Electricité: électrostatique : Cours d’electricite module physique 2 filiéres smpc
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Télécharger pack43 UNIVERSITE ABDELMALEK ESSAADI FACULTE DES SCIENCES DEPARTEMENT DE PHYSIQUE COURS D’ELECTRICITE MODULE PHYSIQUE 2 FiliéRES SMPC F. BENABDELOUAHAB
page facebookpage facebook43 Préface.
Ce cours est un résumé d’électricité1 qui a été rédigé à l’intention des étudiants
de première année de la licence dans les domaines des ‘’ Sciences de la Matière
Physique et Sciences de la Matière Chimie’’ est conforme au programme officiel
adopté dés l’entrée universitaire 2014-2015.
Le Module 8 «électricité1 » fait partie des cours enseignés en semestre 2, dont le
programme se compose de trois parties essentielles :
Le chapitre I présente les notions et les calculs du champs et potentiel électriques
crées par des charges électriques distinctes ou des distributions linières,
surfaciques ou volumiques. Notion de la symétrie et application du théorème deGauss. L’étudiant, qui a déjà pris connaissance de certain de ces notions au lycée, doit
les assimiler durant ce cours, à l’aide des outils mathématiques plus performant
et des calculs plus avancés. Le chapitre II présente les définitions et les lois régnantes dans le domaine des
conducteurs en équilibre ou un système de conducteurs en équilibre et les
méthodes des calculs des champs et potentiels dans ces cas.
Le chapitre III traite les lois et les théorèmes généraux de l’électrocinétique.
L’étudiant trouve à la fin du document des exemples d’exercices et contrôles des
années passées.
Il est possible que cette édition comporte quelques imperfections, nous serions reconnaissants à tous ceux qui nous feraient part de leurs remarques et suggestions. F. BENABDELOUAHAB
page facebookpage facebook43 Table des matières
Préface 02
Chapitre I
Champs et Potentiel électrostatique dans le vide04
Chapitre II Conducteurs en équilibre électrostatique16
Chapitre III Électrocinétique27
Exercices et contrôles40
page facebookpage facebook43 CH I CHAMP ELECTROSTATIQUE DANS LE VIDE
page facebookpage facebook43 A) LOI DE COULOMB
La charge électrique existe sous deux formes :
Charge positive Charge négative.
En général les charges de même signe se repoussent et les charges de signes opposées s’attirent. On peut mesurer la charge électrique portée par un corps en mesurant la force électrique qu’elle engendre. ur qqKF 221 .
. avec 04 1 K
B) DISTRIBUTION DE CHARGES ELECTRIQUES.
On distingue trois types de distribution de charges électriques :
Charges ponctuelles
Distribution de charge linéaire (distribution linéique). Fig2.a
Distribution de charge surfacique. Fig2.b
Distribution de charge volumique. Fig2.c
C) CHAMP ELECTRIQUE
1) Champ électrique cèe par une charge ponctuelle Une charge électrique ponctuelle au point O crée au point M à une distance r le vecteur champ électrique E . L’expression de E
est donnée par la formule suivante :u OMq KME 2 )(
.)( = ur qK 2 .
2) Champ électrique crée par plusieurs charges ponctuelles.Fig2.a Fig2.bFig2.c Oq u M)(ME r 1q M)(ME 1 r2 q2 r2 u 1u )( 2ME )( 1ME u F AB 1q 2q page facebookpage facebook43 21)(EEME . Le vecteur )(ME est la résultante des vecteurs 21EetE . 12 11 1)( .)(uMO qKME et 22 22 2)( .)(uMO qKME
3) Champ crée par une distribution de charges continue.
Champ crée par un fil uniformément chargé.
a)Champ crée par un ségment uniformément chargé AB de longueur 2L.
Champ crée en un point M appartenant à l’axe médiane passant par O.
dydq. élement de charge électrique de l’élement dy.
jdEidEEdyx .. yx
dEdEdEE et par raison de symétrie 0y dE j x dEE. cos..2 rdq KdEx = cos.. .2 rdy KdEx
sachant que ay tg et ra cos. On en déduit alors : )(cos. 2 d
ady et le rapport 22 2)(cos1 ar . cos.)(cos .)(cos ...2 22 ad aKdEx . xdEE = d aK .cos
. = sin.2 aK . sin .2a K
E est l’expression du champ électrique crée par le ségment AB chargé d’une densité linéaique au point M.
