Mécanique des Fluides : Exercices de mécanique des fluides terminale stl plpi
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Relation de continuité
1- De l’eau s’écoule dans une conduite de 30,0 cm de diamètre à la vitesse de 0,50 m·s-1. Calculer le débit-volume en m3·s-1 et la valeur numérique du débit-masse.
2- Dans une conduite de 30,0 cm de diamètre, l’eau circule avec un débit-volume de 1800 L·min-1. Calculer la vitesse moyenne d’écoulement. Le diamètre devient égal à 15,0 cm ; calculer la nouvelle vitesse moyenne.
3- De l’air circule dans une conduite de 15,0 cm de diamètre à la vitesse moyenne v1 = 4,50 m·s-1. Calculer le débit-volume qv.
Écoulement permanent à travers un ajutage
On utilise une cuve verticale remplie d’eau, avec un niveau constant A. Le fluide s’écoule par un trou de diamètre D = 2,0 cm situé dans le fond. L’eau est considérée comme un fluide parfait incompressible.
1- Énoncer le théorème de Bernoulli pour un fluide parfait en précisant la signification des termes.
2- Appliquer la relation de Bernoulli entre les points A et B pour déterminer la vitesse vB au niveau du trou.
3- Donner la relation pour calculer le débit-volume théorique qv au point B.
4- Calculer numériquement la vitesse vB et le débit-volume qv au point B.
5- Le débit réel vaut 0,92 L·s-1. Comparer avec la valeur théorique et justifier.
6- Expliquer la contraction de la veine liquide à la sortie de l’orifice et en déduire le diamètre D’ de la veine liquide.
Convergent dans une conduite
On accélère la circulation d’un fluide parfait dans une conduite avec un convergent d’angle α.
1- Calculer le rapport des rayons R1/R2 pour une vitesse multipliée par 4.
2- Exprimer (R1 - R2) en fonction de L et α, puis en déduire la longueur L.
Relation de Bernoulli – Application avec eau
De l’eau s’écoule du point A au point B avec un débit-volume de 350 L·s-1. La pression en A vaut 0,70 bar.
Calculer la pression en B en détaillant les calculs littéraux puis numériques.
Convergent dans l’air
Un convergent horizontal transporte de l’air (fluide parfait incompressible) avec un débit-volume qv = 220 L·s-1.
1- Calculer le débit-masse qm avec ρ(air) = 3,20 kg·m-3.
2- Calculer les vitesses moyennes v1 et v2.
3- Calculer la différence de pression ∆p = p1 - p2 en Pascal et mbar.
4- Calculer la dénivellation h d’un manomètre différentiel à eau branché entre les points 1 et 2.
5- Expliquer pourquoi la masse volumique de l’air est considérée comme constante.
Réservoir et tuyère
Un réservoir R rempli d’eau, de niveau constant Z0, est relié à une tuyère de diamètre d via une conduite de diamètre D. C et D sont sur la même horizontale.
1- Établir l’expression de la vitesse vD à la sortie de la tuyère. Exprimer le débit-volume qv en fonction de vD, d et g. En déduire vAC.
2- Calculer numériquement vD, qv et V avec Z0 = 4,0 m, D = 5,0 cm et d = 2,0 cm.
2.1- Exprimer la pression pB au point B en utilisant Bernoulli.
2.2- Calculer pB par la loi hydrostatique dans le tube vertical.
2.3- En déduire h, différence des niveaux du réservoir et du tube.
Étude d’un siphon
Un siphon de diamètre d = 10,0 mm est alimenté par un récipient rempli d’eau ouvert à l’atmosphère (patm = 1,0 bar).
1- Calculer la vitesse moyenne en S puis le débit-volume qv avec H = 3,0 m.
2- Donner l’expression de la pression pM au point M en fonction de h.
3- Représenter l’allure de pM en fonction de h.
Turbine hydroélectrique
Une turbine est alimentée par une retenue d’eau avec les données suivantes :
Diamètre d = 700 mm, pA = pD = 1,01 bar, pC = 1,1 bar, zA = 363 m, zB = 361 m, zC = 353 m.
1- Calculer la vitesse d’écoulement vC en C.
2- En déduire le débit-volume qv.
3- Justifier l’égalité des vitesses en B et en C.
4- Calculer la pression pB en B.
5- Calculer la puissance fournie par l’eau à la turbine.
6- Calculer le nombre de Reynolds et en déduire la nature de l’écoulement.
Tube de Venturi vertical
Étude de l’écoulement d’eau dans un tube de Venturi vertical avec qv = 200 L·s-1, DA = 30,0 cm et DB = 15,0 cm.
1- Écrire l’équation de continuité et calculer vA et vB.
2- Appliquer Bernoulli entre A et B et calculer ∆p = pA - pB.
Phénomène de cavitation
Une conduite amène de l’eau à 10 °C (ρ = 1000 kg·m-3) d’un barrage vers une turbine. Diamètre D = 30,0 cm, longueur L = 200 m, H = 120 m, H0 = 20 m, patm = 1,01 bar.
1- Calculer la vitesse vA à la sortie et le débit-volume qv.
