Ce document pédagogique propose une série d'exercices corrigés approfondis sur la dynamique des fluides réels, spécifiquement conçus pour les étudiants universitaires des filières techniques (comme le BTS ERO). Il a pour objectif de consolider les connaissances et les compétences pratiques dans ce domaine essentiel de la mécanique des fluides.
Il couvre les notions fondamentales suivantes :
- Le calcul du nombre de Reynolds et la caractérisation des régimes d'écoulement (laminaire et turbulent).
- La détermination des pertes de charge linéiques et l'application du théorème de Bernoulli généralisé.
- Les calculs liés aux pompes hydrauliques et la mesure de la viscosité des fluides.
Mécanique des Fluides : Exercices sur le chap. 7 dynamique des fluides réels
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Données générales
Pour tous les exercices, on prendra :
- Masse volumique de l’eau : ρ = 1000 kg·m⁻³
- Accélération de la pesanteur : g = 10 m·s⁻²
- Pression atmosphérique : p₀ = 10⁵ Pa
Formules des pertes de charge linéiques (en pascal, Pa)
Les pertes de charge linéiques, exprimées en pascal (Pa), peuvent être calculées en utilisant l'équation de Darcy-Weisbach, une formule fondamentale en dynamique des fluides :
Δp = K · (L/D) · ρ · v² / 2
Avec :
- K : coefficient de frottement de Darcy (sans unité)
- Pour l'écoulement laminaire (généralement Re ≤ 2300) : K = 64 / Re
- Pour l'écoulement turbulent (par exemple, formule de Blasius pour les conduites lisses et Re < 10⁵) : K = 0,316 / Re^(0,25)
- L : longueur de la conduite (en m)
- D : diamètre intérieur de la conduite (en m)
- ρ : masse volumique du fluide (en kg·m⁻³)
- v : vitesse moyenne du fluide (en m·s⁻¹)
Exercice 1 : Calcul des pertes de charge dans un tuyau lisse
Dans un tuyau lisse rectiligne de diamètre intérieur D = 15 mm, circule une huile à la vitesse v = 2,5 m·s⁻¹.
1. Calcul du nombre de Reynolds et régime d’écoulement
Données : viscosité cinématique de l’huile ν = 25·10⁻⁶ m²·s⁻¹ ; masse volumique de l’huile ρ = 850 kg·m⁻³.
2. Calcul des pertes de charge Δp par mètre de tuyau
Exercice 2 : Pompe et conduite hydraulique
Une pompe débite 90 litres d’huile par minute. Cette huile a une masse volumique de 900 kg·m⁻³ et une viscosité de 30 cSt.
1. Conversion du débit volumique en m³·s⁻¹
Donnée : 1 St = 10⁻⁴ m²·s⁻¹.
2. Calcul du débit massique de la pompe en kg·s⁻¹
3. Détermination du diamètre de la conduite pour une vitesse de 0,8 m·s⁻¹ à l’aspiration (arrondi à 1 mm près)
4. Calcul du nombre de Reynolds et nature de l’écoulement
5. Calcul des pertes de charge si la pompe est placée à 1 mètre au-dessus de la crépine
Exercice 3 : Perte de charge dans une conduite d’huile
De l’huile de viscosité 40 cSt s’écoule dans une conduite de 51 cm de long avec un débit de 30 l/min. Le diamètre de la section est 14 mm.
Calculez la perte de charge due à la longueur de la tuyauterie.
Donnée : masse volumique de l’huile ρ = 900 kg·m⁻³.
Exercice 4 : Type d’écoulement et vitesse maximale laminaire
Un fluide de viscosité 30 cSt s’écoule dans une conduite hydraulique de diamètre 26 mm.
1. Type d’écoulement pour une vitesse de 3 m·s⁻¹
2. Vitesse maximale correspondant à un régime laminaire
Exercice 5 : Vitesse et régime d’écoulement dans une canalisation
1. Vitesse du fluide dans une canalisation de refoulement de 26 mm de diamètre, avec un débit de 80 l/min et une viscosité de 40 cSt.