Si on veut exprimer E en fonction de a et L, on remplace sin
. 22sin aLL ry yr a dyr AB Mx Ed yEd dE i xa O LM cos.dEEdx sin.dEEdy dE page facebookpage facebook43 22.2 aLL aK E b) Champ crée par un fil infini uniformément chargé.
Pour le fil infini uniformément chargé, On utilise les mêmes calculs du segment AB en tendant simplement2 . Alors l’expression de )(ME en M devient 02 .2 aa KE Remarques : Il est conseillé de voir le calcul de
1)Champ électrique crée par une boucle uniformément chargée en un point de son axe.
2)Champ électrique crée par un disque uniformément chargé en surface en
un point de son axe.
D) POTENTIEL ELECTRIQUE.
1) Définition. Par définition le potentiel d’une charge q de point O en un point M s’écrit :cte rqK V. 2) Energie potentielle.
L’énergie potentielle d’une charge Q au point M qui est soumise à l’action du potentiel électrique V(M) crée par la charge q qui se trouve au point O, s’écrit :cteQ rqK QMVEP . ).(
3) Travail d’une force électrique.
Le travail de déplacement de la charge Q soumise à l’action du potentiel électrique V(M) entre les points A et B, s’écrit :
)()(BEAEWPP BA ou )11 (.BA BA rr
KqQW .
4) Propriété du potentiel.
Potentiel crée par une distribution de charges discrètes ou continue.
Distributions discrètes.
L’expression du potentiel dû à l’ensemble des charges s’écrit :cte rqK MVn ii i 1 .)( M1 q2 q3 q4 q5 q1 r2 r3 r4 r5 r)(MV Mq Or V (M)F B AM E Qq Or page facebookpage facebook43 Distributions continue.
L’expression du potentiel d’une distribution continue de charges électrique s’écrit : r dqKMV.)( Exemple de calcul de potentiel
Potentiel électrique crée par une boucle uniformément chargée en un point de son axe.r dq
KdV avec dRdldq.... rKR dr KRr KdRdVV ...2..... 20
avec r, x et R : constantes22 0. 42 )(Rx RMV = 220 .2 1Rx R ,
avec 22Rxr .
5) Travail d’une force électrique entre deux points AB.
Le travail élémentaire de Q sous l’action de E S’écrit : ldFldEQdW .).(. .
Avec EQF .. Le travail entre A et B s’écrit : B AB AB A
CQldEQW... . dqM dVr dRdl. Ry zM r x yz Rdl xA MF ld Q qO rE B page facebookpage facebook43 BA BA ldEC . est la circulation entre les points A et B.)( ABBAB A
VVVVC. Si A et B appartiennent au même plan équipotentiel alors 0BA BA VVC car BAVV .
E) RELATION ENTRE E
ET V.
On revient sur certain relations présentées au dessus : B AB AB A
CQldEQW...
dVdCldE
. On rappelle que pour une fonction f(xyz) ; ))(dzz fdy yf dxx fxyzdf )(...dz zV dyy Vdx xV dVdzEdyEdxEzyx x VE x , yV Ey et zV Ez . Ceci résume la formule vectorielle VdagrE zzyyxxeEeEeEE ... = )...(zyx ez Ve yV ex V . Exemple : Calcul de potentiel et déduction du champ électrique. Potentiel électrique crée par un disque chargé (densité surfacique de charge
constante.
ds=.d.d et dq=.ds=..d.dr ddr dq 00 41 41 =dV(M) avec 22xr 2200 41 41 =dV(M) xdd rdq 2 022 04 =dV(M)V(M)dx dV 1V 2
Lignes de champ
Surface équipotentielle r yz Rds d dy z
page facebookpage facebook43 2 022 04 =dV(M)V(M)dx d 22 022 024 2=V(M) xd xd xRx xd xR R 220 00 022 02 22. 22V(M) )( Si x > 0 alors xRx 220 2V(M) Si x< 0 alors xRx 220 2V(M) dxdV E(M) A partir de cette relation on peut déduire les deux expressions du champ électrique.
