Mécanique des Fluides : Polycopie mecanique des fluides.pdf
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© J. CARBONNET - M. ROQUES académie de Nancy-Metz Page 1 / 14 Terminale STL Physique de Laboratoire et Procédés Industriels MECANIQUE DES FLUIDES - Généralités - Dynamique des fluides incompressibles (F1) - Viscosité (F2) - Pertes de charge (F3) - Tension superficielle (F4)
GÉNÉRALITÉS
1 - Définition Un fluide peut être considéré comme étant formé d'un grand nombre de particules matérielles, très petites et libres de se déplacer les unes par rapport aux autres. Un fluide est donc un milieu matériel continu, déformable, sans rigidité et qui peut s'écouler. Parmi les fluides, on fait souvent la distinction entre liquides et gaz. 2 - Liquides et gaz Les liquides et gaz habituellement étudiés sont isotropes, mobiles et visqueux. La propriété physique qui permet de faire la différence entre les deux est la compressibilité. • l'isotropie assure que les propriétés sont identiques dans toutes les directions de l'espace. • la mobilité fait qu'ils n'ont pas de forme propre et qu'ils prennent la forme du récipient qui les contient. • la viscosité caractérise le fait que tout changement de forme d’un fluide réel s'accompagne d'une résistance (frottements). 3 - Forces de volume et forces de surface Comme tout problème de mécanique, la résolution d'un problème de mécanique des fluides passe par la définition du système matériel S, particules de fluide à l'intérieur d'une surface fermée limitant S. À ce système on applique les principes et théorèmes généraux de mécanique et thermodynamique : • principe de la conservation de la masse. • principe fondamental de la dynamique. • principe de la conservation de l'énergie. Fichier : Poly-mecaflu.doc
© J. CARBONNET - M. ROQUES académie de Nancy-Metz Page 2 / 14 tm qm ΔΔ =t Vq VΔ Δ
= DYNAMIQUE DES FLUIDES INCOMPRESSIBLES (F1) 1 - DEFINITIONS Le débit est le quotient de la quantité de fluide qui traverse une section droite de la conduite par la durée de cet écoulement. 1.1 - Débit-masse Si Δm est la masse de fluide qui a traversé une section droite de la conduite pendant le temps Δt, par définition le débit-masse est : unité : kg·s
-1 1.2 - Débit-volume Si ΔV est le volume de fluide qui a traversé une section droite de la conduite pendant le temps Δt, par définition le débit-volume est :
unité : m3 ·s-1 . 1.3 - Relation entre q
m et qV La masse volumique ρ est donnée par la relation :ρ= ΔΔ m
V d'où :Vm q qρ=
Remarques : Les liquides sont incompressibles et peu dilatables (masse volumique constante) ; on parle alors d'écoulements isovolumes. Pour les gaz, la masse volumique dépend de la température et de la pression. Pour des vitesses faibles (variation de pression limitée) et pour des températures constantes on retrouve le cas d'un écoulement isovolume. 1.4 - Écoulements permanents ou stationnaires Un régime d'écoulement est dit permanent ou stationnaire si les paramètres qui le caractérisent (pression, température, vitesse, masse volumique, ...), ont une valeur constante au cours du temps. Fichier : Poly-mecaflu.doc
© J. CARBONNET - M. ROQUES académie de Nancy-Metz Page 3 / 14 2 - Équation de conservation de la masse ou équation de continuité 2.1 - Définitions Ligne de courant : En régime stationnaire, on appelle ligne de courant la courbe suivant laquelle se déplace un élément de fluide. Une ligne de courant est tangente en chacun de ses points au vecteur vitesse du fluide en ce point. Tube de courant : Ensemble de lignes de courant s'appuyant sur une courbe fermée. Filet de courant : Tube de courant s'appuyant sur un petit élément de surface ΔS. La section de base ΔS du tube ainsi définie est suffisamment petite pour que la vitesse du fluide soit la même en tous ses points (répartition uniforme). 2.2 - Conservation du débit Considérons un tube de courant entre deux sections S
