Probabilités et Statistiques : Probabilités conditionnelles Exercices corrigés
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Probabilit ́es conditionnelles
Exercices corrig ́es
Exercice 1
:(solution)
Une compagnie d’assurance automobile fait un bilan des frais d’intervention, parmi ses dossiers d’accidents de la
circulation.
85%des dossiers entraˆınent des frais de r ́eparation mat ́erielle. 20%des dossiers entraˆınent des frais de dommages
corporels. Parmi les dossiers entraˆınant des frais de r ́eparationmat ́erielle, 12%entraˆınent des frais de dommages
corporels.
Soit les ́ev ́enements suivants :R:«le dossier trait ́e entraˆıne des frais de r ́eparation mat ́erielle»;
D:«le dossier trait ́e entraˆıne des frais de dommages corporels».
On choisit un dossier au hasard.
Dans tout l’exercice, les r ́esultats seront donn ́essous forme d ́ecimale
, arrondis au milli`eme pr`es.
1. a. Recopier et compl ́eter le tableau.RRTotal DD Total85100
b. Recopier et compl ́eter l’arbre pond ́er ́e.R 0,85D 0,12D . . .R . . .D . . .D . . .
2. On choisit un dossier au hasard. Calculer la probabilit ́e pour qu’un dossier :
a. entraˆıne des frais de r ́eparation mat ́erielle et des frais de dommages corporels ;
b. entraˆıne seulement des frais de r ́eparation mat ́erielle ;
c. entraˆıne seulement des frais de dommages corporels ;
d. n’entraˆıne ni frais de r ́eparation mat ́erielle ni frais de dommages corporels ;
e. entraˆıne des frais de r ́eparation mat ́erielle sachant qu’ilentraˆıne des frais de dommages corporels.
3. On constate que 40% des dossiers trait ́es correspondent `a desexc`es de vitesse et parmi ces derniers 60%
entraˆınent des frais de dommages corporels.
On noteE:«le dossier trait ́e correspond `a un exc`es de vitesse».
a. On choisit un dossier. Quelle est la probabilit ́eppour que ce dossier corresponde `a un exc`es de vitesse et
entraˆıne des frais de dommages corporels ?
b. On choisit cinq dossiers de fa ̧con ind ́ependante. Quelle est la probabilit ́e pour qu’au moins un dossier
corresponde `a un exc`es de vitesse et entraˆıne des frais de dommages corporels ?
c. Soitnun entier (n>1). On choisitndossiers de fa ̧con ind ́ependante. D ́eterminer la valeur minimale de
npour que la probabilit ́e qu’au moins un dossier corresponde `a un exc`es de vitesse et entraˆıne des frais
de dommages corporels, soit sup ́erieure ou ́egale `a 0,9.
Attendre l’ ́etude de la fonction logarithme n ́ep ́erien pour r ́esoudre
cette question. Exercice 2
:(solution)
Un jeu consiste `a lancer des fl ́echettes sur une cible. La cible est partag ́ee en quatre secteurs, comme indiqu ́e sur
la figure ci-dessous.
1015 d ́ecembre 2013
Terminale S1 Probabilit ́es conditionnelles−exercices
0 point
5 points
0 point
3 points
On suppose que les lancers sont ind ́ependants et que le joueurtouche la cible `a tous les coups.
1. Le joueur lance une fl ́echette.
On notep0 la probabilit ́e d’obtenir 0 point.
On notep3 la probabilit ́e d’obtenir 3 points.
On notep5 la probabilit ́e d’obtenir 5 points.
On a doncp0 +p3 +p5 = 1.
Sachant quep5 =1 2p 3
et quep5 =1 3p 0
d ́eterminer les valeurs dep0 , p3 etp5 ·
2. Une partie de ce jeu consiste `a lancer trois fl ́echettes au maximum. Le joueur gagne la partie s’il obtient
un total (pour les 3 lancers) sup ́erieur ou ́egal `a 8 points. Siau bout de 2 lancers, il a un total sup ́erieur ou ́egal `a 8 points, il ne lance pas la troisi`eme fl ́echette.
