Ce document, intitulé « Cours et Exercices de Cristallographie », a été élaboré par Mr. Abbas Belfar de la Faculté de Physique de l'Université d'Oran des Sciences et de la Technologie - Mohamed Boudiaf. Destiné principalement aux étudiants de deuxième année LMD-SM en Science de la Matière, il constitue un support pédagogique essentiel pour l'étude des fondements de la cristallographie.
Cet ouvrage couvre les notions suivantes :
- Les généralités et les concepts de base des matériaux cristallins.
- Le réseau réciproque et la détermination des structures par diffraction des rayons X.
- Les principes de la symétrie dans les cristaux.
Chimie générale : Cours et exercices de cristallographie
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Cet ouvrage est le fruit de dix années d'enseignement de la cristallographie, destiné principalement aux étudiants de deuxième année LMD-SM en sciences de la matière. Il s'adresse également à tous les étudiants de l'enseignement supérieur souhaitant approfondir leurs connaissances en cristallographie.
Le contenu de ce manuscrit résume les notions essentielles sur la matière cristalline, préparant les étudiants à aborder d'autres disciplines des sciences des matériaux (comme l'optique cristalline, la physique atomique ou les défauts dans les matériaux). Il est structuré en quatre chapitres, chacun consolidé par une série d'exercices pour tester la compréhension et la maîtrise des notions présentées.
Vue d'ensemble des Chapitres
Chapitre 1 : Généralités et notions de base
Ce chapitre couvre des concepts fondamentaux tels que la maille, les indices de Miller, les systèmes cristallins et les réseaux de Bravais, indispensables pour l'étude de la cristallographie.
Chapitre 2 : Espaces utilisés en cristallographie
Dédié à la définition du réseau réciproque, une notion clé pour comprendre la diffraction des rayons X par les cristaux. Il présente également les équations liant les paramètres du réseau direct à ceux du réseau réciproque.
Chapitre 3 : Détermination des structures cristallines
Ce chapitre explore l'utilité des rayons X dans la détermination des structures cristallines, décrit la production des rayons X, et examine le phénomène de diffraction à travers les lois de Bragg et de Laue. La notion de facteur de structure est également introduite et illustrée par des exemples de calcul.
Chapitre 4 : La symétrie dans les cristaux
Ce dernier chapitre décrit la notion de symétrie des matériaux cristallins. Il présente les différentes opérations de symétrie pour des figures finies (comme la maille) et des figures périodiques infinies (le cristal), ainsi que des notions sur les 32 groupes ponctuels et les 230 groupes spatiaux.
Chapitre 1 : Généralités et notions de base
I. Introduction
La matière peut exister sous trois états : gazeux, liquide et solide. La forme sous laquelle se trouve la matière est déterminée par les interactions entre ses particules constitutives (atomes, molécules ou ions).
Les liquides et les gaz sont des fluides, déformables sous l'action de forces très faibles ; ils prennent la forme du récipient qui les contient. Les solides ont une forme propre, leur déformation exige des forces importantes.
Les solides peuvent exister sous deux états différents :
- L'état désordonné : caractérisé par une structure non ordonnée, c'est le cas des systèmes amorphes, par exemple les verres.
- L'état ordonné : caractérisé par une structure ordonnée, correspond aux solides cristallins.
II. Définition de la Cristallographie
Le terme « Cristallographie » vient du latin « crystallus » (cristal, objet de cristal, glace), lui-même dérivé du grec ancien « krystallos » (glace), et du grec « graphie » (écriture). La cristallographie est la science qui se consacre à l'étude des substances cristallines à l'échelle atomique. Les propriétés physico-chimiques d'un cristal sont étroitement liées à l'arrangement spatial des atomes dans la matière. L'état cristallin est défini par un caractère périodique et ordonné à l'échelle atomique ou moléculaire.
Quelques termes associés :
- Cristallographe (nom masculin ou féminin) : Personne qui se consacre à l'étude de la cristallographie.
- Cristallographique (adjectif) : Qui se rapporte à la cristallographie.
- Cristallogenèse (nom féminin) : Formation d'un cristal, que ce soit en milieu naturel ou de façon expérimentale.
- Cristal (nom masculin) : Solide polyédrique.