1 et S2 . Pendant l'intervalle de temps Δt, infiniment petit, la masse Δm
1 de fluide ayant traversé la section S
1 est la même que la masse Δm
2 ayant traversé la section S2 . 2m1m
qq= En régime stationnaire, le débit-masse est le même à travers toutes les sections
droites d'un même tube de courant. Dans le cas d'un écoulement isovolume (ρ = Cte) : 2v1v
qq= En régime stationnaire, le débit-volume est le même à travers toutes les sections
droites d'un même tube de courant 2.3 - Expression du débit en fonction de la vitesse v Le débit-volume est aussi la quantité de liquide occupant un volume cylindrique de base S et de longueur égale à v, correspondant à la longueur du trajet effectué pendant l'unité de temps, par une particule de fluide traversant S. Il en résulte la relation importante : S vqv =
2.4 - Vitesse moyenne En général la vitesse v n'est pas constante sur la section S d'un tube de courant ; on dit qu'il existe un profil de vitesse (à cause des forces de frottement). Le débit-masse ou le débit-volume s'obtient en intégrant la relation précédente : Dans une section droite S de la canalisation, on appelle vitesse moyenne v
m la vitesse telle que :S qv Vmoy =
La vitesse moyenne v
moy apparaît comme la vitesse uniforme à travers la section S qui assurerait le même débit que la répartition réelle des vitesses. Si l'écoulement est isovolume, cette vitesse moyenne est inversement proportionnelle à l'aire de la section droite. CteSvSvq
2moy21moy1V=== C'est l'équation de continuité. 12 21 SS vv = La vitesse moyenne est d'autant plus grande que la section est faible. ligne de courant
surface S entourant le point MΔ filet de courant
tube de courantM v
section S2 section S1 SSvmoy Fichier : Poly-mecaflu.doc
© J. CARBONNET - M. ROQUES académie de Nancy-Metz Page 4 / 14 CteHg Pz 2gv 2== ρ++ 3 - Théorème de BERNOULLI 3.1 - Le phénomène Observations • Une balle de ping-pong peut rester en suspension dans un jet d'air incliné. • Une feuille de papier est aspirée lorsqu'on souffle dessus. Conclusion : La pression d'un fluide diminue lorsque sa vitesse augmente. 3.2 - Théorème de Bernoulli pour un écoulement permanent d’un fluide parfait incompressible Un fluide parfait est un fluide dont l'écoulement se fait sans frottement. On considère un écoulement permanent isovolume d’un fluide parfait, entre les sections S
1 et S2 , entre lesquelles il n’y a aucune machine hydraulique, (pas de pompe, ni de turbine). Soit m la masse et V le volume du fluide qui passe à travers la section S1 entre les instants t et t+Δt. Pendant ce temps la même masse et le même volume de fluide passe à travers la section S2 . Tout se passe comme si ce fluide était passé de la position (1) à la position (2). En appliquant le théorème de l’énergie cinétique à ce fluide entre les instants t et t+Δt (la variation d’énergie cinétique est égale à la somme des travaux des forces extérieures : poids et forces pressantes), on obtient : Ctepgz2 v2 =+ρ+ρ
p est la pression statique
, gzρ est la pression de pesanteur, 2v 2
ρ est la pression cinétique. Tous les termes s’expriment en pascal. En divisant tous les termes de la relation précédente par le produit ρg, on écrit tous les termes dans la dimension d'une hauteur (pressions exprimées en mètres de colonne de fluide). H est la Hauteur totale, gP ρ est la Hauteur de Pression,
z est la cote
, 2gv 2 est la Hauteur cinétique, gP zρ + est la Hauteur piézomètrique. 3.3 - Cas d'un écoulement (1)→(2) sans échange de travail Lorsque, dans un écoulement d’un fluide parfait, il n'y a aucune machine (ni pompe ni turbine) entre les points (1) et (2) d'une même ligne de courant, la relation de Bernoulli peut s’écrire sous l'une ou l'autre des formes suivantes : ()()
0ppzz gvv 21 12122 12 2
