Probabilités et Statistiques : Probabilités conditionnelles Exercices corrigés
Télécharger PDFProbabilités Conditionnelles : Exercices Corrigés
Ce document présente des exercices de probabilités conditionnelles avec leurs solutions, destinés aux lycéens en classe de Terminale S1.
Exercice 1
Une compagnie d'assurance automobile fait un bilan des frais d'intervention parmi ses dossiers d'accidents de la circulation.
- 85 % des dossiers entraînent des frais de réparation matérielle.
- 20 % des dossiers entraînent des frais de dommages corporels.
- Parmi les dossiers entraînant des frais de réparation matérielle, 12 % entraînent des frais de dommages corporels.
Soient les événements suivants :
- R : « le dossier traité entraîne des frais de réparation matérielle » ;
- D : « le dossier traité entraîne des frais de dommages corporels ».
On choisit un dossier au hasard.
Dans tout l'exercice, les résultats seront donnés sous forme décimale, arrondis au millième près.
-
Tableau de probabilités et arbre pondéré
a. Compléter le tableau suivant des effectifs sur 100 dossiers :
Le tableau (représentant les effectifs sur 100) est structuré comme suit :
- Intersection D et R : 10,2
- Intersection D et non R : 9,8
- Total D : 20
- Intersection non D et R : 74,8
- Intersection non D et non R : 5,2
- Total non D : 80
- Total R : 85
- Total non R : 15
- Grand Total : 100
b. Compléter l'arbre pondéré représentant la situation.
L'arbre pondéré est le suivant :
- Branche R (P(R) = 0,85) :
- Vers D (P_R(D) = 0,12)
- Vers non D (P_R(non D) = 0,88)
- Branche non R (P(non R) = 0,15) :
- Vers D (P_nonR(D) = 0,653)
- Vers non D (P_nonR(non D) = 0,347)
La probabilité d'une branche est égale au produit des poids situés sur cette branche.
-
Calcul de probabilités
On choisit un dossier au hasard. Calculer la probabilité pour qu'un dossier :
a. entraîne des frais de réparation matérielle et des frais de dommages corporels ;
b. entraîne seulement des frais de réparation matérielle ;
c. entraîne seulement des frais de dommages corporels ;
d. n'entraîne ni frais de réparation matérielle ni frais de dommages corporels ;
e. entraîne des frais de réparation matérielle sachant qu'il entraîne des frais de dommages corporels.
-
Cas des excès de vitesse
On constate que 40 % des dossiers traités correspondent à des excès de vitesse et parmi ces derniers 60 % entraînent des frais de dommages corporels.
On note E : « le dossier traité correspond à un excès de vitesse ».
a. On choisit un dossier. Quelle est la probabilité p pour que ce dossier corresponde à un excès de vitesse et entraîne des frais de dommages corporels ?
b. On choisit cinq dossiers de façon indépendante. Quelle est la probabilité pour qu'au moins un dossier corresponde à un excès de vitesse et entraîne des frais de dommages corporels ?
c. Soit n un entier (n > 1). On choisit n dossiers de façon indépendante. Déterminer la valeur minimale de n pour que la probabilité qu'au moins un dossier corresponde à un excès de vitesse et entraîne des frais de dommages corporels, soit supérieure ou égale à 0,9.
Solution de l'Exercice 1
Voici les solutions détaillées pour l'exercice 1.
-
Tableau et arbre pondéré complétés
a. Le tableau complété des effectifs sur 100 dossiers est :
D non D Total R 10,2 74,8 85 non R 9,8 5,2 15 Total 20 80 100 b. L'arbre pondéré complété est :
- P(R) = 0,85 :
- P_R(D) = 0,12
- P_R(non D) = 0,88
- P(non R) = 0,15 :
- P_nonR(D) = 0,653 (calculé avec P(D) = P(D et R) + P(D et non R) => 0,20 = 0,12 * 0,85 + P_nonR(D) * 0,15 => 0,20 = 0,102 + P_nonR(D) * 0,15 => 0,098 = P_nonR(D) * 0,15 => P_nonR(D) = 0,098 / 0,15 ≈ 0,653)
- P_nonR(non D) = 1 - 0,653 = 0,347
- P(R) = 0,85 :
-
Calcul de probabilités
On utilise l'arbre pondéré :
a. La probabilité que le dossier entraîne des frais de réparation matérielle et des frais de dommages corporels est P(D ∩ R) = P_R(D) × P(R) = 0,12 × 0,85 = 0,102.
