Série d'exercices corriges vocabulaire des probabilités

Probabilités et Statistiques : PROBABILITES – EXERCICES CORRIGES

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Probabilités – Exercices Corrigés

Vocabulaire des probabilités

Exercice n°1

Dans chacune des situations décrites ci-dessous, énoncer l’événement contraire de l’événement donné.

Dans une classe, on choisit deux élèves au hasard. A : « Les deux élèves sont des filles ».
Dans un groupe de Suisses et de Belges, on discute avec une personne. B : « La personne est un homme belge ».
Au restaurant, Luc prend un plat et un dessert. C : « Luc prend une viande et une glace ».
À une loterie, Elise achète 3 billets. D : « L’un des billets au moins est gagnant » ; E : « Deux billets au maximum sont gagnants ».

Exercice n°2

Une urne contient des boules blanches, noires et rouges. On tire une boule de l’urne. On note :

A : « Tirer une boule blanche ».
B : « Tirer une boule ni blanche ni rouge ».
C : « Tirer une boule noire ou une boule rouge ».

A et B sont-ils incompatibles ?
B et C sont-ils incompatibles ?
Traduire par une phrase ne comportant pas de négation A et B.

Exercice n°3

Lors d’un jet de deux dés cubiques, on s’intéresse aux événements suivants :

A : « La somme obtenue est au moins égale à 5 ».
B : « La somme obtenue est au plus égale à 5 ».
C : « La somme obtenue est strictement inférieure à 3 ».

A et B sont-ils contraires ?
B et C sont-ils incompatibles ?
Traduire par une phrase C.
A et C sont-ils incompatibles ?

Dénombrements simples et probabilités - équiprobabilité

Exercice n°4

On choisit une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. On note :

A l'événement : "La carte choisie est un pique".
B l'événement : "La carte choisie est rouge (cœur ou carreau)".
C l'événement : "La carte choisie est une figure (valet, dame, roi)".

Présenter un modèle mathématique décrivant l’expérience aléatoire.
Déterminer les probabilités des événements A, B, C, A ∩ B, B ∩ C, A ∪ B, A ∪ C.
Déterminer la probabilité de l'événement D : "La carte choisie n'est ni un pique ni une figure".

Exercice n°5

On jette une pièce de monnaie 3 fois de suite.

Donner la liste de tous les résultats possibles en notant P pour Pile et F pour Face (exemple : PPF).
Donner la probabilité des événements suivants : A « le tirage ne comporte que des Piles ». B « le tirage comporte au moins une fois Face ».

Exercice n°6

Dans une assemblée de 250 personnes, on ne remarque que les hommes portant la cravate ou ayant les yeux bleus. Il y a 120 hommes qui portent la cravate, 85 hommes qui ont les yeux bleus, dont 50 portent la cravate. On discute avec une personne choisie au hasard dans cette assemblée.

Quelle est la probabilité que ce soit un homme portant la cravate ?
Quelle est la probabilité que ce soit un homme aux yeux bleus et portant la cravate ?
Quelle est la probabilité que ce soit un homme aux yeux bleus ou portant la cravate ?
Quelle est la probabilité de discuter avec une personne qui n’est ni un homme aux yeux bleus, ni un homme portant la cravate ?

Exercice n°7

Lors d’un référendum, deux questions étaient posées. 65 % des personnes ont répondu « oui » à la première question, 51 % ont répondu « oui » à la seconde question, et 46 % ont répondu « oui » aux deux questions.

Quelle est la probabilité qu’une personne ait répondu « oui » à l’une ou l’autre des questions ?
Quelle est la probabilité qu’une personne ait répondu « non » aux deux questions ?

Autres situations

Exercice n°8

On lance un dé à 6 faces. On note p_i la probabilité de sortie de la face marquée i. Ce dé est truqué de telle sorte que les probabilités de sortie des faces sont : p₁ = 0,1 ; p₂ = 0,2 ; p₃ = 0,3 ; p₄ = 0,1 ; p₅ = 0,15. Quelle est la probabilité de sortie de la face marquée 6 ? Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair ?

Exercice n°9

On lance un dé à 6 faces. On suppose que la probabilité d’apparition de chaque face est proportionnelle au numéro inscrit sur elle. Calculer la probabilité d’apparition de chaque face. Calculer la probabilité d’obtenir un nombre pair.

Arbre pondéré

Exercice n°10

Dans un lycée, quel que soit le niveau, un élève peut être externe ou demi-pensionnaire. L’arbre ci-contre indique la répartition selon le niveau et la qualité de l’élève (E : externe ; DP : demi-pensionnaire)

Recopier et compléter cet arbre.
1. Déterminer le pourcentage d’élèves externes dans ce lycée.
2. Déterminer la part des Terminales parmi les externes.

Probabilités conditionnelles

Exercice n°11

Dans un magasin d’électroménager, on s’intéresse au comportement d’un acheteur potentiel d’un téléviseur et d’un magnétoscope. La probabilité pour qu’il achète un téléviseur est de 0,6. La probabilité pour qu’il achète un magnétoscope quand il a acheté un téléviseur est de 0,4. La probabilité pour qu’il achète un magnétoscope quand il n’a pas acheté de téléviseur est de 0,2.

Quelle est la probabilité pour qu’il achète un téléviseur et un magnétoscope ?
Quelle est la probabilité pour qu’il achète un magnétoscope ?
Le client achète un magnétoscope. Quelle est la probabilité qu’il achète un téléviseur ?
Compléter l’arbre de probabilité suivant :

Exercice n°12

On dispose de deux urnes U₁ et U₂. L’urne U₁ contient trois boules blanches et une boule noire. L’urne U₂ contient une boule blanche et deux boules noires. On lance un dé non truqué. Si le dé donne un numéro inférieur ou égal à 2, on tire une boule dans l’urne U₁. Sinon on tire une boule dans l’urne U₂. (On suppose que les boules sont indiscernables au toucher)

Calculer la probabilité de tirer une boule blanche.
On a tiré une boule blanche. Calculer la probabilité qu’elle provienne de l’urne U₁.

Exercice n°13

Le quart d’une population a été vacciné contre une maladie contagieuse. Au cours d’une épidémie, on constate qu’il y a parmi les malades un vacciné pour quatre non vaccinés. On sait de plus qu’au cours de cette épidémie, il y avait un malade sur douze parmi les vaccinés.

Démontrer que la probabilité de tomber malade est égale à 5/48.
Quelle était la probabilité de tomber malade pour un individu non-vacciné ?
Le vaccin est-il efficace ?

Variable aléatoire

Exercice n°14

Une urne contient sept boules : une rouge, deux jaunes et quatre vertes. Un joueur tire au hasard une boule. Si elle est rouge, il gagne 10 €, si elle est jaune, il perd 5 €, si elle est verte, il tire une deuxième boule de l'urne sans avoir replacé la première boule tirée. Si cette deuxième boule est rouge, il gagne 8 €, sinon il perd 4 €.