=−+−ρ+−ρ)(ou ()() 0g pp)zz(vv g21 1212 21 22 =ρ −+−+− 3.4 - Cas d'un écoulement (1)→(2) avec échange d’énergie Lorsque le fluide traverse une machine hydraulique, il échange de l’énergie avec cette machine sous forme de travail ΔW pendant une durée Δt. La puissance P échangée est tW PΔ Δ
= Unités : P en watt (W), W en joule (J), t en seconde (s). • P > 0 si l’énergie est reçue par le fluide (ex. : pompe) ; • P< 0 si l’énergie est fournie par le fluide (ex. : turbine). Si le débit-volume est qv , la relation de Bernoulli s’écrit alors :()() v1212 21 22 qP ppzz gvv 21 =−+−ρ+−ρ)(12 pompeq vz z1 z2 0p 2
, v2 , S2 , z2 p1 , v1 , S1 , z1 Fichier : Poly-mecaflu.doc
© J. CARBONNET - M. ROQUES académie de Nancy-Metz Page 5 / 14 4 - Application du Théorème de Bernoulli : 4.1 - Tube de pitot On considère un liquide en écoulement permanent dans une canalisation et deux tubes plongeant dans le liquide, l'un débouchant en A face au courant, et l'autre en B est le long des lignes de courant, les deux extrémités étant à la même hauteur. Au point B, le liquide a la même vitesse v que dans la canalisation et la pression est la même que celle du liquide p
B = p. En A, point d'arrêt, la vitesse est nulle et la pression est pA . D'après le théorème de Bernoulli, A2 Bpv 21 p=ρ+soit ghv2 12 ρ=ρ En mesurant la dénivellation h du liquide dans les deux tubes, on peut en déduire la vitesse v d'écoulement du fluide. 4.2 - Phénomène de Venturi Un conduit de section principale S
A subit un étranglement en B où sa section est SB . La vitesse d’un fluide augmente dans l’étranglement, donc sa pression y diminue : v
B > v
A ⇒ p
B < pA Le théorème de Bernoulli s'écrit ici : 2CC 2BB 2AA v2 1pv 21 pv2 1
pρ+=ρ+=ρ+
D'après l'équation de continuité, vAABB
qSvSv== et AB
vv> donc BA
pp> 222 A2 BBA q kq S1 S1 21 pp=−ρ=−)(
La différence de pression aux bornes aux extrémités du tube de Venturi est proportionnelle au carré du débit ; application à la mesure des débits (organes déprimogènes). On peut citer aussi la trompe à eau, le pulvérisateur... 4.3 - Écoulement d'un liquide contenu dans un réservoir - Théorème de Torricelli Considérons un réservoir muni d'un petit orifice à sa base, de section s et une ligne de courant partant de la surface au point (1) et arrivant à l'orifice au point (2). En appliquant le théorème de Bernoulli entre les points (1) et (2), 222 211 21 pgz2 vpgz 2v +ρ+ρ=+ρ+ρ
Or p
1 = p
2 = pression atmosphérique. Et v1 <<v
2 d'où gz2v2 =
La vitesse d'écoulement est la même que la vitesse de chute libre entre la surface libre et l'orifice, quelle que soit la masse volumique du liquide. Application : vase de Mariotte à débit constant. hA BA Bz z2 z1 jet
paraboliquev 1=0v 2s Fichier : Poly-mecaflu.doc
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VISCOSITE(F2) 1 - Le phénomène 1.1 - Observations • L'eau, l'huile, le miel coulent différemment : l'eau coule vite, mais avec des tourbillons ; le miel coule lentement, mais de façon bien régulière. • La chute d'un parachutiste se fait à vitesse constante, contrairement à la loi de la chute libre. • La pression d'un liquide réel diminue tout au long d'une canalisation dans laquelle il s'écoule, même si elle est horizontale et de section uniforme, contrairement au théorème de Bernoulli. 1.2 - Conclusion • Dans un fluide réel, les forces de contact ne sont pas perpendiculaires aux éléments de surface sur lesquelles elles s'exercent. La viscosité est due à ces frottements qui s'opposent au glissement des couches fluides les unes sur les autres. • Les phénomènes dus à la viscosité des fluides ne se produisent que lorsque ces fluides sont en mouvement. 