On noteG2 l’ ́ev`enement :«le joueur gagne la partie en 2 lancers».
On noteG3 l’ ́ev`enement :«le joueur gagne la partie en 3 lancers».
On notePl’ ́ev`enement :«le joueur perd la partie».
On notep(A)la probabilit ́e d’un ́ev`enementA.
a. Montrer, en utilisant un arbre pond ́er ́e, quep(G2 ) =5 36. On admettra dans la suite quep(G3 ) =7 36
b. En d ́eduirep(P).
3. Un joueur joue six parties avec les r`egles donn ́ees `a la question 2.
Quelle est la probabilit ́e qu’il gagne au moins une partie ?
4. Pour une partie, la mise est fix ́ee `a 2e.
Si le joueur gagne en deux lancers, il re ̧coit 5e. S’il gagne en trois lancers, il re ̧coit 3e. S’il perd, il ne
re ̧coit rien.
On noteXla variable al ́eatoire correspondant au gain alg ́ebrique du joueur pour une partie. Les valeurs
possibles pourXsont donc :−2, 1 et 3.
a. Donner la loi de probabilit ́e deX.
b. D ́eterminer l’esp ́erance math ́ematique deX. Le jeu est-il favorable au joueur ?
Exercice 3
:(solution)
Une entreprise confie `a une soci ́et ́e de sondage par t ́el ́ephone une enquˆete sur la qualit ́e de ses produits.
On admet que lors du premier appel t ́el ́ephonique, la probabilit ́e que le correspondant ne d ́ecroche pas est0,4et
que s’il d ́ecroche, la probabilit ́e pour qu’il r ́eponde au questionnaire est0,3.
On pourra construire un arbre pond ́er ́e.
1. On note :•D 1
l’ ́ev ́enement :«la personne d ́ecroche au premier appel»;•R 1
l’ ́ev ́enement :«la personne r ́epond au questionnaire lors du premier appel».
Calculer la probabilit ́e de l’ ́ev ́enement R1 .
1015 d ́ecembre 2013
Terminale S1 Probabilit ́es conditionnelles−exercices
2. Lorsqu’une personne ne d ́ecroche pas au premier appel, on la contacte une seconde fois. La probabilit ́e pour que
le correspondant ne d ́ecroche pas la seconde fois est0,3et la probabilit ́e pour qu’il r ́eponde au questionnaire
sachant qu’il d ́ecroche est0,2. Si une personne ne d ́ecroche pas lors du second appel, on ne tente plus de la
contacter.
On note :•D 2
l’ ́ev ́enement :«la personne d ́ecroche au second appel»;•R 2
l’ ́ev ́enement :«la personne r ́epond au questionnaire lors du second appel»;
•R l’ ́ev ́enement :«la personne r ́epond au questionnaire».
Montrer que la probabilit ́e de l’ ́ev ́enement R est 0,236.
3. Sachant qu’une personne a r ́epondu au questionnaire, calculer la probabilit ́e pour que la r ́eponse ait ́et ́e donn ́ee
lors du premier appel. (on donnera la r ́eponse arrondie au milli`eme)
4. Un enquˆeteur a une liste denpersonnes `a contacter (n>1). Les sondages aupr`es des personnes d’une mˆeme
liste sont ind ́ependants.
a. Calculer en fonction den, la probabilit ́e qu’au moins une personne de la liste r ́epondeau questionnaire.
b. D ́eterminer le nombre minimal de personnes que doit contenirla liste pour que la probabilit ́e qu’au moins
l’une d’entre elles r ́eponde au questionnaire, soit sup ́erieure `a0,9.
Attendre l’ ́etude de la fonction logarithme n ́ep ́erien
pour r ́esoudre cette question. Exercice 4
:(solution)
Dans un pays imaginaire, on admet qu’un jour donn ́e soit il fait beau, soit il pleut !
S’il fait beau un jour, alors il fera beau le jour suivant avec uneprobabilit ́e ́egale `a1 2
. S’il pleut un jour, alors il
pleuvra encore le lendemain avec un probabilit ́e ́egale `a2 3. Aujourd’hui il pleut.