Construire un arbre pondéré représentant l'ensemble des éventualités de ce jeu.
Soit X la variable aléatoire associant à chaque tirage le gain algébrique du joueur (une perte est comptée négativement).
1. Établir la loi de probabilité de la variable X.
2. Calculer l'espérance de X.
Les conditions de jeu restent identiques. Indiquer le montant du gain algébrique qu'il faut attribuer à un joueur lorsque la boule tirée au deuxième tirage est rouge, pour que l'espérance de X soit nulle.

Exercice n°15

On considère un dé rouge et un dé vert, cubiques, équilibrés. Le dé rouge comporte : deux faces numérotées −1 ; deux faces numérotées 0 ; deux faces numérotées 1. Le dé vert comporte : une face numérotée 0 ; trois faces numérotées 1 ; deux faces numérotées 2. On lance simultanément les deux dés. On note X la somme des points obtenus.

Déterminer la loi de probabilité de X.
Définir F, fonction de répartition de X et construire sa représentation graphique.

Événements indépendants

Exercice n°16

Le tableau suivant donne la répartition de 150 stagiaires en fonction de la langue choisie et de l’activité sportive choisie. On choisit un élève au hasard.

	Tennis	Équitation	Voile
Anglais	45	18	27
Allemand	33	9	18

Les événements « étudier l’allemand » et « pratiquer le tennis » sont-ils indépendants ?
Les événements « étudier l’anglais » et « pratiquer la voile » sont-ils indépendants ?

Loi Binomiale

Exercice n°17

Dans une académie, les élèves candidats au baccalauréat série ES se répartissent en 2003 selon les trois enseignements de spécialité : mathématiques, sciences économiques et sociales et langue vivante. Nous savons de plus que :

37% des candidats ont choisi l’enseignement de spécialité mathématiques.
25% des candidats ont choisi l’enseignement de spécialité langue vivante.
21% des candidats ont choisi l’enseignement de spécialité mathématiques et ont obtenu le baccalauréat.
32,5% des candidats ont choisi l’enseignement de spécialité SES et ont obtenu le baccalauréat.
De plus, parmi les candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité langue vivante, 72,5% ont obtenu le baccalauréat.

On interroge un candidat pris au hasard. On note :

M l’événement « le candidat a choisi l’enseignement de spécialité mathématiques » ;
S l’événement « le candidat a choisi l’enseignement de spécialité sciences économiques et sociales » ;
L l’événement « le candidat a choisi l’enseignement de spécialité langue vivante » ;
R l’événement « le candidat a obtenu le baccalauréat ».

On pourra faire un arbre pour faciliter la réponse aux questions. Les résultats seront arrondis au millième.

Traduire en termes de probabilités les informations numériques données ci-dessus.
1. Déterminer la probabilité pour que ce candidat ait choisi l’enseignement de SES.
2. Déterminer la probabilité pour que ce candidat ait choisi l’enseignement de spécialité langue vivante et ait réussi aux épreuves du baccalauréat.
Quelle est la probabilité pour que ce candidat ait choisi l’enseignement de spécialité langue vivante et ait échoué au baccalauréat ?
Ce candidat a choisi l’enseignement de spécialité mathématiques. Quelle est la probabilité qu’il n’ait pas obtenu le baccalauréat ?
Montrer que le pourcentage de réussite au baccalauréat pour les candidats de ES dans cette académie est 71,6%.
On interroge successivement au hasard et de façon indépendante trois candidats.
1. Quelle est la probabilité qu’au moins l’un d’entre eux soit reçu ?
2. Quelle est la probabilité que deux candidats sur trois exactement soient reçus ?

Exercice n°18

On utilise deux pièces de monnaie : l’une pipée, de sorte que lorsqu’on la lance, la probabilité d’obtenir pile soit 1/4 ; l’autre normale dont la probabilité d’obtenir pile est 1/2 à chaque lancer.

On prend une pièce au hasard (chacune des deux pièces a une probabilité 1/2 d’être prise)
1. Quelle est la probabilité d’obtenir pile ?
2. On a obtenu pile : quelle est la probabilité d’avoir utilisé la pièce pipée ?
3. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins une fois pile en faisant trois lancers avec la pièce choisie ?
Trois fois on choisit l’une des pièces au hasard qu’on lance (chacune des deux pièces a donc à chaque fois une probabilité 1/2 d’être lancée) : déterminer la probabilité d’obtenir au moins une fois pile.
On lance les deux pièces ensemble : quelle est la probabilité d’obtenir le même résultat pour les deux pièces ?

Exercice n°19

On sélectionne les candidats à un jeu télévisé en les faisant répondre à dix questions. Ils devront choisir, pour chacune des questions, parmi quatre affirmations, celle qui est exacte. Un candidat se présente et répond à toutes les questions au hasard. On appelle X la variable aléatoire désignant le nombre de réponses exactes données par ce candidat à l’issue du questionnaire.

Quelle est la loi de probabilité de X ?
Calculer la probabilité pour qu’il fournisse au moins 8 bonnes réponses, et soit ainsi sélectionné.

Exercice n°20

Une urne contient 3 pièces équilibrées. Deux d'entre elles sont normales : elles possèdent un côté « Pile » et un côté « Face ». La troisième est truquée et possède deux côtés « Face ». On prend une pièce au hasard dans l'urne et on effectue de manière indépendante des lancers successifs de cette pièce. On considère les événements suivants :

B : la pièce prise est normale.
B' : la pièce prise est truquée.
P : on obtient « Pile » au premier lancer.
F_n : on obtient « Face » pour les n premiers lancers.

1. Quelle est la probabilité de l'événement B ?
2. Quelle est la probabilité de l'événement P sachant que B est réalisé ?
Calculer la probabilité de l'événement P ∩ B, puis de l'événement P ∩ B'. En déduire la probabilité de l'événement P.
Calculer la probabilité de l’événement F_n ∩ B puis de l'événement F_n ∩ B'. En déduire la probabilité de l'événement F_n.

Exercice n°21

Un sondage est effectué dans un conservatoire de musique. 60 % des élèves pratiquent un instrument à cordes (C). 45 % des élèves pratiquent un instrument à vent (V). 10 % des élèves pratiquent un instrument à cordes et vent.

On choisit un élève au hasard dans le conservatoire.
1. Quelle est la probabilité de l’événement « Cet élève pratique au moins un des instruments considérés » ?
2. Quelle est la probabilité de l’événement « Cet élève pratique un et un seul des instruments considérés » ?
On choisit au hasard un élève pratiquant un instrument C. Quelle est la probabilité pour que cet élève pratique un instrument V ?
Soit n un entier supérieur ou égal à 2. On choisit au hasard n élèves. On suppose que le nombre d’élèves du conservatoire est suffisamment grand pour que la probabilité de rencontrer un instrumentiste du type donné soit constante au cours du sondage.
1. Quelle est la probabilité p_n qu’au moins un des élèves choisis pratique un instrument C ?
2. Déterminer le plus petit entier n tel que p_n ≥ 0,999.