2 - Viscosité dynamique - Viscosité cinématique 2.1 - Profil des vitesses Sous l'effet des forces d'interaction entre les molécules de fluide et des forces d'interaction entre les molécules de fluide et celles de la paroi, chaque molécule de fluide ne s'écoule pas à la même vitesse. On dit qu'il existe un profil de vitesse. Si on représente par un vecteur, la vitesse de chaque particule située dans une section droite perpendiculaire à l'écoulement d'ensemble, la courbe lieu des extrémités de ces vecteurs représente le profil de vitesse. Le mouvement du fluide peut être considéré comme résultant du glissement des couches de fluide les unes sur les autres. La vitesse de chaque couche est une fonction de la distance z de cette courbe au plan fixe : v = v(z). 2.2 - Viscosité dynamique Considérons deux couches de fluide contiguës distantes de Δz. La force de frottement F qui s'exerce à la surface de séparation de ces deux couches s'oppose au glissement d'une couche sur l'autre. Elle est proportionnelle à la différence de vitesse des couches soit Δv, à leur surface S et inversement proportionnelle à Δz : Le facteur de proportionnalité η est le coefficient de viscosité dynamique du fluide. Dimension : [η] = M·L-1 ·T-1 . Unité : Dans le système international (SI), l'unité de viscosité dynamique est le Pascal seconde (Pa⋅s) ou Poiseuille (Pl) :
1 Pa·s = 1 Pl = 1 kg/m·s Autres unités (non légales) : On trouve encore les tables de valeurs numériques le coefficient de viscosité dans un ancien système d'unités (CGS) : l'unité est le Poise (Po) ; 1 Pl = 10 Po = 1 daPo = 10
3 cPo. La viscosité de produits industriels (huiles en particulier) est exprimée au moyen d'unités empiriques :
degré ENGLER en Europe,
degré Redwood en Angleterre, degré Saybolt aux USA. zΔvΔ SF.η=v maxv v+Δ vz z+Δ zv=0 Fichier : Poly-mecaflu.doc
© J. CARBONNET - M. ROQUES académie de Nancy-Metz Page 7 / 14 2.3 - Viscosité cinématique Dans de nombreuses formules apparaît le rapport de la viscosité dynamique η et de la masse volumique ρ. Ce rapport est appelé viscosité cinématique ν : νη ρ= Dimension : [ν] = L2 ·T-1 . Unité : Dans le système international (SI), l'unité de viscosité n'a pas de nom particulier : (m2 /s). Dans le système CGS (non légal)
, l'unité est le Stokes (St) : 1 m2 /s = 10
4 St 2.4 - Ordre de grandeur ; influence de la température Fluide η (Pa·s) eau (0 °C) 1,787 x 10–3 eau (20 °C) 1,002·x 10–3 eau (100 °C) 0,2818·x 10–3 huile d'olive (20 °C)
≈ 100·x 10–3 glycérol (20 °C) ≈ 1,0 H
2 (20 °C) 0,860·x 10–5 O2 (20 °C) 1,95·x 10–5 La viscosité des liquides diminue beaucoup lorsque la température augmente. Il n'existe pas de relation rigoureuse liant η et T. Contrairement à celle des liquides, la viscosité des gaz augmente avec la température. 3 - Mesurage de viscosités 3.1 - Viscosimètre d'Ostwald (voir T.P.) On mesure la durée d'écoulement t d'un volume V de liquide à travers un tube capillaire. On montre que la viscosité cinématique ν est proportionnelle à la durée t. Si on connaît la constante de l'appareil (K) fournie par le constructeur : ν = K·t Si on ne connaît pas cette constante, on la détermine préalablement à l'aide de l'eau. 3.2 - Viscosimètre à chute de bille ou viscosimètre d'Hoepler Une bille sphérique tombe lentement dans un tube bien calibré renfermant le liquide visqueux. On mesure la durée t que met la bille pour parcourir une certaine
distance.On montreque la
viscosité
dynamiqueη est
proportionnelle à la durée t : η = K·t 3.3 - Viscosimètre rotatif ou viscosimètre de Couette Un cylindre plein (A) tourne à vitesse constante dans un liquide contenu dans un récipient cylindrique (B) ; celui-ci, mobile autour de son axe de révolution, est entraîné par le liquide. Un ressort, exerçant un couple de torsion après avoir tourné d'un angle α, retient (B) en équilibre. On montre que la viscosité dynamique η est proportionnelle à l'angle α :
η = K·α 3.4 - Applications ; conséquences La propulsion par hélice d’un avion ou d’un bateau est possible grâce à la viscosité de l’air ou de l’eau. A cause de sa viscosité, la pression d’un fluide réel diminue en s’écoulant dans une canalisation ; cela nécessite parfois d’introduire des pompes à distance régulière tout au long de la canalisation. αA B
