Electricité: Electrocinetique : Exercices corrigés théorème de kennely electrocinetique
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Télécharger packPage 1 Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique ELECTROCINETIQUE EXERCICE
-EXERCICE 2.2- ••• • ENONCE : « Théorème de Kennely » AB CAB RBC RAC RA BC Ar Br Cr Soit un réseau comportant 3 bornes A,B,C et constitué de 3 résistances montées en « triangle » ; nous allons montrer qu’il existe un réseau équivalent pour l’extérieur, constitué de 3 résistances montées en « étoile ». 1) Etablir la relation de passage triangle
→ étoile, c’est-à-dire exprimer les résistances ,,ABC rrr en fonction des résistances ,,ABBCAC RRR. 2) Donner la relation de passage étoile
→ triangle, en faisant intervenir cette fois les conductances. 3) Quelle vous semble être la plus utile pour les montages usuels ? Page 2 Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique ELECTROCINETIQUE EXERCICE• ••
• CORRIGE : « Théorème de Kennely » 1) Nous allons exprimer le fait que, du point de vue de l’extérieur, les résistances entre 2 bornes quelconques A,B,C (la 3
ème étant « en l’air ») doivent être égales 2 à 2 ; commençons par mettre la borne C en l’air, nous avons les schémas équivalents : ABR BCR ACR AB CA rB rC rA CB • Entre les bornes A et B, la résistance équivalente vaut d’une part : ()()() ABACBCABACABBC
eqABACBC
ABACBCABACBCRRRRRRR RABRRRRRRRRR ×++=⊕== ++++
! D’autre part :() eqABRABrr=+ (la résistance C
r n’intervient pas, puisque C est en l’air) • En menant le même raisonnement pour les couples de bornes A et C, puis B et C, il vient :
(1) ;
(2) ;(3) ABACABBCACABACBCBCABBCACABACBC ABACBCABACBCABACBC
RRRRRRRRRRRRrrrrrr RRRRRRRRR+++ +=+=+=++++++ • En faisant (1)+(2)-(3), on obtient 2A r ; on procède de même pour et BC
rr, ce qui donne :; ;
ABACABBCACBCABC ABACBCABACBCABACBCRRRRRR rrr
RRRRRRRRR××× ===++++++ Rq : chaque résistance de l’étoile partant d’une borne donnée, est le produit des 2 résistances du triangle partant de la même borne, divisé par la somme des 3 résistances du triangle. 2) Travaillons cette fois avec les conductances ; avec la borne C en l’air, on a : ()ACBCAB eqABACBCAB GGggGABG GGgg×× =+=++ , avec : 11 et ABAABA GgRr == etc... (rappelons que des conductances en parallèle s’ajoutent, alors que ce sont leurs inverses que l’on somme lorsqu’elles sont en série) • De même :et ABBCACABACBCACBC ABBCACABACBC
GGggGGggGG GGggGGgg×××× +=+=
++++ ; après calculs :; ;ACBCAB ABACBC
ABCABCABCgggggg GGG
ggggggggg××× ===++++++ 3) On utilise plus fréquemment la transformation triangle→ étoile, car elle permet en général de réduire le nombre de mailles.