b. La probabilité que le dossier entraîne seulement des frais de réparation matérielle est P(non D ∩ R) = P_R(non D) × P(R) = 0,88 × 0,85 = 0,748.
c. La probabilité que le dossier entraîne seulement des frais de dommages corporels est P(D ∩ non R) = P_nonR(D) × P(non R) = 0,653 × 0,15 ≈ 0,098.
d. La probabilité que le dossier n'entraîne ni frais de réparation matérielle ni frais de dommages corporels est P(non D ∩ non R) = P_nonR(non D) × P(non R) = 0,347 × 0,15 ≈ 0,052.
e. La probabilité que le dossier entraîne des frais de réparation matérielle sachant qu'il entraîne des frais de dommages corporels est P_D(R) = P(D ∩ R) / P(D) = 0,102 / 0,2 = 0,51.
-
Cas des excès de vitesse
a. La probabilité p pour que ce dossier corresponde à un excès de vitesse et entraîne des frais de dommages corporels est p = P(D ∩ E) = P_E(D) × P(E) = (60/100) × (40/100) = 0,60 × 0,40 = 0,24.
b. On choisit cinq dossiers de façon indépendante. La probabilité qu'aucun des 5 dossiers ne corresponde à « un excès de vitesse et entraîne des frais de dommages corporels » est (1 - p)^5 = (1 - 0,24)^5 = (0,76)^5 ≈ 0,253.
Donc la probabilité pour qu'au moins un dossier corresponde à un excès de vitesse et entraîne des frais de dommages corporels est 1 - (1 - p)^5 = 1 - (0,76)^5 ≈ 1 - 0,253 = 0,747.
c. Soit n un entier (n > 1). On choisit n dossiers de façon indépendante. La probabilité pour qu'au moins un dossier corresponde à un excès de vitesse et entraîne des frais de dommages corporels est 1 - (1 - p)^n, soit 1 - (0,76)^n.
On doit résoudre l'inéquation : 1 - (0,76)^n > 0,9
Cela équivaut à : (0,76)^n < 0,1
En appliquant le logarithme népérien (ln) aux deux membres : n ln(0,76) < ln(0,1)
Puisque ln(0,76) < 0, on inverse le sens de l'inégalité en divisant : n > ln(0,1) / ln(0,76)
Calcul numérique : ln(0,1) / ln(0,76) ≈ (-2,302) / (-0,274) ≈ 8,39.
La valeur minimale de n pour que la probabilité soit supérieure ou égale à 0,9 est donc 9 (soit 9 dossiers).
Exercice 2
Un jeu consiste à lancer des fléchettes sur une cible. La cible est partagée en quatre secteurs : deux secteurs à 0 point, un secteur à 3 points et un secteur à 5 points.
On suppose que les lancers sont indépendants et que le joueur touche la cible à tous les coups.
-
Calcul des probabilités p0, p3, p5
On note p0 la probabilité d'obtenir 0 point, p3 la probabilité d'obtenir 3 points et p5 la probabilité d'obtenir 5 points. On a p0 + p3 + p5 = 1.
Sachant que p5 = (1/2)p3 et que p5 = (1/3)p0, déterminer les valeurs de p0, p3 et p5.
-
Gain de la partie
Une partie de ce jeu consiste à lancer trois fléchettes au maximum. Le joueur gagne la partie s'il obtient un total (pour les 3 lancers) supérieur ou égal à 8 points. Si au bout de 2 lancers, il a un total supérieur ou égal à 8 points, il ne lance pas la troisième fléchette.
On note G2 l'événement : « le joueur gagne la partie en 2 lancers ».
On note G3 l'événement : « le joueur gagne la partie en 3 lancers ».
On note P l'événement : « le joueur perd la partie ».
a. Montrer que p(G2) = 5/36. On admettra dans la suite que p(G3) = 7/36.
b. En déduire p(P).
