Mécanique des Fluides : Exercices de mcanique du solide
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Télécharger packExercice de mécanique du solide Dynamique, lois de COULOMB EXERCICE 1 Dynamique en référentiel non galiléen_ Un prisme de masse , sur lequel roule sans glisser un rouleau, de masse et de rayon , peut glisser sans frottements sur une table horizontale. QUESTION 1 Déterminer l’abscisse
du point du prisme le long du plan horizontal. On considérera que 0
0. QUESTION 2 Exprimer l’angle dont a tourné le rouleau à . On considérera que 0 0. On donne , moment d’inertie du rouleau par rapport à son axe de révolution. Solution QUESTION 1 EXERCICE DE MECANIQUE DU SOLIDE Thierry ALBERTIN Dynamique, lois de COULOMB 2 / 6 L’accélération du prisme par rapport à vaut . Notons et
, les composantes des actions de contact du prisme sur le cylindre. Appliquons le théorème du centre d’inertie au prisme dans le référentiel :
Le rouleau exerce sur le prisme les actions et
, d’après le principe des actions réciproques. représente l’action du plan horizontal sur le prisme. On en déduit : cos # sin # Il nous faut donc expliciter et . Etudions le cylindre dans le référentiel
& non galiléen, ce dernier sera soumis à la force d’inertie d’entraînement ' (
en plus du poids, et des efforts de contact. Notons & , l’abscisse de ) dans
& et appliquons le théorème du centre d’inertie au cylindre : ' (
*
) +
⁄ & &
Projetons cette relation sur les axes
& et
& : -
sin # cos #
& cos # sin #
0. Le moment cinétique dans
& au point ) est : /
0 1 2 3
4 5 (attention à l’orientation de ). Le théorème du moment cinétique appliqué au cylindre, au point ) fournit quand à lui : d/ 0 d )7
8
puisque les moments de trois autres forces sont nuls. Projetons cette dernière relation sur l’axe 9 : 2
d’où 2 EXERCICE DE MECANIQUE DU SOLIDE Thierry ALBERTIN Dynamique, lois de COULOMB 3 / 6 Pour compléter ces équations utilisons la condition de roulement sans glissement pour le cylindre : 3
& 3
. La combinaison des équations précédentes permet d’obtenir :
2 cos # sin #
3 cos # 3 sin #
Cette dernière équation s’intègre en : ;
<=> ?@A B ACD B
EF = ?@A
<
B E= ACD
<
B 1G <
<H
4 QUESTION 2 La condition de roulement sans glissement donne ensuite : I
<=> ?@ABACD B
EF =?@A
<
B E=ACD
<B 1G <
<H
4 J J J EXERCICE 2 Lois de COULOMB_ Un cylindre de masse , de rayon , de moment d’inertie
par rapport à son axe de révolution et de centre d’inertie ), roule sans glisser le long de la plus grande pente d’un plan incliné d’un angle # par rapport à l’horizontale. L’ensemble est étudié dans un référentiel galiléen. L’air exerce sur le cylindre des efforts équivalents à une force de point d’application ) : '
KL ) , K étant un coefficient positif constant. Les efforts de contact entre le cylindre et le plan incliné obéissent aux lois de COULOMB. On appelle M le coefficient de frottement associé. On repère le cylindre par l’abscisse de ) notée : et par l’angle :
. Initialement le cylindre est abandonné immobile, on donne 0
0 et 0 0. EXERCICE DE MECANIQUE DU SOLIDE Thierry ALBERTIN Dynamique, lois de COULOMB 4 / 6 QUESTION 1 Exprimer au cours de la descente 3 . QUESTION 2 Montrer que ) va atteindre une vitesse limite que l’on exprimera. QUESTION 3 Dans le cas où on peut négliger les frottements de l’air, montrer que le roulement sans glissement peut se faire seulement si # est inférieur à une certaine valeur #N que l’on explicitera. Solution QUESTION 1 Appliquons le théorème de la résultante cinétique au cylindre, ce dernier étant soumis au poids, aux efforts de contact
et à la force de frottement '
: *
'
O /Q
– On obtient sur sin # K3 – On obtient sur 5 cos #
0 Pour exprimer
appliquons le théorème du moment cinétique au cylindre en ) : dd / 0 )7 8
le moment du poids, de la réaction normale, ainsi que celui de ' sont nuls en ). / 0 2 3 R)7
8 R on a donc : EXERCICE DE MECANIQUE DU SOLIDE Thierry ALBERTIN Dynamique, lois de COULOMB 5 / 6 2
Les inconnues sont , et , pour deux équations sin # K3 , cos #
0, complétons avec la condition de roulement sans glissement : 3 3
L’équation
devient : 2 injectée dans sin # K3 elle permet d’obtenir : K3 2
sin # donc 2K 3
3 23 sin # La solution de cette équation différentielle du premier ordre à coefficients constants est : 3
S TU V K sin # 3 0
0 donc : ;3 G
>W ACD B XY ZS <WE G
[ QUESTION 2 La vitesse limite est atteinte au bout d’un temps très long, lorsque \ ∞ on a : ;3 ^
>W ACD B QUESTION 3 Dans le cas où on peut négliger les frottements de l’air, l’équation sin # K3 devient : sin #
L’égalité
est conservée, donc : EXERCICE DE MECANIQUE DU SOLIDE Thierry ALBERTIN Dynamique, lois de COULOMB 6 / 6 13 sin # Le roulement sans glissement est assuré tant que ` M donc tant que 13 sin # ` M cos # c’est-à-dire tant que tan # ` 3M Soit #
N arctan 3M , la condition sur # est : B ` B
d ef?geD Eh J J J