Ce document présente une série de Travaux Dirigés (TDs) sur la mécanique des fluides parfaits, destinés aux étudiants universitaires. Il a pour objectif de renforcer la compréhension des concepts fondamentaux et de développer les compétences en résolution de problèmes.
Les exercices couvrent les notions essentielles de la discipline, notamment :
- La mesure de la densité et les principes de flottaison.
- Les lois de l'hydrostatique et les forces de pression.
- L'analyse des fluides en référentiels non galiléens (accéléromètres, miroirs liquides).
- Des applications pratiques telles que le dimensionnement de barrages et de trop-pleins.
Mécanique des Fluides : Tds de mécanique des fluides parfaits
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Olivier LOUISNARD
14 novembre 2012
Exercice 1.1 : Mesure de la densité d’une huile
Un tube en U dont les branches sont très longues, de section égale à 1 cm², est ouvert aux extrémités. Il contient initialement de l’eau. D’un côté, on verse 10 cm³ d’huile. La différence de niveau entre les surfaces libres est Δz = 15 mm.
Calculer la densité de cette huile.
Rappel : la densité relative d’un corps A par rapport à un autre corps B (pris pour référence) est le rapport des masses volumiques ρ et ρ′ respectivement de A et B qui occupent le même volume V dans les mêmes conditions de température et de pression.
Pour les solides et les liquides, le corps de référence choisi est l’eau. Pour les gaz, c’est l’air.
Exercice 1.2 : Flottaison à une interface
Un bloc d’acier parallélépipédique « flotte » à une interface eau-mercure. On notera d_A et d_M les densités respectives de l’acier et du mercure.
1. Calculer le rapport des distances b/a.
2. Application numérique : d_A = 7.85, d_M = 13.
Exercice 1.3 : Densimètre à flotteur
Soit le densimètre (ou aréomètre) constitué d’une tige AB de section constante soudée en A à une carène lestée. On notera M la masse totale de l’instrument et V le volume de la carène (lest compris).
Exprimer la masse volumique du fluide dans lequel est plongé l’appareil en fonction de la longueur immergée de la tige Δz.
Exercice 1.4 : Densimètre à ressort
On imagine le système suivant pour mesurer la densité d’un fluide : un tube en U de section S est bouché d’un côté par un bouchon étanche de masse M, relié à un ressort, de raideur k et de longueur L au repos, dont l’autre extrémité est fixe. La branche de droite du tube est graduée à une hauteur h au-dessus de la position d’équilibre du bouchon en l’absence de fluide. On note Δl₀ l’allongement initial du ressort en l’absence de fluide, sous l’influence du poids du bouchon.
1. En écrivant le bilan des forces sur la masse M lorsque le tube est vide, calculer Δl₀ en fonction de M et k.
On remplit ensuite le tube en U avec le fluide à caractériser jusqu’au trait de graduation, et on note Δl la hauteur dont remonte la masse M.
2. Écrire le bilan des forces sur la masse M (il y en a quatre). On notera p_M la pression dans le fluide au point M, et p_atm la pression atmosphérique.
3. Écrire l’expression de p_M à partir de la loi de l’hydrostatique et, en utilisant la question 1, en déduire ρ en fonction de k, S, Δl et h.
4. On donne h = 1 m, D = 3 cm (diamètre du tube), k = 0,1 N/mm, Δl = 5 cm. Calculer ρ.
Exercice 1.5 : Tube rempli de plusieurs fluides
On considère le tube. La pression au niveau du point E est la pression atmosphérique. Les densités des différents fluides sont indiquées.
1. Exprimer la différence de pression p_A − p_atm en fonction de ρ (masse volumique de l’eau), g (pesanteur), et des différentes hauteurs indiquées.
2. Application numérique : h = 45 cm, h₁ = 30 cm, h₂ = 15 cm, h₃ = 40 cm.
Air (d_A = 1,2 × 10⁻³), Huile (d_H = 0,85), Mercure (d_M = 13).
Exercice 1.6 : Flottaison d’une barre en bois
Une barre mince de longueur L, constituée par un matériau plus léger que l’eau, est accrochée à un mur en un point A, autour duquel elle peut tourner. L’autre extrémité de la barre plonge dans l’eau. Le point A est à une hauteur h par rapport au niveau de l’eau. On notera d la densité du matériau.
1. En écrivant l’équilibre des moments, calculer l’inclinaison θ de la barre.
2. Pour quelle valeur critique du rapport h/L la barre tombe-t-elle à la verticale ?
3. Application numérique : calculer θ pour d = 0,65, h = 1 m, L = 3 m.
Exercice 1.7 : Accéléromètre hydrostatique
Pour vérifier le bon fonctionnement des dispositifs de freinage d’une automobile, on dispose à bord d’un accéléromètre constitué par un tube ABCD dont les branches AB et CD sont verticales et dont la branche BC, horizontale et de longueur l = 20 cm, est parallèle au vecteur vitesse.
