Probabilités et Statistiques : TD Probabilités feuille n◦ 4 Probabilités conditionnelles
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DUT InformatiqueTD Probabilit ́esfeuille n◦ 4
Probabilit ́es conditionnelles
Exercice 1Dans une usine, on utilise conjointement deux machinesM1 etM2 pour fabriquer des pi`eces
cylindriques en s ́erie. Pour une p ́eriode donn ́ee, leurs probabilit ́es de tomber en panne sont respectivement 0,01
et 0,008. De plus la probabilit ́e de l’ ́ev ́enement “la machine M2 est en panne sachant que M1 est en panne” est ́egale `a 0,4.
1. Quelle est la probabilit ́e d’avoir les deux machines en panne au mˆeme moment ?
2. Quelle est la probabilit ́e d’avoir au moins une machine qui fonctionne ?F Exercice 2` A l’IUT de Digne, 40% de gar ̧cons et 15% des filles mesurent plus de 1,80m. De plus, 60% des ́el`eves sont des filles. Sachant qu’un ́el`eve, choisi au hasard, mesure plus de 1,80m, quelle est la probabilit ́e que
ce soit une fille ?F
Exercice 3Dans une universit ́e, une enquˆete sur le tabagisme a donn ́e les r ́esultats suivants :
HommesFemmes
Fumeurs42075
Non fumeurs280225
On choisit au hasard l’une des 1000 personnes interrog ́ees. On noteAl’ ́ev ́enement “en r ́eponse `a l’enquˆete, la
personne a d ́eclar ́e fumer” et on noteBl’ ́ev ́enement “en r ́eponse `a l’enquˆete, la personne a d ́eclar ́e ˆetre du sexe
f ́eminin”.
1.AetBsont-ils ind ́ependants pour l’ ́equiprobabilit ́ePd ́efinie sur l’ensemble des 1000 personnes inter-
rog ́ees ?
2. Mˆeme question pour la mˆeme enquˆete dans une autre universit ́e ou les r ́esultats sont consign ́es dans le
tableau suivant :
HommesFemmes
Fumeurs440360
Non fumeurs11090F Exercice 4Au cours de la fabrication d’un certain type de lentilles, chacune de ces lentilles doit subir deux
traitements not ́esT1 etT2 . On pr ́el`eve au hasard une lentille dans la production.
On d ́esigne parAl’ ́ev ́enement : ”la lentille pr ́esente un d ́efaut pour le traitementT1 ”.
On d ́esigne parBl’ ́ev ́enement : ”la lentille pr ́esente un d ́efaut pour le traitementT2 ”.
Une ́etude a montr ́e que :
•la probabilit ́e qu’une lentille pr ́esente un d ́efaut pour le traitementT1 estP(A) = 0,10 ;
•la probabilit ́e qu’une lentille pr ́esente un d ́efaut pour le traitementT2 estP(B) = 0,20 ;
•la probabilit ́e qu’une lentille pr ́esente aucun des deux d ́efauts est 0,75.
1. Calculer la probabilit ́e qu’une lentille, pr ́elev ́ee au hasard dans la production, pr ́esente un d ́efaut pour au
moins un des deux traitementsT1 ouT2 .
2. Calculer la probabilit ́e qu’une lentille, pr ́elev ́ee au hasard dans la production, pr ́esente un d ́efaut pour les
deux traitementsT1 etT2 .
3. Les ́ev ́enementsT1 etT2 sont ils ind ́ependants ?
4. Calculer la probabilit ́e qu’une lentille, pr ́elev ́ee au hasard dans la production, pr ́esente un d ́efaut pour un
seul des deux traitements.
5. Calculer la probabilit ́e qu’une lentille, pr ́elev ́ee au hasard dans la production, pr ́esente un d ́efaut pour le
traitementT2 , sachant qu’il pr ́esente un d ́efaut pour le traitementT1 .F 1
Exercice 5Dans une population Ω, deux maladiesM1 etM2 sont pr ́esentes respectivement chez 10% et 20%.
On suppose que le nombre de ceux qui souffrent des deux maladies est n ́egligeable. On entreprend un d ́epistage
syst ́ematique des maladiesM1 etM2 . Pour cela, on applique un test qui r ́eagit sur 90% des malades deM1 , sur
70% des maladesM2 , et sur 10% des individus qui n’ont aucune de ces deux affections.
1. Quand on choisit au hasard un individuωdans Ω, quelle est la probabilit ́e pour que le test r ́eagisse ?
2. Sachant que pour un individuω, le test a r ́eagi, donner les probabitit ́es :
– pour que le test ait r ́eagi `a cause de la maladieM1 .
– pour que le test ait r ́eagi `a cause de la maladieM2 .
– pour que le test ait r ́eagi alors que l’individu n’est infect ́e par qu’aucune des deux maladiesM1 etM2 .F Exercice 6Un laboratoire a mis au point un alcootest. On sait que 2% des personnes contrˆol ́ees par la police
sont r ́eellement en ́état d’ ́ebri ́et ́e. Les premiers essais ont conduit aux r ́esultats suivants :
– lorsqu’une personne est r ́eellement en ́état d’ ́ebri ́et ́e, 95 fois sur 100 l’alcootest se r ́ev`ele positif ;
– lorsqu’une personne n’est pas en ́état d’ ́ebri ́et ́e, 96 fois sur 100 l’alcootest se r ́ev`ele n ́egatif.
