Mécanique des Fluides : Td hydrostatique (avec solution)
Télécharger PDFHydrostatique : Exercices corrigés
1. Pression et force exercée par l’eau sur un bathyscaphe
En 1962, le bathyscaphe atteignit une profondeur de 9592 mètres dans la fosse des Kouriles.
a. Calcul de la pression de l’eau à cette profondeur
Données :
- Masse volumique de l’eau de mer : ρ = 1025 kg·m⁻³
- Accélération de la pesanteur : g = 9.81 m·s⁻²
- Pression atmosphérique : Patm = 101 325 Pa
En appliquant le principe de Pascal, on obtient :
P2 = Patm + ρ × g × h
P2 = 101 325 + (1025 × 9.81 × 9592) = 96 460 093 Pa
Converti en bar : P2 ≈ 964 bar
b. Calcul de la force exercée sur le panneau du sas arrière
Le panneau est assimilé à un carré de 60 cm de côté, donc une surface S = 0,36 m².
La force exercée est donnée par : F = P × S
F = 96 460 093 × 0,36 = 34 725 633,48 N
2. Pourcentage immergé d’un bouchon en liège
Un bouchon en liège cylindrique de 2 cm de diamètre et 4 cm de longueur est plongé dans l’eau.
Données :
- Masse volumique de l’eau : ρeau = 1000 kg·m⁻³
- Masse volumique du liège : ρliège = 240 kg·m⁻³
Le pourcentage immergé est calculé par :
ρliège = (Vimmergé / Vtotal) × ρeau
Vimmergé / Vtotal = ρliège / ρeau = 240 / 1000 = 0,24
Le bouchon est donc immergé à 24 %.
3. Différence de pression dans un réservoir industriel
Un réservoir contient du gaz carbonique à une hauteur de 20 mètres.
a. Calcul de la différence de pression pour le gaz carbonique
Données :
- Masse volumique du gaz carbonique : ρCO₂ = 2 kg·m⁻³
- Accélération de la pesanteur : g = 9.81 m·s⁻²
La différence de pression est donnée par : ΔP = ρ × g × h
ΔPCO₂ = 2 × 9.81 × 20 = 392,4 Pa
b. Comparaison avec l’eau
Données :
- Masse volumique de l’eau : ρeau = 1000 kg·m⁻³
Pour l’eau : ΔPeau = 1000 × 9.81 × 20 = 196 200 Pa
Conclusion : la masse volumique influence fortement la différence de pression. Pour le gaz carbonique, la différence est négligeable comparée à celle de l’eau.
4. Calcul des hauteurs de liquide dans des récipients connectés
Le récipient (1) contient de l’eau, le récipient (2) de l’éthanol et le récipient (3) de la glycérine. Après aspiration et fermeture hermétique, les hauteurs h2 et h3 sont déterminées.
Données :
- h1 = 20 cm
- Pression atmosphérique : Patm = 101 325 Pa
- Masse volumique de l’eau : ρeau = 1000 kg·m⁻³
- Masse volumique de l’éthanol : ρéthanol = 794 kg·m⁻³
- Masse volumique de la glycérine : ρglycérine = 1270 kg·m⁻³
La pression dans le tube est la même partout. Grâce au principe de Pascal et à la hauteur dans le tube (1), on détermine les hauteurs h2 et h3.
Pour l’éthanol :
Patm = ρeau × g × h1 = ρéthanol × g × h2
h2 = (ρeau × h1) / ρéthanol = (1000 × 0,2) / 794 = 0,252 m ≈ 25,2 cm
Pour la glycérine :
Patm = ρeau × g × h1 = ρglycérine × g × h3
h3 = (ρeau × h1) / ρglycérine = (1000 × 0,2) / 1270 = 0,157 m ≈ 15,7 cm
5. Hauteur minimum d’une colonne barométrique
Une colonne barométrique est utilisée pour soutirer un liquide dans un récipient sous vide.
Données :
- Pression atmosphérique : Patm = 101 325 Pa
- Pression résiduelle : Présiduelle = 0,2 bar = 20 000 Pa
- Masse volumique du liquide : ρliquide = 1000 kg·m⁻³
La pression en A est la pression atmosphérique. Pour soutirer le liquide, il faut que la pression en B soit légèrement supérieure à celle en A.
D’après le principe de Pascal : PB = PA + ρ × g × h
Présiduelle = Patm + ρ × g × h
h > (Patm - Présiduelle) / (ρ × g) = (101 325 - 20 000) / (1000 × 9.81) = 8,3 m
La hauteur minimum de la colonne doit être supérieure à 8,3 mètres.
FAQ
- Qu’est-ce que le principe de Pascal ? Le principe de Pascal stipule que dans un fluide en équilibre, la pression exercée en un point se transmet intégralement et dans toutes les directions à tous les points du fluide. Cela permet de calculer les pressions et forces dans des systèmes hydrostatiques.
- Pourquoi la masse volumique influence-t-elle la pression ? La masse volumique (ρ) est un facteur clé dans le calcul de la pression hydrostatique (P = ρ × g × h). Plus elle est élevée, plus la pression augmente pour une même hauteur de fluide.
- Quelle est la formule pour calculer la hauteur d’un liquide dans un récipient connecté ? Pour des récipients connectés, la hauteur h2 d’un liquide de masse volumique ρ2 est donnée par : h2 = (ρ1 × h1) / ρ2, où ρ1 et h1 sont la masse volumique et la hauteur du liquide de référence.