Mécanique des Fluides : Travaux diriges n°1 statique des fluides
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ISET Nabeul A.U. :2013-2014
36 Mécanique des fluides
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37 TRAVAUX DIRIGES N°1
Statique des fluides * Exercice 1: * Exercice 2: * Exercice 3: L’eau monte jusqu’au niveau E dans la canalisation fixé au réservoir ABCD comme indique la figure ci-dessous. En négligeant le poids du réservoir et des conduites : En négligeant le poids du cylindre A, déterminer la force F qui assurera l’équilibre. On donne :
- Les surfaces des cylindres A et B sont respectivement de 40 et 4000 cm2 . - Le cylindre B a une masse de 4000 kg. - Le récipient et les conduites sont remplis d’huile de densité d = 0,75. Les récipients A et B contiennent de l’eau aux pressions respectives de 2,80 et 1,40 bar. Calculer la dénivellation h du mercure du manomètre différentielle. On donne :
x + y = 2 m. La densité du mercure est d = 13,57 Mercure Mécanique des fluides
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38 1/ Donner l’intensité et la position de la force de pression agissante sur la surface AB qui a 2.5 m de largeur. 2/ Déterminer la force totale de pression qui s’exerce sur la face inférieure BC du réservoir. 3/ Déterminer la force totale de pression qui s’exerce sur la face supérieure AD du réservoir. 4/ Calculer le poids total de l’eau dans le réservoir. * Exercice 4: Soit le barrage de la figure ci-dessous comporte deux portes d’évacuation d’eau AB et CD, comme l’indique la figure. Connaissant que la porte en AB forme une surface rectangulaire de largeur 3 m et la porte en CD forme une surface plane triangulaire de base 4m. 1/ Calculer la résultante des efforts de pression 1R
appliquée par l’eau sur la surface AB. 2/ Donner le centre de poussée de la résultante de pression 1R
; Zc1 . 3/ Calculer la résultante des efforts de pression 2R
appliquée par l’eau sur la surface CD. 4/ Donner le centre de poussée de la résultante de pression 2R
; Zc2 . 5/ Calculer les deux composantes
2z 2x Ret R . 6/ Comparer 2x1Rà
R que peut-on dire ? 2
A = 0.10my z
6 m2m 3.7mD CE BO A
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39 On donne 36. 3hb IGy d’un triangle rectangle,
eau = 1000 Kg/m3 * Exercice 5: On désire déterminer la masse volumique
2 d’un liquide L2 . Pour cela versons dans un bain de l’eau qui sera mis en contact avec une paroi verticale de largeur b = 100cm et de hauteur h = 2m. La surface libre du liquide L
2 est située à une distance a = 700mm par rapport à la surface libre de l’eau.
1/ a- Déterminer la résultante des forces de pression1 R exercée par l’eau sur la paroi verticale. b- Déterminer la position Z
C1 du centre de poussée de cette résultante.
2/ a- Déterminer la résultante des forces de pression2 R exercée par le liquide L
2 sur la paroi verticale en fonction de 2 . C D Q zx 45°3m 6m6m 4mD CB A2 1O O
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40 b- Déterminer la position Z
C2 du centre de poussée de cette résultante.
3/ Déterminer la forceF
exercée par l’air sur la partie non mouillée de la paroi verticale. 4/ En effectuant l’équilibre de la paroi verticale, déduire la masse volumique
2 du liquide L2 . * Exercice 6: La figure suivante représente un petit barrage délimitant deux milieux liquides de masses volumétriques différentes et dont les niveaux sont décalés de 0,5 m. On considère une porte de section carré inclinée d’un angle de par rapport à l’horizontale ayant une côté de 2m. On donne 2 =850 Kg/m3 , 1 = 10
3 Kg/m3 , α = 75°. On prend g=10 m/s2 . 1) Calculer la force de pression exercée par le liquide 1 sur la surface carrée. 2) Préciser la position du centre de poussée Cp
1 sur l’axe z
et sur l’axe1 z . 3) Calculer la force de pression exercée par le liquide 2 sur la surface carrée 4) Préciser la position du centre de poussée Cp
2 sur l’axe z
et sur l’axe1 z . 5) Sachant que l’articulation est au point A, déterminer en appliquant le PFS l’effortF
qu’il faut appliquer en B pour équilibrer la porte. Indiquer le sens de l’effortF
. Mécanique des fluides
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41 * Exercice 7:
Un tronc d’arbre de forme cylindrique de (diamètre D = 50 cm, longueur L = 4.5 m) est immergé dans un bassin d’eau, comme le montre la figure 1. 1/ Si à l’équilibre le tronc est à moitié immergé, calculer la masse volumique
t du tronc. On donne la masse volumique de l’eau
eau = 1000 Kg/m3 . 2/ Si le tronc est creusé de diamètre intérieur d = 40 cm, calculer la force F1
qu’il faut appliquée pour que celui-ci reste à moitié immergé, comme le montre la figure 2. 3/ Calculer F2
pour que le tronc soit totalement immergé. Mécanique des fluides
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42 Correction du Travaux Dirige s N°1 * Exercice 1: En appliquant l’équation de l’hydrostatique entre les points A et C on trouve : ACeauAC ZZgpp.. xhgppeauAC ..
