Electricité: électrostatique : Résumé du cours electrostatique
Télécharger PDFÉlectrostatique : Résumé et Exercices
Conducteurs en équilibre électrostatique
Capacité d’un conducteur isolé dans l’espace : VQ C =
Énergie interne d’un conducteur isolé : VQC QU 2 2 = =
Condensateurs
Capacité propre d’un condensateur : VQ C =
Q : charge de chaque armature (en valeur absolue). V : différence de potentiel entre les armatures.
Types de condensateurs
Condensateur plan : eSC 0 = ε
Condensateur sphérique : 1212 0 − = πε et r r C
Énergie interne d’un condensateur
L’énergie électrique libérée lors du court-circuit des armatures est donnée par : VQC QU 2 2 = =
Association de condensateurs
Condensateurs en parallèle : ∑ = i iC (le potentiel est le même pour tous les condensateurs).
Condensateurs en série : ∑ = 1 1 i iC (la charge est la même pour tous les condensateurs).
Propriétés des conducteurs en équilibre électrostatique
• Champ électrique à l’intérieur d’un conducteur : 0 = int E
• Potentiel à l’intérieur d’un conducteur : V = int V (volume équipotentiel).
• La charge d’un conducteur en équilibre se trouve à sa surface : SQ Q σ = = (densité surfacique).
Exercice 1 : Sphère conductrice chargée
1. Calculer le champ électrique en un point M au voisinage immédiat de la surface et à l’extérieur d’une sphère conductrice S1 de rayon R1 portant une charge Q1.
2. Calculer le potentiel au point M.
3. En déduire la capacité de S1.
Soit une autre sphère conductrice S2 de rayon R2 ≠ R1, initialement neutre. Les deux sphères, éloignées, sont reliées par un fil conducteur de capacité négligeable.
1. Calculer les nouvelles charges Q'1 et Q'2 des sphères S1 et S2 à l’équilibre électrostatique.
2. Que peut-on en déduire si S2 est reliée au sol ?
3. Trouver le rapport des densités de charges σ1 / σ2 en fonction de R1 et R2.
4. Trouver le rapport des champs au voisinage des surfaces E1 / E2 en fonction de R1 et R2.
Exercice 2 : Sphère conductrice divisée
Une sphère conductrice centrée en O, de rayon R, porte une charge répartie uniformément sur sa surface avec une densité σ. Une droite sépare la sphère en deux hémisphères égaux S1 et S2.
1. Calculer la force Fz appliquée entre les deux hémisphères.
2. En déduire cette force en fonction de la charge totale de la sphère et de son potentiel.
Exercice 3 : Sphères conductrices isolées
Dispositif constitué d’une sphère conductrice A de rayon R1, initialement neutre et isolée, et une autre surface sphérique B de rayon R2, portée à un potentiel V > 0.
Calculer :
1. La charge QA de la sphère A.
2. La densité surfacique de charge σB de la surface B.
3. Le potentiel VA de A.
Nous relions la sphère A au sol.
4. Calculer la nouvelle charge Q'A de A.
Exercice 4 : Sphère et coquille conductrices
Une sphère conductrice de rayon a portant une charge +2Q est placée au centre d’une coquille sphérique conductrice de rayon intérieur b et extérieur c, portant une charge –Q.
1. Calculer le champ électrique en tout point de l’espace en utilisant le théorème de Gauss.
2. En déduire le potentiel électrique en tout point (sachant qu’il est nul à l’infini).
3. Calculer la capacité du condensateur sphérique ainsi formé.
Exercice 5 : Cylindres conducteurs chargés
Un cylindre conducteur de longueur L (L très grand), portant une charge +Q, est entouré d’une couche conductrice cylindrique portant une charge –2Q.
1. Calculer le champ électrique en tout point de l’espace en utilisant le théorème de Gauss.
2. En déduire la différence de potentiel entre les deux cylindres.
3. Calculer la capacité du condensateur cylindrique ainsi formé.
Exercice 6 : Fil conducteur cylindrique chargé
Un fil conducteur cylindrique très long, de rayon a, possède une densité de charge linéaire λ.
1. Calculer le champ et le potentiel créés à une distance r (r > a) de l’axe du cylindre.
Un fil électrique double est constitué de deux fils identiques, séparés par une distance d (d >> a), portant les densités respectives λ1 = +λ et λ2 = –λ.
2. Exprimer le potentiel électrostatique au point M dans la figure.
3. Calculer les potentiels approximatifs V1 et V2 des deux fils en fonction de λ, a, d, ε0.
4. En déduire la capacité linéaire Cl (capacité par unité de longueur) du système.
Exercice 7 : Capacité équivalente
Calculer la capacité équivalente dans les deux figures suivantes :
Données : C = 3 μF ; C1 = 6 μF ; C2 = 8 μF ; C3 = C4 = 5 μF.
Exercice 8 : Capacité équivalente et charges
1. Calculer la capacité équivalente dans la figure 8.
On applique entre A et B une différence de potentiel V = 48 V.
Données : C1 = 3 μF ; C2 = 6 μF ; C3 = 2 μF.
2. Calculer la charge de chaque condensateur et la différence de potentiel entre ses armatures.
FAQ
1. Qu’est-ce qu’un volume équipotentiel ?
Un volume équipotentiel est une région de l’espace où le potentiel électrique est constant. Dans un conducteur en équilibre électrostatique, l’intérieur est un volume équipotentiel, car le champ électrique y est nul.
2. Pourquoi la charge d’un conducteur se trouve-t-elle à sa surface ?
En équilibre électrostatique, les charges libres d’un conducteur se déplacent vers sa surface pour minimiser l’énergie du système. Le champ électrique à l’intérieur du conducteur est nul, ce qui implique que toute charge supplémentaire doit se trouver à la surface.
3. Comment calculer la capacité d’un condensateur sphérique ?
La capacité d’un condensateur sphérique est donnée par la formule C = 4πε0 / (1/r1 – 1/r2), où r1 et r2 sont les rayons des sphères conductrices interne et externe, respectivement.