-
Probabilité de gagner au moins une partie
Un joueur joue six parties avec les règles données à la question 2. Quelle est la probabilité qu'il gagne au moins une partie ?
-
Variable aléatoire du gain
Pour une partie, la mise est fixée à 2 €.
- Si le joueur gagne en deux lancers, il reçoit 5 €.
- S'il gagne en trois lancers, il reçoit 3 €.
- S'il perd, il ne reçoit rien.
On note X la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur pour une partie. Les valeurs possibles pour X sont donc : -2, 1 et 3.
a. Donner la loi de probabilité de X.
b. Déterminer l'espérance mathématique de X. Le jeu est-il favorable au joueur ?
Solution de l'Exercice 2
-
Valeurs de p0, p3 et p5
On sait que p5 = (1/2)p3, donc p3 = 2p5. De plus, p5 = (1/3)p0, donc p0 = 3p5.
Comme p0 + p3 + p5 = 1, on en déduit que 3p5 + 2p5 + p5 = 1 ⇔ 6p5 = 1 ⇔ p5 = 1/6.
Ainsi, p0 = 3 × (1/6) = 1/2, p3 = 2 × (1/6) = 1/3 et p5 = 1/6.
-
Probabilités de gagner ou perdre
a. Pour que G2 soit réalisé (gagner en 2 lancers), le total des points doit être supérieur ou égal à 8 dès le deuxième lancer. Les combinaisons possibles pour un total ≥ 8 en 2 lancers sont :
- (3, 5) : P = p3 × p5 = (1/3) × (1/6) = 1/18
- (5, 3) : P = p5 × p3 = (1/6) × (1/3) = 1/18
- (5, 5) : P = p5 × p5 = (1/6) × (1/6) = 1/36
La probabilité de gagner en 2 lancers est p(G2) = (1/18) + (1/18) + (1/36) = (2/36) + (2/36) + (1/36) = 5/36.
b. L'événement "le joueur perd la partie" est l'événement complémentaire de "le joueur gagne la partie en 2 ou 3 lancers". Ainsi, p(non P) = p(G2) + p(G3) car les événements G2 et G3 sont incompatibles.
p(non P) = 5/36 + 7/36 = 12/36 = 1/3.
D'où, p(P) = 1 - p(non P) = 1 - (1/3) = 2/3.
-
Probabilité de gagner au moins une partie sur six
Un joueur joue six parties avec les règles données. Les parties sont indépendantes.
La probabilité de perdre une partie est p(P) = 2/3.
La probabilité de perdre les six parties est (2/3)^6.
La probabilité de gagner au moins une des six parties est 1 - (2/3)^6 = 1 - 64/729 = 665/729.
-
Loi de probabilité et espérance de X
a. D'après les probabilités calculées :
- Gagner en 2 lancers (gain 5€, mise 2€, donc X = 3) : p(X=3) = p(G2) = 5/36.
- Gagner en 3 lancers (gain 3€, mise 2€, donc X = 1) : p(X=1) = p(G3) = 7/36.
- Perdre (gain 0€, mise 2€, donc X = -2) : p(X=-2) = p(P) = 2/3 = 24/36.
La loi de probabilité de X est :
k -2 1 3 p(X=k) 24/36 (soit 2/3) 7/36 5/36 b. L'espérance mathématique de X est :
E(X) = (-2) × p(X=-2) + 1 × p(X=1) + 3 × p(X=3)
E(X) = (-2) × (2/3) + 1 × (7/36) + 3 × (5/36)
E(X) = -4/3 + 7/36 + 15/36
E(X) = -4/3 + 22/36 = -4/3 + 11/18 = -24/18 + 11/18 = -13/18.
E(X) ≈ -0,72 €.
Puisque l'espérance mathématique est négative, le jeu est défavorable au joueur. En moyenne, le joueur perdra environ 0,72 € par partie.
Exercice 3
Une entreprise confie à une société de sondage par téléphone une enquête sur la qualité de ses produits.
On admet que lors du premier appel téléphonique, la probabilité que le correspondant ne décroche pas est 0,4 et que s'il décroche, la probabilité pour qu'il réponde au questionnaire est 0,3.
-
Probabilité de réponse au premier appel
On note :
- D1 l'événement : « la personne décroche au premier appel » ;
- R1 l'événement : « la personne répond au questionnaire lors du premier appel » .