Dénombrements et probabilités

Exercice n°22

Une urne contient 10 bulletins indiscernables au toucher, de 3 sortes : 4 sont marqués « oui », 3 sont marqués « non » et 3 sont marqués « blanc ». Un joueur tire simultanément deux bulletins de l’urne. Quelle est la probabilité qu’il obtienne un tirage de deux bulletins de sortes différentes ?

Exercice n°23

Un sac contient 5 jetons verts (numérotés de 1 à 5) et 4 jetons rouges (numérotés de 1 à 4).

On tire successivement et au hasard 3 jetons du sac, sans remettre le jeton tiré. Calculer les probabilités :
1. De ne tirer que 3 jetons verts ;
2. De ne tirer aucun jeton vert ;
3. De tirer au plus 2 jetons verts ;
4. De tirer exactement 1 jeton vert.
On tire simultanément et au hasard 3 jetons du sac. Reprendre alors les questions a), b), c) et d).

Graphes probabilistes

Exercice n°24

Deux fabricants de parfum lancent simultanément leur nouveau produit qu’ils nomment respectivement Aurore et Boréale. Afin de promouvoir celui-ci, chacun organise une campagne de publicité. L’un d’eux contrôle l’efficacité de sa campagne par des sondages hebdomadaires. Chaque semaine, il interroge les mêmes personnes qui toutes se prononcent en faveur de l’un de ces deux produits. Au début de la campagne, 20 % des personnes interrogées préfèrent Aurore et les autres préfèrent Boréale. Les arguments publicitaires font évoluer cette répartition : 10% des personnes préférant Aurore et 15 % des personnes préférant Boréale changent d’avis d’une semaine sur l’autre. La semaine du début de la campagne est notée semaine 0. Pour tout entier naturel n, l’état probabiliste de la semaine n est défini par la matrice ligne P_n = (a_n ; b_n), où a_n désigne la probabilité qu’une personne interrogée au hasard préfère Aurore la semaine n et b_n la probabilité que cette personne préfère Boréale la semaine n.

Déterminer la matrice ligne P₀ de l’état probabiliste initial.
Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B, A pour Aurore et B pour Boréale.
1. Écrire la matrice de transition M de ce graphe en respectant l’ordre alphabétique des sommets.
2. Montrer que la matrice ligne P₁ est égale à (0,3 ; 0,7).
1. Exprimer, pour tout entier naturel n, P_n en fonction de P₀ et de n.
2. En déduire la matrice ligne P₃. Interpréter ce résultat.
Dans la question suivante, toute trace de recherche même incomplète ou d’initiative même non fructueuse sera prise en compte dans l’évaluation. Soit P = (a ; b) la matrice ligne de l’état probabiliste stable.
1. Déterminer a et b.
2. Le parfum Aurore finira-t-il par être préféré au parfum Boréale ? Justifier.

Foire Aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce qu'un événement contraire en probabilité ?

Un événement contraire (ou complémentaire) à un événement A est l'événement qui se réalise si et seulement si A ne se réalise pas. Par exemple, si A est "obtenir un nombre pair en lançant un dé", l'événement contraire est "obtenir un nombre impair".

Quand dit-on que deux événements sont incompatibles ?

Deux événements sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se produire en même temps. Leur intersection est l'ensemble vide, ce qui signifie que la probabilité qu'ils se produisent simultanément est nulle. Par exemple, "obtenir Pile" et "obtenir Face" lors d'un même lancer de pièce sont des événements incompatibles.

Qu'est-ce que l'équiprobabilité dans un contexte probabiliste ?

L'équiprobabilité signifie que toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire ont la même probabilité de se produire. Par exemple, lorsque vous lancez un dé non truqué, chaque face a une probabilité de 1/6 d'apparaître, car toutes les faces sont considérées comme également probables.

Probabilités – Correction des Exercices

Exercice n°1

L’événement contraire de A : « Les deux élèves sont des filles » est « Au moins un des deux élèves est un garçon ».
L’événement contraire de B : « La personne est un homme belge » est « La personne est soit une femme, soit un Suisse (homme ou femme) ».
L’événement contraire de C : « Luc prend une viande et une glace » est « Luc ne prend pas de viande ou ne prend pas de glace ».
L’événement contraire de D : « L’un des billets au moins est gagnant » est « Aucun billet n’est gagnant ».
L’événement contraire de E : « Deux billets au maximum sont gagnants » est « Les trois billets sont gagnants ».

Exercice n°2

A et B sont incompatibles car une boule ne peut être simultanément blanche et ni blanche ni rouge.
B et C ne sont pas incompatibles car le tirage d’une boule noire les réalise simultanément.
L’événement A et B est « tirer une boule blanche et noire ».

Exercice n°3

A et B ne sont pas contraires car une somme égale à 5 les réalise simultanément.
B et C sont incompatibles car la somme ne peut être simultanément supérieure ou égale à 5 (événement B) et strictement inférieure à 3 (événement C).
L’événement C est « La somme est supérieure ou égale à 3 ».
A et C ne sont pas incompatibles car ils sont simultanément réalisés par une somme supérieure ou égale à 5.

Exercice n°4

On note Ω l’univers des possibles, ensemble des 32 cartes du jeu. Ainsi Card(Ω) = 32. Il y a équiprobabilité des tirages de cartes.
P(A) = Card(A) / Card(Ω) = 8 / 32 = 1/4

P(B) = Card(B) / Card(Ω) = 16 / 32 = 1/2

P(C) = Card(C) / Card(Ω) = 12 / 32 = 3/8 (4 valets, 4 dames, 4 rois)

P(A ∩ B) = 0 car une carte ne peut être simultanément rouge et pique.

P(B ∩ C) = Card(B ∩ C) / Card(Ω) = 6 / 32 = 3/16 (3 figures de cœur et 3 figures de carreau)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 1/4 + 1/2 - 0 = 3/4

P(A ∪ C) = P(A) + P(C) - P(A ∩ C) = 8/32 + 12/32 - 3/32 = 17/32 (A ∩ C correspond aux 3 piques figures)
On cherche P(D), où D est "La carte choisie n'est ni un pique ni une figure", soit l'événement (A ∪ C)'. P(D) = 1 - P(A ∪ C) = 1 - 17/32 = 15/32.

Exercice n°5

A l’aide d’un arbre, on peut lister {PPP ; PPF ; PFP ; PFF ; FPP ; FPF ; FFP ; FFF}. D’où Card(Ω) = 8.
Les tirages étant équiprobables, on a : P(A) = Card(A) / Card(Ω) = 1/8 (seul le tirage PPP convient). Enfin, on remarque que B est l'événement contraire de A (B = A'), donc P(B) = 1 - P(A) = 1 - 1/8 = 7/8.

Exercice n°6

Le tableau suivant permet de dénombrer les différentes catégories :

	Cravate (C)	Pas de Cravate (C')	Total
Yeux Bleus (B)	50	35	85
Yeux non bleus (B')	70	95	165
Total	120	130	250

On note Ω l’univers des possibles, ensemble des 250 personnes. Ainsi Card(Ω) = 250. Il y a équiprobabilité des choix de personnes.

