Mécanique des Fluides : Td 12 mécanique des fluides pdf
Télécharger PDFExercice 1 : Effet Venturi
On insère dans une canalisation de section S1 un tube dit « de Venturi » de section S2. Le fluide s’écoulant en régime permanent dans la canalisation est de l’eau, considérée comme un fluide parfait et incompressible. On considère que les vitesses sont uniformes dans chaque section droite du tube. L’axe de la canalisation est horizontal et deux tubes verticaux (T1) et (T2) jouent le rôle de capteurs de pression. On observe une dénivellation de hauteur h entre les surfaces libres de l’eau des tubes (T1) et (T2) ouverts à l’air. On note P0 la pression atmosphérique, P1 la pression et v1 la vitesse de l’écoulement en amont du tube de Venturi. A1 est un point à la base du tube (T1) et A2 est un point à la base du tube (T2).
1. Théorème de Bernoulli et vitesses v1, v2 et v3
Appliquer le théorème de Bernoulli entre A1 et A2 pour exprimer les vitesses v1, v2 et v3 en fonction de g, h, S1 et S2.
2. Débit volumique Dv
Exprimer le débit volumique Dv en fonction de g, h, S1 et S2.
3. Application numérique
S1 = 50 cm² ; S2 = 30 cm² ; h = 1,25 m.
4. Intérêt pratique du tube de Venturi
Quel est l’intérêt pratique d’un tel dispositif ?
5. Démonstration de l’effet Venturi
Quand les lignes de courant se rapprochent, la pression diminue. Démontrer ce phénomène et donner des applications de cet effet.
Exercice 2 : Tube de Pitot
Les tubes de Pitot sont utilisés en aéronautique pour mesurer la vitesse d’un avion. Ils sont constitués d’un tube très fin placé parallèlement à la direction de l’écoulement de l’air. Les orifices A et B permettent des prises de pression. On considère que l’air est un fluide parfait, incompressible et en écoulement stationnaire. On se place dans le référentiel de l’avion. La masse volumique, la vitesse et la pression de l’air loin du tube sont notées respectivement ρ0, v0 et P0.
1. Ligne de courant
Représenter l’allure de la ligne de courant qui aboutit en A et celle qui longe le tube en B.
2. Vitesses vA et vB
Que valent les vitesses vA en A et vB en B ? Expliquer pourquoi le point A est appelé « point d’arrêt ».
3. Vitesse d’écoulement v0
Dans le manomètre, on mesure une dénivellation h entre les deux niveaux de liquide de masse volumique ρ1. En déduire la vitesse d’écoulement v0 de l’air.
Application numérique : h = 24 cm ; ρ1 = 1,0 × 10³ kg·m⁻³.
Exercice 3 : Filet d’eau vertical
Un filet d’eau coule verticalement à l’air libre après avoir quitté un robinet de section horizontale circulaire de rayon r0 = 1 cm. Le débit volumique Dv = 0,2 L·s⁻¹ est constant dans le temps. Le filet d’eau possède une symétrie de révolution autour de l’axe vertical (axe du cercle de rayon r0). On repère par z les altitudes sur la verticale ascendante, avec z = 0 correspondant à la sortie du robinet.
1. Viscosité dynamique et nature de l’écoulement
Quelle est la valeur de la viscosité dynamique de l’eau liquide ? L’écoulement en sortie du robinet est-il laminaire ?
2. Équation z = f(r) du filet
Supposons que l’eau est un fluide parfait et que l’écoulement est stationnaire. La pression dans le filet est uniforme et égale à la pression atmosphérique. Déterminer l’équation z = f(r) d’une génératrice de la surface libre du filet en coordonnées cylindriques.
Exercice 4 : Écoulement d’air dans une conduite
De l’air de viscosité η = 1,8 × 10⁻⁵ Pa·s, de masse volumique μ = 1,2 kg·m⁻³, s’écoule dans une conduite de rayon R = 10 cm et de longueur L = 200 m avec un débit volumique Dv = 500 L·s⁻¹. La rugosité absolue du tuyau est ε = 0,075 mm.
1. Vitesse moyenne v
Quelle est la vitesse moyenne v de l’écoulement ?
2. Nombre de Reynolds et nature de l’écoulement
En déduire le nombre de Reynolds Re et la nature de l’écoulement.