On s’int ́eresse `a la probabilit ́e qu’il fasse beau demain, dans 2 jours, dans 3 jours,. . ., dansnjours.
1. Pourn>1, on d ́esigne par Bn l’ ́ev ́enement«il fera beau dansnjours».
a. Illustrer par un arbre pond ́er ́e l’ ́evolution possible de lam ́et ́eo pour demain et apr`es demain. DonnerP(B1 )
et calculerP(B2 ).
b. Donner, pourn>1, les valeurs dePB n(B n+1)etP Bn (Bn+1 ).
ExprimerP(Bn+1 ∩Bn )etP( Bn+1 ∩B n) en fonction deP(Bn ).
Prouver que, pourn>1, P(Bn+1 ) =1 6P(B n
) +1 3. 2. On suppose d ́esormais, pourn>1, pn =P(Bn )etun =pn −2 5. a. Prouver que(un )est une suite g ́eom ́etrique.
b. En d ́eduire l’expression deun , puis depn en fonction den, pourn>1.
c. ́
Etudier le sens de variation de la suite(pn )et montrer que cette suite admet une limite que l’on calculera.
Peut-on interpr ́eter ces r ́esultats ?
1015 d ́ecembre 2013
Terminale S1 Probabilit ́es conditionnelles−exercices
Solution n ̊1:
Une compagnie d’assurance automobile fait un bilan des frais d’intervention, parmi ses dossiers d’accidents de la
circulation.
85%des dossiers entraˆınent des frais de r ́eparation mat ́erielle. 20%des dossiers entraˆınent des frais de dommages
corporels. Parmi les dossiers entraˆınant des frais de r ́eparationmat ́erielle, 12%entraˆınent des frais de dommages
corporels.
Soit les ́ev ́enements suivants :R:«le dossier trait ́e entraˆıne des frais de r ́eparation mat ́erielle»;
D:«le dossier trait ́e entraˆıne des frais de dommages corporels».
On choisit un dossier au hasard.
Dans tout l’exercice, les r ́esultats seront donn ́essous forme d ́ecimale
, arrondis au milli`eme pr`es.
1. a.RRTotal D10,29,820
D74,85,280
Total8515100b. R0,85 D0,12 D0,88 R0,15 D0,653 D0,347 La probabilit ́e d’une branche est ́egale au produit des poids situ ́es sur cette branche.
2. On utilise l’arbre pond ́er ́e.
a.P(D∩R) =PR (D)×P(R) = 0,12×0,85 = 0,102
La probabilit ́e que le dossier entraˆıne des frais de r ́eparation mat ́erielle et des frais de dommages cor-
porels est0,102.b.P( D∩R) =PR (D )
×P(R) = 0,88×0,85 = 0,748
La probabilit ́e que le dossier entraˆıne seulement des frais der ́eparation mat ́erielle est0,748.c.P(D∩ R) =PR (D)×P(
R) = 0,653×0,15 = 0,098
La probabilit ́e que le dossier entraˆıne seulement des frais dedommages corporels est0,098.
d.P(D∩R) =PR (D )×P( R) = 0,347×0,15 = 0,052
La probabilit ́e que le dossier n’entraˆıne ni frais de r ́eparation mat ́erielle ni frais de dommages corporels0,052. 1015 d ́ecembre 2013
Terminale S1 Probabilit ́es conditionnelles−exercicese.P D
(R) =P(D∩R) P(D)= 0,1020,2 = 0,51
La probabilit ́e que le dossier entraˆıne des frais de r ́eparation mat ́erielle sachant qu’il entraˆıne des frais
de dommages corporels est0,51.
3. a.p=P(D∩E) =PE (D)×P(E) =60 100× 40100 = 0,24
p= 0,24
La probabilit ́e pour que ce dossier corresponde `a un exc`es de vitesse et entraˆıne des frais de dommages
corporels estp= 0,24.
b. On choisit cinq dossiers de fa ̧con ind ́ependante. On est donc dans une situation d’ind ́ependance.
