Td n° 5 dynamique des fluides réels - mécanique des fluides

Mécanique des Fluides : Td n° 5 dynamique des fluides réels

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Mécanique des Fluides TD N° 5 : Dynamique des Fluides Réels Exercice n°1 : Soit un tube cylindrique horizontal de 3 km de long, de 10 cm de diamètre, parcouru par un liquide de

viscosité dynamique η = 0.04 Pa.s. On suppose que la vitesse dans la section droite, est donnée par l'équation : v(x) = 10 x – 10

2 x

2 (unités S.I). v étant la vitesse à la distance x de la paroi. 1) Tracer le profil des vitesses à l'intérieur de la conduite 2) Calculer la force de frottement visqueux par unité de surface dans les cas suivants : a) contre la paroi, b) à 2 cm de la paroi. 3) Calculer la force totale de frottement s'exerçant sur le tube. 4) Calculer la différence de pression entre les extrémités du tube. En déduire le débit volumique Exercice n° 2 : On considère un tube horizontal de rayon r et de longueur l, dont l'une des extrémités A, est reliée au fond d'une cuve remplie d'eau jusqu'à une hauteur supposée constante, H. L’autre extrémité du tube B est reliée au fond d'un récipient, de hauteur h, et de rayon R. Ce récipient est posé au même niveau que la cuve. On appellera v la vitesse moyenne de l'eau dans le tube, η le coefficient de viscosité de l’eau, et x la hauteur d'eau dans 1e récipient. 1) Exprimer la perte de charge entre les deux extrémités du tube. 2) Soient A

1 et B

1 deus points respectifs des surfaces libres de la cuve et du récipient. En négligeant vA1 2 et vB1 2

devant v2 , et les forces de viscosité dans la cuve et le récipient, déterminer ta vitesse v de l’eau dans le tube, puis la vitesse v

B de remplissage du récipient du récipient 3) Combien faudra-t-il de temps pour que le récipient se remplisse d'eau Application numérique (la troisième question uniquement ) : H = 1.27m, l =1m, r = 5mm, R = 0.15m, h=-0.5m, g = 10ms

-1 η = 10

-2 poise = 10

-3 Pl Exercice n° 3 : On considère une bifurcation constituée par un tuyau de rayon R

1 , et de longueur L

1 ; et deux autres tuyaux de rayons R

2 et R

3 et de longueur L

2 et L3 . Le débit constant de 10cm3 /s passe dans le tuyau de rayon R1 . On suppose que les pressions à la sortie des deux artères 2 et 3 sont les mêmes. 1) Quelle est la résistance hydraulique de chaque tuyau, si on suppose que le liquide qui y circule est de viscosité I0

-3 Pl. 2) Quelle est la résistance opposée par les tuyaux 2 et 3 à l’écoulement du liquide. 3) Quel est le débit et la vitesse moyenne du liquide qui passe dans ces tuyaux. 3) On suppose qu'un blocage se forme dans le tuyau 3. Ce blocage sera schématisé par un rétrécissement de rayon r = 0.2 cm et de longueur l = 2 cm Quel est le nouveau débit qui traverse ce tuyau. Conclusion A.N. L

1 = L

2 = L

3 = 5 cm; R

1 = 2 cm; R

2 = 1,5 cm ; R

3 = 1 cm. Exercice n° 4 : Dans un tuyau de diamètre 2,5 cm, le débit moyen du liquide est de 80 cm3 .s-1 . On suppose que ce liquide est de viscosité 4.10

-3 Pa.s 1) Quelle est la vitesse moyenne du fluide dans ce tuyau. 2) Quelle est sa vitesse maximale et la perte de charge par unité de longueur. 3) L’écoulement est-il bien laminaire ? Le reste t-il si le débit est multiplié par cinq Exercice n° 5 : Soit un cylindre de diamètre d

a = 2 cm et de longueur l

a = 10 cm. La vitesse d'écoulement au point 1 est v

1 = 0,2 m. s-1 .

Le cylindre est rétrécit sur une longueur 1

s = 6cm et de diamètre d

s = 1cm. l) Calculer la différence de pression AP = P1 - P2 . 2) Déterminer la puissance pour maintenir cet écoulement. 3) Préciser la nature de l'écoulement dans la partie rétrécie. Exercice 6 : Transport d’un liquide visqueux dans une conduite cylindrique : Du fioul de masse volumique μ = 910 kg/m

3 et de viscosité absolue η est transporté de A vers B à travers une conduite cylindrique d’axe horizontal, de longueur l = 2 km et de rayon R = 8 cm, avec un débit volumique Q = 36 m

3 .Heure. Les pressions en A et B sont respectivement PA = 3 atmosphères PB = 0,4 atmosphères ( 1 atmosphère ≈ 10

5 Pa ). On admettra le régime d’écoulement permanent et laminaire pour lequel le débit est donné par la formule de Poiseuille :  8. 4R lPP QBA  1) Calculer la vitesse moyenne d’écoulement v du fioul. 2) Calculer la viscosité absolue et la viscosité cinématique du fioul transporté. 3) Calculer le nombre de Reynolds de cet écoulement et justifier son caractère laminaire. 4) Montrer que la puissance P de la pompe de cet oléoduc est proportionnelle au carré de la vitesse moyenne u (on négligera l’énergie cinétique du fuel-oil) ; calculer P. 5) Quel doit - être le rayon R

0 d’une conduite cylindrique qui transporte de l’eau de viscosité cinématique ν

0 = 9.10

-7 m2 .s à la vitesse moyenne 2 m/s pour assurer la similitude dynamique de cet écoulement avec celui du fioul étudié. Exercice 7 (Devoir) : Loi de vidange d’un fluide visqueux : Mesure de la viscosité. Nombre de Reynolds. Un dissolvant liquide, de viscosité absolue η, de viscosité cinématique ν et de masse volumique μ, est placé dans un grand vase cylindrique de section S ; ce liquide s’écoule par un tube fin horizontal cylindrique de rayon r, de section s (s << S) et de longueur l. L’écoulement est suffisamment lent pour admettre que l’écoulement est permanent à chaque instant avec un débit volumique Q donné par la loi de Poiseuille :  84 rl PQ  où BA

PPP est l’écart de pression entre les extrémités A et B du tube cylindrique horizontal. La hauteur du liquide dans le grand vase est h

0 = 50 cm à l’instant t = 0 et h(t) à l’instant t. g = 9,81 m.s

-2 ; s = 5 mm

2 ; S = 100 cm

2 ; l = 60 cm ; μ = 720 kg.m-3 . 1) Le débit volumique du liquide à l’instant t peut-être mis sous la forme :

)(.)(thKtQ

Exprimer le coefficient de proportionnalité K en fonction de g, s, l et ν. 2) Etablir l’équation différentielle h(t), et en déduire la loi de vidange h(t). 3) a) Au bout du temps T = 13 minutes 30 secondes, la hauteur du dissolvant n’est plus que le tiers de la hauteur initiale h0 . En déduire la mesure de la viscosité cinématique de ce dissolvant et sa viscosité absolue à la température de 20°C de l’expérience. b) Calculer le débit volumique Q et le nombre de Reynolds R de l’écoulement dans le tube fin horizontal à l’instant t = 0 et à l’instant t = T. 4) Le tube de longueur l n’est pas parfaitement cylindrique : son rayon diminue régulièrement entre O et A suivant la loi :ax err 

0 avec a = 0.4m

-1 où les distances x sont comptées à partir de A. Calculer le rapport des nombres de Reynolds en A et en B.