En appliquant l’équation de l’hydrostatique entre les points C et Don trouve :
CDmercureCD
ZZgpp.. hgdppeauCD .. hgdxhgpp
eaueauAD
.... dghxgpp
eaueauAD
1...
En appliquant l’équation de l’hydrostatique entre les points D et B on trouve : DBeauDB
ZZgpp..ygpp eauDB..
ygdghxgpp
eaueaueauAB
..1... dghyxgpp
eaueauAB
1... dg yxgpph eaueauAB 1.. .
AN :
mh1,272
. * Exercice 2: On a :p N = p
M + l .g. h Avec :, (le poids du cylindre A est négligeable), L’équation devient : () AN : on trouve pour g = 9.81 m/s
2 : F = 377.685 N.
* Exercice 3: 1/- Détermination de l’intensité de la force de pression agissante sur la surface AB : On a F = .g.hG .S avec h
G = 4,7m et S = (AB) x l = 5 m2 D’où F = 235 KN. Mécanique des fluides
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43 - Détermination de la position de la force de pression : On a GG GyC ZSZ IZ . avec 12).( 3ABl IGy
D’où Z
C = 4,77 m. 2/- Détermination de la force totale de pression qui s’exerce sur la face inférieure BC du réservoir : On a F
1 = .g.hG1 .S1 avec h
G1 = 5,7m et S
1 = (BC) x l = 15 m2 D’où F
1 = 855 KN. 3/- Détermination de la force totale de pression qui s’exerce sur la face supérieure AD du réservoir : On a F
2 = .g.hG2 .S2 avec h
G2 = 3,7m et S
2 = S1 -A = 14,9 m2 D’où F
2 = 551,3 KN. 4/- Détermination du poids total de l’eau dans le réservoir : On a P = .g.VT avec V
T = l x S
1 + A x (DE) D’où P = 303,7 KN. * Exercice 4: 1/- Détermination de la résultante des efforts de pression 1R : On a xShgRABG ...11 avec 211 ABAOh G
et S
AB = AB x l D’où R
1 = 840 KN. 2/- Détermination du centre de poussée de la résultante de pression 1R : On a 11 1. GABG GxC ZSZ I
Z avec 12).( 3ABl IGx et 211 ABAOZ G
et S
AB = AB x l D’où Z
C1 = 7,42 m. 3/- Détermination de la résultante des efforts de pression 2R : On a xShgRCDG ...22 avec )45sin(.3 22 CDhh CG
et S
CD = (CD x DQ)/2. D’où R
2 = 699,41 KN. Mécanique des fluides
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44 4/- Détermination du centre de poussée de la résultante de pression 2R : On a 22 22 .G CDGG CZ SZI Z avec 36. 3hb IGx et )45sin(.3 22 CDZZ CG
etS CD = (CD x DQ)/2. D’où Z
C2 = 6,17 m. 5/- Détermination des deux composantes
2x R et2zR
: On a 2x R =2zR
= 2R
x sin (45) D’où R
2x = R
2z = 494,55 KN. * Exercice 6: 1/- Détermination de l’intensité de la force de pression exercée par le liquide 1 sur la surface carrée : nShgFG 1 11 avec : 2aS sin 21 ABOAh G
D’où :
sin2 sin2 11a OAagF AN : KNF219,121 . 2/- Détermination de la position du centre de poussée Cp
1 sur l’axe z
: On a 1 12 1sin 1G GGy CpCph ShI hZ
avec :12 4a IGy sin2 1 AB OAhG où sin 2OA 2aS AN : m07,3Z1 Cp . Mécanique des fluides
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45 - Détermination de la position du centre de poussée Cp
1 sur l’axe 1z
: sinZ Z1 Cp1 Cp1 AN : m179,3Z1 Cp . 3/- Détermination de l’intensité de la force de pression exercée par le liquide 2 sur la surface carrée : nShgF2 G22 avec : 2aS 5,0sin 22 ABOAh G
D’où :
5,0sin2 sin2 22 aOAagF
AN : KNF841,832 . 4/- Détermination de la position du centre de poussée Cp
2 sur l’axe 1z
: On a 1G 11 G1 Gy1 Cp1 ZS.Z IZ avec : 12a I4 Gy 2AB OAZ1 G1 où sin2 OA2 aS
AN : m17,3Z1 Cp1
. - Détermination de la position du centre de poussée Cp
1 sur l’axe z
: sinZZ1 Cp1 1Cp AN : m06,3Z1 Cp . Mécanique des fluides