P(C) = Card(C) / Card(Ω) = 120 / 250 = 12 / 25.
P(B ∩ C) = Card(B ∩ C) / Card(Ω) = 50 / 250 = 1 / 5.
P(B ∪ C) = P(B) + P(C) - P(B ∩ C) = 85/250 + 120/250 - 50/250 = (85 + 120 - 50) / 250 = 155 / 250 = 31 / 50.
La probabilité de discuter avec une personne qui n’est ni un homme aux yeux bleus, ni un homme portant la cravate est P(B' ∩ C'). C'est l'événement contraire de (B ∪ C). P(B' ∩ C') = P((B ∪ C)') = 1 - P(B ∪ C) = 1 - 31/50 = 19/50.

Exercice n°7

Si on note A l’événement « la personne a répondu oui à la première question » et B l’événement « la personne a répondu oui à la deuxième question », l’énoncé nous fournit P(A) = 0,65 , P(B) = 0,51 et P(A ∩ B) = 0,46.

On calcule P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0,65 + 0,51 - 0,46 = 0,7.
On calcule P(A' ∩ B') = P((A ∪ B)') = 1 - P(A ∪ B) = 1 - 0,7 = 0,3.

Exercice n°8

Si on note p₆ la probabilité d’apparition du chiffre 6, la somme des probabilités des événements élémentaires valant 1, on a : p₁ + p₂ + p₃ + p₄ + p₅ + p₆ = 1 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,1 + 0,15 + p₆ = 1 0,85 + p₆ = 1 p₆ = 1 - 0,85 = 0,15. L’événement A « obtenir un nombre pair » étant {2 ; 4 ; 6}, on a P(A) = p₂ + p₄ + p₆ = 0,2 + 0,1 + 0,15 = 0,45.

Exercice n°9

Soit p_i la probabilité d'apparition de la face i. On suppose que p_i est proportionnelle à i. Donc il existe un réel k tel que p_i = k × i.

La somme des probabilités des événements élémentaires doit être égale à 1 :

p₁ + p₂ + p₃ + p₄ + p₅ + p₆ = 1

k × 1 + k × 2 + k × 3 + k × 4 + k × 5 + k × 6 = 1

k × (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 1

k × 21 = 1, donc k = 1/21.

Les probabilités d'apparition de chaque face sont :

p₁ = 1/21
p₂ = 2/21
p₃ = 3/21 = 1/7
p₄ = 4/21
p₅ = 5/21
p₆ = 6/21 = 2/7

La probabilité d’obtenir un nombre pair est P(« Pair ») = p₂ + p₄ + p₆ = 2/21 + 4/21 + 6/21 = 12/21 = 4/7.

Exercice n°10

(L'arbre n'étant pas fourni, on suppose qu'il doit être complété par l'utilisateur.)
(Les calculs dépendent de l'arbre, non fourni. Les explications sont génériques.)
1. Pour déterminer le pourcentage d’élèves externes, il faudrait sommer les probabilités des branches menant à "E" (Externe) pour chaque niveau (Seconde, Première, Terminale), pondérées par la probabilité d'être dans chaque niveau.
2. Pour déterminer la part des Terminales parmi les externes, il s'agirait d'une probabilité conditionnelle : P(Terminales | Externe) = P(Terminales et Externe) / P(Externe).

Exercice n°11

Soit T l'événement "l'acheteur achète un téléviseur" et M l'événement "l'acheteur achète un magnétoscope".

On nous donne : P(T) = 0,6 ; P(M | T) = 0,4 ; P(M | T') = 0,2 (où T' est l'événement "n'achète pas de téléviseur").

Probabilité pour qu’il achète un téléviseur et un magnétoscope : P(T ∩ M) = P(M | T) × P(T) = 0,4 × 0,6 = 0,24.
Probabilité pour qu’il achète un magnétoscope : P(M) = P(M ∩ T) + P(M ∩ T') P(M) = P(M | T) × P(T) + P(M | T') × P(T') P(T') = 1 - P(T) = 1 - 0,6 = 0,4. P(M) = 0,4 × 0,6 + 0,2 × 0,4 = 0,24 + 0,08 = 0,32.
Le client achète un magnétoscope. Probabilité qu’il achète un téléviseur : C'est une probabilité conditionnelle P(T | M). P(T | M) = P(T ∩ M) / P(M) = 0,24 / 0,32 = 24 / 32 = 3/4 = 0,75.
(L'arbre n'étant pas fourni, on suppose qu'il doit être complété par l'utilisateur.)

Exercice n°12

Soit U₁ l'événement "on tire une boule de l'urne U₁" et U₂ l'événement "on tire une boule de l'urne U₂". Le dé est non truqué. Le dé donne un numéro inférieur ou égal à 2 (soit 1 ou 2) avec une probabilité de 2/6 = 1/3. Donc P(U₁) = 1/3. Sinon (dé > 2, soit 3, 4, 5 ou 6), on tire de U₂, avec une probabilité de 4/6 = 2/3. Donc P(U₂) = 2/3.

Urne U₁ : 3 Blanches (B), 1 Noire (N) -> P(B | U₁) = 3/4.

Urne U₂ : 1 Blanche (B), 2 Noires (N) -> P(B | U₂) = 1/3.

Calculer la probabilité de tirer une boule blanche : P(B). P(B) = P(B ∩ U₁) + P(B ∩ U₂) P(B) = P(B | U₁) × P(U₁) + P(B | U₂) × P(U₂) P(B) = (3/4) × (1/3) + (1/3) × (2/3) P(B) = 3/12 + 2/9 = 1/4 + 2/9 = 9/36 + 8/36 = 17/36.
On a tiré une boule blanche. Calculer la probabilité qu’elle provienne de l’urne U₁ : P(U₁ | B). P(U₁ | B) = P(U₁ ∩ B) / P(B) = (P(B | U₁) × P(U₁)) / P(B) P(U₁ | B) = ( (3/4) × (1/3) ) / (17/36) = (1/4) / (17/36) = 1/4 × 36/17 = 9/17.

Exercice n°13

Soit V l'événement "être vacciné" et M l'événement "être malade".

On a P(V) = 1/4. Donc P(V') = 1 - 1/4 = 3/4.

Parmi les malades, il y a 1 vacciné pour 4 non vaccinés. Donc P(V | M) = 1/5 et P(V' | M) = 4/5.

Un malade sur douze parmi les vaccinés : P(M | V) = 1/12.

Démontrer que la probabilité de tomber malade est égale à 5/48. On sait que P(V ∩ M) = P(V | M) × P(M) et P(V ∩ M) = P(M | V) × P(V). Donc P(V | M) × P(M) = P(M | V) × P(V). (1/5) × P(M) = (1/12) × (1/4) (1/5) × P(M) = 1/48 P(M) = 5/48.
Quelle était la probabilité de tomber malade pour un individu non-vacciné ? C'est P(M | V'). On sait P(V' ∩ M) = P(V' | M) × P(M) = (4/5) × (5/48) = 4/48 = 1/12. Aussi P(V' ∩ M) = P(M | V') × P(V'). Donc P(M | V') × (3/4) = 1/12. P(M | V') = (1/12) / (3/4) = 1/12 × 4/3 = 4/36 = 1/9.
Le vaccin est-il efficace ? Le vaccin est efficace si P(M | V) < P(M | V'). On a P(M | V) = 1/12. On a P(M | V') = 1/9. Comme 1/12 < 1/9 (0,083 < 0,111 environ), le vaccin est efficace.