Si x > 0 22 01 2E(M) Rxx dxdV Si x < 0 22 01 2E(M) Rxx dxdV 02 Conclusion :
Le champ électrique lors de la traversé d’une surface chargée subit une discontinuité de valeur 0
F) THEOREME DE GAUSS.
1) Flux de champ à travers une surface.
Le champ électrique E
est crée par la charge ponctuelle q au point M.ndSu OMq KSdMEd ..)( ).(2 = cos.2 dSOM q
K = dKq.
. avec 2cos. OMdS d 0 R xV 00 2 xE 00 Mn q Ou Sd r 2. rSdu d u M n E qO u ndSSd . Sd
page facebookpage facebook43 d est le flux du champ E à travers l’élément de surface Sd .
d est l’angle solide élémentaire à travers lequel, on voit Sd
à partir du point O.222 cos.. OMdS OMnudS OMSd ud . Exemple : Calcul de l’angle solide pour pouvoir voir le demi-espace 222)0cos( .. Rds Rneds Rsd edr respacedemi 2R ds en coordonnées sphérique l’élément du surface 2/ 02 02 22 .sin..sin..sin dddd RddR Rds Espacedemi
221.cos2 02/ 0 Espacedemi
Pour voir l’espace complet 422.cos2 00 Espace 2)Théorème de Gauss. 00int 2 surfq q A travers une surface fermée quelconque
dont la normale est positivement vers
l’extérieur. Le flux du champ crée par une distribution de charge est donné par
l’expression au dessus.
Exemple :
1)Calcul du champ électrique crée par le fil indéfini de charge linéique . On choisi comme surface fermée de Gauss un cylindre dont l’axe coïncide avec le fil. Le flux du champ E à travers la surface de Gauss s’écrit :
21BBLATERALTOTAL E E 2Sd latéral Sd E 1Sd E 2 Sd Surface de base B1 Surface de base B2 q intE E E 1 Sd 2Sd 3 Sd ddRdRdRds..sin...sin.2
neteentreAngler 0 sd z xy re ndssd . Or e page facebookpage facebook43 0,021
BB car EdSetEdSBB 21. LATERALELATERAL LATERALTOTALSESdE .. .
= hRE...2..hq INT 0002 INTSURINT
LATERALTOTALqqq hRE...2.= 0. h On déduit alors que 0.2 h E
Remarque : Il s’agit du même résultat trouvé par le calcul direct.
Il est conseillé de faire le calcul en utilisant le théorème de Gauss pour :
1)un plan infini de densité constante . 2)Une sphère chargée en surface par une densité constante . 3)Une sphère chargée en volume par une densité volumique constante . 4)Un cylindre chargée en surface par une densité constante . G) CONSEQUENCES DU THEOREME DE GAUSS.
Formulations mathématiques.
Equation de Poisson, Equation de Laplace.
Le flux d’un champ de vecteurs B à travers une surface fermée S est égale à l’intégrale de la divergence de B
sur le volume délimité par S. SVOLUME dBdivSdB..
avec zB yB xB Bdivz yx Cas particulier : Champ électrique. SVOLUME dq SdE .1int .00
= VOLUMEdEdiv.
d’où l’identité 0 Ediv Equation de Poison.
Equation différentielle locale.
Si on utilise la relation VgradE )(VgraddivEdiv = 0
VVolume:B d S
page facebookpage facebook43 On sait que :2 22 22 2z fy fx f
ffgraddiv Alors : 0
V Equation de Poisson.
En analyse vectorielle, l'équation de Poisson (ainsi nommée en l'honneur du mathématicien et physicien français Siméon Denis Poisson) est l'équation aux dérivées partielles du second ordre suivante :où est l'opérateur Laplacien et
est une fonction généralement donnée.