Quelle est la probabilit ́e pour qu’une personne soit r ́eellement en ́état d’ ́ebri ́et ́e lorsque l’alcootesr est positif ?F Exercice 7A l’IUT, parmi les ́etudiants 40% suivent l’optionA1 , 30% suivent l’optionA2 et 30% suivent
l’optionA3 . Chaque ́etudiant suive une seule option. La proportion d’ ́etudiants qui n’ont pas la moyenne dans
l’optionA1 est de 10%, dans l’optionA2 de 5% et dans l’optionA3 de 5%. On choisit un ́etudiant au hasard.
1. Calculer la probabilit ́e qu’il n’ait pas la moyenne.
2. Sachant qu’il n’a pas la moyenne, calculer la probabilit ́e a posteriori qu’il ait suivi l’optionA1 ,A2 ouA3 .F Exercice 8On a vol ́e la Joconde. Deux ans plus tard, en perquisitionnant chez un collectionneur, la police
retrouve Mona Lisa. Un doute plane sur l’authenticit ́e de la toile retrouv ́ee. On estime `a 80% la probabilit ́e
pour que ce soit celle que L ́eonard a peinte. On consulte alors deux experts en peinture de la Renaissance. Le
premier, qui se trompe une fois sur cinq, d ́eclare que le tableau est authentique. Le deuxi`eme, qui se trompe
deux fois sur onze, annonce que c’est une copie. Les conclusions des experts sont ind ́ependantes. Calculer la
probabilit ́e d’avoir retrouv ́e la Joconde authentique.F
Exercice d ́efiMonty Hall propose le jeux t ́el ́evis ́e suivant : un candidat doit choisir entre trois portes de garages
ferm ́ees. Derri`ere une des portes se trouve une voiture, derri`ere les autres portes se trouvent une ch`evre. Lorsque
le candidat a choisi une porte, Monty ouvre une des deux portes restantes pour faire apparaitre une ch`evre (ce
qui est possible). Il propose ensuite au candidat de rester devant la porte qu’il a choisi, ou bien de changer.
A votre avis, le candidat doit-il rester ? changer ? cela n’a aucune importance ?
(Justifier votre r ́eponse)A Pour vos r ́evisions, vous pouvez vous aider du cours en ligne suivant : 2
IUT Aix-en-ProvenceAnn ́ee 2012-2013
DUT InformatiqueTD Probabilit ́esfeuille n◦ 4
Probabilit ́es conditionnelles (Solutions)
Correction 11.P(M1∩M2) =P(M1)P(M2/M1) = 0,01×0,4 = 0,004.2.P( M1∪M2) = 1−P(M1∩M2) = 0,996
Correction 2T: “ ́ev ́enement mesur ́e plus de 1,80m”
F: “ ́ev ́enement ˆetre une fille”
On aP(F) = 0,6,P(T/
F) = 0,4 etP(T/F) = 0,15. Ainsi :P(F/T) =P(F∩T) P(T∩F) +P(T∩F)= P(F)×P(T/F)
P(F)×P(T/F) +P(F)×P(T/F)
= 0,36.
Correction 31.P(A) = 0,495,P(B) = 0,3 etP(A∩B) = 0,075. Comme 0,495×0,3 = 0,14856= 0,075,
les ́ev ́enements ne sont pas ind ́ependants.
2.P(A) = 0,8,P(B) = 0,45 etP(A∩B) = 0,36. Comme 0,8×0,45 = 0,36, les ́ev ́enements sont
ind ́ependants.
Correction 41.P(A∪B) = 1−P(
A∪B) = 1−P(A∩B) = 1−0,75 = 0,25
2.P(A∩B) =P(A) +P(B)−P(A∪B) = 0,1 + 0,2−0,25 = 0,05
3. Non carP(A∩B)6=P(A)×P(B)
4. L’ ́ev ́enement ”la lentille pr ́esente un d ́efaut pour les deux traitementsT1 etT2 ” est repr ́esent ́e par :
D= (A∩
B)∪(A∩B) = (ArA∩B)∪(BrA∩B)
AinsiP(D) =P(A∩B) +P(A∩B) = (P(A)−P(A∩B)) + (P(B)−P(A∩B)) =···= 0,2
5.P(B|A) =P(B∩A) P(A)= 0,050,1 = 0,5
Correction 5On note :–M 1
=”ˆetre atteint parM1 ”,–M 2
=”ˆetre atteint parM2 ”,
–N=”ˆetre atteint par aucune maladie”
–R=”le test r ́eagit”.