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46 * Exercice 7: 1/- Bilan des actions extérieures : Le solide est soumis à son propre poids : P et à la poussée d’Archimède : PA
A l’équilibre : P
+ PA
= 0 PP A
; La poussée d’Archimède : g
v ρ gm PeaueaueauA
Avec (1)4 D l2 12 VV 2t eau
Le poids du tronc : g
v ρ gm Pttt
Avec ) 2 (4 D lV 2t En égalisant entre (1) et (2) on aura : m
Kg/ 5002 ρ ρ3 eaut . 2/- A l’équilibre : P
+ PA+ F1 = 0 (3)0 P - FP A1
La poussée d’Archimède : g
v ρ gm PeaueaueauA ; Avec
) d - D ( 4 l2 12 VV 22 teau Le poids du tronc : ) d- D( 4 l ρg v ρ gm P2 2tttt g ; Compte tenu de l’équation (3) : )ρ 2ρ (
) d - D ( 4 g lP - PFt eau2 2
A 1 ; or 0F 2
ρ ρ 1eau t
3/- an O 0
P - F
P A2 ; . N 1560
)ρ (ρ
) d - D ( 4 g lP - PFteau 22 A 2
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47 TRAVAUX DIRIGES N°2
dynamique des fluides Incompressibles * Exercice 1: Un étage est alimenté en eau à l’aide d’une pompe entraînée par un moteur électrique Voir figure .La pompe puise de l’eau d’un réservoir de grande dimension et ouvert à l’air libre et le refoule à l’air libre .Le débit assuré est 1 l /s .Le diamètre de la conduite d’aspiration est da = 32 mm et celui du refoulement est dr = 18 mm .On donne en plus :ha = 5 , hr = 15 m , le rendement de la pompe p = 0.6 et celui du moteur p = 0.85 .Calculer : 1/ L’énergie par unité de volume fournie par la pompe à l’eau ; 2/ La puissance électrique consommée ; 3/ Les pressions absolues et effectives à l’entrée et à la sortie de la pompe. * Exercice 2: On considère la vidange d’un grand réservoir ouvert à l’air libre et contenant de l’eau. La conduite de vidange a un diamètre D = 40 mm et elle est terminée par une tuyère (rétrécissement progressif) tel que le diamètre de sortie soit d = 25 mm voir figure . On donne h
E = 3 m et h
S = 5 m En supposant que l’eau comme étant un fluide parfait, calculer : 1/ Le débit de vidange ; 2/ La pression en E et la pression à l’entrée de la tuyère en B ; 3/ La pression en E lorsque la tuyère est bouchée. Mécanique des fluides
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48 Correction du Travaux Dirige s N°2 * Exercice 1: 1/- On applique le théorème de Bernoulli à l’entrée et à la sortie de la pompe : v Fluideeses 2e 2s qP p p )z (z g ρ v v ρ 21
Calculons alors les vitesses à l'entrée et à la sortie : On a : d qv4 v2 ; d qv4 v2 s = 3,93 m/s ; d qv4 v2 e = 1,24 m/s ; d’où v Fluideat at3 223 qP p p ) (-5) (15 10 10 1.24 93,3 102 1
; L’énergie par unité de volume fournie par la pompe à l’eau est alors :v Fluidev Fluide
q * 206953,4P Pa 206953,4 E q
P P fluide = 206,9 w
2/- Le rendement sur la pompe est :w344,85 6,0
206,9 ηP PP Pη phh p
Le rendement sur l’arbre de transmission est : hm PP η
La puissance électrique consommée est alors : w405,785,0 344,85η P P m
h
3/- On applique le théorème de Bernoulli entre les points ( 3 ) et ( 4 ) :
0 p p )z (z g ρ v v ρ 21 34342 32 4 La vitesse v
4 étant juste à la sortie de la conduite donc v
4 = v
3 et z
4 – z
3 = h
r . D’où p
3 = p
4 + . g . h
r . Et p
3 = ps
abs = 10
5 + 10
4 * 15 = 2,5 10
5 Pa ps
abs = 2,5 bar Mécanique des fluides
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49 ps effe = 1,5 bar *On applique le théorème de Bernoulli entre les points ( 1 ) et ( 2 ) :
0 p p )z (z g ρ v v ρ 21 12122 12 2 Or v
1 = 0 (vitesse nulle à la surface du liquide) 2112 21 22 p p
)z (z g ρ v v ρ 21