Exercice n°14

Soit R, J, V les événements "tirer une boule Rouge, Jaune, Verte" au premier tirage.

Composition de l'urne : 1R, 2J, 4V. Total 7 boules.

Probabilités du premier tirage : P(R) = 1/7, P(J) = 2/7, P(V) = 4/7.

Arbre pondéré :
Branche 1 (R) : Gain +10€. P=1/7.

Branche 2 (J) : Gain -5€. P=2/7.

Branche 3 (V) : Deuxième tirage (reste 6 boules : 1R, 2J, 3V). P=4/7.
- Branche 3a (VR) : Gain +8€. P(R | V1) = 1/6. P(V ∩ R) = P(V) × P(R | V1) = (4/7) × (1/6) = 4/42 = 2/21.
- Branche 3b (VJ) : Gain -4€. P(J | V1) = 2/6 = 1/3. P(V ∩ J) = P(V) × P(J | V1) = (4/7) × (1/3) = 4/21.
- Branche 3c (VV) : Gain -4€. P(V | V1) = 3/6 = 1/2. P(V ∩ V) = P(V) × P(V | V1) = (4/7) × (1/2) = 2/7.
Soit X la variable aléatoire du gain.
1. Loi de probabilité de X : Les gains possibles sont : +10€ (si R au 1er tirage) -5€ (si J au 1er tirage) +8€ (si V au 1er, puis R au 2nd) -4€ (si V au 1er, puis J au 2nd ou V au 2nd) P(X=10) = P(R) = 1/7. P(X=-5) = P(J) = 2/7. P(X=8) = P(V ∩ R) = 2/21. P(X=-4) = P(V ∩ J) + P(V ∩ V) = 4/21 + 2/7 = 4/21 + 6/21 = 10/21. (Vérification de la somme des probabilités : 1/7 + 2/7 + 2/21 + 10/21 = 3/21 + 6/21 + 2/21 + 10/21 = 21/21 = 1) Loi de probabilité de X :
  
  x_i 10 -5 8 -4
  
  P(X=x_i) 1/7 2/7 2/21 10/21
2. Espérance de X : E(X) = 10 × (1/7) + (-5) × (2/7) + 8 × (2/21) + (-4) × (10/21) E(X) = 10/7 - 10/7 + 16/21 - 40/21 E(X) = 0 + (16 - 40) / 21 = -24/21 = -8/7.
On veut que E(X) = 0. Soit G le nouveau gain lorsque la deuxième boule est rouge. Le gain de 8€ devient G. E(X) = 10 × (1/7) + (-5) × (2/7) + G × (2/21) + (-4) × (10/21) = 0 10/7 - 10/7 + 2G/21 - 40/21 = 0 2G/21 - 40/21 = 0 2G/21 = 40/21 2G = 40 G = 20. Il faut attribuer un gain de 20 € lorsque la deuxième boule tirée est rouge pour que l'espérance de X soit nulle.

x_i	10	-5	8	-4
P(X=x_i)	1/7	2/7	2/21	10/21

Exercice n°15

Dé rouge (R) : 2 faces à -1, 2 faces à 0, 2 faces à 1. P(R=-1)=1/3, P(R=0)=1/3, P(R=1)=1/3.

Dé vert (V) : 1 face à 0, 3 faces à 1, 2 faces à 2. P(V=0)=1/6, P(V=1)=3/6=1/2, P(V=2)=2/6=1/3.

X est la somme des points obtenus : X = R + V.

Loi de probabilité de X. Les sommes possibles vont de -1+0 = -1 à 1+2 = 3. Construisons un tableau des sommes :

R \ V 0 (1/6) 1 (1/2) 2 (1/3)

-1 (1/3) -1 0 1

0 (1/3) 0 1 2

1 (1/3) 1 2 3

Calcul des probabilités pour chaque valeur de X : P(X=-1) = P(R=-1 et V=0) = P(R=-1) × P(V=0) = (1/3) × (1/6) = 1/18. P(X=0) = P(R=-1 et V=1) + P(R=0 et V=0) = (1/3) × (1/2) + (1/3) × (1/6) = 1/6 + 1/18 = 3/18 + 1/18 = 4/18 = 2/9. P(X=1) = P(R=-1 et V=2) + P(R=0 et V=1) + P(R=1 et V=0) = (1/3) × (1/3) + (1/3) × (1/2) + (1/3) × (1/6) = 1/9 + 1/6 + 1/18 = 2/18 + 3/18 + 1/18 = 6/18 = 1/3. P(X=2) = P(R=0 et V=2) + P(R=1 et V=1) = (1/3) × (1/3) + (1/3) × (1/2) = 1/9 + 1/6 = 2/18 + 3/18 = 5/18. P(X=3) = P(R=1 et V=2) = (1/3) × (1/3) = 1/9 = 2/18. Loi de probabilité de X :

x_i -1 0 1 2 3

P(X=x_i) 1/18 4/18 6/18 5/18 2/18

(Somme des probabilités : 1+4+6+5+2 = 18/18 = 1)
Fonction de répartition F(x) = P(X ≤ x). F(x) = 0 pour x < -1 F(x) = 1/18 pour -1 ≤ x < 0 F(x) = 1/18 + 4/18 = 5/18 pour 0 ≤ x < 1 F(x) = 5/18 + 6/18 = 11/18 pour 1 ≤ x < 2 F(x) = 11/18 + 5/18 = 16/18 pour 2 ≤ x < 3 F(x) = 16/18 + 2/18 = 1 pour x ≥ 3 (La représentation graphique est une fonction en escalier, non réalisable en HTML simple sans image.)

R \ V	0 (1/6)	1 (1/2)	2 (1/3)
-1 (1/3)	-1	0	1
0 (1/3)	0	1	2
1 (1/3)	1	2	3

x_i	-1	0	1	2	3
P(X=x_i)	1/18	4/18	6/18	5/18	2/18

Exercice n°16

Nombre total de stagiaires : 150.

	Tennis (T)	Équitation (E)	Voile (V)	Total
Anglais (A)	45	18	27	90
Allemand (L)	33	9	18	60
Total	78	27	45	150

Les événements « étudier l’allemand » (L) et « pratiquer le tennis » (T) sont-ils indépendants ? P(L) = 60/150 = 6/15 = 2/5 = 0,4. P(T) = 78/150 = 13/25 = 0,52. P(L ∩ T) = 33/150 = 11/50 = 0,22. Pour qu'ils soient indépendants, il faut P(L ∩ T) = P(L) × P(T). P(L) × P(T) = (2/5) × (13/25) = 26/125 = 0,208. P(L ∩ T) ≠ P(L) × P(T) (0,22 ≠ 0,208). Les événements « étudier l’allemand » et « pratiquer le tennis » ne sont pas indépendants.
Les événements « étudier l’anglais » (A) et « pratiquer la voile » (V) sont-ils indépendants ? P(A) = 90/150 = 9/15 = 3/5 = 0,6. P(V) = 45/150 = 3/10 = 0,3. P(A ∩ V) = 27/150 = 9/50 = 0,18. Pour qu'ils soient indépendants, il faut P(A ∩ V) = P(A) × P(V). P(A) × P(V) = (3/5) × (3/10) = 9/50 = 0,18. P(A ∩ V) = P(A) × P(V) (0,18 = 0,18). Les événements « étudier l’anglais » et « pratiquer la voile » sont indépendants.

