Td probabilités feuille n◦ 4 probabilités conditionnelles -

Probabilités et Statistiques : TD Probabilités feuille n◦ 4 Probabilités conditionnelles

Probabilités Conditionnelles

DUT Informatique

Exercice 1

Dans une usine, on utilise conjointement deux machines M1 et M2 pour fabriquer des pièces cylindriques en série. Pour une période donnée, leurs probabilités de tomber en panne sont respectivement 0,01 et 0,008. De plus, la probabilité de l’événement "la machine M2 est en panne sachant que M1 est en panne" est égale à 0,4.

Quelle est la probabilité d’avoir les deux machines en panne au même moment ?
Quelle est la probabilité d’avoir au moins une machine qui fonctionne ?

Correction 1

Soit M1 l'événement "la machine M1 est en panne" et M2 l'événement "la machine M2 est en panne".

La probabilité d'avoir les deux machines en panne au même moment est P(M1∩M2).

P(M1∩M2) = P(M1) × P(M2|M1) = 0,01 × 0,4 = 0,004.
La probabilité d’avoir au moins une machine qui fonctionne est le complément de l’événement "les deux machines sont en panne".

P(au moins une machine fonctionne) = 1 - P(M1∩M2) = 1 - 0,004 = 0,996.

Exercice 2

À l'IUT de Digne, 40% des garçons et 15% des filles mesurent plus de 1,80m. De plus, 60% des élèves sont des filles. Sachant qu'un élève, choisi au hasard, mesure plus de 1,80m, quelle est la probabilité que ce soit une fille ?

Correction 2

Soit T l'événement "mesurer plus de 1,80m".

Soit F l'événement "être une fille". L'événement complémentaire F̄ (ou G pour "garçon") est "être un garçon".

Nous avons :

P(F) = 0,6
P(G) = 1 - P(F) = 0,4
P(T|G) = 0,4 (40% des garçons mesurent plus de 1,80m)
P(T|F) = 0,15 (15% des filles mesurent plus de 1,80m)

Nous cherchons P(F|T). En utilisant la formule de Bayes :

P(F|T) = P(F∩T) / P(T)

Où P(F∩T) = P(T|F) × P(F)

Et P(T) = P(T|F) × P(F) + P(T|G) × P(G)

Donc :

P(F|T) = (P(T|F) × P(F)) / (P(T|F) × P(F) + P(T|G) × P(G))

P(F|T) = (0,15 × 0,6) / (0,15 × 0,6 + 0,4 × 0,4)

P(F|T) = 0,09 / (0,09 + 0,16)

P(F|T) = 0,09 / 0,25

P(F|T) = 0,36.

Exercice 3

Dans une université, une enquête sur le tabagisme a donné les résultats suivants :

	Hommes	Femmes
Fumeurs	420	75
Non-fumeurs	280	225

On choisit au hasard l’une des 1000 personnes interrogées. On note A l’événement "en réponse à l’enquête, la personne a déclaré fumer" et on note B l’événement "en réponse à l’enquête, la personne a déclaré être du sexe féminin".

A et B sont-ils indépendants pour l’équiprobabilité P définie sur l’ensemble des 1000 personnes interrogées ?
Même question pour la même enquête dans une autre université où les résultats sont consignés dans le tableau suivant :

	Hommes	Femmes
Fumeurs	440	360
Non-fumeurs	110	90

Correction 3

Pour la première université (1000 personnes au total) :
- Nombre total de fumeurs = 420 + 75 = 495. Donc P(A) = 495/1000 = 0,495.
- Nombre total de femmes = 75 + 225 = 300. Donc P(B) = 300/1000 = 0,3.
- Nombre de femmes fumeuses = 75. Donc P(A∩B) = 75/1000 = 0,075.
Pour vérifier l'indépendance, on compare P(A∩B) et P(A) × P(B) :

P(A) × P(B) = 0,495 × 0,3 = 0,1485.

Comme 0,1485 ≠ 0,075, les événements A et B ne sont pas indépendants.
Pour la deuxième université (total = 440+360+110+90 = 1000 personnes au total) :
- Nombre total de fumeurs = 440 + 360 = 800. Donc P(A) = 800/1000 = 0,8.
- Nombre total de femmes = 360 + 90 = 450. Donc P(B) = 450/1000 = 0,45.
- Nombre de femmes fumeuses = 360. Donc P(A∩B) = 360/1000 = 0,36.
Pour vérifier l'indépendance, on compare P(A∩B) et P(A) × P(B) :

P(A) × P(B) = 0,8 × 0,45 = 0,36.