Sur un domaine borné de et de frontière régulière, le problème de trouver à partir de et satisfaisant certaines conditions aux limites appropriées est un problème bien posé : la solution existe et est unique.
Ce problème est important en pratique :
- En électrostatique, la formulation classique exprime le potentiel électrique associé à une distribution connue de charges (dans le vide) par la relation
Dans une région de l’espace où il n’a pas de charges électrique 0 donc :0Ediv E est un flux conservatif0 0 V alors 0V Equation de Laplace.
Exercice : Equation de Poisson.
Une distribution volumique à charge de symétrie sphérique de centre O créant en M un potentiel de forme rke rc V. .
avec c et k des constantes.
1)Calculer le champ électrique
E en M.
2)Calculer la densité de charge en M.
Corrigé :
1)L’opérateur gradient en coordonnées sphériques : e fr ef re rf rfgradr sin 11),,( On utilise la relation VdagrE
en coordonnée sphériques à une seule variable r drdV E avec krkrkrekr rc er cke rc drdV
).1(22 rkr eekrr cE.).1( 2 . 2)Expression local du théorème de Gauss ou Equation de Poisson0 Ediv
L’opérateur divergence en coordonnées sphériques :M re er Or xy z
page facebookpage facebook43 e Er eE re rEr rEdiv rr sin 1)sin( sin1)(1 22 A une seule variabler rr er Err Ediv )(1 22 krekrcEr ).1( 2krkrkr krr crekekrkckcedr ekrcddr Erd 22 )1()).1(( )(krkr re rck crekr drErd rEdiv 22 22 21 )(
1 et0 Edivkr er ck 2 0 Exemple : Calculer le flux du champ de vecteurs ),,(zyxE .
Montrer que le flux du champ zyx
exyeezzyxE
.2.3.2),,( sortant à travers l’hémisphère (O,R) est le même que le flux rentrant à travers la base, surface du disque (O,R). On peut parvenir à ce résultat si on peut montrer que le flux à travers la surface totale fermée est nulle.
On utilise alors l’égalité SVOLUME
dEdivSdE..
sachant quez Ey Ex EEdiv zy x dans notre cas 0Ediv
.
Alors 0.. SVOLUME
dEdivSdE 0.../ HémisphDisque
HémisphDisqueSSE SdESdESdE
HémisphDisque z xy rO drrd hémisphèreldeSurface'
disqueduSurfacex yz page facebookpage facebook43 Exercice : ddp d’une membrane.Réponse page facebookpage facebook43 CH II
CONDUCTEUR EN EQUILIBRE ELECTROSTATIQUE
page facebookpage facebook43 I)CONDUCTEUR EN EQUILIBRE
a)Equilibre électrique d’un conducteur en régime permanent.
Les conducteurs sont en général des métaux, constitués d’atomes, d’ions et d’électrons libres.
La vitesse moyenne d’un électron en régime pérmanent est :0. 11 njj jjV nV .
b)Champ E
dans un conducteur.
Dans le conducteur, un électron sous l’action d’un champ électriqueE
est soumis à deux forces.Eq
. : action de E sur l’électron.Vk
: force de frottement de l’électron avec le milieu.
La vitesse moyenne du conducteur en régime permanent Est nulle 0 V .
P.F.D extériermf . avec m : la masse de e
- et : l’accélération.
Dans notre cas 0.. mVkEq 0. VkEq VkEq .
En régime permanent 0
V 0. VkEq . En conclusion 0 E .
En régime permanent, le champ électrique )(ME
est nul en toute point intérieur du conducteur.
c)Potentiel et répartition de charges dans un conducteur.
Le champ électrique nul dans le conducteur,0 E
, entraîne :
1-Potentiel du conducteur.
VgradE
puisque E=0 V, le potentiel est constant en tout point du conducteur. 2-Charge du conducteur.
Si on applique le théorème de Gauss sur un conducteur en équilibre 00 intint/ q E
car le champ électrique E=0 à l’intérieur de conducteur. par conséquence 00 intint/ q
E et 0int q. La charge intérieure d’un conducteur en équilibre est nulle, pourtant l’électroscope montre qu’un métal en cuivre s’électrise par simple frottement. La charge de ce conducteur ne peut se trouver qu’en surface. :L’électroscope est un appareil simple pour mesurer la charge électrique d’un conducteur. eEq . Vk
page facebookpage facebook43 3) Lignes de champ.