Exercice n°17

M : mathématiques, S : SES, L : langue vivante, R : réussite au baccalauréat.

Traduction des informations en probabilités : P(M) = 0,37. P(L) = 0,25. P(M ∩ R) = 0,21. P(S ∩ R) = 0,325. P(R | L) = 0,725.
1. Déterminer P(S). Les spécialités forment une partition : P(M) + P(S) + P(L) = 1. 0,37 + P(S) + 0,25 = 1. P(S) = 1 - 0,37 - 0,25 = 1 - 0,62 = 0,38.
2. Déterminer P(L ∩ R). On utilise P(R | L) = P(L ∩ R) / P(L). P(L ∩ R) = P(R | L) × P(L) = 0,725 × 0,25 = 0,18125 ≈ 0,181.
Probabilité que le candidat ait choisi langue vivante et ait échoué au baccalauréat : P(L ∩ R'). P(R' | L) = 1 - P(R | L) = 1 - 0,725 = 0,275. P(L ∩ R') = P(R' | L) × P(L) = 0,275 × 0,25 = 0,06875 ≈ 0,069.
Ce candidat a choisi l’enseignement de spécialité mathématiques. Quelle est la probabilité qu’il n’ait pas obtenu le baccalauréat ? C'est P(R' | M). P(M ∩ R') = P(M) - P(M ∩ R) = 0,37 - 0,21 = 0,16. P(R' | M) = P(M ∩ R') / P(M) = 0,16 / 0,37 ≈ 0,432.
Montrer que le pourcentage de réussite au baccalauréat pour les candidats de ES dans cette académie est 71,6%. C'est P(R). On utilise la formule des probabilités totales : P(R) = P(M ∩ R) + P(S ∩ R) + P(L ∩ R) P(R) = 0,21 + 0,325 + 0,18125 = 0,71625 ≈ 0,716 ou 71,6%.
On interroge successivement au hasard et de façon indépendante trois candidats. Soit R l'événement "un candidat est reçu". P(R) = 0,716. Soit R' l'événement "un candidat n'est pas reçu". P(R') = 1 - 0,716 = 0,284. C'est une épreuve de Bernoulli répétée 3 fois (n=3), avec p=P(R)=0,716. On peut utiliser une loi binomiale B(3 ; 0,716).
1. Quelle est la probabilité qu’au moins l’un d’entre eux soit reçu ? P(au moins un reçu) = 1 - P(aucun reçu) = 1 - P(R' et R' et R') P(au moins un reçu) = 1 - P(R')³ = 1 - (0,284)³ = 1 - 0,022861664 ≈ 1 - 0,023 = 0,977.
2. Quelle est la probabilité que deux candidats sur trois exactement soient reçus ? P(X=2) = C(3,2) × P(R)² × P(R')¹ = 3 × (0,716)² × (0,284) = 3 × 0,512656 × 0,284 ≈ 3 × 0,14559 = 0,43677 ≈ 0,437.

Exercice n°18

Soit P_P l'événement "pièce pipée choisie" et P_N l'événement "pièce normale choisie". P(P_P) = 1/2, P(P_N) = 1/2.

Soit PI l'événement "obtenir Pile". P(PI | P_P) = 1/4 (probabilité d'obtenir Pile avec la pièce pipée). P(PI | P_N) = 1/2 (probabilité d'obtenir Pile avec la pièce normale).

On prend une pièce au hasard.
1. Quelle est la probabilité d’obtenir pile ? P(PI). P(PI) = P(PI | P_P) × P(P_P) + P(PI | P_N) × P(P_N) P(PI) = (1/4) × (1/2) + (1/2) × (1/2) = 1/8 + 1/4 = 1/8 + 2/8 = 3/8.
2. On a obtenu pile : quelle est la probabilité d’avoir utilisé la pièce pipée ? P(P_P | PI). P(P_P | PI) = P(P_P ∩ PI) / P(PI) = (P(PI | P_P) × P(P_P)) / P(PI) P(P_P | PI) = ( (1/4) × (1/2) ) / (3/8) = (1/8) / (3/8) = 1/3.
3. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins une fois pile en faisant trois lancers avec la pièce choisie ? Soit X la pièce choisie (P_P ou P_N). On effectue 3 lancers. P(au moins un PI | X) = 1 - P(aucun PI | X) = 1 - P(Face | X)³. Si X est P_P : P(Face | P_P) = 1 - 1/4 = 3/4. P(au moins un PI | P_P) = 1 - (3/4)³ = 1 - 27/64 = 37/64. Si X est P_N : P(Face | P_N) = 1 - 1/2 = 1/2. P(au moins un PI | P_N) = 1 - (1/2)³ = 1 - 1/8 = 7/8. P(au moins un PI) = P(au moins un PI | P_P) × P(P_P) + P(au moins un PI | P_N) × P(P_N) P(au moins un PI) = (37/64) × (1/2) + (7/8) × (1/2) = 37/128 + 7/16 = 37/128 + 56/128 = 93/128.
Trois fois on choisit l’une des pièces au hasard qu’on lance : déterminer la probabilité d’obtenir au moins une fois pile. Chaque lancer est une nouvelle expérience de choix de pièce. La probabilité d'obtenir Pile à un lancer donné (peu importe la pièce) est P(PI) = 3/8 (calculé en 1.a). La probabilité d'obtenir Face à un lancer donné est P(FA) = 1 - P(PI) = 1 - 3/8 = 5/8. On fait 3 lancers indépendants. P(au moins un PI en 3 lancers) = 1 - P(aucun PI en 3 lancers) P(au moins un PI en 3 lancers) = 1 - P(FA)³ = 1 - (5/8)³ = 1 - 125/512 = (512 - 125) / 512 = 387/512.
On lance les deux pièces ensemble : quelle est la probabilité d’obtenir le même résultat pour les deux pièces ? Soit PI_P l'événement "Pile avec la pièce pipée" et PI_N "Pile avec la pièce normale". P(PI_P) = 1/4. P(FA_P) = 3/4. P(PI_N) = 1/2. P(FA_N) = 1/2. Les lancers des deux pièces sont indépendants. Même résultat = (PI_P et PI_N) ou (FA_P et FA_N). P(Même résultat) = P(PI_P) × P(PI_N) + P(FA_P) × P(FA_N) P(Même résultat) = (1/4) × (1/2) + (3/4) × (1/2) = 1/8 + 3/8 = 4/8 = 1/2.