- Cristalliser (verbe) : Se former en cristal.
- Cristallisé(e) (adjectif) : Qui est sous forme de cristal.
- Cristallisation (nom féminin) : Action de cristalliser.
- Cristallin(e) (adjectif) : Relatif au cristal.
- Cristallier (nom masculin) : Personne qui cherche des cristaux.
- Recristalliser (verbe) : Produire des cristaux différents de ceux présents initialement dans une roche. La recristallisation est l'action de recristalliser.
III. Définition d'un cristal
III-1. Définition
Un cristal est un solide polyédrique, à structure régulière et périodique, formé d'un ensemble ordonné d'un grand nombre d'atomes, de molécules ou d'ions. Il est constitué d'un assemblage périodique de particules et peut être décrit par la translation, suivant les trois directions de référence, d'une entité de base appelée maille. La description du cristal nécessite la connaissance du réseau et celle du motif.
Il existe deux types de solides cristallisés :
- Les cristaux moléculaires : formés par des empilements réguliers de molécules, c'est le cas, par exemple, du diiode (I2), du dioxyde de carbone (CO2) ou de l'eau (H2O).
- Les cristaux macromoléculaires : dans lesquels la notion de molécule en tant qu'entité chimique indépendante est remplacée par le cristal lui-même, qui constitue alors une macromolécule. On classe parmi les cristaux macromoléculaires :
- les cristaux ioniques (NaCl, CsCl, CaF2, etc.) ;
- les cristaux covalents (carbone à l'état graphite et diamant, Si, Ge, etc.) ;
- les cristaux métalliques (Na, Fe, Cu, etc.).
III-2. Définition d'un polyèdre
Un polyèdre (du grec « polus », nombreux, et « hedra », face/base) est une forme géométrique à trois dimensions ayant des faces planes qui se rencontrent le long d'arêtes droites.
Les cinq polyèdres réguliers convexes, également connus sous le nom de solides de Platon, sont le tétraèdre, l'hexaèdre (ou cube), l'octaèdre, le dodécaèdre et l'icosaèdre.
IV. Maille, motif, réseau et structure cristalline
IV-1. Définition de la maille
D'un point de vue géométrique, à deux dimensions, la maille est le plus petit parallélogramme qui suffit à décrire le plan (c'est-à-dire à remplir tout le plan sans laisser de lacunes). Cette maille est définie par les vecteurs a et b et l'angle compris entre ces deux vecteurs.
À trois dimensions, la maille est la plus petite entité (le plus petit volume) correspondant à un parallélépipède. Elle est définie par trois vecteurs a, b et c (qui représentent les périodes suivant les axes ox, oy et oz, respectivement) non coplanaires, et par trois angles α, β et γ. Avec cette maille, on peut remplir tout l'espace du cristal sans laisser de lacunes.
D'un point de vue physique, une maille est le plus petit groupement de constituants (atomes, ions ou molécules) suffisant pour décrire l'intégralité du cristal.
Une maille cristalline quelconque (par exemple, la maille triclinique, où a ≠ b ≠ c et α ≠ β ≠ γ ≠ 90°) est définie par six paramètres cristallographiques : trois paramètres linéaires (les vecteurs a, b et c) et trois paramètres angulaires (les angles α, β et γ), définis comme suit : α = {b, c}, β = {a, c} et γ = {a, b}.
Le volume de cette maille est le module du produit mixte suivant :
V = (a, b, c) = a . (b ∧ c) = b . (c ∧ a) = c . (a ∧ b)
Ce qui donne l'expression de V comme suit :
V = a . b . c [ 1 - cos² α – cos² β – cos² γ + 2 cos α cos β cos γ ]¹/².
La position occupée par un atome dans la maille s'appelle un nœud. On distingue deux types de mailles : simple et multiple :
- Une maille simple contient des nœuds uniquement aux sommets de la maille.
- Une maille multiple contient des nœuds supplémentaires : soit au centre du volume, soit aux centres de toutes les faces, soit aux centres de deux faces opposées.
À trois dimensions, pour le système cubique, on distingue trois structures : cubique simple (cs), cubique centrée (cc), et cubique à faces centrées (cfc).
