Mécanique des Fluides : Td thermodynamique n o 3 statique des fluides.pdf
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Exercice 1 : Équilibre de trois liquides non miscibles
Un système de trois liquides non miscibles (eau, mercure, alcool) est en équilibre dans un tube en U ouvert à l’air libre. Les hauteurs respectives d’eau et d’alcool ainsi que la distance entre les niveaux de mercure sont indiquées sur la figure.
On note respectivement ρ₁, ρ₂, ρ₃ les masses volumiques de l’eau, du mercure et de l’alcool.
1. Exprimer ρ₃ en fonction de ρ₁, ρ₂, h₁, h₂, h₃.
2. Calculer numériquement ρ₃ sachant que : h₁ = 0,80 m, h₂ = 0,05 m, h₃ = 0,20 m, ρ₁ = 1,0 × 10³ kg·m⁻³, ρ₂ = 13,6 × 10³ kg·m⁻³.
Exercice 2 : Mesure d’une hauteur avec un baromètre
Le fluide étudié est l’atmosphère. L’axe (Oz) est vertical, dirigé vers le haut, et son origine est prise au niveau du sol. On note P la pression du fluide, ρ sa masse volumique et g la norme du champ de pesanteur terrestre.
1. On assimile localement l’air à un gaz parfait isotherme à la température T₀. Quelle est l’expression de la masse volumique ρ en fonction de la masse molaire de l’air M, de la pression P, de la constante des gaz parfaits R et de la température T₀ ?
2. La masse molaire de l’air est M = 29 g·mol⁻¹. Justifier ce nombre.
3. Déduire des questions précédentes l’expression littérale de la pression en fonction de l’altitude z, de M, g, R, T₀ et P₀ (pression atmosphérique au niveau du sol), en admettant que g reste constant dans l’atmosphère.
4. Le baromètre indique une pression P₀ = 1010 mbar au niveau du sol et P = 950 mbar en haut d’un building. Données : g ≈ 10 m·s⁻², R = 8,314 J·K⁻¹·mol⁻¹, T₀ = 300 K.
a) En déduire que la hauteur H de ce building peut s’écrire sous la forme approchée H = k (P₀ − P) / P₀, où k est une constante dont on définira l’unité, la valeur et la signification.
b) Calculer H.
Exercice 3 : Principe d’un densimètre
Un densimètre de volume total V et de section S est plongé dans de l’eau de masse volumique ρₑ. Il affleure à l’interface air-eau. Plongé dans un liquide de masse volumique ρ > ρₑ, une partie de longueur x surplombe l’interface air-liquide.
Définir et calculer la densité d en fonction de a = (Sx) / V.
Exercice 4 : Barrage cylindrique
Un barrage retient de l’eau sur une hauteur H et une largeur L. On s’intéresse aux efforts exercés par l’eau de masse volumique ρ sur le mur du barrage.
1. Déterminer l’expression de la force de poussée exercée par le fluide sur ce mur.
2. Montrer que, pour le calcul du moment résultant, tout se passe comme si cette force s’exerçait en un point C de la paroi. Déterminer la position de C (centre de poussée).
3. Refaire le calcul avec un barrage hémicylindrique de rayon R = L / 2. Conclure.
Exercice 5 : Plongée libre
L’eau où le plongeur évolue est considérée comme un liquide homogène et incompressible, de masse volumique ρ = 10³ kg·m⁻³, en équilibre dans le champ de pesanteur g = 9,81 m·s⁻². La surface libre de l’eau (cote z = 0 avec un axe (Oz) vertical ascendant) est en contact avec l’atmosphère, de pression constante P₀ = 1,013 × 10⁵ Pa.
1. Déterminer la pression P(z) de l’eau en un point de cote z. Tracer le graphe P(z).
2. On assimile l’air contenu dans les poumons du plongeur à un gaz parfait, avec une pression P(z) identique à celle de l’eau à la cote z, un volume V(z) variable et une température T₀ constante. Calculer la capacité pulmonaire du plongeur à une cote z = −10 m, sachant qu’il gonfle ses poumons à leur capacité maximale Vₘ = 7 L avant de plonger.
3. On définit le poids apparent du plongeur (flottabilité) comme la résultante de la poussée d’Archimède et des forces de pesanteur. Comment varie la flottabilité lorsque la profondeur augmente ?
Exercice 6 : Ballon-sonde au dihydrogène
La troposphère est la partie de l’atmosphère terrestre inférieure à 10 km, considérée comme un gaz parfait de pression P(z), température T(z) et volume massique v(z). L’axe (Oz) est vertical ascendant. Au sol (z = 0), on a P₀ et T₀. La troposphère obéit à la loi polytropique empirique : P^(−k) (z) T(z) = P₀^(−k) T₀, avec k = 0,15.
On donne : R = 8,31 J·K⁻¹·mol⁻¹, g = 9,81 m·s⁻² et δ = k M_air g / R = 5,1 × 10⁻³ K·m⁻¹.
1. Déterminer la loi V(z) / V₀ en fonction de δ, z, T₀ et k pour une quantité constante de n₀ moles de gaz parfait à l’altitude z.
2. Quels sont les avantages et les inconvénients du dihydrogène comme gaz de gonflage ?
3. En effectuant un bilan des forces, déterminer le terme F en fonction de n₀, g, M_H₂ et M_air.
4. Calculer la valeur minimale n_min de n₀ pour que le ballon décolle.
5. Calculer h, l’altitude maximale atteinte en prenant T₀ = 293 K. Commenter le résultat.
FAQ
1. Que signifie "liquides non miscibles" ?
Des liquides non miscibles sont ceux qui ne se mélangent pas entre eux, comme l’eau et le mercure.
2. Pourquoi la pression atmosphérique diminue-t-elle avec l’altitude ?
La pression diminue avec l’altitude car la masse d’air au-dessus du point considéré devient plus faible.
3. Comment un densimètre mesure-t-il la densité d’un liquide ?
Un densimètre flotte dans le liquide et la longueur immergée dépend de la densité du liquide.