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© J. CARBONNET - M. ROQUES académie de Nancy-Metz Page 8 / 14 PERTES DE CHARGE (F3) 1 - Le phénomène Observations • La pression d'un liquide réel diminue tout au long d'une canalisation dans laquelle il s'écoule, même si elle est horizontale et de section uniforme, contrairement au théorème de Bernoulli. • La pression d'un fluide réel diminue après le passage à travers un coude, une vanne ou un rétrécissement. Conclusion • Un fluide réel, en mouvement, subit des pertes d'énergie dues aux frottements sur les parois de la canalisation (pertes de charge systématiques) ou sur les "accidents" de parcours (pertes de charge singulières). 2 - Les différents régimes d'écoulement : nombre de Reynolds Les expériences réalisées par Reynolds (1883) lors de l'écoulement d'un liquide dans une conduite cylindrique rectiligne dans laquelle arrive également un filet de liquide coloré, ont montré l'existence de deux régimes d'écoulement : laminaire et turbulent. En utilisant des fluides divers (viscosité différente), en faisant varier le débit et le diamètre de la canalisation, Reynolds a montré que le paramètre qui permettait de déterminer si l'écoulement est laminaire ou turbulent est un nombre sans dimension appelé nombre de Reynolds et donné par : ηρ =vD Re ou ν= vDRe avec :
ρ = masse volumique du fluide, v = vitesse moyenne, D = diamètre de la conduite η = viscosité dynamique du fluide, ν = viscosité cinématique νη ρ= L'expérience montre que : si Re < 2000 le régime est LAMINAIRE si 2000 < Re < 3000 le régime est intermédiaire si Re > 3000 le régime est TURBULENT Ces valeurs doivent être considérées comme des ordres de grandeur, le passage d'un type d'écoulement à un autre se faisant progressivement. 3 - Théorème de Bernoulli appliqué à un fluide réel avec pertes de charge Lors d'un écoulement d'un fluide réel il peut y avoir des pertes de charge entre les points (1) et (2) : dans le cas d’une installation ne comportant pas de machine hydraulique (pompe ou turbine) on écrira la relation de Bernoulli sous la forme : ()()
ppp)zz(gvvΔ−=−+−ρ+−ρ1212 21 22 21 • Δp représente l’ensemble des pertes de charge entre (1) et (2) exprimées en Pa. écoulement laminaire
écoulement turbulent
vue instantanée
écoulement turbulent
vue en posefilet coloré
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© J. CARBONNET - M. ROQUES académie de Nancy-Metz Page 9 / 14 4 - Expression des pertes de charge 4.1 - Influence des différentes grandeurs Lorsqu'on considère un fluide réel, les pertes d'énergie spécifiques ou bien comme on les appelle souvent, les pertes de charge dépendent de la forme, des dimensions et de la rugosité de la canalisation, de la vitesse d'écoulement et de la viscosité du liquide mais non de la valeur absolue de la pression qui règne dans le liquide. La différence de pression Δp = p
1 - p
2 entre deux points (1) et (2) d'un circuit hydraulique a pour origine : • Les frottements du fluide sur la paroi interne de la tuyauterie ; on les appelle pertes de charge régulières ou systématiques. • La résistance à l'écoulement provoquée par les accidents de parcours (coudes, élargissements ou rétrécissement de la section, organes de réglage, etc.) ; ce sont les pertes de charge accidentelles ou singulières. Le problème du calcul de ces pertes de charge met en présence les principales grandeurs suivantes : Le fluide caractérisé par : • sa masse volumique ρ.
• sa viscosité cinématique ν. Un tuyau caractérisée par : • sa section (forme et dimension) en général circulaire (diamètre D). -
• sa longueur L.
• sa rugosité k (hauteur moyenne des aspérités de la paroi). Ces éléments son