La probabilit ́e qu’aucun des 5 dossiers ne corresponde `a«un exc`es de vitesse et entraˆıne des frais de
dommages corporels»est(1−p)5 . Donc la probabilit ́e pour qu’au moins un dossier corresponde `a un exc`es
de vitesse et entraˆıne des frais de dommages corporels est1−(1−p)5 , soit0,746.
c. Soitnun entier (n>1). On choisitndossiers de fa ̧con ind ́ependante. On est donc dans une situation
d’ind ́ependance.
La probabilit ́e qu’aucun desndossiers ne corresponde `a«un exc`es de vitesse et entraˆıne des frais de
dommages corporels»est(1−p)n . Donc la probabilit ́e pour qu’au moins un dossier corresponde `a un
exc`es de vitesse et entraˆıne des frais de dommages corporels est1−(1−p)n , soit1−(0,76)n . D’o`u,
1−(0,76)n >0,9.
1−(0,76)n >0,9
⇐⇒(0,76)n 60,1
⇐⇒ln(0,76)n 6ln0,1
⇐⇒nln0,766ln0,1
⇐⇒n>ln0,1 ln0,76
car ln0,76<0Or, ln0,1ln0,76 ≈8,39. La valeur minimale denpour que la probabilit ́e qu’au moins un dossier corresponde
`a un exc`es de vitesse et entraˆıne des frais de dommages corporels, soit sup ́erieure ou ́egale `a 0,9, est 9 (9
dossiers).
Solution n ̊2: Un jeu consiste `a lancer des fl ́echettes sur une cible. La cible est partag ́ee en quatre secteurs, comme indiqu ́e sur
la figure ci-dessous.
0 point
5 points
0 point
3 points
On suppose que les lancers sont ind ́ependants et que le joueurtouche la cible `a tous les coups.
1. On sait quep5 =1 2p 3doncp 3
= 2p5 . De plus,p5 =1 3p 0doncp 0
= 3p5 .
1015 d ́ecembre 2013
Terminale S1 Probabilit ́es conditionnelles−exercicesCommep 0+p 3+p 5
= 1, on en d ́eduit que3p5 + 2p5 +p5 = 1⇐⇒6p5 = 1⇐⇒p5 =1 6Ainsi,p 0= 12 , p3 =1 3etp 5= 16 .
2. Une partie de ce jeu consiste `a lancer trois fl ́echettes au maximum. Le joueur gagne la partie s’il obtient
un total (pour les 3 lancers) sup ́erieur ou ́egal `a 8 points. Siau bout de 2 lancers, il a un total sup ́erieur ou ́egal `a 8 points, il ne lance pas la troisi`eme fl ́echette.
On noteG2 l’ ́ev`enement :«le joueur gagne la partie en 2 lancers».
On noteG3 l’ ́ev`enement :«le joueur gagne la partie en 3 lancers».
On notePl’ ́ev`enement :«le joueur perd la partie».
On notep(A)la probabilit ́e d’un ́ev`enementA.a. 0 point1 2
0 point1 2
3 points1 3
5 points1 6
3 points1 3
0 point1 2
3 points1 3
5 points1 6G 2
est r ́ealis ́e
5 points1 6
0 point1 2
3 points1 3G 2
est r ́ealis ́e
5 points1 6G 2
est r ́ealis ́e
Dans un arbre pond ́er ́e, la probabilit ́e d’une branche est ́egale au produit des probabilit ́es constituant
cette branche. D’o`u,p(G 2
) =1 3× 16 +1 6× 13 +1 6× 16 =⇒p(G2 ) =5 36. On admettra dans la suite quep(G3 ) =7 36b. Pest l’ ́ev ́enement«le joueur gagne en 2 ou 3 lancers». Ainsi,p(P) =p(G2 )+p(G3 )car les ́ev ́enementsG 2etG 3
sont incompatibles. On a doncp(
P) =1 3
. D’o`u,p(P) =2 3. 3. Un joueur joue six parties avec les r`egles donn ́ees `a la question 2.
En consid ́erant l’ ́ev ́enement contraire, puisque les lancers sont ind ́ependants
, la probabilit ́e de perdre les six
parties est( 23 )6 . On en d ́eduit que la probabilit ́e de gagner au moins une des six parties est1−( 23 )6 .