Calculer la probabilité de l'événement R1.
-
Probabilité de réponse globale
Lorsqu'une personne ne décroche pas au premier appel, on la contacte une seconde fois. La probabilité pour que le correspondant ne décroche pas la seconde fois est 0,3 et la probabilité pour qu'il réponde au questionnaire sachant qu'il décroche est 0,2. Si une personne ne décroche pas lors du second appel, on ne tente plus de la contacter.
On note :
- D2 l'événement : « la personne décroche au second appel » ;
- R2 l'événement : « la personne répond au questionnaire lors du second appel » ;
- R l'événement : « la personne répond au questionnaire » .
Montrer que la probabilité de l'événement R est 0,236.
-
Probabilité conditionnelle de réponse
Sachant qu'une personne a répondu au questionnaire, calculer la probabilité pour que la réponse ait été donnée lors du premier appel. (On donnera la réponse arrondie au millième)
-
Taille de la liste de contact
Un enquêteur a une liste de n personnes à contacter (n > 1). Les sondages auprès des personnes d'une même liste sont indépendants.
a. Calculer en fonction de n, la probabilité qu'au moins une personne de la liste réponde au questionnaire.
b. Déterminer le nombre minimal de personnes que doit contenir la liste pour que la probabilité qu'au moins l'une d'entre elles réponde au questionnaire, soit supérieure à 0,9.
Solution de l'Exercice 3
Les solutions détaillées de l'exercice 3 sont présentées ci-dessous.
-
Probabilité de réponse au premier appel
En utilisant les données de l'exercice, nous pouvons établir les probabilités :
- P(non D1) = 0,4 (ne décroche pas au premier appel)
- P(D1) = 1 - P(non D1) = 0,6 (décroche au premier appel)
- P_D1(R1) = 0,3 (répond sachant qu'il a décroché au premier appel)
L'événement R1 correspond à l'événement « la personne décroche au premier appel et répond au questionnaire lors du premier appel ».
P(R1) = P_D1(R1) × P(D1) = 0,3 × 0,6 = 0,18.
La probabilité de l'événement R1 est 0,18.
-
Probabilité de réponse globale
Nous complétons l'arbre pondéré avec les informations du second appel :
- Si non D1 (probabilité 0,4) :
- P_nonD1(non D2) = 0,3 (ne décroche pas au second appel)
- P_nonD1(D2) = 1 - 0,3 = 0,7 (décroche au second appel)
- P_D2(R2) = 0,2 (répond sachant qu'il a décroché au second appel)
L'événement R (la personne répond au questionnaire) peut être réalisé de deux manières incompatibles :
- Soit elle répond au premier appel (événement D1 ∩ R1).
- Soit elle ne répond pas au premier appel (non R1) mais répond au second (événement non D1 ∩ D2 ∩ R2).
P(R) = P(D1 ∩ R1) + P(non D1 ∩ D2 ∩ R2)
P(R) = P_D1(R1) × P(D1) + P_nonD1(D2) × P(non D1) × P_D2(R2)
P(R) = (0,3 × 0,6) + (0,7 × 0,4 × 0,2)
P(R) = 0,18 + 0,056 = 0,236.
La probabilité de l'événement R est 0,236.
- Si non D1 (probabilité 0,4) :
-
Probabilité conditionnelle de réponse
Nous voulons calculer la probabilité que la réponse ait été donnée lors du premier appel, sachant qu'une personne a répondu au questionnaire. Cela correspond à P_R(R1).
P_R(R1) = P(R1 ∩ R) / P(R)
Puisque R1 est un sous-événement de R (si R1 est réalisé, alors R est forcément réalisé), P(R1 ∩ R) = P(R1).
Donc, P_R(R1) = P(R1) / P(R) = 0,18 / 0,236 ≈ 0,763.
Sachant qu'une personne a répondu au questionnaire, la probabilité pour que la réponse ait été donnée lors du premier appel est d'environ 0,763.
-
Taille de la liste de contact
a. La probabilité qu'une personne ne réponde pas au questionnaire est P(non R) = 1 - P(R) = 1 - 0,236 = 0,764.