et p
2 = peabs pe
abs = 10
5 – 0,5 .10
3 .1.24
2 +104 .(-5) = 0,49 barpe effe = 0.49 –1 = - 0,51 bar * Exercice 2: 1/- On applique le théorème de Bernoulli entre les points A ( point de la surface du liquide ) et le point S . S S2 SAA 2A p zgρ2 v ρ
p zgρ2 v ρ
Or v
A 0 et p
A = p
S = p
atm . h . g . 2
v 2v p )z -z ( g s2 S
A SA
AN : à la sortie on a : v
s = 10 m / s. Le débit volumique est alors qv = V.S = 4,9 l /s . 2/- La pression au point E : vS S . v
v qvqv4 DΠ. 4d Π. . SB SSBBS 22 s / m 3,9D 2
d . vv :A.N 2S B
On applique le théorème de Bernoulli entre le point E te le point A on aura : A) EA2 E
Ep z - z( g ρ2 v ρ -
p p E = 1,224 bar On applique le théorème de Bernoulli entre E et B, on aura : Mécanique des fluides
ISET Nabeul A.U. :2013-201450 EBEB p ) z - z( g ρ
p p B = 1,424 bar 3/- Lorsque la tuyère est bouchée : bar 1,3 p h g ρ
p' AEE
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51 TRAVAUX DIRIGES N°3
dynamique des fluides re els * Exercice 1: Du pétrole qui écoule à travers un coude horizontal à 90°. P1 =2 bars, la pression chute à S2 de 1,2m de pétrole (masse volumique 872 kg.m-3 ). Le débit est de 0,86 m3 .s-1 , le diamètre du coude de 0,5m et le poids de fluide sera négligé. 1/ Calculer la pression P2 à la sortie du coude 2/ En appliquant
le théorème d’Euler, déterminer la résultante des actions exercées par un écoulement de pétrole * Exercice 2: Une station d’alimentation d’un château d’eau utilise une pompe immergée de puissance P à déterminer. Cette pompe refoule l’eau dans une conduite verticale de hauteur h = z2 -z
1 = 40m et de diamètre
d = 120mm. La vitesse d’écoulement dans la conduite est : v
2 = v
1 = 5m/s. Les pressions d’eau (absolues) mesurées avec un manomètre aux points 0, 1 et 2 sont :p 0 = 10
5 Pa,p 1 = 5,4 10
5 Pa,p 2 = 1,2 10
5 Pa
On donne la viscosité cinématique de l’eau : = 10
-6 m2 /s. On néglige les pertes de charge singulières et on donne g = 10 m/s2 . Mécanique des fluides
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52 1/ Calculer le débit volumique et le débit massique de la pompe. 2/ Calculer le nombre de Reynolds dans la conduite et en déduire la nature de l’écoulement. 3/ Calculer la perte de charge linéaire J
12 entre les sections extrêmes 1 et 2 de la conduite. On donne : 1212122 12 21 21 JzzgppVV 4/ Calculer le coefficient
r de perte de charge linéaire dans la conduite. 5/ Calculer le travail W échangé entre la pompe et la masse de 1 Kg d’eau qui la traverse. On néglige les pertes de charge singulières au niveau de la pompe. On donne : vq PW 6/ Calculer la puissance mécanique P
m fournie à la pompe sachant que le rendement de celle ci est = 0,85. * Exercice 3 : Dans une station d’alimentation d’un château d’eau on utilise un groupe électropompe de puissance hydraulique P
h à déterminer. La pompe aspire l’eau du point G et le refoule à l’aire libre au point O. On admet que les conduites d’aspiration et de refoulement possèdent le même diamètre d = 120 mm. La vitesse d’écoulement dans ces conduites est V = 0,5m/s. La pression de l’eau (absolues) mesurée avec un manomètre au point G est : p
G = 1,5 10
5 Pa. Afin de relier les différentes conduites on a utilisée 4 coudes 90° de rayon de courbure R
0 = 100 mm. 0 z Mécanique des fluides
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53 On donne : L
