Mécanique des Fluides : Td thermodynamique n o 3 statique des fluides.pdf
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Statique des fluides
Exercice 1 Équilibre de trois liquides non miscibles
Un système de trois liquides non miscibles (eau, mercure, alcool) est en équi-
libre dans un tube en U ouvert à l’air libre. Les hauteurs respectives d’eau et
d’alcool ainsi que la distance entre les niveaux de mercure sont indiquées sur la
figure ci-contre. On note respectivementρ1 ,ρ2 ,ρ3 les masses volumiques de l’eau,
du mercure et de l’alcool.
1. Exprimerρ3 en fonction deρ1 ,ρ2 ,h1 ,h2 ,h3 .
2. Calculer numériquementρ3 sachant que :h1 = 0,80m,h2 = 0,05m,h3 = 0,20m,ρ1 =1,0.10 3kg.m −3,ρ 2
= 1,36.104 kg.m−3 .
Exercice 2 Mesure d’une hauteur avec un baromètre
Le fluide étudié est l’atmosphère. L’axe(Oz)est vertical, dirigé vers le haut et son origine est prise
au niveau du sol. On notePla pression du fluide,ρsa masse volumique etgla norme du champ de
pesanteur terrestre.
1. On assimile localement l’air à un gaz parfait isotherme à la températureT0 . Quelle est l’expression
de la masse volumiqueρen fonction de la masse molaire de l’airM, de la pressionP, de la constante
de gaz parfaitsRet de la températureT0 ?
2. La masse molaire de l’air estM= 29g.mol−1 . Justifier ce nombre.
3. Déduire des questions précédentes l’expression littérale de la pression en fonction de l’altitudez, deM,g,R,T 0etP 0
(pression atmosphérique au niveau du sol), en admettant quegreste constant
dans l’atmosphère.
4. Le baromètre indique une pressionP0 = 1010mbarau niveau du sol etP= 950mbaren haut
de la tour du building « Yi-Ling-Yi »situé à Taïpeh, capitale de Taïwan. Données :g≈10m.s−2 ,
R= 8,314SIetT0 = 300K.
a) En déduire que la hauteurHde celle-ci peut s’écrire sous la forme approchéeH=kP 0−P P0 où
kest une constante dont on définira l’unité, la valeur et la signification.
b) CalculerH.
Exercice 3 Principe d’un densimètre
Soit un densimètre de Volume totalVde forme cylindrique de sectionS. Plongé dans de l’eau de masse
volumiqueρe , il affleure à l’interface air-eau. Plongé dans un liquide de masse volumiqueρ > ρe , une
partie de longueurxsurplombe l’interface air-liquide. Définir et calculer la densitéden fonction dea=Sx V. Exercice 4 Barrage cylindrique
Un barrage retient de l’eau sur une hauteurHet une largeurL. On s’intéresse aux efforts exercés par
l’eau de masse volumiqueρsur le mur du barrage.
1. Déterminer l’expression de la force de poussée exercée par le fluide sur ce mur.
2. Montrer que, pour le calcul du moment résultant, tout se passe comme si cette force s’exerçait en
un pointCde la paroi. Déterminer la position deC(qui porte le nom de centre de poussée).
3. Refaire le calcul avec un barrage hémicylindrique de rayonR=L 2
. Conclure.
Exercice 5 Plongée libre
L’eau où le plongeur évolue est considérée comme un liquide homogène et incompressible, de masse
volumiqueρ= 103 kg.m−3 , en équilibre dans le champ de pesanteurg= 9,81m.s−2 . La surface libre
de l’eau (cotez= 0avec un axe(Oz)vertical ascendant) est en contact avec l’atmosphère, de pression
constanteP0 = 1,013.105 Pa.
1. Déterminer la pressionP(z)de l’eau en un point de côtez. Tracer le grapheP(z).
2. On assimile l’air contenu dans les poumons du plongeur à un gaz parfait ; cet air est caractérisé
par une pressionP(z)identique à celle de l’eau à la cotez, un volumeV(z)(capacité pulmonaire)
variable (la cage thoracique se déforme sous l’effet de la pression) et une températureT0 constante
et indépendante de la profondeur. Calculer la capacité pulmonaire du plongeur à une cotezsachant
que celui-ci, avant de plonger, gonfle ses poumons à leur capacité maximalesVM puis bloque sa
respiration. On donnez=−10metVM = 7L.
3. On définit le poids apparent du plongeur (que l’on nomme flottabilité) comme la résultante de la
poussée d’Archimède et des forces de pesanteur. Comment varie la flottabilité lorsque la profondeur
augmente ?
Exercice 6 Ballon-sonde au dihydrogène
La troposphère est la partie de l’atmosphère terrestre inférieure à10km. On la considère comme
un gaz parfait de pressionP(z), de températureT(z)et de volume massiquev(z). On note(Oz)l’axe
vertical ascendant. Au sol (z= 0), on a la pressionP0 et la températureT0 . La troposphère est en
équilibre thermodynamique et mécanique et obéit à la loi polytropique empiriqueP−k (z)T(z) =P−k 0T 0
aveck= 0,15. On donne :R= 8,31J.K−1 .mol−1 ,g= 9,81m.s−2 et on considère que l’atmosphère est
à gradient de températureT=T0 −δzavecδ=kM airg R
= 5,1.10−3 K.m−1 1. On considère une quantité constante denmoles de gaz parfait à l’altitudezqui évolue dans
la troposphère. On noteV(z)le volume qu’elle occupe à l’altitudezetV0 son volume au sol.
Déterminer la loiV(z) V0 en fonction deδ,z,T0 etk.
Un ballon sonde dégonflé et instrumenté a une masse totalemB = 1,2kg. On gonfle au sol son enveloppeavecn 0
moles de dihydrogène. Son volume est alorsV0 . L’enveloppe reste fermée tant que son volume
V(z)< Vmax = 10V0 . LorsqueV(z) =Vmax , l’enveloppe se déchire et le ballon retombe au sol. Sur ce
ballon s’exerce une force de frottement−−→ F
f ro
. La force totale s’exerçant sur le ballon est(F−mb g)−→ uz +−−→ F
f ro. 2. Quels sont les avantages et les inconvénients du dihydrogène ?
3. En effectuant un bilan des forces, déterminer le termeFen fonction den0 ,g,MH 2etM air. 4. Calculer la valeur minimalenmin den0 pour que le ballon décolle.
5. On admet le modèle de troposphère précédent. Durant l’ascension, on peut considérer que la pression
et la température sont quasiment identiques à l’intérieur et à l’extérieur du ballon. Calculerh,
altitude maximale atteinte en prenantT0 = 293K. Commenter le résultat.
Solutions des exercices1 Réponses :ρ3 =ρ 1h 1−ρ 2h 2h 3−h 2
= 800kg.m−3 2
Réponses : 1)ρ=PM RT0 ; 3)P(z) =P0 exp(−Mg RT0 z); 4a)k= 8,6.103 m; 4b)H= 511m3 Réponse :d=1 1−a4 Réponses : 1)−→ F=1 2ρgLH 2−→ ux ; 2)−−→ OC=2 3H −→u z5 Réponses : 1)P(z) =P0 −ρgzpourz <0,P(z) =P0 pourz >0; 2)V(−10m) = 3,6L6 Réponses : 1)V(z) =V0 (T(z) T0 )k−1 k=V 0(1− δzT 0) k−1k ; 3)F=n0 (Mair −MH 2
)g; 4)nmin = 44,4mol; 5)
h= 19,2km