Ce document de Travaux Dirigés (TD N°5) est consacré à la Dynamique des Fluides Réels. Il est destiné aux étudiants universitaires souhaitant approfondir leur compréhension des écoulements visqueux et de leurs applications pratiques.
Ce TD couvre les notions fondamentales suivantes :
- L'analyse des profils de vitesse et les forces de frottement visqueux ;
- Les pertes de charge et l'application de la loi de Poiseuille ;
- Le calcul du nombre de Reynolds et la caractérisation des écoulements laminaires ;
- Les bilans de pression et de puissance dans divers systèmes hydrauliques.
Mécanique des Fluides : Td n° 5 dynamique des fluides réels
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Exercice n°1 : Profil des vitesses et forces de frottement visqueux
Soit un tube cylindrique horizontal de 3 km de long et de 10 cm de diamètre, parcouru par un liquide de viscosité dynamique η = 0,04 Pa.s. La vitesse dans la section droite est donnée par l'équation :
v(x) = 10x – 10x² (en unités S.I.), où v est la vitesse à la distance x de la paroi.
1) Tracer le profil des vitesses à l'intérieur de la conduite
Le profil de vitesse est parabolique, avec un maximum au centre et une vitesse nulle aux parois.
2) Calculer la force de frottement visqueux par unité de surface
a) Contre la paroi : τ = η (dv/dx) à x = 0
b) À 2 cm de la paroi : τ = η (dv/dx) à x = 0,08 m
3) Calculer la force totale de frottement s'exerçant sur le tube
Intégrer la contrainte visqueuse sur toute la surface du tube : F = ∫ τ dS.
4) Calculer la différence de pression entre les extrémités du tube
Utiliser l'équation de Hagen-Poiseuille pour un écoulement laminaire : ΔP = (8ηLQ)/πR⁴, où Q est le débit volumique.
Exercice n°2 : Perte de charge et vitesse d'écoulement dans un tube
Un tube horizontal de rayon r et de longueur l relie une cuve d'eau (hauteur H) à un récipient (hauteur h, rayon R). La vitesse moyenne de l'eau dans le tube est v, et η est le coefficient de viscosité.
1) Exprimer la perte de charge entre les deux extrémités du tube
La perte de charge est due à la différence de hauteur : ΔP = ρg(H – h), où ρ est la masse volumique de l'eau.
2) Déterminer la vitesse v de l'eau dans le tube et la vitesse vB de remplissage du récipient
En négligeant les termes cinétiques et les forces de viscosité dans les réservoirs, appliquer la loi de Hagen-Poiseuille : v = (ρg(H – h)πr⁴)/(8ηl).
La vitesse de remplissage du récipient est : vB = (πr²v)/(πR²).
3) Calculer le temps de remplissage du récipient
Application numérique : H = 1,27 m, l = 1 m, r = 5 mm, R = 0,15 m, h = –0,5 m, g = 10 m/s², η = 10–3 Pa.s.
Exercice n°3 : Bifurcation et blocage dans un tuyau
Un tuyau de rayon R1 et longueur L1 se divise en deux tuyaux de rayons R2 et R3, longueurs L2 et L3. Le débit constant est de 10 cm³/s.
1) Résistance hydraulique de chaque tuyau
Pour un écoulement laminaire, la résistance hydraulique est donnée par : Ri = (8ηLi)/(πRi⁴), avec η = 10–3 Pa.s.
2) Résistance opposée par les tuyaux 2 et 3
Les résistances sont en parallèle : R23 = 1/(1/R2 + 1/R3).
3) Débit et vitesse moyenne dans les tuyaux 2 et 3
Appliquer la loi de Hagen-Poiseuille et la conservation du débit : Q2 + Q3 = Q1.
4) Nouveau débit après blocage dans le tuyau 3
Application numérique : L1 = L2 = L3 = 5 cm, R1 = 2 cm, R2 = 1,5 cm, R3 = 1 cm, r = 0,2 cm, l = 2 cm.
Exercice n°4 : Vitesse moyenne, maximale et perte de charge
Un tuyau de diamètre 2,5 cm transporte un liquide de viscosité η = 4 × 10–3 Pa.s avec un débit moyen de 80 cm³/s.
1) Vitesse moyenne du fluide
vmoy = Q/(πR²), où Q = 80 cm³/s et R = 1,25 cm.
2) Vitesse maximale et perte de charge par unité de longueur
Pour un écoulement laminaire, la vitesse maximale est vmax = 2vmoy.
La perte de charge est : ΔP/L = (8ηQ)/(πR⁴).
