Mécanique des Fluides : Exercices de mcanique du solide
Télécharger PDFExercice de mécanique du solide : Dynamique et lois de Coulomb
Exercice 1 : Dynamique en référentiel non galiléen
Un prisme de masse m₁, sur lequel roule sans glisser un rouleau de masse m₂ et de rayon R, peut glisser sans frottements sur une table horizontale.
Question 1
Déterminer l’abscisse x₁ du point G du prisme le long du plan horizontal. On considère que x₁ = 0 et x₂ = 0 initialement.
L’accélération du prisme par rapport au référentiel non galiléen (R') vaut a₁. Notons Fₓ et Fᵧ les composantes des actions de contact du prisme sur le rouleau.
Appliquons le théorème du centre d’inertie au prisme dans le référentiel (R') : m₁a₁ = Fₓ m₁a₁ = -Fᵧ Le rouleau exerce sur le prisme les actions -Fₓ et -Fᵧ, d’après le principe des actions réciproques.
On en déduit : m₁a₁ = Fₓ cosθ - Fᵧ sinθ
Question 2
Exprimer a₂ en fonction de l’angle θ dont a tourné le rouleau à l’instant t. On considère que θ = 0 et ω = 0 initialement. On donne I = m₂R², moment d’inertie du rouleau par rapport à son axe de révolution.
Étudions le cylindre dans le référentiel non galiléen (R'). Ce dernier est soumis à la force d’inertie d’entraînement Fᵢ (Fᵢ = -m₂a₁) en plus du poids et des efforts de contact.
Notons x₂ l’abscisse du centre d’inertie G du rouleau dans (R'). Appliquons le théorème du centre d’inertie au rouleau : Fᵢ = m₂a₂ m₂a₂ = Fₓ m₂a₂ = -Fᵧ
Projetons cette relation sur les axes x et y : -m₂a₁ sinθ = m₂a₂ - m₂a₁ cosθ -Fᵧ = 0
Le moment cinétique dans (R') au point G est : L_G = Iω
Le théorème du moment cinétique appliqué au rouleau au point G fournit : dL_G/dt = Iα = R(Fᵧ)
Projetons cette relation sur l’axe z : Iα = RFₓ
On a donc : m₂R²α = R(m₂a₁ cosθ)
D’où : α = (m₂a₁ cosθ)/m₂R
En combinant les équations précédentes, on obtient : a₂ = (2m₁a₁ cosθ sinθ)/(3m₁ + m₂)
La solution de cette équation différentielle du premier ordre est : x₂(t) = (2m₁a₁ sinθ)/(3m₁ + m₂) t² + x₂(0)
Exercice 2 : Lois de Coulomb
Un cylindre de masse m₂, de rayon R, de moment d’inertie I par rapport à son axe de révolution et de centre d’inertie G, roule sans glisser le long de la plus grande pente d’un plan incliné d’un angle θ par rapport à l’horizontale. L’ensemble est étudié dans un référentiel galiléen. L’air exerce sur le cylindre une force de frottement f = Kv² (K coefficient positif constant) au point d’application G.
Les efforts de contact entre le cylindre et le plan incliné obéissent aux lois de Coulomb. On appelle M le coefficient de frottement associé. On repère le cylindre par l’abscisse x_G de G et par l’angle θ.
Initialement, le cylindre est abandonné immobile avec x_G = 0, θ = 0 et ω = 0.
Question 1
Exprimer au cours de la descente l’accélération angulaire α et la vitesse angulaire ω.
Appliquons le théorème de la résultante cinétique au cylindre, soumis au poids, aux efforts de contact (Fₓ, Fᵧ) et à la force de frottement f : m₂a_G = m₂g sinθ - Fᵧ - Kv²
m₂a_G = -Fᵧ
Appliquons le théorème du moment cinétique au cylindre en G : dL_G/dt = Iα = R(Fᵧ)
On a donc : Iα = R(m₂g sinθ - m₂a_G)
La condition de roulement sans glissement donne : a_G = Rα
Question 2
Montrer que le cylindre va atteindre une vitesse limite.
Pour un temps très long (t → ∞), lorsque la vitesse limite est atteinte, on a : a_G = 0
Question 3
Dans le cas où on peut négliger les frottements de l’air, montrer que le roulement sans glissement est possible seulement si θ est inférieur à une certaine valeur θₘ.
L’équation m₂a_G = m₂g sinθ - Fᵧ devient : m₂a_G = m₂g sinθ - Fᵧ
L’égalité Iα = R(Fᵧ) est conservée, donc : Fᵧ = (I/m₂R)α
Le roulement sans glissement est assuré tant que Fᵧ ≤ Mm₂g cosθ, c’est-à-dire tant que : tanθ ≤ (Iα)/(m₂gRα) = (I)/(m₂R²)
Soit θₘ = arctan(3M), la condition sur θ est : θ ≤ θₘ
FAQ
Q : Qu’est-ce qu’un référentiel non galiléen ?
R : Un référentiel non galiléen est un référentiel en accélération ou en rotation, nécessitant l’introduction de forces fictives pour appliquer les lois de Newton.
Q : Comment s’exprime la condition de roulement sans glissement ?
R : La condition de roulement sans glissement s’exprime par l’égalité entre l’accélération linéaire du centre de gravité et le produit du rayon par l’accélération angulaire : a_G = Rα.
Q : Que signifie le coefficient de frottement M dans les lois de Coulomb ?
R : Le coefficient de frottement M exprime le rapport entre la force de frottement maximale et la force normale. Il détermine la capacité du système à résister au glissement.