Mécanique des Fluides : Tds de mécanique des fluides parfaits
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Olivier LOUISNARD
14 novembre 20121 Hydrostatique
Exercice 1.1 : Mesure de la densit ́e d’une huile
Un tube en U dont les branches sont tr`es longues, de sections= 1 cm2 , est ouvert
aux extr ́emit ́es. Il contient initialement de l’eau. D’un cˆot ́e, on verse 10 cm3 d’huile.
La diff ́erence de niveau entre les surfaces libres est ∆z= 15 mm.
p atmp atmh∆z HuileEau Calculer la densit ́e de cette huile.
Rappel : la densit ́e relative d’un corps A par rapport `a un autre corps B (pris pour
r ́ef ́erence) est le rapport des masses volumiquesρetρ′ respectivement de A et B
qui occupent le mˆeme volumeVdans les mˆemes conditions de temp ́erature et de
pression.
Pour les solides et les liquides, le corps de r ́ef ́erence choisi est l’eau. Pour les gaz,1 21 Hydrostatique
c’est l’air.
Exercice 1.2 : Flottation `a une interface
Un bloc d’acier parall ́el ́epip ́edique«flotte»`a une interface eau-mercure comme in-
diqu ́e ci-dessous. On notedA etdM les densit ́es respectives de l’acier et du mercure.b aEau MercureAcier 1. Calculer le rapport des distancesb/a.
2. Application num ́erique :dA = 7.85,dM = 13.
Exercice 1.3 : Densim`etre `a flotteur
Soit le densim`etre (ou encore ar ́eom`etre) constitu ́e d’une tige AB de section constante
ssoud ́ee en A `a une car`ene lest ́ee. On noteraMla masse totale de l’instrument et
Vle volume de la car`ene (lest compris).
1 Hydrostatique3
s M~g∆z V
Exprimer la masse volumique du fluide dans lequel est plong ́e l’appareil en fonction
de la longueur immerg ́ee de la tige ∆z.
Exercice 1.4 : Densim`etre `a ressort (DS IFI 2009)
On imagine le syst`eme suivant pour mesurer la densit ́e d’un fluide : un tube en U
de sectionSest bouch ́e d’un cˆot ́e par un bouchon ́etanche de masseM, reli ́e `a un
ressort, de raideurket de longueurLau repos, dont l’autre extr ́emit ́e est fixe. La
branche de droite du tube est gradu ́ee `a une hauteurhau-dessus de la position
d’ ́equilibre du bouchon en l’absence de fluide. On note ∆l0 l’allongement initial du
ressort en l’absence de fluide, sous l’influence du poids du bouchon.
1. En ́ecrivant le bilan des forces sur la masseMlorsque le tube est vide, calculer∆l 0
en fonction deMetk(ce n’est pas encore de la m ́ecanique des fluides. . .).
On remplit ensuite le tube en U avec le fluide `a caract ́eriser jusqu’au trait de gra-
duation, et on note ∆lla hauteur dont remonte la masseM.
2. Ecrire le bilan des forces sur la masseM(il y en a 4). On noterapM la pression
dans le fluide au pointM, etpatm la pression atmosph ́erique.
3. Ecrire l’expression depM `a partir de la loi de l’hydrostatique et, en utilisant
la question 1, en d ́eduireρen fonction dek,S, ∆leth.
4. On donneh= 1m,D= 3 cm (diam`etre du tube),k= 0.1 N/mm, ∆l= 5 cm.
Calculerρ.
41 Hydrostatique M hh∆l0 ∆l
Exercice 1.5 : Tube rempli de plusieurs fluides (rattrapage 2009)
On consid`ere le tube de la figure 1. La pression au niveau du point E est la pression
atmosph ́erique. Les densit ́es des diff ́erents fluides sont indiqu ́ees sur la figure.
1. Exprimez la diff ́erence de pressionpA −patm en fonction deρmasse volumique
de l’eau,gpesanteur, et les diff ́erentes hauteurs indiqu ́ees sur la figure.
2. Application num ́erique :h= 45 cm,h1 = 30 cm,h2 = 15 cm,h3 = 40 cm.
Air (dA = 1.2×10−3 )B CE Dp atm
Huile (dH = 0.85)
Mercure (dM = 13)Eau h3 hh 1h 2A Figure1 – Tubes
Exercice 1.6 : Flottation d’une barre en bois (d’apr`es DS IFI 2002)
Une barre mince de longueurL, constitu ́ee par un mat ́eriau plus l ́eger que l’eau,
est accroch ́ee `a un mur en un pointA, autour duquel elle peut tourner. L’autre
1 Hydrostatique5
extr ́emit ́e de la barre plonge dans l’eau. Le pointAest `a une hauteurhpar rapport
au niveau de l’eau. On noteradla densit ́e du mat ́eriau.
h LA θ
1. En ́ecrivant l’ ́equilibre des moments, calculer l’inclinaisonθde la barre.
2. Pour quelle valeur critique du rapporth/Lla barre tombe-t-elle `a la verticale ?
3. Application num ́erique : calculerθpourd= 0.65,h= 1 m,L= 3 m.
Exercice 1.7 : Acc ́el ́erom`etre hydrostatique
Pour v ́erifier le bon fonctionnement des dispositifs de freinage d’une automobile, on
dispose `a bord d’un acc ́el ́erom`etre constitu ́e par un tube ABCD dont les branches AB
et CD sont verticales et dont la branche BC, horizontale et de longueurl= 20 cm,
est parall`ele au vecteur vitesse.C DB AO xz ∆hl ~V Pendant un essai de freinage `a acc ́el ́eration n ́egative constante, la diff ́erence de niveau
qui s’ ́etablit entre les branches AB et CD a pour valeur ∆h= 12 cm.