Exercice n°19

Il y a 10 questions. Pour chaque question, 4 affirmations, dont 1 exacte. Un candidat répond au hasard. La probabilité de donner une bonne réponse est p = 1/4 = 0,25. La probabilité de donner une mauvaise réponse est 1-p = 3/4 = 0,75. On a n = 10 questions indépendantes.

Quelle est la loi de probabilité de X ? X suit une loi binomiale B(n=10 ; p=0,25). P(X=k) = C(10, k) × (0,25)^k × (0,75)^10-k.
Calculer la probabilité pour qu’il fournisse au moins 8 bonnes réponses, et soit ainsi sélectionné. P(X ≥ 8) = P(X=8) + P(X=9) + P(X=10). P(X=8) = C(10, 8) × (0,25)⁸ × (0,75)² = 45 × (0,25)⁸ × (0,75)² ≈ 45 × 1,5258789 × 10^-5 × 0,5625 ≈ 0,000385. P(X=9) = C(10, 9) × (0,25)⁹ × (0,75)¹ = 10 × (0,25)⁹ × (0,75)¹ ≈ 10 × 3,8146972 × 10^-6 × 0,75 ≈ 0,0000286. P(X=10) = C(10, 10) × (0,25)¹⁰ × (0,75)⁰ = 1 × (0,25)¹⁰ ≈ 9,5367431 × 10^-7 ≈ 0,00000095. P(X ≥ 8) ≈ 0,000385 + 0,0000286 + 0,00000095 ≈ 0,00041455. La probabilité d'être sélectionné est très faible, environ 0,041%.

Exercice n°20

Urne : 3 pièces. 2 normales (N), 1 truquée (T).

Pièce normale (N) : P(Pile | N) = 1/2, P(Face | N) = 1/2.

Pièce truquée (T) : P(Pile | T) = 0, P(Face | T) = 1.

On note B l'événement "la pièce prise est normale". Ainsi B' est l'événement "la pièce prise est truquée".

1. Quelle est la probabilité de l'événement B ? P(B) = 2/3 (2 pièces normales sur 3).
2. Quelle est la probabilité de l'événement P sachant que B est réalisé ? P(P | B) = 1/2 (probabilité d'obtenir Pile avec une pièce normale).
Calculer la probabilité de l'événement P ∩ B, puis de l'événement P ∩ B'. En déduire la probabilité de l'événement P. P(P ∩ B) = P(P | B) × P(B) = (1/2) × (2/3) = 1/3. P(P ∩ B') = P(P | B') × P(B') = 0 × (1/3) = 0 (la pièce truquée ne donne jamais Pile). P(P) = P(P ∩ B) + P(P ∩ B') = 1/3 + 0 = 1/3.
Calculer la probabilité de l’événement F_n ∩ B puis de l'événement F_n ∩ B'. En déduire la probabilité de l'événement F_n. F_n : on obtient Face pour les n premiers lancers. P(F_n | B) = (1/2)ⁿ (probabilité d'obtenir n Face avec une pièce normale). P(F_n ∩ B) = P(F_n | B) × P(B) = (1/2)ⁿ × (2/3) = 2 / (3 × 2ⁿ) = 1 / (3 × 2^n-1). P(F_n | B') = 1ⁿ = 1 (probabilité d'obtenir n Face avec la pièce truquée). P(F_n ∩ B') = P(F_n | B') × P(B') = 1 × (1/3) = 1/3. P(F_n) = P(F_n ∩ B) + P(F_n ∩ B') = 1 / (3 × 2^n-1) + 1/3 = (1 + 2^n-1) / (3 × 2^n-1).

Exercice n°21

C : instrument à cordes, V : instrument à vent.

P(C) = 0,60 ; P(V) = 0,45 ; P(C ∩ V) = 0,10.

On choisit un élève au hasard.
1. Probabilité de l’événement « Cet élève pratique au moins un des instruments considérés » : P(C ∪ V). P(C ∪ V) = P(C) + P(V) - P(C ∩ V) = 0,60 + 0,45 - 0,10 = 0,95.
2. Probabilité de l’événement « Cet élève pratique un et un seul des instruments considérés » : P((C ∪ V) \ (C ∩ V)). P(un et un seul) = P(C ∪ V) - P(C ∩ V) = 0,95 - 0,10 = 0,85. Ou bien : P(C ∩ V') + P(C' ∩ V) P(C ∩ V') = P(C) - P(C ∩ V) = 0,60 - 0,10 = 0,50. P(C' ∩ V) = P(V) - P(C ∩ V) = 0,45 - 0,10 = 0,35. P(un et un seul) = 0,50 + 0,35 = 0,85.
On choisit au hasard un élève pratiquant un instrument C. Quelle est la probabilité pour que cet élève pratique un instrument V ? C'est P(V | C). P(V | C) = P(C ∩ V) / P(C) = 0,10 / 0,60 = 1/6.
Soit n un entier supérieur ou égal à 2. On choisit au hasard n élèves.
1. Quelle est la probabilité p_n qu’au moins un des élèves choisis pratique un instrument C ? P(C) = 0,60. P(C') = 1 - 0,60 = 0,40. p_n = P(au moins un C) = 1 - P(aucun C) = 1 - P(C')ⁿ = 1 - (0,40)ⁿ.
2. Déterminer le plus petit entier n tel que p_n ≥ 0,999. 1 - (0,40)ⁿ ≥ 0,999 0,001 ≥ (0,40)ⁿ (0,40)ⁿ ≤ 0,001 En utilisant les logarithmes : n × ln(0,40) ≤ ln(0,001). Comme ln(0,40) est négatif, on change le sens de l'inégalité en divisant : n ≥ ln(0,001) / ln(0,40) n ≥ -6,9077 / -0,9162 ≈ 7,53. Le plus petit entier n est 8.

Exercice n°22

Total : 10 bulletins (4 Oui, 3 Non, 3 Blanc). On tire simultanément 2 bulletins.

Nombre total de tirages possibles : C(10, 2) = (10 × 9) / 2 = 45.

L'événement est "obtenir un tirage de deux bulletins de sortes différentes".

L'événement contraire est "obtenir un tirage de deux bulletins de la même sorte".

Nombre de tirages de 2 Oui : C(4, 2) = (4 × 3) / 2 = 6.

Nombre de tirages de 2 Non : C(3, 2) = 3.

Nombre de tirages de 2 Blanc : C(3, 2) = 3.

Nombre de tirages de la même sorte = 6 + 3 + 3 = 12.

P(même sorte) = 12 / 45 = 4/15.

P(sortes différentes) = 1 - P(même sorte) = 1 - 4/15 = 11/15.

Exercice n°23

Sac : 5 jetons verts (V), 4 jetons rouges (R). Total 9 jetons.

