Mécanique des Fluides : Cours complet mecanique des fluides
Télécharger PDFChapitre 1 : Hydrostatique - Statique des Fluides
Ce cours a pour objectif de permettre l’application des concepts appris en mécanique des fluides. Il s’agit d’un cours de base qui introduit les principes fondamentaux de cette discipline.
1. Pression en un point d’un fluide
Dans un fluide au repos ou uniformément accéléré, la pression désigne la force par unité de surface exercée perpendiculairement sur un élément de surface dS. La force de pression agit toujours vers l’extérieur du volume délimité par cet élément.
La pression est indépendante de la surface et de son orientation. Elle dépend uniquement de la position du point considéré dans le fluide.
2. Équation fondamentale de la statique des fluides
Pour les fluides au repos, la pression piézométrique est constante en tout point. Cela s’exprime par l’équation suivante :
P = Psta + ρgz = Cte
où :
- P : Pression piézométrique
- Psta : Pression statique absolue
- ρ : Masse volumique du fluide
- g : Accélération de la pesanteur
- z : Cote du point considéré
Cette équation montre que la pression statique augmente lorsque la cote diminue. Les points soumis à la même pression statique forment un plan horizontal.
3. Application aux fluides incompressibles
Pour les fluides incompressibles, la pression piézométrique reste constante. Cela signifie que si la pression statique est connue en un point (par exemple, la pression atmosphérique au point A), on peut calculer la pression en d’autres points en utilisant la relation ci-dessus.
4. Application aux fluides compressibles
Dans le cas des fluides compressibles, les principes de l’hydrostatique sont adaptés pour tenir compte des variations de masse volumique avec la pression.
5. Forces hydrostatiques
Ce chapitre étudie les forces exercées par les fluides au repos sur des surfaces immergées, ainsi que leur centre de poussée. Il permet de comprendre les effets de la pression sur des structures planes ou courbes.
Chapitre 2 : Cinématique des Fluides
1. Définitions
Pour analyser le mouvement d’un fluide, deux méthodes principales sont utilisées : la description d’Euler et celle de Lagrange.
a) Système de référence
La méthode d’Euler décrit l’écoulement en associant à chaque point de l’espace une vitesse à un instant donné. Les composantes de la vitesse u, v, et w sont exprimées en fonction des coordonnées x, y, z, et du temps t :
- u = f(x, y, z, t)
- v = φ(x, y, z, t)
- w = ψ(x, y, z, t)
Les lignes de courant sont les courbes tangentes aux vecteurs vitesses en chaque point. Elles évoluent avec le temps.
La méthode de Lagrange suit une particule fluide au cours de son mouvement. Les coordonnées de la particule x, y, et z sont exprimées en fonction de sa position initiale x0, y0, z0, et du temps t :
- x = f(x0, y0, z0, t)
- y = φ(x0, y0, z0, t)
- z = ψ(x0, y0, z0, t)
Les trajectoires sont les lieux géométriques des positions successives d’une particule. En écoulement stationnaire, les lignes de courant et les trajectoires coïncident.
b) Ligne d’émission
Une ligne d’émission est la courbe formée par toutes les particules ayant passé par un même point E à des instants différents.
c) Écoulement permanent
Un écoulement est dit permanent lorsque le champ de vecteurs vitesse ne varie pas dans le temps. Dans ce cas :
- Les lignes de courant sont fixes dans l’espace.
- Les trajectoires coïncident avec les lignes de courant.
- Les lignes d’émission coïncident également avec les lignes de courant.
2. Équation de continuité
a) Cas général
L’équation de continuité exprime le principe de conservation de la masse. Pour un élément de volume fluide dV = dx dy dz, la variation de masse dm pendant un temps dt doit être égale à la somme des masses de fluide entrant et sortant par ses six faces, ainsi qu’aux masses créées ou détruites par des sources ou puits.
La masse volumique ρ est donnée par m = ρ dx dy dz. Le bilan des masses entrant et sortant par les faces, ainsi que la création/destruction de masse, conduit à l’équation de continuité locale :
∂(ρ)/∂t + ∇.(ρV) = ρqv
où qv est le débit volumique de fluide créé ou détruit par unité de volume.
b) Cas particuliers
En écoulement permanent, le champ de vitesse ne dépend pas explicitement du temps. Pour un fluide incompressible et conservatif, la masse volumique ρ est constante.
3. Analyse du mouvement d’un élément de volume fluide – Déformations
Chaque particule fluide subit des changements de position, d’orientation et de forme au sein de l’écoulement. Pour analyser ces déformations, on considère deux points d’une même particule : M(x, y, z) et M'(x+dx, y+dy, z+dz).
Le développement des composantes de la vitesse permet d’étudier ces variations.
Chapitre 3 : Application aux fluides parfaits incompressibles
1. Rappel de quelques définitions
Le débit est défini comme le quotient de la quantité de fluide traversant une section droite de la conduite par la durée de cet écoulement.
1.1. Débit-masse
Si Δm est la masse de fluide traversant une section droite pendant le temps Δt, le débit-masse est donné par :
qm = Δm / Δt
Unité : kg·s-1.
1.2. Débit-volume
Si ΔV est le volume de fluide traversant une section droite pendant le temps Δt, le débit-volume est donné par :
qv = ΔV / Δt
Unité : m3·s-1.
1.3. Relation entre qm et qv
La masse volumique ρ est donnée par la relation :
ρ = Δm / ΔV
D’où : qm = ρ qv.
Les liquides sont incompressibles et peu dilatables, donc leur masse volumique est constante (écoulements isovolumes). Pour les gaz, la masse volumique dépend de la température et de la pression. À faible vitesse et température constante, on retrouve un écoulement isovolume.
1.4. Écoulements permanents ou stationnaires
Un écoulement est dit permanent ou stationnaire si ses paramètres (pression, température, vitesse, masse volumique, etc.) restent constants au cours du temps.
2. Équation de conservation de la masse ou équation de continuité
2.1. Définitions
En régime stationnaire, une ligne de courant est la courbe suivant laquelle se déplace un élément de fluide. Elle est tangente au vecteur vitesse en chaque point.
FAQ
1. Qu’est-ce que la pression piézométrique ?
La pression piézométrique est la pression totale exercée en un point d’un fluide au repos, incluant la pression statique et la pression due à la hauteur de fluide.
2. En quoi consiste la méthode d’Euler ?
La méthode d’Euler consiste à décrire l’écoulement en associant à chaque point de l’espace une vitesse à un instant donné, permettant d’obtenir un champ de vecteurs vitesse.
3. Qu’est-ce qu’un écoulement permanent ?
Un écoulement permanent est un écoulement où le champ de vecteurs vitesse ne varie pas dans le temps, ce qui signifie que les lignes de courant et les trajectoires coïncident.