4. Pour une partie, la mise est fix ́ee `a 2e.
Si le joueur gagne en deux lancers, il re ̧coit 5e. S’il gagne en trois lancers, il re ̧coit 3e. S’il perd, il ne
re ̧coit rien.
a. D’apr`es les probabilit ́es calcul ́ees dans les questionspr ́ec ́edentes, la loi de probabilit ́e deXest :k−213 p(X=k)2 37 365 36
1015 d ́ecembre 2013
Terminale S1 Probabilit ́es conditionnelles−exercices
b. L’esp ́erance math ́ematique deXest
E(X) =−2×p(X=−2) + 1×p(X= 1) + 3×p(X= 3) =−13 18
≈−0,72. Si le joueur jouait un tr`es
grand nombre de parties alors son gain moyen serait de−0,72e. On peut dire que le jeu est d ́efavorable
au joueur.(Le joueur peut«esp ́erer»perdre)
Solution n ̊3: 1. En utilisant les donn ́ees de l’exercice, on peut construire l’arbre pond ́er ́e suivant :D 10,6 R1 0,3R 10,7 D1 0,4
La probabilit ́e d’une branche est ́egale au produit des poids situ ́es sur cette branche.
L’ ́ev ́enement R1 correspond `a l’ ́ev ́enement«la personne d ́ecroche au premier appel et r ́epond au questionnaire
lors du premier appel».P(D 1∩R 1
) =PD 1(R 1)×P(D 1
) = 0,6×0,3 = 0,18
La probabilit ́e de l’ ́ev ́enement R1 est0,18.
2. On compl`ete l’arbre pr ́ec ́edent :D 10,6 R1 0,3R 10,7 D1 0,4D 20,7 R2 0,2R 20,8 D2 0,3
La probabilit ́e d’une branche est ́egale au produit des poids situ ́es sur cette branche.
L’ ́ev ́enement R correspond `a l’ ́ev ́enement«la personne d ́ecroche au premier appel et r ́epond au questionnaire
lors du premier appel ou
la personne ne d ́ecroche pas au premier appel mais d ́ecroche au second et repond au
questionnaire lors du second appel».
P(R) =P(D1 ∩R1 ) +P(D 1∩D 2∩R 2
)car les ́ev ́enements D1 ∩R1 etD1 ∩D2 ∩R2 sont disjoints. Ces deux
derniers ́ev ́enements correspondent chacun `a une branche de l’arbre. Pour calculer la probabilit ́e correspondant
`a une branche, on multiplie les poids de cette branche.
D’o`uP(R) = 0,6×0,3 + 0,4×0,7×0,2 = 0,236
La probabilit ́e de l’ ́ev ́enement R est0,236.
1015 d ́ecembre 2013
Terminale S1 Probabilit ́es conditionnelles−exercices
3. Sachant qu’une personne a r ́epondu au questionnaire, la probabilit ́e pour que la r ́eponse ait ́et ́e donn ́ee lors
du premier appel correspond `aPR (R1 ).P R(R 1
) =P(R∩R 1) P(R)= P(R1 )P(R) =0,18 0,236≈0,763 Sachant qu’une personne a r ́epondu au questionnaire, la probabilit ́e pour que la r ́eponse ait ́et ́e donn ́ee lors
du premier appel est0,763.
4. a. On calcule dans un premier temps la probabilit ́e qu’aucune desnpersonnes ne r ́eponde au questionnaire.
La probabilit ́e qu’une personne ne r ́eponde pas au questionnaire estP(
R) = 1−P(R).
Les sondages aupr`es des personnes d’une mˆeme liste sont ind ́ependants
. Donc, la probabilit ́e qu’aucune des
npersonnes ne r ́eponde au questionnaire est(1−P(R))n .