Pendant un essai de freinage à accélération négative constante, la différence de niveau qui s’établit entre les branches AB et CD a pour valeur Δh = 12 cm.
Quelle est l’accélération de la voiture ?
Exercice 1.8 : Miroirs liquides
Il est difficile et coûteux de tailler et polir des galettes de verre massif de grande taille en une parabole parfaite. De plus, même bien taillées, les miroirs se déforment sous l’effet de la température et, au-delà d’une certaine taille, ils plient sous leur propre poids !
La technique des miroirs liquides consiste à mettre en rotation à vitesse constante une cuve remplie de mercure liquide. La rotation du liquide réfléchissant donne à la surface la forme d’une parabole parfaite, qui ne nécessite aucun polissage. En revanche, il est impératif de supprimer toute oscillation car sinon, la surface du mercure se riderait sous l’effet des vibrations.
1. Calculer l’accélération d’entraînement en un point de coordonnées cylindriques (r, z).
2. À partir de l’équation de l’hydrostatique en référentiel non galiléen, calculer le champ de pression dans le liquide et montrer que les isobares (donc en particulier la surface libre) sont des paraboloïdes.
3. En supposant le volume de mercure V identique lorsque la cuve est immobile ou qu’elle tourne, déterminer la hauteur h = OO′ en fonction de la hauteur initiale de liquide h₀.
Questions de réflexion
– Comment le liquide est-il mis en mouvement ?
– De quelle(s) propriété(s) physique(s) dépend, à votre avis, le temps pour arriver en régime permanent ?
– Vers où se déplacerait une bulle d’air dans le liquide en rotation ?
Exercice 1.9 : Force d’Archimède en référentiel non-galiléen
Une cuve remplie d’un liquide de masse volumique ρ est soumise à une accélération constante et horizontale.
1. Quelle est la forme et la direction de la surface libre ?
2. Une bille de masse volumique ρ′ est maintenue immobile, complètement immergée au sein du fluide. À t = 0, on libère la bille. En faisant un bilan des forces appliquées à la bille, déterminer son accélération à t = 0 dans le référentiel mobile. Discuter du mouvement de la bille suivant les valeurs respectives de ρ et ρ′.
Exercice 1.10 : Trop-plein
Une porte de trop-plein est représentée. Lorsque le niveau de l’eau h est trop haut, la porte AOB s’ouvre en tournant autour d’un axe perpendiculaire passant par le point O, et laisse passer l’eau. On note A′ le point de la surface de l’eau. On négligera l’épaisseur de la porte.
1. Expliquer sommairement pourquoi la porte bascule lorsque la hauteur d’eau est trop élevée.
2. Énumérer et tracer sommairement les forces agissant sur la porte. On négligera ensuite le poids de la porte.
3. Calculer le moment en O des forces de pression exercées par l’eau et l’air sur la porte.
4. En négligeant le poids de la porte, en déduire la hauteur h de liquide pour laquelle la porte bascule. Le résultat dépend-il de la pression atmosphérique ?
Exercice 1.11 : Dimensionnement d’un barrage poids
Il existe plusieurs types de barrages adaptés à la structure du sol et du sous-sol que l’on peut classer en deux grandes familles : les barrages poids qui stabilisent l’eau uniquement par leur masse, et les barrages arc-boutants qui s’appuient sur les bords.
Nous allons dans cet exercice calculer la taille d’un barrage poids triangulaire, de largeur l, de hauteur h et d’angle au sommet α.
1. Dessiner les différentes forces exercées sur le barrage.
2. Calculer la résultante des forces de pression exercées par l’eau ainsi que la position du centre de poussée de ces forces.
3. En étudiant l’équilibre du barrage vis-à-vis de la rotation autour du point O, calculer l’angle α minimum pour que le barrage retienne une masse d’eau de profondeur h.
Exercice 1.12 : Remplissage d’un récipient fermé
Un récipient fermé de hauteur H et de section S est initialement rempli d’eau (hauteur h₀) et d’air à pression atmosphérique. En branchant une pompe à l’entrée, on ajoute de l’eau dans le récipient, ce qui comprime l’air. On note h le niveau de l’eau.
On supposera que l’air se comporte comme un gaz parfait et que la compression est isotherme.
1. Exprimer la pression de l’air en fonction de h.
FAQ
Qu’est-ce que la densité relative ?
La densité relative d’un corps A par rapport à un corps B est le rapport des masses volumiques de A et B dans les mêmes conditions de température et de pression.
Pourquoi utilise-t-on des miroirs liquides en astronomie ?
Les miroirs liquides permettent de créer une surface parfaitement parabolique sans nécessiter de polissage mécanique, ce qui simplifie leur fabrication et réduit les coûts.
Comment la pression atmosphérique influence-t-elle la flottaison d’un objet ?
La pression atmosphérique agit uniformément sur toutes les surfaces de l’objet et du fluide, donc elle ne modifie pas directement les conditions de flottaison. Cependant, elle peut influencer la pression totale dans le système.