2. Détermination du régime d’écoulement
Exercice 6 : Station d’alimentation d’un château d’eau
Une pompe immergée refoule l’eau dans une conduite verticale de hauteur L = z₂ – z₁ = 40 m et de diamètre d = 120 mm.
La vitesse d’écoulement dans la conduite est v₂ = v₁ = 5 m·s⁻¹.
Les pressions absolues mesurées sont : p₀ = 10⁵ Pa (pression atmosphérique), p₁ = 5,4·10⁵ Pa, p₂ = 1,2·10⁵ Pa.
Viscosité cinématique de l’eau ν = 10⁻⁶ m²·s⁻¹. Les pertes de charge singulières sont négligées.
1. Perte de charge linéaire J₁₂ entre les sections 1 et 2 (théorème de Bernoulli, par kg d’eau)
2. Nombre de Reynolds et nature de l’écoulement
3. Coefficient K de pertes de charge linéaire (avec J₁₂ = –K · L · D · ρ · v² / 2)
4. Travail échangé entre la pompe et 1 kg d’eau (théorème de Bernoulli, pertes singulières négligées)
5. Calcul du débit volumique et du débit massique de la pompe
6. Puissance absorbée Pa avec un rendement η = 0,85
Exercice 7 : Mesure de la viscosité du lait avec un viscosimètre à chute de bille
On utilise un viscosimètre à chute de bille composé d’un tube de verre vertical rempli de lait et d’une bille sphérique.
On mesure le temps de déplacement de la bille entre deux repères A et B.
1. Bilan des forces appliquées à la bille (poids, poussée d’Archimède, frottement) et expressions littérales
Rappels :
- Poussée d’Archimède = poids du volume de lait déplacé
- Force de frottement sur une sphère de rayon r en mouvement à la vitesse v : F = 6π·η·r·v
2. Relation entre la durée t du parcours AB (longueur L) et les grandeurs précédentes
3. Calcul du coefficient de viscosité dynamique η du lait
Données :
- Longueur L = 30 cm, temps t = 10 s
- Masse volumique du lait ρ = 1032 kg·m⁻³
- Masse volumique de la bille ρ_B = 1050 kg·m⁻³
- Rayon de la bille r = 1,0 mm
- Volume d’une sphère : V = (4/3)·π·r³
FAQ sur la Dynamique des Fluides
1. Comment calculer le nombre de Reynolds pour un fluide en écoulement ?
Le nombre de Reynolds (Re) est un critère sans dimension essentiel pour caractériser le régime d'écoulement d'un fluide. Il se calcule avec la formule : Re = (v · D) / ν, où v représente la vitesse moyenne du fluide (en m/s), D le diamètre hydraulique de la conduite (en m) et ν la viscosité cinématique du fluide (en m²/s).
2. Quels sont les deux régimes d’écoulement principaux ?
Les deux régimes d'écoulement principaux, déterminés par le nombre de Reynolds, sont :
- L'écoulement laminaire (généralement pour Re ≤ 2300) : caractérisé par des lignes de courant parallèles et un mouvement fluide ordonné et prévisible.
- L'écoulement turbulent (généralement pour Re > 2300) : caractérisé par un mouvement désordonné, des tourbillons et des fluctuations de vitesse. La transition entre ces deux régimes est une phase critique dans l'étude des fluides.
3. À quoi sert le théorème de Bernoulli dans ces exercices ?
Le théorème de Bernoulli est un principe fondamental de la dynamique des fluides qui décrit la conservation de l'énergie le long d'une ligne de courant. Dans ces exercices, il est utilisé pour analyser les variations de pression, vitesse et hauteur du fluide, permettant ainsi de calculer les pertes de charge (régulières et singulières) entre deux points d'une conduite et d'évaluer le travail ou la puissance échangée par une machine hydraulique, comme une pompe, avec le fluide.