T = 68,6 m longueur totale des conduites linéaires entre les points O et G. K
v = 0,24 coefficient de pertes de charges au niveau de la vanne papillon. K
G = 0,15 coefficient de pertes de charges au niveau de l’aspiration de l’eau. K
C = K
C’ = 0,45 coefficient de pertes de charges au niveau des raccords à l’entrée et la sortie de la pompe. 1/- Calculer le débit volumique et le débit massique de la pompe. 2/- Calculer le nombre de Reynolds dans la conduite. Déduire la nature de l’écoulement. 3/- Calculer la perte de charges linéaire totale des conduites linéaires. 4/- Calculer la perte de charges singulières totale dans cette installation hydraulique. 5/- Déduire la perte de charges totale le long du circuit hydraulique pGO . 6/- Calculer la puissance mécanique P
m fournie à la pompe par le moteur électrique sachant que le rendement de celle-ci est = 0,85.
7/- On désire changer le groupe électropompe par un groupe «moteur thermique + pompe», la puissance mécanique délivrée par le moteur thermique est P
m = 3,2 KW. Pour transmettre le mouvement du moteur vers la pompe on utilise un organe de transmission de puissance. Déterminer le rendement
0 de cet organe afin de maintenir la même puissance hydraulique délivrée par le groupe électropompe (utilisé antérieurement) sachant que le rendement de la pompe utilisée est p = 0,75.
On prendra : g = 10 m/s2 ,
eau = 10
3 kg/m3 , = 10 -6 m2 /s. Les coudes utilisés dans cet exercice possèdent le même rayon de courbure. zR0 yB OA' E'G F'F ED CA PV C'D' B'R0 R0R0 Mécanique des fluides
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54 * Exercice 4 : Soit un groupe turbine-alternateur, de puissance de turbinage P
h = 600 10
6 W, utilisé pour la production de l’énergie électrique dans un barrage. Ce groupe est placé entre deux bassins de dénivellation de 1695 m à 740 m. Le débit d’écoulement de l’eau à travers la turbine est de 262,8 10
6 l/h (fig.1). La conduite est de diamètre intérieur constant égale à 3 m. On supposera qu’en 1 et en 5 l’eau est à la pression atmosphérique p
atm (p
atm = 10
5 Pa). On donne : z
1 = 1695 m, z
2 = 1590 m, z
3 = 1505 m, z
4 = 787 m, z
5 = 740 m, =20°, T = 0,8 et a = 0,7. 1/ Calculer la vitesse de l’écoulement de l’eau dans la conduite. 2/ Calculer le nombre de Reynolds, déduire le type de cet écoulement. 3/ Dans le trajet 15 calculer la somme des pertes de charges p15 . 4/ Supposons que les pertes de charges, trouvées dans la question précédente, soient localisées comme des pertes de charges linéaires dans la conduite entre 3 et 4.
a)- Déterminer le coefficient de pertes de charges linéaires 34 .
b)- Calculer la pression p
4 à l’entrée de la turbine.
5/ L’énergie électrique produite par l’alternateur sera utilisée pour l’alimentation des groupes électropompes utilisés pour l’irrigation des terres agricoles. En supposant que ces électropompes possèdent les mêmes caractéristiques, déterminer le nombre maximal des électropompes qu’on peut alimenter par l’énergie produite.
On donne : la puissance hydraulique développée par une pompe est P’
h = 20 KW, h = 0,85 et e = 0,75. z5 43 21 zz zz z5 43 21 T Mécanique des fluides
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55 * Exercice 5: Une pompe, de puissance utile 36 KW, remonte de l’eau entre un bassin et un réservoir à travers une conduite de diamètre 135 mm (fig.2). La vit