Electricité: électrostatique : Cours d’electricite module physique 2 filiéres smpc
Télécharger PDFUniversité Abdelmalek Essaâdi – Faculté des Sciences – Département de Physique
Cours d’Électricité – Module Physique 2 (Filières SMPC, SMPC F)
Préface
Ce cours est un résumé d’électricité conçu pour les étudiants de première année de la licence en Sciences de la Matière Physique et Sciences de la Matière Chimie. Il respecte le programme officiel en vigueur depuis 2014-2015.
Structure du Module
Le Module 8 « Électricité » couvre trois chapitres principaux :
- Chapitre I : Champs et Potentiel Électrostatiques dans le Vide (p. 04)
- Chapitre II : Conducteurs en Équilibre Électrostatique (p. 16)
- Chapitre III : Électrocinétique (p. 27)
À la fin du document, des exercices et contrôles des années précédentes sont proposés pour illustrer les concepts.
Chapitre I : Champs et Potentiel Électrostatiques dans le Vide
A) Loi de Coulomb
La charge électrique existe sous deux formes : charge positive et charge négative. Les charges de même signe se repoussent, tandis que celles de signes opposés s’attirent.
La force électrique entre deux charges ponctuelles q et Q est donnée par la formule :
F = K · q · Q / r², où K = 1 / (4πε₀) est la constante de Coulomb.
B) Distribution de Charges Électriques
On distingue trois types de distributions de charges :
- Charges ponctuelles : localisées en un point.
- Distribution linéaire (linéique) : charges réparties le long d’un fil (Fig. 2a).
- Distribution surfacique : charges réparties sur une surface (Fig. 2b).
- Distribution volumique : charges réparties dans un volume (Fig. 2c).
C) Champ Électrique
1) Champ électrique créé par une charge ponctuelle
Une charge ponctuelle q placée en O crée au point M, à une distance r, un champ électrique E⃗ donné par :
E⃗(M) = K · q / r² · u⃗, où u⃗ est le vecteur unitaire dirigé de O vers M.
2) Champ électrique créé par plusieurs charges ponctuelles
Le champ électrique total en M est la somme vectorielle des champs créés par chaque charge :
E⃗(M) = E⃗₁(M) + E⃗₂(M) + ... + E⃗ₙ(M).
Exemple : Pour deux charges q₁ et q₂ aux points O₁ et O₂, les champs en M sont :
E⃗₁(M) = K · q₁ / r₁² · u⃗₁ et E⃗₂(M) = K · q₂ / r₂² · u⃗₂.
3) Champ électrique créé par une distribution continue de charges
a) Champ électrique créé par un segment uniformément chargé
Un segment AB de longueur 2L, uniformément chargé avec une densité linéique λ, crée un champ électrique en un point M de son axe médian.
Le champ électrique en M est donné par :
E = (λ / (2ε₀)) · (cos(α₁) - cos(α₂)), où α₁ et α₂ sont les angles entre les droites MA et MB et l’axe du segment.
En remplaçant cos(α) par L / √(L² + r²), on obtient :
E = (λ / (2ε₀)) · (L / √(L² + a²) - L / √(L² + b²)), où a et b sont les distances entre M et les extrémités A et B.
b) Champ électrique créé par un fil infini uniformément chargé
Pour un fil infini de densité linéique λ, le champ électrique en un point M à une distance a est :
E = λ / (2πε₀a).
D) Potentiel Électrique
1) Définition
Le potentiel électrique V créé par une charge q au point O en un point M est donné par :
V(M) = K · q / r + constante.
2) Énergie Potentielle
L’énergie potentielle d’une charge Q placée en M sous l’action du potentiel V(M) créé par une charge q en O est :
Eₚ(M) = Q · V(M) = K · q · Q / r.
3) Travail d’une Force Électrique
Le travail de la force électrique pour déplacer une charge Q entre deux points A et B est :
W = Q · (V(B) - V(A)) ou W = -K · q · Q · (1/r_B - 1/r_A).
4) Propriétés du Potentiel
a) Distributions discrètes
Le potentiel total dû à plusieurs charges ponctuelles est la somme des potentiels individuels :
V(M) = Σ (K · qᵢ / rᵢ).
b) Distributions continues
Le potentiel électrique créé par une distribution continue de charges est donné par l’intégrale :
V(M) = ∫ (K · dq / r).
Exemple : Potentiel créé par une boucle uniformément chargée en un point de son axe.
Pour une boucle de rayon R et de densité linéique λ, le potentiel en un point M à une distance x de son centre est :
V(M) = (λ / (2ε₀)) · (R / √(R² + x²) - 1).
5) Travail d’une Force Électrique entre Deux Points
Le travail élémentaire pour déplacer une charge Q sous l’action du champ E⃗ est :
dW = Q · E⃗ · dl⃗, où dl⃗ est un déplacement infinitésimal.