On tire successivement et sans remise 3 jetons. Nombre total de tirages possibles : A(9, 3) = 9 × 8 × 7 = 504.
1. Probabilité de ne tirer que 3 jetons verts : Nombre de tirages de 3 V : A(5, 3) = 5 × 4 × 3 = 60. P(3V) = 60 / 504 = 5/42.
2. Probabilité de ne tirer aucun jeton vert (donc 3 rouges) : Nombre de tirages de 3 R : A(4, 3) = 4 × 3 × 2 = 24. P(3R) = 24 / 504 = 1/21.
3. Probabilité de tirer au plus 2 jetons verts (0V, 1V, 2V) : P(X ≤ 2V) = 1 - P(3V) = 1 - 5/42 = 37/42.
4. Probabilité de tirer exactement 1 jeton vert : Un V et deux R. La position du V importe (VRR, RVR, RRV). (V en 1er) : 5 × 4 × 3 = 60 (V en 2ème) : 4 × 5 × 3 = 60 (V en 3ème) : 4 × 3 × 5 = 60 Nombre de tirages 1V = 3 × (5 × 4 × 3) = 3 × 60 = 180. P(1V) = 180 / 504 = 5/14.
On tire simultanément 3 jetons du sac. Nombre total de tirages possibles : C(9, 3) = (9 × 8 × 7) / (3 × 2 × 1) = 3 × 4 × 7 = 84.
1. Probabilité de ne tirer que 3 jetons verts : Nombre de tirages de 3 V : C(5, 3) = (5 × 4) / 2 = 10. P(3V) = 10 / 84 = 5/42.
2. Probabilité de ne tirer aucun jeton vert (donc 3 rouges) : Nombre de tirages de 3 R : C(4, 3) = 4. P(3R) = 4 / 84 = 1/21.
3. Probabilité de tirer au plus 2 jetons verts : P(X ≤ 2V) = 1 - P(3V) = 1 - 5/42 = 37/42.
4. Probabilité de tirer exactement 1 jeton vert : C(5, 1) pour 1 vert, C(4, 2) pour 2 rouges. Nombre de tirages 1V = C(5, 1) × C(4, 2) = 5 × (4 × 3 / 2) = 5 × 6 = 30. P(1V) = 30 / 84 = 5/14.

Exercice n°24

Soit A l'état "préfère Aurore" et B l'état "préfère Boréale".

Déterminer la matrice ligne P₀ de l’état probabiliste initial. Au début, 20% préfèrent Aurore, donc 80% préfèrent Boréale. P₀ = (0,2 ; 0,8).
Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B.
(Le graphe est une représentation visuelle, non réalisable en HTML simple. Description textuelle des transitions :)
- De A vers A : 10% changent d'avis, donc 90% restent (1 - 0,10 = 0,90).
- De A vers B : 10% changent d'avis (0,10).
- De B vers A : 15% changent d'avis (0,15).
- De B vers B : 15% changent d'avis, donc 85% restent (1 - 0,15 = 0,85).
1. Écrire la matrice de transition M de ce graphe en respectant l’ordre alphabétique des sommets (A, B). M =
  
  A B
  
  A 0,90 0,10
  
  B 0,15 0,85
2. Montrer que la matrice ligne P₁ est égale à (0,3 ; 0,7). P₁ = P₀ × M = (0,2 ; 0,8) ×
  
  A B
  
  A 0,90 0,10
  
  B 0,15 0,85
  
  P₁ = (0,2 × 0,90 + 0,8 × 0,15 ; 0,2 × 0,10 + 0,8 × 0,85) P₁ = (0,18 + 0,12 ; 0,02 + 0,68) P₁ = (0,30 ; 0,70).
1. Exprimer, pour tout entier naturel n, P_n en fonction de P₀ et de n. P_n = P₀ × Mⁿ.
2. En déduire la matrice ligne P₃. Interpréter ce résultat. P₂ = P₁ × M = (0,3 ; 0,7) ×
  
  A B
  
  A 0,90 0,10
  
  B 0,15 0,85
  
  P₂ = (0,3 × 0,90 + 0,7 × 0,15 ; 0,3 × 0,10 + 0,7 × 0,85) P₂ = (0,27 + 0,105 ; 0,03 + 0,595) = (0,375 ; 0,625). P₃ = P₂ × M = (0,375 ; 0,625) ×
  
  A B
  
  A 0,90 0,10
  
  B 0,15 0,85
  
  P₃ = (0,375 × 0,90 + 0,625 × 0,15 ; 0,375 × 0,10 + 0,625 × 0,85) P₃ = (0,3375 + 0,09375 ; 0,0375 + 0,53125) P₃ = (0,43125 ; 0,56875). Interprétation : Après 3 semaines de campagne, la probabilité qu'une personne interrogée au hasard préfère Aurore est de 43,125% et la probabilité qu'elle préfère Boréale est de 56,875%.
Soit P = (a ; b) la matrice ligne de l’état probabiliste stable.
1. Déterminer a et b. L'état stable P vérifie P = P × M et a + b = 1. (a ; b) = (a ; b) ×
  
  A B
  
  A 0,90 0,10
  
  B 0,15 0,85
  
  a = 0,90a + 0,15b b = 0,10a + 0,85b Utilisons la première équation : a = 0,90a + 0,15b => 0,10a = 0,15b => 10a = 15b => 2a = 3b. Puis avec a + b = 1 : a = 1 - b. 2(1 - b) = 3b 2 - 2b = 3b 2 = 5b => b = 2/5 = 0,4. a = 1 - 0,4 = 0,6. L'état stable est P = (0,6 ; 0,4).
2. Le parfum Aurore finira-t-il par être préféré au parfum Boréale ? Justifier. À l'état stable, la probabilité de préférer Aurore est a = 0,6 (60%) et la probabilité de préférer Boréale est b = 0,4 (40%). Comme 0,6 > 0,4, le parfum Aurore finira par être préféré au parfum Boréale.

	A	B
A	0,90	0,10
B	0,15	0,85

	A	B
A	0,90	0,10
B	0,15	0,85

	A	B
A	0,90	0,10
B	0,15	0,85

	A	B
A	0,90	0,10
B	0,15	0,85

Série d'exercices corriges vocabulaire des probabilités - té

Probabilités – Exercices Corrigés

Vocabulaire des probabilités

Exercice n°1

Exercice n°2

Exercice n°3

Dénombrements simples et probabilités - équiprobabilité

Exercice n°4

Exercice n°5

Exercice n°6

Exercice n°7

Autres situations

Exercice n°8

Exercice n°9

Arbre pondéré

Exercice n°10

Probabilités conditionnelles

Exercice n°11

Exercice n°12

Exercice n°13

Variable aléatoire

Exercice n°14

Exercice n°15

Événements indépendants

Exercice n°16

Loi Binomiale

Exercice n°17

Exercice n°18

Exercice n°19

Exercice n°20

Exercice n°21

Dénombrements et probabilités

Exercice n°22

Exercice n°23

Graphes probabilistes

Exercice n°24

Foire Aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce qu'un événement contraire en probabilité ?

Quand dit-on que deux événements sont incompatibles ?

Qu'est-ce que l'équiprobabilité dans un contexte probabiliste ?

Probabilités – Correction des Exercices

Exercice n°1

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