Comme 0,36 = 0,36, les événements A et B sont indépendants.

Exercice 4

Au cours de la fabrication d’un certain type de lentilles, chacune de ces lentilles doit subir deux traitements notés T1 et T2. On prélève au hasard une lentille dans la production.

On désigne par A l’événement : "la lentille présente un défaut pour le traitement T1".

On désigne par B l’événement : "la lentille présente un défaut pour le traitement T2".

Une étude a montré que :

La probabilité qu’une lentille présente un défaut pour le traitement T1 est P(A) = 0,10.
La probabilité qu’une lentille présente un défaut pour le traitement T2 est P(B) = 0,20.
La probabilité qu’une lentille ne présente aucun des deux défauts est 0,75.

Calculer la probabilité qu’une lentille, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour au moins un des deux traitements T1 ou T2.
Calculer la probabilité qu’une lentille, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour les deux traitements T1 et T2.
Les événements A et B sont-ils indépendants ?
Calculer la probabilité qu’une lentille, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour un seul des deux traitements.
Calculer la probabilité qu’une lentille, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour le traitement T2, sachant qu’elle présente un défaut pour le traitement T1.

Correction 4

L'événement "aucun des deux défauts" est Ā∩B̄ (le complémentaire de A∪B).

P(A∪B) = 1 - P(Ā∩B̄) = 1 - 0,75 = 0,25.
En utilisant la formule d'addition des probabilités :

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

Donc, P(A∩B) = P(A) + P(B) - P(A∪B)

P(A∩B) = 0,10 + 0,20 - 0,25 = 0,05.
Pour vérifier l'indépendance des événements A et B, on compare P(A∩B) et P(A) × P(B).

P(A) × P(B) = 0,10 × 0,20 = 0,02.

Comme P(A∩B) = 0,05 ≠ 0,02, les événements A et B ne sont pas indépendants.
L'événement "la lentille présente un défaut pour un seul des deux traitements" est D = (A∩B̄) ∪ (Ā∩B).

P(D) = P(A∩B̄) + P(Ā∩B) (car les événements sont disjoints).

P(A∩B̄) = P(A) - P(A∩B)

P(Ā∩B) = P(B) - P(A∩B)

Donc, P(D) = (P(A) - P(A∩B)) + (P(B) - P(A∩B))

P(D) = (0,10 - 0,05) + (0,20 - 0,05)

P(D) = 0,05 + 0,15 = 0,20.
La probabilité qu'une lentille présente un défaut pour le traitement T2, sachant qu'elle présente un défaut pour le traitement T1, est P(B|A).

P(B|A) = P(A∩B) / P(A) = 0,05 / 0,1 = 0,5.

Exercice 5

Dans une population Ω, deux maladies M1 et M2 sont présentes respectivement chez 10% et 20% des individus. On suppose que le nombre de ceux qui souffrent des deux maladies est négligeable.

On entreprend un dépistage systématique des maladies M1 et M2. Pour cela, on applique un test qui réagit sur 90% des malades de M1, sur 70% des malades de M2, et sur 10% des individus qui n’ont aucune de ces deux affections.

Quand on choisit au hasard un individu ω dans Ω, quelle est la probabilité pour que le test réagisse ?
Sachant que pour un individu ω, le test a réagi, donner les probabilités :
- Pour que le test ait réagi à cause de la maladie M1.
- Pour que le test ait réagi à cause de la maladie M2.
- Pour que le test ait réagi alors que l’individu n’est infecté par aucune des deux maladies M1 et M2.