61 Hydrostatique
Quelle est l’acc ́el ́eration de la voiture ?
Exercice 1.8 : Miroirs liquides
Il est difficile et coˆuteux de tailler et polir des galettes de verre massif de grande
taille en une parabole parfaite. De plus, mˆeme bien taill ́es, les miroirs se d ́eforment
sous l ́effet de la temp ́erature et au-del`a d ́une certaine taille, ils plient sous leur
propre poids !
Le technique des miroirs liquides consiste `a mettre en rotation `a vitesse constante
une cuve remplie demercure liquide. La rotation du liquide r ́efl ́echissant donne `a
la surface la forme d’une parabole parfaite, qui ne n ́ecessite aucun polissage. En
revanche, il est imp ́eratif de supprimer toute oscillation car sinon, la surface du
mercure se riderait sous l’effet des vibrations. Cette technique a permis `a la NASA
de r ́ealiser un miroir de 3 m`etre de diam`etre.
1. Calculer l’acc ́el ́eration d’entraˆınement en un point de coordonn ́ees cylindriques (r,z).
2. A partir de l’ ́equation de l’hydrostatique en r ́ef ́erentiel non galil ́een, calculer
le champ de pression dans le liquide, et montrer que les isobares (donc en
particulier la surface libre) sont des parabolo ̈
ıdes. On noteraRle rayon de la
cuve etωsa vitesse de rotation. On prendra l’origine en O’.
3. En supposant le volume de mercureVidentique lorsque la cuve est immobile
ou qu’elle tourne, d ́eterminer la hauteurh=OO′ en fonction de la hauteur
initiale de liquideh0 .
4. (Question de r ́eflexion)
– Comment le liquide est-il mis en mouvement
– De quelle(s) propri ́et ́e(s) physique(s) d ́epend `a votre avis le temps pour
arriver en r ́egime permanent ?
– vers o`u se d ́eplacerait une bulle d’air dans le liquide en rotation ?r Oω Rz O’h 1 Hydrostatique7
Exercice 1.9 : Force d’Archim`ede en r ́ef ́erentiel non-galil ́een (d’apr`es DS
IFI 1998)
Une cuve remplie d’un liquide de masse volumiqueρest soumise `a une acc ́el ́eration
constante et horizontale.x ~γO zρ 1. Quelle est la forme et la direction de la surface libre ?
2. Une bille de masse volumiqueρ′ est maintenue immobile, compl`etement im-
merg ́ee au sein du fluide. At= 0, on lib`ere la bille. En faisant un bilan des
forces appliqu ́ees `a la bille, d ́eterminer son acc ́el ́eration `at= 0 dans le rep`ere
mobile. Discuter du mouvement de la bille suivant les valeurs respectives deρetρ ′. xO~γ zρρ ′
Exercice 1.10 : Trop-plein (DS IFI 2004)
Une porte de trop-plein est repr ́esent ́ee ci-dessous. Lorsque le niveau de l’eauhest
trop haut, la porteAOBs’ouvre en tournant autour d’un axe perpendiculaire au
dessin passant par le pointO, et laisse passer l’eau. On note A’ le point de la surface
de l’eau. On n ́egligera l’ ́epaisseur de la porte.
81 Hydrostatique
h Lh 0B A′ AO zx
h BA ′A O
On pourra poserH=h−h0 .
1. Expliquer sommairement pourquoi la porte bascule lorsque la hauteur d’eau
est trop ́elev ́ee.
2. Enum ́erer et tracer sommairement les forces agissant sur la porte. On n ́egligera
ensuite le poids de la porte.
3. Calculer le moment en O des forces de pression exerc ́ees par l’eau et l’air sur
la porte.
4. En n ́egligeant le poids de la porte, en d ́eduire la hauteurhde liquide pour
laquelle la porte bascule. Le r ́esultat d ́epend-il de la pression atmosph ́erique ?
Exercice 1.11 : Dimensionnement d’un barrage poids
Il existe plusieurs types de barrages adapt ́es `a la structure du sol et du sous-sol que
l’on peut classer en deux grandes familles : les barrages poids qui stabilisent l’eau
uniquement par leur masse, et les barrages arc-boutants qui s’appuient sur les bords.
Nous allons dans cet exercice calculer la taille d’un barrage poids triangulaire, de
largeurl, de hauteurhet d’angle au sommetα.
j O′ GiO αh A
1 Hydrostatique9
On supposera la pression atmosph ́erique n ́egligeable dans tout l’exercice. On noteraG (h 3tanα, h3 ,0) le centre de gravit ́e du barrage. La densit ́e du b ́eton est 2.2
1. Dessiner les diff ́erentes forces exerc ́ees sur le barrage.
2. Calculer la r ́esultante des forces de pression exerc ́ees par l’eau ainsi la position
du centre de pouss ́ee de ces forces.
3. En ́etudiant l’ ́equilibre du barrage vis-`a-vis de la rotation autour du point O,
calculer l’angleαminimum pour que le barrage retienne une masse d’eau de
profondeurh.
Exercice 1.12 : Remplissage d’un r ́ecipient ferm ́e. (DS IFI 2010)
Un r ́ecipient ferm ́e de hauteurHet de sectionSest initialement rempli d’eau (hau-teurh 0
) et d’air `a pression atmosph ́erique. En branchant une pompe `a l’entr ́ee, on
ajoute de l’eau dans le r ́ecipient, ce qui comprime l’air. On notehle niveau de l’eau.
On supposera que l’air se comporte comme un gaz parfait, et que la compression est
isotherme.
D’apr`es les donn ́ees techniques de la pompe, on sait que la po