Structure des systèmes cubiques et nombre d'atomes par maille
Cubique simple (CS)
Maille simple (primitive). Nombre de nœuds : 1.
- Un huitième (1/8) à chaque sommet : 8 x (1/8) = 1
Cubique centrée (CC)
Maille multiple. Nombre de nœuds : 2.
- Un huitième (1/8) à chaque sommet : 8 x (1/8) = 1
- Un nœud au centre du cube : 1
Cubique à faces centrées (CFC)
Maille multiple. Nombre de nœuds : 4.
- Un huitième (1/8) à chaque sommet : 8 x (1/8) = 1
- Un demi (1/2) sur chaque face : 6 x (1/2) = 3
Comme choix pertinent pour une maille primitive, citons l'exemple de la maille de Wigner-Seitz (qui contient un seul nœud au centre). Elle est construite en traçant les segments qui relient un nœud particulier à tous ses voisins, puis en construisant les plans médians (ou les médiatrices en deux dimensions) de ces segments. La maille de Wigner-Seitz est alors le plus petit volume (ou la plus petite surface en 2D) enfermé par ces plans (ou médiatrices).
IV-2. Définition du réseau cristallin
Le réseau est engendré par la translation de la maille à l'aide des vecteurs de base ; tous les nœuds du réseau sont définis par cette translation. Autrement dit, le réseau cristallin est une notion purement géométrique, constitué de l'ensemble des points qui sont les extrémités de tous les vecteurs de translations possibles.
Un vecteur de translation s'écrit : T = u.a + v.b + w.c. Où u, v et w sont trois entiers, et a, b, c sont les trois périodes suivant les directions ox, oy et oz, respectivement.
IV-3. Définition du motif
Un motif est un atome (ion ou molécule) ou un groupement d'atomes de même nature ou de nature différente qui se répète périodiquement suivant les trois directions de l'espace pour décrire le cristal.
IV-4. Définition de la structure cristalline
De façon plus simple, on peut exprimer cela comme suit : Structure cristalline = Réseau + Motif.
V. Réseaux à trois dimensions (7 Systèmes cristallins et 14 réseaux de Bravais)
Bien avant la description atomique des cristaux, Auguste Bravais (en 1848), en recherchant mathématiquement les structures compatibles avec une périodicité tridimensionnelle, a montré que le nombre de systèmes cristallins possibles était très limité. Il a répertorié 14 types de réseaux, qui sont des variantes de seulement 7 systèmes cristallins.
Les 7 systèmes cristallins sont engendrés par les différentes combinaisons possibles des paramètres linéaires (a, b et c) et des paramètres angulaires (α, β et γ). Ainsi, dans la nature, seulement 7 formes polyédriques de base, ces 7 « briques élémentaires », permettent de construire l'infinité structurale des minéraux. Toutefois, si leurs formes sont semblables d'un minéral à l'autre, elles varient par leurs dimensions. Les longueurs, largeurs et hauteurs d'une maille sont spécifiques à chaque forme chimique cristalline.
FAQ sur la Cristallographie
Qu'est-ce que la cristallographie ?
La cristallographie est la science qui étudie les cristaux sous tous leurs aspects : leur formation, leur croissance, leur forme extérieure, leur structure interne à l'échelle atomique, et leurs propriétés physico-chimiques. Elle s'intéresse à l'arrangement périodique et ordonné des atomes, ions ou molécules.
Quelle est la différence entre une maille simple et une maille multiple ?
Une maille simple, également appelée primitive, ne contient des nœuds qu'à ses sommets. En revanche, une maille multiple contient des nœuds supplémentaires, qui peuvent être situés au centre du volume, aux centres de toutes les faces, ou aux centres de deux faces opposées, en plus des nœuds aux sommets.
Combien existe-t-il de systèmes cristallins et de réseaux de Bravais ?
Il existe 7 systèmes cristallins distincts, qui sont des classifications basées sur les relations entre les paramètres de maille (longueurs des arêtes a, b, c et angles entre elles α, β, γ). Ces 7 systèmes englobent un total de 14 réseaux de Bravais, qui représentent toutes les façons possibles d'arranger des points de manière périodique dans l'espace tridimensionnel, tout en respectant la symétrie de chaque système cristallin.