3. Différence de pression ΔP
Pour maintenir un tel écoulement, il faut assurer une différence de pression ΔP = Pe – Ps entre l’entrée et la sortie du tuyau. Quel est le signe de ΔP ? Le coefficient de friction f est défini par : f = ΔP·D/(2·L·ρ·v²), où D est le diamètre de la conduite.
4. Dimension de f
Quelle est la dimension de f ?
5. Calcul de ΔP
Quelle est la différence de pression ΔP à maintenir ?
6. Appareil assurant le maintien de ΔP
Quel appareil assure ce maintien ?
7. Puissance P nécessaire
En déduire la puissance P nécessaire pour maintenir l’écoulement.
Exercice 5 : Étude d’une éolienne
On étudie une éolienne assimilée à ses pales récupérant une puissance mécanique Péol provenant de l’écoulement de l’air environnant. L’étude est faite dans le référentiel terrestre supposé galiléen, où les pales tournent uniformément autour de l’axe x’x. Les effets de la pesanteur sont négligeables. L’air est assimilé à un gaz parfait. L’écoulement autour des pales est stationnaire, parfait, incompressible et à symétrie de révolution. On note ρ la masse volumique de l’air.
1. Relations entre grandeurs
Écrire deux relations liant les grandeurs SA, VA, SB, VB, S et V.
2. Pressions P1 et P2
Exprimer les pressions P1 et P2 en fonction de P0, ρ, VA, VB et V.
3. Puissance Péol
En appliquant le premier principe industriel sur un système judicieusement choisi et en justifiant les approximations, calculer la puissance Péol en fonction des données.
Exercice 6 : Tuyère supersonique
On étudie l’écoulement permanent d’un gaz sortant de la chambre de combustion d’un réacteur d’avion et s’écoulant dans une tuyère de section variable. Les gaz, considérés comme parfaits, évoluent de manière adiabatique et réversible. La section S(x) de la tuyère dépend de l’abscisse x. Les variations de section sont douces, et les grandeurs intensives sont uniformes sur chaque section droite. La vitesse est parallèle à l’axe x. L’étude montre que, si le profil est bien choisi, la vitesse peut dépasser la célérité du son.
1. Relation entre T, v et cp
Montrer qu’entre deux abscisses xA et xB, on a : cp·(TA – TB) = ½·(vB² – vA²), avec T la température, v la vitesse et cp la capacité thermique massique à pression constante.
2. Expression de cp et relation entre dT, R, M, γ et d(v²)
Exprimer cp en fonction de R, M et γ. En déduire une relation entre dT, R, M, γ et d(v²) dans la tuyère.
3. Différentielle logarithmique de la loi de Laplace
Donner la différentielle logarithmique de la loi de Laplace en fonction de P et T.
4. Masse volumique et différentielle logarithmique
Exprimer la masse volumique du gaz en fonction de T et P. Donner sa différentielle logarithmique.
5. Conservation du débit massique
Donner la différentielle logarithmique de la conservation du débit massique.
6. Relation entre dS/S et d(v²)
Montrer que : dS/S + (1 – v²/c²)·d(v²)/v² = 0, où c est la célérité du son donnée par c = √(γ·R·T/M).
7. Variation de v(x) et profil de la tuyère
On appelle M = v/c le nombre de Mach. En distinguant M < 1 et M > 1, prévoir le sens de variation de v(x) lorsque la tuyère est convergente (S diminue) et divergente. Pour un écoulement subsonique à l’entrée, quel profil doit-on donner à la tuyère pour obtenir un écoulement supersonique en sortie ?
FAQ
1. Qu’est-ce qu’un fluide parfait et incompressible ?
Un fluide parfait est un fluide sans viscosité, c’est-à-dire sans frottement interne. Un fluide incompressible a une masse volumique constante, indépendamment des variations de pression ou de température.
2. À quoi sert le théorème de Bernoulli ?
Le théorème de Bernoulli relie la pression, la vitesse et l’altitude d’un fluide en écoulement permanent. Il permet de déterminer les vitesses ou pressions dans un système fluide en connaissant ces grandeurs en d’autres points.
3. Comment interpréter la dénivellation h dans un tube de Venturi ?
La dénivellation h entre les deux tubes verticaux reflète la différence de pression due à l’effet Venturi. Plus h est grande, plus la différence de pression est importante, ce qui permet de calculer les vitesses d’écoulement.