3) Nature de l'écoulement et effet d'un débit multiplié par cinq
Calculer le nombre de Reynolds : Re = (4ρQ)/(πdη), où ρ est la masse volumique du liquide.
Si Re < 2000, l'écoulement est laminaire.
Exercice n°5 : Différence de pression et puissance d'écoulement
Un cylindre de diamètre da = 2 cm et longueur la = 10 cm se rétrécit sur 6 cm (ds = 1 cm). La vitesse d'écoulement au point 1 est v1 = 0,2 m/s.
1) Calculer la différence de pression ΔP = P1 – P2
Utiliser l'équation de Bernoulli et la conservation du débit : ΔP = (1/2)ρ(v1² – v2²).
2) Déterminer la puissance pour maintenir cet écoulement
P = Q × ΔP, où Q est le débit volumique.
3) Nature de l'écoulement dans la partie rétrécie
Calculer le nombre de Reynolds dans la section rétrécie : Re = (ρvsds)/η.
Exercice n°6 : Transport de fioul dans une conduite
Du fioul (masse volumique ρ = 910 kg/m³, viscosité dynamique η) est transporté avec un débit Q = 36 m³/h dans une conduite de longueur l = 2 km et rayon R = 8 cm. Les pressions en A et B sont respectivement PA = 3 atm et PB = 0,4 atm (1 atm ≈ 105 Pa).
1) Vitesse moyenne d'écoulement v du fioul
v = Q/(πR²).
2) Viscosité dynamique et cinématique du fioul
Viscosité cinématique : ν = η/ρ.
Utiliser la formule de Hagen-Poiseuille pour calculer η : Q = (πR⁴ΔP)/(8ηl).
3) Nombre de Reynolds et justification du caractère laminaire
Re = (4ρQ)/(πdη), où d = 2R.
L'écoulement est laminaire si Re < 2000.
4) Puissance P de la pompe et proportionnalité à v²
P = Q × ΔP.
Montrer que P ∝ v² en utilisant les relations entre Q, ΔP et η.
5) Rayon R0 pour une conduite transportant de l'eau
Similitude dynamique avec l'écoulement du fioul : Reeau = Refioul.
Viscosité cinématique de l'eau : ν0 = 9 × 10–7 m²/s, vitesse moyenne = 2 m/s.
Exercice n°7 : Loi de vidange d'un fluide visqueux
Un dissolvant de viscosité dynamique η, cinématique ν et masse volumique ρ s'écoule par un tube horizontal de rayon r, section s (s ≪ S), longueur l. La hauteur initiale est h0 = 50 cm, g = 9,81 m/s², s = 5 mm², S = 100 cm², l = 60 cm, ρ = 720 kg/m³.
1) Coefficient K dans Q(t) = K(h(t)2)
Utiliser la loi de Hagen-Poiseuille et la conservation de la masse : K = (ρgπr⁴)/(8νlS).
2) Équation différentielle h(t) et loi de vidange
Établir : dh/dt = –K√h.
Résoudre pour obtenir h(t) = (h0 – Kt/2)2.
3) Mesure de la viscosité cinématique et dynamique
a) À t = T = 13 min 30 s, h(T) = h0/3. Calculer ν puis η.
b) Calculer le débit volumique Q et le nombre de Reynolds Re à t = 0 et t = T.
4) Rayon variable et rapport des nombres de Reynolds
Rayon variable : r(x) = r0 e–ax, où a = 0,4 m–1.
Calculer le rapport ReA/ReB.
FAQ sur la Dynamique des Fluides Réels
Qu'est-ce que la viscosité dynamique η ?
La viscosité dynamique (aussi appelée viscosité absolue) est une propriété d'un fluide qui mesure sa résistance interne à l'écoulement ou à la déformation sous contrainte de cisaillement. Elle est exprimée en Pascal-seconde (Pa.s) dans le Système International.
Comment calculer le nombre de Reynolds ?
Le nombre de Reynolds (Re) est un nombre sans dimension utilisé pour prévoir les régimes d'écoulement des fluides. Il se calcule avec la formule : Re = (ρvd)/η, où ρ est la masse volumique du fluide, v est sa vitesse moyenne, d est une longueur caractéristique (souvent le diamètre de la conduite) et η est la viscosité dynamique du fluide.
Quelle est la condition pour un écoulement laminaire ?
Un écoulement est considéré comme laminaire lorsque le nombre de Reynolds est faible, généralement inférieur à 2000. Dans ce régime, le fluide s'écoule en couches parallèles sans mélange significatif entre elles, de manière douce et régulière.