Le texte dit :P(M1 ) = 0,1,P(M2 ) = 0,2,P(N) = 0,7,P(R|M1 ) = 0,9,P(R|M2 ) = 0,7 etP(R|N) = 0,1,
1.P(R) =P(M1 ∩R)+P(M2 ∩R)+P(N∩R) =P(M1 )×P(R|M1 )+P(M2 )×P(R|M2 )+P(N)×P(R|N) =0,3. 2. –P(M1 |R) =P(M 1∩R) P(R)
= 0,3–P(M 2
|R) =P(M 2∩R) P(R)= 715 ≈0,47
–P(N|R) =P(N∩R) P(R)= 730 ≈0,23
Correction 6SoientE= ” la personne contrˆol ́ee est en ́état d’ ́ebri ́et ́e ” etA= ”l’alcootest est positif”. Les
indications fournies peuvent s’ ́ecrire :P(E) = 0,02,P(A|E) = 0,95 etP(
A|E) = 0,96. On a :P(E|A) =P(A∩E) P((A∩E)∪(A∩E))= P(E)×P(A|E)
P(E)×P(A|E) +P(E)×P(A|E)≈0,326 1
Correction 7Pouri∈ {1,2,3}, on noteBi = ”suivre l’optionAi ”. On noteCl’ ́ev ́enement ne pas avoir la
moyenne. On aP(A 1
) = 0,4P(A2 ) = 0,3P(A3 ) = 0,3P(C|A1 ) = 0,1P(C|A2 ) = 0,5P(C|A3 ) = 0,5.
1.P(C) =P(C|A1 )×P(A1 ) +P(C|A2 )×P(A2 ) +P(C|A3 )×P(A3 ).2.P(A i
|C) =P(C|A i)×P(A i) P(C)
Correction 8On note :
–A=“le tableau est authentique”,
–B= “le premier expert d ́eclare le tableau authentique, le deuxi`eme le d ́eclare faux” =E1 ∩E 2, –E1 =“le premier expert a raison”,–E 2
=“le deuxi`eme expert a raison”.
On aP(A) = 0,8,P(
A) = 0,2,P(E1 ) = 0,4,P(E2 ) =9 11
. On aP(B|A) =P(E1 |A)P(E2 |A) etP(B|A) =P( E2 |A)P(E1 |A).
P(A|B) =
P(A)P(B|A)
P(A)P(B|A) +P(A)P(B|A)≈0,84 2
IUT Aix-en-ProvenceAnn ́ee 2012-2013
DUT InformatiqueTD Probabilit ́esfeuille n◦ 4
Probabilit ́es conditionnelles (M ́ethodes)
ZComment calculer des probabilit ́es conditionnelles ?
SoientAetBdeux ́ev ́enements d’un univers Ω etPune probabilit ́e sur Ω. On cherche `a calculerPB (A) =P(A/B). •V ́erifier si le texte fournit cette information en langage commun ou non.
•Utiliser la d ́efinition :PB (A) =P(A/B) =P(A∩B) P(B). •Si on connaˆıtP(B/A) etP(B/
A) alors :P(A/B) =P(A∩B) P(B)= P(A∩B)
P((A∩B)∪(A∩B))= P(A∩B)
P(A∩B) +P(A∩B)= P(A)×P(B/A)
P(A)×P(B/A) +P(A)×P(B/A)
On retrouve la formule de Bayes !
ZComment v ́erifier que deux ́ev ́enements sont ind ́ependants pour une probabilit ́e ?
SoientAetBdeux ́ev ́enements d’un univers Ω etPune probabilit ́e sur Ω.
1. D ́eterminer l’ ́ev ́enement repr ́esent ́e parA∩Bet calculerP(A∩B).
2. CalculerP(A)×P(B).
Les deux ́ev ́enements sont ind ́ependants si et seulement siP(A∩B) =P(A)×P(B).
ZComment calculer la probabilit ́e d’une conjonction de deux ́ev ́enements ?
SoientAetBdeux ́ev ́enements d’un univers Ω etPune probabilit ́e sur Ω. On cherche `a calculerP(A∩B).
•On sait queAetBsont ind ́ependants pour la probabilit ́eP. Utiliser la formule :
P(A∩B) =P(A)×P(B).
•On ignore siAetBsont ind ́ependants pour la probabilit ́eP, alors :
−siP(A)6= 0 etP(B/A) est connue, utiliser la formule :
P(A∩B) =P(A)×P(B/A).
−siP(B)6= 0 etP(A/B) est connue, utiliser la formule :
P(A∩B) =P(B)×P(A/B).
−siP(A∪B) est connue, utiliser la formule :
P(A∩B) =P(A) +P(B)−P(A∪B).−siP( A∩B) ouP(A∪B) ouP(A∩B) sont connues, exprimerA∩Ben fonction deA∩BouA∪Bou
A∩Bet utiliser les formules de probabilit ́e classique. Par exemple on obtient les expressions suivantes :P(A∩B) =1−P( A∩B)P(A∩B) =1−P( A∪B)P(A∩B) =
1−P(A)−P(B) +P(A∩B)
−sinon, essayer de trouver un ́ev ́enementEde probabilit ́e connue, incompatible avecA∩B, tel que
(A∩B)∪Eforme un ́ev ́enement de probabilit ́e connue, et utiliser la formuleP(A∩B) =P((A∩B)∪
E)−P(E).
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