Les sondages étant indépendants, la probabilité qu'aucune des n personnes ne réponde au questionnaire est (P(non R))^n = (0,764)^n.
La probabilité qu'au moins une personne de la liste réponde au questionnaire est l'événement contraire, soit 1 - (0,764)^n.
b. Nous devons déterminer le nombre minimal de personnes n pour que 1 - (0,764)^n > 0,9.
1 - (0,764)^n > 0,9
Cela équivaut à : (0,764)^n < 0,1
En appliquant le logarithme népérien (ln) aux deux membres : n ln(0,764) < ln(0,1)
Puisque ln(0,764) < 0, on inverse le sens de l'inégalité en divisant : n > ln(0,1) / ln(0,764)
Calcul numérique : ln(0,1) / ln(0,764) ≈ (-2,302) / (-0,269) ≈ 8,55.
On en déduit que la liste doit contenir au moins 9 personnes pour que la probabilité qu'au moins l'une d'entre elles réponde au questionnaire soit supérieure à 0,9.
Exercice 4
Dans un pays imaginaire, on admet qu'un jour donné soit il fait beau, soit il pleut !
S'il fait beau un jour, alors il fera beau le jour suivant avec une probabilité égale à 1/2. S'il pleut un jour, alors il pleuvra encore le lendemain avec une probabilité égale à 2/3. Aujourd'hui il pleut.
On s'intéresse à la probabilité qu'il fasse beau demain, dans 2 jours, dans 3 jours, ..., dans n jours.
-
Évolution de la météo et probabilités
Pour n > 1, on désigne par Bn l'événement « il fera beau dans n jours ».
a. Illustrer par un arbre pondéré l'évolution possible de la météo pour demain et après-demain. Donner P(B1) et calculer P(B2).
b. Donner, pour n > 1, les valeurs de P_Bn(B n+1) et P_nonBn(B n+1).
Exprimer P(B n+1 ∩ B n) et P(B n+1 ∩ non B n) en fonction de P(B n).
Prouver que, pour n > 1, P(B n+1) = (1/6)P(B n) + 1/3.
-
Suite géométrique et limite
On suppose désormais, pour n > 1, p n = P(B n) et u n = p n - 2/5.
a. Prouver que (u n) est une suite géométrique.
b. En déduire l'expression de u n, puis de p n en fonction de n, pour n > 1.
c. Étudier le sens de variation de la suite (p n) et montrer que cette suite admet une limite que l'on calculera. Interpréter ces résultats.
Solution de l'Exercice 4
Voici les solutions détaillées de l'exercice 4.
-
Évolution de la météo et probabilités
a. L'arbre pondéré pour l'évolution de la météo sachant qu'il pleut aujourd'hui est :
- Aujourd'hui : il pleut (événement non B0).
- Demain (B1 ou non B1) :
- Si non B0 (pleut aujourd'hui), alors P_nonB0(B1) = 1/3 (il fera beau demain).
- Si non B0 (pleut aujourd'hui), alors P_nonB0(non B1) = 2/3 (il pleuvra demain).
- Après-demain (B2 ou non B2) :
- Si B1 (beau demain), alors P_B1(B2) = 1/2 (il fera beau après-demain).
- Si B1 (beau demain), alors P_B1(non B2) = 1/2 (il pleuvra après-demain).
- Si non B1 (pleut demain), alors P_nonB1(B2) = 1/3 (il fera beau après-demain).
- Si non B1 (pleut demain), alors P_nonB1(non B2) = 2/3 (il pleuvra après-demain).
Puisqu'il pleut aujourd'hui, P(B1) = 1/3.
B1 et non B1 forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :
P(B2) = P(B2 ∩ B1) + P(B2 ∩ non B1)
P(B2) = P_B1(B2) × P(B1) + P_nonB1(B2) × P(non B1)
P(B2) = (1/2) × (1/3) + (1/3) × (2/3)
P(B2) = 1/6 + 2/9 = 3/18 + 4/18 = 7/18.
b. Pour n > 1 :
- Si P(Bn) (il fait beau le jour n), la probabilité qu'il fasse beau le jour n+1 est P_Bn(B n+1) = 1/2.
- Si P(non Bn) (il pleut le jour n), la probabilité qu'il fasse beau le jour n+1 est P_nonBn(B n+1) = 1/3.
