Ce document d'électrocinétique est destiné aux étudiants universitaires souhaitant maîtriser le Théorème de Kennelly, un outil fondamental en analyse de circuits.
Il propose un exercice corrigé détaillé couvrant les aspects clés de cette transformation, notamment :
- L'établissement des relations de passage triangle vers étoile (en résistances).
- L'établissement des relations de passage étoile vers triangle (en conductances).
- Une discussion sur l'utilité des différentes transformations pour la simplification des montages usuels.
Ce travail vise à renforcer la compréhension et l'application pratique de ces concepts.
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Énoncé : Théorème de Kennelly
Soit un réseau comportant trois bornes A, B, C et constitué de trois résistances montées en « triangle » (notées RAB, RBC, RCA). Nous allons montrer qu'il existe un réseau équivalent pour l'extérieur, constitué de trois résistances montées en « étoile » (notées rA, rB, rC).
- Établir la relation de passage triangle vers étoile, c'est-à-dire exprimer les résistances rA, rB, rC en fonction des résistances RAB, RBC, RCA.
- Donner la relation de passage étoile vers triangle, en faisant intervenir cette fois les conductances (notées gA, gB, gC pour l'étoile et GAB, GBC, GCA pour le triangle).
- Quelle transformation vous semble être la plus utile pour les montages usuels ?
Corrigé : Théorème de Kennelly
1) Relation de passage triangle vers étoile (en résistances)
Nous allons exprimer le fait que, du point de vue de l'extérieur, les résistances équivalentes entre deux bornes quelconques (la troisième étant "en l'air" ou non connectée) doivent être égales pour les deux configurations (triangle et étoile).
Commençons par mettre la borne C en l'air. Nous avons les schémas équivalents :
- Pour la connexion en triangle (entre A et B, C étant ouverte), la résistance équivalente Req_AB est la résistance RAB en parallèle avec la série (RAC + RBC).
Req_AB (triangle) = (RAB * (RAC + RBC)) / (RAB + RAC + RBC)
- Pour la connexion en étoile (entre A et B, C étant ouverte), la résistance équivalente Req_AB est la somme de rA et rB (car rC n'intervient pas, puisque la borne C est en l'air).
Req_AB (étoile) = rA + rB
En égalant ces deux expressions, nous obtenons la première équation :
(1) rA + rB = (RAB * (RAC + RBC)) / (RAB + RAC + RBC)
En menant le même raisonnement pour les couples de bornes A et C (B en l'air), puis B et C (A en l'air), il vient :
(2) rA + rC = (RAC * (RAB + RBC)) / (RAB + RAC + RBC)
(3) rB + rC = (RBC * (RAB + RAC)) / (RAB + RAC + RBC)
En combinant ces équations (par exemple, en faisant (1) + (2) - (3)), on obtient 2 * rA. En procédant de même pour rB et rC, on aboutit aux relations de transformation triangle vers étoile :
rA = (RAB * RAC) / (RAB + RBC + RCA)
rB = (RAB * RBC) / (RAB + RBC + RCA)
rC = (RAC * RBC) / (RAB + RBC + RCA)
Remarque : Chaque résistance de l'étoile partant d'une borne donnée est le produit des deux résistances du triangle partant de la même borne, divisé par la somme des trois résistances du triangle.
2) Relation de passage étoile vers triangle (en conductances)
Travaillons cette fois avec les conductances. Rappelons que la conductance est l'inverse de la résistance (G = 1/R ou g = 1/r). Il est utile de se souvenir que des conductances en parallèle s'ajoutent, tandis que pour des conductances en série, l'inverse de la conductance équivalente est la somme des inverses des conductances individuelles.
Pour la transformation étoile vers triangle en utilisant les conductances (où gA, gB, gC sont les conductances des branches de l'étoile et GAB, GBC, GCA sont celles des branches du triangle), les relations sont les suivantes :
GAB = (gA * gB + gB * gC + gC * gA) / gC
GBC = (gA * gB + gB * gC + gC * gA) / gA
GCA = (gA * gB + gB * gC + gC * gA) / gB
Ces formules permettent de passer d'une configuration étoile à une configuration triangle en termes de conductances. Elles sont particulièrement utiles lorsque les calculs impliquant des conductances deviennent plus simples, par exemple, pour des associations d'éléments en parallèle.
3) Utilité des transformations pour les montages usuels
On utilise plus fréquemment la transformation triangle vers étoile, car elle permet en général de réduire le nombre de mailles dans un circuit, ce qui simplifie grandement l'analyse par les lois de Kirchhoff ou d'autres méthodes d'analyse de réseaux.
Foire Aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce que le théorème de Kennelly (transformation étoile-triangle) ?
Le théorème de Kennelly, aussi connu sous le nom de transformation étoile-triangle (ou delta-étoile), est une méthode qui permet de simplifier l'analyse des circuits électriques complexes. Il établit qu'un réseau de trois résistances connectées en triangle (ou delta) peut être remplacé par un réseau équivalent de trois résistances connectées en étoile, et vice-versa, sans modifier le comportement du circuit vu de ses trois bornes de connexion externes.
Pourquoi utiliser la transformation étoile-triangle ou triangle-étoile ?
Ces transformations sont principalement utilisées pour simplifier les circuits électriques et faciliter leur analyse. La transformation triangle vers étoile est souvent préférée car elle peut réduire le nombre de mailles d'un circuit, ce qui simplifie considérablement l'application des lois de Kirchhoff. La transformation étoile vers triangle peut également être utile pour rendre des éléments en série ou en parallèle, facilitant ainsi d'autres types de calculs d'équivalence de circuit.
Quand est-il préférable d'utiliser les conductances plutôt que les résistances pour ces transformations ?
Bien que les transformations puissent être exprimées indifféremment en termes de résistances ou de conductances, l'utilisation des conductances est souvent avantageuse lorsque le circuit comporte de nombreuses branches en parallèle. Dans ces cas, les calculs de conductances s'additionnent directement pour les branches en parallèle, ce qui peut simplifier les équations et les manipulations mathématiques par rapport à l'utilisation des résistances.