2- Déterminer la pression pM en fonction de la cote z. Identifier les valeurs critiques de z et le phénomène associé.
3- Expliquer qualitativement l’effet d’un injecteur sur la pression dans la conduite.
Nombre de Reynolds
1- Limites du nombre de Reynolds pour un écoulement laminaire, intermédiaire et turbulent.
2- Calculer la vitesse critique pour de l’eau dans un tuyau de diamètre 3,0 cm (ν = 1,0×10-6 m2·s-1). Montrer que ∆p est proportionnelle à qv en régime laminaire.
3- Calculer Re pour un écoulement d’air avec qv = 1,50 m3·h-1, D = 90,0 mm, θ = 25 °C, η = 1,80×10-5 Pa·s et p = 900 mm Hg.
Écoulement laminaire et pertes de charge
1- Calculer η et ν pour une huile de densité 0,86 dans un tuyau de diamètre D = 5,0 cm, longueur L = 300 m, qv = 1,20 L·s-1, ∆p = 20,6×104 Pa.
2- Pour du fuel lourd (ρ = 912 kg·m-3, ν = 2,05×10-4 m2·s-1, qv = 20,0 L·s-1, L = 1,0 km), calculer ∆p en Pascal et mCF, puis D et Re.
Application avec tube horizontal
Un écoulement d’huile de graissage (η = 0,275 Pa·s, ρ = 890 kg·m-3) circule dans un tube de diamètre DN = 150 mm et longueur L = 120 m.
1- Calculer ∆p23 = p2 - p3 avec p2 = 1,12 bar et p3 = 0,465 bar. En déduire qv et v.
2- Calculer Re et vérifier l’écoulement laminaire.
3- Calculer λ et son produit avec Re.
4- Exprimer Bernoulli et calculer H en fonction de patm, p2, v, ρ et g.
Baromètre à mercure
On mesure la pression atmosphérique avec un baromètre à mercure (hauteur ≈ 76 cm).
1- Déterminer si l’erreur est par excès ou par défaut en cas de phénomènes capillaires.
2- Calculer le diamètre minimal du tube pour limiter l’erreur à 1 % (γ = 480×10-3 N·m-1, θ = 130 °).
Bulle de savon
La surpression d’une bulle d’eau savonneuse (γ = 30,0×10-3 N·m-1) est donnée par πi - pe = 4·γ/R.
1- Calculer le rayon R pour une surpression de 5 Pa.
2- Expliquer la variation du rayon avec la surpression.
3- Expliquer la variation de la pression intérieure lors du gonflage.
4- Décrire le phénomène lors de la mise en communication de deux bulles de rayons R et R’ (R < R’).
Installation hydroélectrique
Une centrale hydroélectrique comporte trois conduites forcées de diamètre 300 cm, avec un débit-volume total qv = 217 m3·s-1.
1- Calculer la vitesse d’écoulement dans les conduites.
2- Calculer Re et déterminer la nature de l’écoulement.
3- Calculer les pertes de charge entre les points 1 et 2.
4- Calculer la puissance échangée entre l’eau et les turbines.
5- Calculer le rendement des turbines (Puissance utile = 1200 MW).
Pipe-line de pétrole brut
Un pipe-line de diamètre intérieur 50,0 cm transporte du pétrole brut (η = 0,27 Pa·s, ρ = 900 kg·m-3) avec un débit-masse de 350 tonnes·h-1.
1- Calculer Re et déterminer la nature de l’écoulement.
2- Calculer la distance maximale entre deux stations de pompage.
3- Calculer la puissance de chaque moteur (rendement 75 %).
Tube de Pitot
Pour mesurer la vitesse d’écoulement d’air à 20 °C (ρ = 1,205 kg·m-3) dans une cheminée de section 2,00 m2, on utilise un tube de Pitot avec ∆p = 0,250 mbar.
1- Déterminer la vitesse de l’air.
2- Calculer le débit-volume et le débit-masse.
Pompe hydroélectrique
Une pompe (Puissance utile = 36 kW) remonte de l’eau dans une conduite de diamètre 135 mm (v = 6,0 m·s-1).
1- Calculer le débit-volume.
2- Calculer Re et déterminer la nature de l’écoulement.
3- Calculer la différence de pression entre la sortie et l’entrée de la pompe.
4- Calculer les pertes de charge entre les points 1 et 4.
5- Calculer λ pour une conduite de 65 m.
6- Calculer la puissance absorbée (rendement 84 %).
Mesure de viscosité
Pour mesurer η d’une huile (ρ = 910 kg·m-3) dans un tube horizontal de diamètre 7,0 mm, on utilise deux manomètres verticaux distants de L = 600 mm. Avec qv = 4,0×10-6 m3·s-1, ∆h = 267 mm.
1- Calculer η.
2- Calculer Re et justifier l’hypothèse laminaire.
FAQ
1. Qu’est-ce que la relation de continuité en mécanique des fluides ?
La relation de continuité exprime la conservation de la masse d’un fluide incompressible en écoulement permanent : le débit-volume (qv) est constant dans une conduite, soit qv = S1·v1 = S2·v2, où S1