortie de l’injecteur, notée c

, est 2cgH (relation de Torricelli). Calculer c

. Établir que la vitesse en A est 22. dVgH D  

 3 – Exprimer la pression 2 Pz à l'intérieur de la conduite munie d’injecteur. On admet que l'entrée de la conduite est pratiquement à l’altitude .H Montrer que les phénomènes de cavitation disparaissent dans toute la conduite si d

est inférieur à un certain 0d dont on établira l’expression en fonction de D, 0P , ,H

g et 

. Vérifier que 0

26 cm.d

4 – Le diamètre de sortie de l’injecteur est 12 cm.d La vitesse du jet mesurée en sortie de l’injecteur est 1

74 m.sc  . A quelle dénivellation, notée H , cette vitesse correspondrait-elle ? Exprimer et calculer le coefficient de contraction cH CH  . Donner quelques raisons de l’écart à l’unité de ce coefficient. 5 – Exprimer et calculer le débit volumique q de l’injecteur sans pertes, puis le débit massique m

D (en litres par seconde) en fonction de d

, de c et de . Exprimer et calculer la puissance cinétique réelle c

P du jet en sortie (énergie cinétique par unité de temps, pour la vitesse de sortie c

 et le débit associé q ). 6 – Justifier que l’on nomme puissance potentielle la quantité .pot PqgH Exprimer et calculer le rendement de la conduite cpot PP  en fonction de .c C

Exercice 5 : Vase de Tantale, oscillateur de relaxation mécanique (CCP PC 2010) On notera  la masse volumique de l’eau, g l’accélération de la pesanteur, et l’on prendra pour valeurs numériques :  = 10

3 kg.m

-3 ; g = 9,8 m.s-2 . I.1. Vidange d’un réservoir : On considère un réservoir cylindrique dont la section horizontale est un disque d’aire S. Les hauteurs sont repérées à l’aide d’un axe vertical (Oz) orienté vers le haut, et dont l’origine coincide avec le fond du réservoir ( voir figure I,1 à gauche ) . ce réservoir est rempli d’eau jusqu’à une certaine hauteur h et percé d’un orifice situé au niveau du point B à hauteur zB .Cet orifice possède une section droite . On nomme D

s le débit volumique d’eau sortant par l’orifice B associé à l’écoulement de vidange du 4 Moreggia PSI 2015/2016 réservoir. La surface libre du réservoir et l’extrémité de l’orifice sont en contact avec l’air , à la pression atmosphérique P

0 = 1 bar. Tous les écoulements considérés sont assimilés à des écoulements non visqueux, homogènes, incompressibles et laminaires. La variable de temps est notée t. I.1.1 On assimile la vidange du réservoir à un écoulement stationnaire, en faisant l’hypothèse que la hauteur h(t) de la surface libre varie lentement par rapport aux vitesses caratéristiques de l’écoulement. Tracer l’allure plausible des lignes de courant associées à l’écoulement. Quelle relation peut-on écrire entre la vitesse de la surface libre vA , la vitesse v

B en B, et les sections  et S ? Justifier. I.1.2. Enoncer et appliquer le théorème de Bernoulli le long de l’une de ces lignes de courant, et déterminer, dans le cadre des hypothèses, et pour des sections droites S et  quelconques, la vitesse du fluide v

B au niveau de l’orifice B. Que vaut alors le débit D

S ? I.1.3. Que vaut la vitesse v

B dans la limite où  << S ? On conservera l’hypothèse  << S pour toute la suite du problème En déduire la valeur algébrique de dtdh h . I.1.4. Calculer la valeur numérique du débit D

s lorsque h = 2 m, z

B = 0,1 m et  = 2 cm². Exprimer le résultat dans les unités du système international, puis en litre par seconde ( L.s-1 ). I.2. Influence du siphon : Un siphon est une portion coudée de conduite, de section constante , dont la hauteur maximale, représentée par le point C de la figure I.1 à droite, se trouve à une hauteur z

C supérieure à la hauteur z

B de l’orifice d’entrée de la conduite. Un siphon peut se trouver dans deux états. Dans l’état amorcé, le siphon ne contient pas d’air, et l’on peut considérer que le théorème de Bernoulli s’applique d’un bout à l’autre du siphon. L’extrémité D située à l’opposé du réservoir se trouve alors en contact avec l’air à pression atmosphérique P0 . Dans l’état désamorcé, le siphon contient de l’air, la continuité de l’écoulement dans le siphon est rompue, et le débit à travers la conduite est nul. On supposera qu’une fois amorcé, le siphon reste dans cet état jusqu’à ce que de l’air pénètre par l’orifice situé en B. Le siphon est toujours amorcé lorsque le niveau de l’eau excède zC . 1.2.1. Lorsque le siphon est amorcé, le réservoir se vide avec un débit constant Ds , que l’on exprimera en fonctionde h, g,  et de la hauteur d’eau d’un des trois points B, C ou D. 1.2.2. Former une équation différentielle du premier ordre pour l’évolution temporelle de la hauteur h(t) de la surface libre, dans le régime ou le siphon est amorcé. 1.2.3. Trouver la solution de cette équation différentielle en partant d’une condition initiale h(0) = h

0 > zC . En déduire la durée nécessaire t

1 pour que le siphon se désamorce. I.3. Réservoir alimenté : Le réservoir est désormais alimenté en permanence par un filet d’eau de débit Di , arrivant par l’orifice A, et qui ne pertube pas l’écoulement de vidange ( figure I.2. ). 5 Moreggia PSI 2015/2016 I.3.1. Comment doit-on modifier l’équation différentielle portant sur h(t) en présence du débit Di , le siphon étant amorcé ? I.3.2. Montrer que l’équation différentielle obtenue admet une solution stationnaire de hauteur hs constante, que l’on exprimera en fonction de zD , Di ,  et g. Cette solution est-elle acceptable si la valeur de h

S associée à un débit D

i est telle que h

S < z

B ? Justifier. I.3.3. Décrire l’évolution de la hauteur h(t) lorsque le siphon est désamorcé. I.3.4. Montrer que si le débit D

i est plus faible qu’une valeur critique Dc , le sytème représenté sur la figure I.2. se comporte comme un oscillateur, dont le débit de sortie est une fonction périodique du temps. Déterminer la valeur de Dc . I.3.5. On suppose D

i < Dc . Représenter schématiquement l’allure temporelle da la hauteur h(t) en fonction du temps t.