Correction 5

On note :

M1 = "être atteint par la maladie M1"
M2 = "être atteint par la maladie M2"
N = "n'être atteint par aucune maladie"
R = "le test réagit"

D'après le texte, nous avons :

P(M1) = 0,1
P(M2) = 0,2
P(N) = 1 - P(M1) - P(M2) = 1 - 0,1 - 0,2 = 0,7 (car M1 et M2 sont supposées disjointes)
P(R|M1) = 0,9
P(R|M2) = 0,7
P(R|N) = 0,1

Calcul de la probabilité que le test réagisse, P(R), en utilisant la formule des probabilités totales :

P(R) = P(R|M1) × P(M1) + P(R|M2) × P(M2) + P(R|N) × P(N)

P(R) = (0,9 × 0,1) + (0,7 × 0,2) + (0,1 × 0,7)

P(R) = 0,09 + 0,14 + 0,07 = 0,3.
Calcul des probabilités conditionnelles, sachant que le test a réagi (P(R)=0,3) :
- Probabilité que le test ait réagi à cause de la maladie M1, P(M1|R) :
  
  P(M1|R) = P(M1∩R) / P(R) = (P(R|M1) × P(M1)) / P(R) = (0,9 × 0,1) / 0,3 = 0,09 / 0,3 = 0,3.
- Probabilité que le test ait réagi à cause de la maladie M2, P(M2|R) :
  
  P(M2|R) = P(M2∩R) / P(R) = (P(R|M2) × P(M2)) / P(R) = (0,7 × 0,2) / 0,3 = 0,14 / 0,3 ≈ 0,47.
- Probabilité que le test ait réagi alors que l'individu n'est infecté par aucune des deux maladies M1 et M2, P(N|R) :
  
  P(N|R) = P(N∩R) / P(R) = (P(R|N) × P(N)) / P(R) = (0,1 × 0,7) / 0,3 = 0,07 / 0,3 ≈ 0,23.

Exercice 6

Un laboratoire a mis au point un alcootest. On sait que 2% des personnes contrôlées par la police sont réellement en état d’ébriété. Les premiers essais ont conduit aux résultats suivants :

Lorsqu’une personne est réellement en état d’ébriété, 95 fois sur 100 l’alcootest se révèle positif.
Lorsqu’une personne n’est pas en état d’ébriété, 96 fois sur 100 l’alcootest se révèle négatif.

Quelle est la probabilité pour qu’une personne soit réellement en état d’ébriété lorsque l’alcootest est positif ?

Correction 6

Soit E l'événement "la personne contrôlée est réellement en état d’ébriété".

Soit A l'événement "l’alcootest est positif".

Les informations fournies sont :

P(E) = 0,02
P(A|E) = 0,95
P(Ā|Ē) = 0,96 (l’alcootest est négatif si la personne n'est pas en état d'ébriété)

On en déduit :

P(Ē) = 1 - P(E) = 1 - 0,02 = 0,98
P(A|Ē) = 1 - P(Ā|Ē) = 1 - 0,96 = 0,04 (l’alcootest est positif si la personne n'est pas en état d'ébriété)

Nous cherchons P(E|A) : la probabilité qu'une personne soit réellement en état d’ébriété sachant que l’alcootest est positif.

En utilisant la formule de Bayes :

P(E|A) = (P(A|E) × P(E)) / P(A)

Où P(A) est calculé par la formule des probabilités totales :

P(A) = P(A|E) × P(E) + P(A|Ē) × P(Ē)

P(A) = (0,95 × 0,02) + (0,04 × 0,98)

P(A) = 0,019 + 0,0392 = 0,0582

Donc :

P(E|A) = 0,019 / 0,0582 ≈ 0,326.

Exercice 7

À l’IUT, parmi les étudiants, 40% suivent l’option A1, 30% suivent l’option A2 et 30% suivent l’option A3. Chaque étudiant suit une seule option. La proportion d’étudiants qui n’ont pas la moyenne dans l’option A1 est de 10%, dans l’option A2 de 5% et dans l’option A3 de 5%. On choisit un étudiant au hasard.

Calculer la probabilité qu’il n’ait pas la moyenne.
Sachant qu’il n’a pas la moyenne, calculer la probabilité a posteriori qu’il ait suivi l’option A1, A2 ou A3.

Correction 7

Pour i ∈ {1,2,3}, on note Ai = "suivre l’option Ai". On note C l’événement "ne pas avoir la moyenne".