Expressions en fonction de P(Bn) :
- P(B n+1 ∩ B n) = P_Bn(B n+1) × P(B n) = (1/2)P(B n).
- P(B n+1 ∩ non B n) = P_nonBn(B n+1) × P(non B n) = (1/3)(1 - P(B n)).
D'après la formule des probabilités totales, P(B n+1) = P(B n+1 ∩ B n) + P(B n+1 ∩ non B n).
P(B n+1) = (1/2)P(B n) + (1/3)(1 - P(B n))
P(B n+1) = (1/2)P(B n) + 1/3 - (1/3)P(B n)
P(B n+1) = (3/6 - 2/6)P(B n) + 1/3
P(B n+1) = (1/6)P(B n) + 1/3.
Cette relation est valable pour tout entier n > 1.
-
Suite géométrique et limite
a. Soit n > 1, on a u n = p n - 2/5.
u n+1 = p n+1 - 2/5
En utilisant la relation trouvée en 1.b, p n+1 = (1/6)p n + 1/3 :
u n+1 = (1/6)p n + 1/3 - 2/5
u n+1 = (1/6)p n + 5/15 - 6/15
u n+1 = (1/6)p n - 1/15
u n+1 = (1/6)p n - 2/30
u n+1 = (1/6)(p n - 2/5)
u n+1 = (1/6)u n.
Ainsi, pour tout entier n > 1, la suite (u n) est une suite géométrique de raison q = 1/6.
Son premier terme est u1 = p1 - 2/5 = P(B1) - 2/5 = 1/3 - 2/5 = 5/15 - 6/15 = -1/15.
b. L'expression de u n est u n = u1 × q^(n-1), soit u n = (-1/15) × (1/6)^(n-1) pour tout n > 1.
Comme u n = p n - 2/5, on a p n = u n + 2/5.
Donc, p n = (-1/15) × (1/6)^(n-1) + 2/5 pour tout n > 1.
c. Étude du sens de variation de la suite (p n) :
p n+1 - p n = [(-1/15) × (1/6)^n + 2/5] - [(-1/15) × (1/6)^(n-1) + 2/5]
p n+1 - p n = (-1/15) × (1/6)^n + (1/15) × (1/6)^(n-1)
p n+1 - p n = (1/15) × (1/6)^(n-1) × (1 - 1/6)
p n+1 - p n = (1/15) × (1/6)^(n-1) × (5/6)
p n+1 - p n = (1/18) × (1/6)^(n-1).
Puisque (1/18) > 0 et (1/6)^(n-1) > 0 pour tout n > 1, on en déduit que p n+1 - p n > 0. La suite (p n) est donc strictement croissante.
Étude de la limite de (p n) :
On sait que lim (n→+∞) q^n = 0 si -1 < q < 1. Comme la raison q = 1/6 est entre -1 et 1, lim (n→+∞) (1/6)^(n-1) = 0.
Par conséquent, lim (n→+∞) p n = 0 + 2/5 = 2/5.
Interprétation : À long terme, la probabilité qu'il fasse beau un jour donné tend vers 2/5 (soit 40 %). Indépendamment des conditions météorologiques initiales, le temps tend à se stabiliser avec 40 % de chance qu'il fasse beau.
Foire Aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'une probabilité conditionnelle ?
Une probabilité conditionnelle est la probabilité qu'un événement se réalise, sachant qu'un autre événement s'est déjà produit. Elle est notée P_A(B) ou P(B|A) et se calcule par la formule P(A ∩ B) / P(A).
À quoi sert un arbre pondéré en probabilités ?
Un arbre pondéré est un outil visuel qui permet de représenter toutes les issues possibles d'une succession d'événements et d'y associer leurs probabilités. Il est particulièrement utile pour calculer des probabilités d'intersections et des probabilités totales en décomposant les chemins.
Comment savoir si un jeu est favorable ou défavorable à un joueur ?
Pour déterminer si un jeu est favorable à un joueur, on calcule l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X représentant le gain algébrique du joueur. Si E(X) > 0, le jeu est favorable ; si E(X) < 0, il est défavorable ; si E(X) = 0, le jeu est équitable.