Pour imaginer les lignes de champ dans un conducteur, il faut revenir sur les dérniers résultats du paragraphe b).
A l’intérieur du conducteur en équilibre le champ électrique 0 E . En surface le champE peut être différent de zéro, mais son vecteur doit être perpendiculaire à la surface du conducteur. Si on suppose qu’une composante de 0
LETANGENTIELE alors les e
- seront en mouvement superficiel. Ceci est contraire aux conditions de l’équilibre d’un conducteur.
d)Relation entre la charge et le potentiel d’un conducteur.
V est le potentiel d’un conducteur et
la densité superficielle.
CONDUCTEURr dSMKdVV ).(.
Si on multiplie la densité par une constante, elle devient .'
, alors le potentiel devient VV.' et la charge électrique QQ.'. On en déduit alors que la charge et le potentiel d’un conducteur sont proportionnels : VCQ.
C : capacité d’un conducteur est mesurée en Farad.
Exemple : Capacité d’un conducteur sphèrique.
Q : charge portée par la sphère.S=4.R 2 : surface de la sphère de rayon R.2 .4RQ SQ
: densité superficielle de la sphère.
La charge Q crée un potentiel V au centre O. L’expression de V s’écrit : RQ V0 41 .
La relation de proportionnalité VCQ. peut être comparée avec celle de dessusRVQ.4 0
alors la capacité C s’écrit : RV QC.4 0 e)Champ en surface d’un conducteur.
dSESdEd..
les deux vecteurs sont colinéaires dSEdSdq dSURFACE ..2 ..2 00 .
Conducteur en équilibreE E E E z yx OM Sd E ()
Surface de Gauss
page facebookpage facebook43 On déduit alors le champ électrique sur la surface d’un conducteur 0.2
E ou sous forme vecteur uE 0 .2 . Au voisinage de la surface 00. .. dSdq dSESdEd
INTERIEUR .
Alors le champ électrique au voisinage de la surface d’un conducteur s’écrit : 0 E .
Théorème :
Le champ E est discontinu à la traversée de la surface du conducteur. Le champ passe d’une valeur nulle dans le conducteur à 0.2
E sur la surface puis 0
E au voisinage immédiat de la surface.
II)Théorèmes généraux pour l’étude d’un système de conducteurs.
Dans le cas d’un ensemble de conducteurs, chaque conducteur est en équilibre.
-le champ électrique E est nul à l’intérieur de chaque conducteur.
-les lignes de champ sont aux surfaces des conducteurs.
-Le potentiel est constant dans chacun des conducteurs, avec uE 0 au voisinage immédiat.
a)Théorème d’unicité.
n conducteurs chacun a un potentiel : V1 , V2 , ..., Vn .
On prends comme conditions aux limites le potentiel à l’infini est nul , V. )(rV
en tout point de l’espace est solution de l’équation de Laplace.
0V (0 ) avec les conditions aux limitesV 1
conducteur 1V 2
conducteur 2 Si on connaît le potentiel )(rV en tout point de l’éspace, on peut en déduit la densité
sur tout conducteur pa r la relation nVgradE 0 . MSd E () Surface de Gaussdq E1 E2 E3 Lignes de champ
Cond. 1
Cond. 2
Cond. 3V 2V 1V 3
Charge positive
Charge positive
page facebookpage facebook43 On peut aussi en déduire la charge Q = Q1 +Q2 + +Qn On peut
démontrer que )(rV est solution unique.
b)Théorème de superposition.
Soit un système de conducteurs. Dans un premier état sa charge est Q’ et dans un deuxième état sa charge est Q’’. Les densités correspondantes au point P du système sont )('P
pour le premier état et )(''P pour le deuxième état. Si la charge du système devient ''.'''.'QQ
, la nouvelle répartition de charge au point P sera ''.'''.'
. Nous
obtenons ainsi un no