Nous avons :

P(A1) = 0,4
P(A2) = 0,3
P(A3) = 0,3
P(C|A1) = 0,1 (10%)
P(C|A2) = 0,05 (5%)
P(C|A3) = 0,05 (5%)

Calcul de la probabilité qu’un étudiant n’ait pas la moyenne, P(C), en utilisant la formule des probabilités totales :

P(C) = P(C|A1) × P(A1) + P(C|A2) × P(A2) + P(C|A3) × P(A3)

P(C) = (0,1 × 0,4) + (0,05 × 0,3) + (0,05 × 0,3)

P(C) = 0,04 + 0,015 + 0,015 = 0,07.
Sachant qu’un étudiant n’a pas la moyenne, calculer la probabilité a posteriori qu’il ait suivi l’option Ai, P(Ai|C), en utilisant la formule de Bayes :
- P(A1|C) = (P(C|A1) × P(A1)) / P(C) = (0,1 × 0,4) / 0,07 = 0,04 / 0,07 = 4/7 ≈ 0,571.
- P(A2|C) = (P(C|A2) × P(A2)) / P(C) = (0,05 × 0,3) / 0,07 = 0,015 / 0,07 = 3/14 ≈ 0,214.
- P(A3|C) = (P(C|A3) × P(A3)) / P(C) = (0,05 × 0,3) / 0,07 = 0,015 / 0,07 = 3/14 ≈ 0,214.

Exercice 8

On a volé la Joconde. Deux ans plus tard, en perquisitionnant chez un collectionneur, la police retrouve Mona Lisa. Un doute plane sur l’authenticité de la toile retrouvée. On estime à 80% la probabilité pour que ce soit celle que Léonard a peinte.

On consulte alors deux experts en peinture de la Renaissance. Le premier, qui se trompe une fois sur cinq, déclare que le tableau est authentique. Le deuxième, qui se trompe deux fois sur onze, annonce que c’est une copie. Les conclusions des experts sont indépendantes. Calculer la probabilité d’avoir retrouvé la Joconde authentique.

Correction 8

On note :

A = "le tableau est authentique"
Ā = "le tableau est une copie"
D1 = "le premier expert déclare le tableau authentique"
D2 = "le deuxième expert déclare le tableau faux (copie)"

Les informations données sont :

P(A) = 0,8
P(Ā) = 1 - P(A) = 0,2
Le premier expert se trompe une fois sur cinq :
- P(D1|A) = 1 - 1/5 = 4/5 = 0,8 (probabilité qu'il déclare authentique si le tableau est authentique)
- P(D1|Ā) = 1/5 = 0,2 (probabilité qu'il déclare authentique si le tableau est faux)
Le deuxième expert se trompe deux fois sur onze :
- P(D2|Ā) = 1 - 2/11 = 9/11 (probabilité qu'il déclare faux si le tableau est faux)
- P(D2|A) = 2/11 (probabilité qu'il déclare faux si le tableau est authentique)

Nous cherchons la probabilité que le tableau soit authentique sachant les déclarations des deux experts, soit P(A | D1 et D2). Soit B l'événement "D1 et D2".

Les conclusions des experts étant indépendantes, nous calculons :

P(B|A) = P(D1|A) × P(D2|A) = 0,8 × (2/11) = 1,6 / 11 = 8/55.
P(B|Ā) = P(D1|Ā) × P(D2|Ā) = 0,2 × (9/11) = 1,8 / 11 = 9/55.

En utilisant la formule de Bayes :

P(A|B) = (P(B|A) × P(A)) / (P(B|A) × P(A) + P(B|Ā) × P(Ā))

P(A|B) = ((8/55) × 0,8) / ((8/55) × 0,8 + (9/55) × 0,2)

P(A|B) = (6,4/55) / (6,4/55 + 1,8/55)

P(A|B) = 6,4 / (6,4 + 1,8) = 6,4 / 8,2 = 64 / 82 = 32 / 41 ≈ 0,780.

Exercice Défi : Le Problème de Monty Hall

Monty Hall propose le jeu télévisé suivant : un candidat doit choisir entre trois portes de garages fermées. Derrière une des portes se trouve une voiture, derrière les deux autres portes se trouvent des chèvres.

Lorsque le candidat a choisi une porte, Monty (qui sait où se trouve la voiture) ouvre une des deux portes restantes pour faire apparaître une chèvre (ce qui est toujours possible). Il propose ensuite au candidat de rester devant la porte qu’il a choisie, ou bien d'en changer.

À votre avis, le candidat doit-il rester ? Changer ? Cela n’a-t-il aucune importance ? Justifiez votre réponse.

Méthodes en Probabilités Conditionnelles

Comment calculer des probabilités conditionnelles ?