Ainsi, par passage `a l’ ́ev ́enement contraire, la probabilit ́e qu’au moins une personne r ́eponde au question-
naire est1−( 1−P(R)) n
, soit1−0,764n .
b. On est ramen ́e `a r ́esoudre dans cette question, l’in ́equation1−0,764n >0,9.1−0,764 n
>0,9
⇐⇒ −0,764n >−0,1⇐⇒0,764 n60,1 ⇐⇒ln(0,764n )6ln0,1car la fonction ln est strictement croissante sur]0 ; +∞[
⇐⇒nln0,7646ln0,1
⇐⇒n>ln0,1 ln0,764
car ln0,764<0Or, ln0,1ln0,764 ≈8,55
On en d ́eduit que la liste doit contenir au moins 9 personnes pour que la probabilit ́e qu’au moins l’une
d’entre elle r ́eponde au questionnaire, soit sup ́erieure `a 0,9.
Solution n ̊4: 1. a.` A l’aide des informations donn ́ees dans l’ ́enonc ́e, on construit l’arbre pond ́er ́e suivant sachant qu’il pleut
aujourd’hui :B 11 3B 21 2B 21 2B 12 3B 21 3B 22 3
La probabilit ́e d’une branche est ́egale au produit des poids situ ́es sur cette branche.
On aP(B1 ) =1 3. B1 etB 1
forment une partition de l’univers. D’apr`es la formule des probabilit ́es totales,
1015 d ́ecembre 2013
Terminale S1 Probabilit ́es conditionnelles−exercicesP(B 2
) =P(B2 ∩B1 ) +P( B2 ∩B1 )=P B1 (B2 )×P(B1 ) +PB 1(B 2)×P (B 1) =1 2× 13 +1 3× 23 P(B2 ) =7 18
b. Soitn>1:
on aPB n(B n+1
) =1 2etP Bn (Bn+1 ) =1 3. DoncP(Bn+1 ∩Bn ) =PB n(B n+1)×P(B n
), soitP(Bn+1 ∩Bn ) =1 2P(B n). etP( Bn+1 ∩B n) =PB n(B n+1)×P (B n) =PB n(B n+1)× (1−P(B n) ), soitP(Bn+1 ∩Bn ) =1 3( 1−P(Bn )) .B net Bn forment une partition de l’univers. D’apr`es la formule des probabilit ́es totales,P(B n+1
) =P(Bn+1 ∩Bn ) +P( Bn+1 ∩B n) =1 2P(B n
) +1 3( 1−P(Bn )) =1 6P(B n
) +1 3
Ainsi, pour tout entiern>1, P(Bn+1 ) =1 6P(B n
) +1 3. 2. Pourn>1, pn =P(Bn )etun =pn −2 5. a. Soitn>1:u n+1=p n+1− 25 =1 6p n+ 13 −2 5
d’apr`es la question 1.b= 16 pn −1 15= 16 pn −2 30= 16 (p n− 25 )= 16 un Ainsi, pour tout entiern>1, un+1 =1 6u n
. la suite(un )est une suite g ́eom ́etrique de raisonq=1 6
et de
premier termeu1 =p1 −2 5= 13 −2 5=− 115 .
b. Puisque(un )est une suite g ́eom ́etrique de raisonq=1 6
et de premier termeu1 =−1 15
, on aun =u1 ×qn−1 soitun =−1 15× (1 6) n−1
,∀n>1.Commeu n=p n− 25 ,∀n>1, on apn =un +2 5soitp n=− 115 ×( 16 )n−1 +2 5
,∀n>1.
c. Soitn>1:p n+1−p n=− 115 ×( 16 )n +2 5− (− 115 ×( 16 )n−1 +2 5) =1 15× (1 6) n−1× (1− 16 )= 118 ×( 16 )n−1 On en d ́eduit quepn+1 −pn >0,∀n>1. La suite(pn )est donc croissante.
1015 d ́ecembre 2013
Terminale S1 Probabilit ́es conditionnelles−exercices
On sait que limn→+∞ qn = 0si−1< q <1. Comme−1<1 6
<1, on a limn→+∞ (1 6) n−1
= 0. Ainsi,lim n→+∞p n= 25 par somme et produit.
L’interpr ́etation est sujette `a discussion.
0/1015 d ́ecembre 2013