Mécanique des Fluides : Suite série n°5 travaux diriges de mecanique des fluides
Télécharger PDFExercice 1 : Écoulement plan d’un fluide
On considère un écoulement plan d’un fluide, défini en description d’Euler, par le champ des vitesses donné par : vx = u0 et vy = v0 sin(ωt), où u0 et v0 sont des constantes positives.
1°/ L’écoulement est-il permanent ?
Un écoulement est permanent si le champ des vitesses ne dépend pas du temps. Ici, vy dépend explicitement de t (sin(ωt)), donc l’écoulement n’est pas permanent.
2°/ Le champ des vitesses, à un instant t donné, dépend-il de la position ?
Le champ des vitesses est donné par vx = u0 (constante) et vy = v0 sin(ωt) (ne dépend pas de x ou y). Ainsi, à un instant t donné, le champ des vitesses ne dépend pas de la position.
3°/ Déterminer l’équation des lignes de courant pour t = t1 ?
Les lignes de courant sont définies par dy/dx = vy/vx = (v0 sin(ωt1))/u0. L’équation des lignes de courant est donc y = (v0 sin(ωt1)/u0)x + C, où C est une constante.
4°/ Déterminer l’équation des trajectoires.
Les trajectoires sont définies par dx/dt = vx = u0 et dy/dt = vy = v0 sin(ωt). En intégrant, on obtient : x(t) = u0t + C1 y(t) = - (v0 cos(ωt))/ω + C2 où C1 et C2 sont des constantes.
Trajectoire de la particule passant par O(x=0, y=0) à t=0
Pour t=0, la particule est au point O(0,0). Les conditions initiales donnent C1 = 0 et C2 = v0/ω. L’équation de la trajectoire est donc : y(t) = - (v0 cos(ωt))/ω + v0/ω = (v0/ω)(1 - cos(ωt)).
5°/ Déterminer l’accélération d’une particule fluide
a/ Méthode de Lagrange
L’accélération est donnée par ax = d2x/dt2 = 0 et ay = d2y/dt2 = -v0ω sin(ωt). Ainsi, a = (0, -v0ω sin(ωt)).
b/ Méthode d’Euler
L’accélération est donnée par ax = ∂vx/∂t = 0 et ay = ∂vy/∂t = v0ω cos(ωt). Ainsi, a = (0, v0ω cos(ωt)).
Exercice 2 : Écoulement plan d’un fluide avec champ des vitesses donné
On considère un écoulement plan d’un fluide, défini en description d’Euler, par le champ des vitesses donné par : vx(x,y,t) = -k0y exp(-αt) et vy(x,y,t) = k0x, où k0 et α sont des constantes avec α > 0.
1°/ Quelle est la dimension de k0 et de α ?
Pour que vx et vy aient la dimension d’une vitesse (L T-1), k0 doit avoir la dimension L2 T-1 et α la dimension T-1.
2°/ Caractéristiques de l’écoulement
a/ L’écoulement est-il permanent ?
L’écoulement n’est pas permanent car vx dépend explicitement du temps t (exp(-αt)).
b/ L’écoulement est-il incompressible ?
La divergence du champ des vitesses est donnée par div(v) = ∂vx/∂x + ∂vy/∂y = 0 + k0 = k0. Pour un écoulement incompressible, div(v) = 0. Ici, div(v) ≠ 0, donc l’écoulement n’est pas incompressible.
c/ L’écoulement est-il irrotationnel ?
Le rotationnel du champ des vitesses est donné par rot(v) = ∂vy/∂x - ∂vx/∂y = k0 - (-k0) = 2k0. Pour un écoulement irrotationnel, rot(v) = 0. Ici, rot(v) ≠ 0, donc l’écoulement n’est pas irrotationnel.
3°/ Équation des lignes de courant
Les lignes de courant sont définies par dy/dx = vy/vx = (k0x)/(-k0y exp(-αt)) = -x/(y exp(-αt)). À t=0, dy/dx = -x/y, donc y = C1x-1, où C1 est une constante.
Quand t → +∞, vx → 0 et vy = k0x. Les lignes de courant deviennent horizontales : y = C2.
4°/ Calcul de l’accélération d’une particule fluide
L’accélération est donnée par ax = ∂vx/∂t = -k0y(-α)exp(-αt) = αk0y exp(-αt) et ay = ∂vy/∂t = 0. Ainsi, a = (αk0y exp(-αt), 0).
Exercice 3 : Écoulement avec champ des vitesses donné
On considère un écoulement d’un fluide dont le champ des vitesses en un point M(x,y) est donné par : Vx = 6x2y et Vy = 2x3.
1) L’écoulement est-il permanent ou transitoire ?
L’écoulement est permanent car Vx et Vy ne dépendent pas explicitement du temps t.
2) Calculer l’expression de la divergence de la vitesse.
La divergence est donnée par div(V) = ∂Vx/∂x + ∂Vy/∂y = 12xy + 0 = 12xy. Pour un écoulement incompressible, div(V) = 0. Ici, div(V) ≠ 0, donc l’écoulement est compressible.
3) Calculer l’expression du rotationnel de la vitesse.
Le rotationnel est donné par rot(V) = ∂Vy/∂x - ∂Vx/∂y = 6x2 - 6x2 = 0. L’écoulement est irrotationnel car rot(V) = 0.
4) Déterminer la fonction potentiel des vitesses φ(x,y) si elle existe.
Pour un écoulement irrotationnel, Vx = ∂φ/∂x et Vy = ∂φ/∂y. En intégrant Vx = 6x2y, on obtient φ(x,y) = ∫6x2y dx = 2x3y + f(y). En dérivant par rapport à y, on obtient ∂φ/∂y = 2x3 + f'(y) = Vy = 2x3. Ainsi, f'(y) = 0 et f(y) = C, où C est une constante. La fonction potentiel est donc φ(x,y) = 2x3y + C.
5) Déterminer l’équation des lignes de courant.
Les lignes de courant sont définies par dy/dx = Vy/Vx = (2x3)/(6x2y) = x/(3y). En séparant les variables et intégrant, on obtient : ∫3y dy = ∫x dx → (3/2)y2 = (1/2)x2 + C → y2 = (x2)/3 + C'. Les lignes de courant sont donc des courbes de la forme y2 = (x2)/3 + C', où C' est une constante.
FAQ
Qu’est-ce qu’un écoulement permanent ?
Un écoulement permanent est un mouvement fluide où le champ des vitesses ne change pas avec le temps, c’est-à-dire que vx(x,y,t) = vx(x,y) et vy(x,y,t) = vy(x,y).
Quelle est la différence entre lignes de courant et trajectoires ?
Les lignes de courant représentent l’ensemble des points où le vecteur vitesse est tangent à la courbe à un instant donné. Les trajectoires, quant à elles, représentent le chemin suivi par une particule fluide au cours du temps.
Comment vérifier si un écoulement est incompressible ?
Un écoulement est incompressible si la divergence du champ des vitesses est nulle, c’est-à-dire div(V) = ∂Vx/∂x + ∂Vy/∂y = 0.