Soient A et B deux événements d’un univers Ω et P une probabilité sur Ω. On cherche à calculer P(A|B).

Vérifier si le texte fournit cette information en langage commun (ex: "sachant que") ou non.
Utiliser la définition : P(A|B) = P(A∩B) / P(B).
Si on connaît P(B|A) et P(B|Ā) (où Ā est le complémentaire de A), alors en utilisant le théorème de Bayes :

P(A|B) = P(A∩B) / P(B) = P(A∩B) / (P(A∩B) + P(Ā∩B)) = (P(B|A) × P(A)) / (P(B|A) × P(A) + P(B|Ā) × P(Ā))

C'est la formule de Bayes.

Comment vérifier que deux événements sont indépendants pour une probabilité ?

Soient A et B deux événements d’un univers Ω et P une probabilité sur Ω.

Déterminer l’événement représenté par A∩B et calculer P(A∩B).
Calculer P(A) × P(B).

Les deux événements sont indépendants si et seulement si P(A∩B) = P(A) × P(B).

Comment calculer la probabilité d’une conjonction de deux événements ?

Soient A et B deux événements d’un univers Ω et P une probabilité sur Ω. On cherche à calculer P(A∩B).

Si A et B sont indépendants :
P(A∩B) = P(A) × P(B).
Si l'indépendance est inconnue ou non applicable :
- Si P(A) ≠ 0 et P(B|A) est connue, utiliser la formule :
  P(A∩B) = P(A) × P(B|A).
- Si P(B) ≠ 0 et P(A|B) est connue, utiliser la formule :
  P(A∩B) = P(B) × P(A|B).
- Si P(A∪B) est connue, utiliser la formule :
  P(A∩B) = P(A) + P(B) - P(A∪B).
- Si P((A∩B)̄) est connue (la probabilité que l'événement A et B ne se produisent pas), utiliser :
  P(A∩B) = 1 - P((A∩B)̄).
- Si P(Ā∪B̄) est connue (la probabilité qu'au moins un des deux événements ne se produise pas), utiliser :
  P(A∩B) = 1 - P(Ā∪B̄).
- En général, si d'autres probabilités impliquant les compléments sont connues (comme P(Ā∩B), P(A∩B̄)), il est possible d'exprimer P(A∩B) en fonction de celles-ci.
- Sinon, essayer de trouver un événement E de probabilité connue, incompatible avec A∩B, tel que (A∩B)∪E forme un événement de probabilité connue, et utiliser la formule P(A∩B) = P((A∩B)∪E) - P(E).

Foire Aux Questions (FAQ) sur les Probabilités Conditionnelles

Qu'est-ce qu'une probabilité conditionnelle ?

Une probabilité conditionnelle est la probabilité qu'un événement se produise, étant donné qu'un autre événement s'est déjà produit. Elle est notée P(A|B), ce qui signifie "la probabilité de A sachant B". Par exemple, la probabilité d'avoir la fièvre sachant qu'on a un rhume.

Quand utilise-t-on le théorème de Bayes ?

Le théorème de Bayes est utilisé pour inverser une probabilité conditionnelle, c'est-à-dire pour calculer P(A|B) quand on connaît P(B|A) ainsi que P(A) et P(B). Il est particulièrement utile dans les situations où les informations sont disponibles dans un sens (ex: probabilité d'un symptôme sachant une maladie) et où l'on souhaite inférer dans l'autre sens (ex: probabilité d'une maladie sachant un symptôme).

Quelle est la différence entre des événements indépendants et des événements disjoints ?

Des événements sont indépendants si la réalisation de l'un n'affecte pas la probabilité de l'autre. Par exemple, lancer deux dés. La probabilité d'obtenir un 6 sur le premier dé est indépendante de celle d'obtenir un 6 sur le second. Mathématiquement, P(A∩B) = P(A) × P(B).

Des événements sont disjoints (ou mutuellement exclusifs) s'ils ne peuvent pas se produire en même temps. Par exemple, obtenir un 1 et un 2 sur un seul lancer de dé. Mathématiquement, P(A∩B) = 0.

Il est important de noter que des événements disjoints (sauf si l'un a une probabilité de 0) ne peuvent pas être indépendants, car la réalisation de l'un rend la probabilité de l'autre nulle (P(B|A) = 0 si A et B sont disjoints et P(A)>0).