La circulation du champ électrique entre deux points A et B est :
∮_AB E⃗ · dl⃗ = V(A) - V(B).
Si A et B appartiennent au même plan équipotentiel, alors V(A) = V(B) et ∮_AB E⃗ · dl⃗ = 0.
E) Relation entre le Champ Électrique et le Potentiel
La relation entre le champ électrique E⃗ et le potentiel V est donnée par :
E⃗ = -grad(V).
En coordonnées cartésiennes, cela s’écrit :
E⃗ = - (∂V/∂x · u⃗ₓ + ∂V/∂y · u⃗ᵧ + ∂V/∂z · u⃗_z).
Exemple : Calcul du champ électrique à partir du potentiel créé par un disque chargé.
Pour un disque de rayon R et de densité surfacique σ, le potentiel en un point M à une distance x est :
V(M) = (σ / (2ε₀)) · (√(R² + x²) - x).
Le champ électrique déduit est :
E⃗(M) = - (σ / (2ε₀)) · (1 - x / √(R² + x²)) · u⃗ₓ.
F) Théorème de Gauss
1) Flux du Champ Électrique à Travers une Surface
Le flux du champ électrique E⃗ à travers une surface S est donné par :
Φ = ∫ E⃗ · dS⃗ = Σ (qᵢ / ε₀), où qᵢ sont les charges à l’intérieur de la surface.
Exemple : Calcul de l’angle solide pour un demi-espace.
L’angle solide pour un demi-espace est Ω = 2π.
2) Théorème de Gauss
Le flux du champ électrique à travers une surface fermée est égal à la somme des charges à l’intérieur divisée par ε₀ :
Φ = ∮ E⃗ · dS⃗ = Σ qᵢ / ε₀.
Exemple : Champ électrique créé par un fil infini de densité linéique λ.
En utilisant un cylindre de Gauss, on trouve : E = λ / (2πε₀a).
G) Conséquences du Théorème de Gauss
Le théorème de Gauss conduit à deux équations différentielles locales :
- Équation de Poisson : ∇²V = -ρ / ε₀, où ρ est la densité volumique de charge.
- Équation de Laplace : ∇²V = 0 (dans une région sans charges).
Exemple : Calcul du champ électrique et de la densité de charge pour une distribution sphérique.
Pour un potentiel de la forme V(M) = k · c / r, le champ électrique est :
E⃗(M) = - (k · c / r²) · u⃗.
La densité de charge ρ est donnée par l’équation de Poisson :
ρ = -ε₀ · ∇²V = 2ε₀k · c / r³.
Chapitre II : Conducteurs en Équilibre Électrostatique
I) Conducteur en Équilibre
a) Équilibre Électrique d’un Conducteur en Régime Permanent
Un conducteur est généralement un métal composé d’atomes, d’ions et d’électrons libres. En régime permanent, la vitesse moyenne des électrons est nulle :
V⃗ = Σ (v⃗ᵢ · nᵢ) / N = 0.
b) Champ Électrique dans un Conducteur
Dans un conducteur, un électron est soumis à deux forces :
- E⃗ · q : action du champ électrique.
- -V⃗ · k : force de frottement.
En régime permanent, la vitesse moyenne est nulle, donc :
E⃗ · q - V⃗ · k = 0 ⇒ E⃗ = 0.
Le champ électrique à l’intérieur d’un conducteur en équilibre est donc nul.
c) Potentiel et Répartition des Charges dans un Conducteur
Le potentiel V est constant dans tout le conducteur. La charge électrique ne peut se trouver qu’en surface.
Exemple : Capacité d’un Conducteur Sphérique.
Pour une sphère de rayon R et de charge Q, la capacité est :
C = Q / V = 4πε₀R.
d) Champ Électrique en Surface d’un Conducteur
Le champ électrique en surface d’un conducteur est perpendiculaire à la surface et vaut :
E⃗ = σ / ε₀ · u⃗ₙ, où σ est la densité superficielle de charge.
Au voisinage immédiat de la surface, le champ électrique est discontinu et passe de 0 à σ / ε₀.
II) Théorèmes Généraux pour l’Étude d’un Système de Conducteurs
Dans un système de conducteurs en équilibre, chaque conducteur a un potentiel constant et un champ électrique nul à l’intérieur.
Les lignes de champ sont perpendiculaires aux surfaces des conducteurs.
a) Théorème d’Unicité
Si on connaît le potentiel V en tout point de l’espace et les potentiels des conducteurs, on peut déduire la densité superficielle σ et les charges Q.
b) Théorème de Superposition
Pour un système de conducteurs, si les charges sont Q' et Q'', les densités superficielles sont