Electricité: électrostatique : Cours d’electrostatique électrocinétique
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DEUG SMaCours d’électrostatique-Électrocinétique
Jonathan Ferreira
Année universitaire 2001-2002
Plan du cours
I- Le champ électrostatique
1. Notions générales a. Phénomènes électrostatiques b. Structure de la matière c. Les divers états de la matière d. Matériaux isolants et conducteurs
2. Force et champ électrostatiques a. La force de Coulomb b. Champ électrostatique créé par une charge ponctuelle c. Champ créé par un ensemble de charges d. Propriétés de symétrie du champ électrostatique
II- Lois fondamentales de l’électrostatique
1. Flux du champ électrostatique a. Notion d’angle solide b. Le Théorème de Gauss c. Exemples d’application d. Lignes de champ
2. Circulation du champ électrostatique a. Notion de potentiel électrostatique b. Potentiel créé par une charge ponctuelle c. Potentiel créé par un ensemble de charges
3. Le dipôle électrostatique a. Potentiel créé par deux charges électriques b. Champ électrostatique créé à grande distance c. Complément : développements multipolaires
III- Conducteurs en équilibre
1. Conducteurs isolés a. Notion d’équilibre électrostatique b. Quelques propriétés des conducteurs en équilibre c. Capacité d’un conducteur isolé d. Superposition d’états d’équilibre
2. Systèmes de conducteurs en équilibre a. Théorème des éléments correspondants b. Phénomène d’influence électrostatique c. Coefficients d’influence électrostatique
3. Le condensateur a. Condensation de l’électricité b. Capacités de quelques condensateurs simples c. Association de condensateurs
IV- Energie et actions électrostatiques
1. Energie potentielle électrostatique a. Energie électrostatique d’une charge ponctuelle b. Energie électrostatique d’un ensemble de charges ponctuelles c. Energie électrostatique de conducteurs en équilibre d. Quelques exemples
2. Actions électrostatiques sur un conducteur en équilibre a. Notions de mécanique du solide b. Calcul direct des actions électrostatiques sur un conducteur chargé c. Calcul des actions électrostatiques à partir de l’énergie d. Exemple du condensateur e. Exemple du dipôle
V- Électrocinétique
1. Courant et résistance électriques a. Le courant électrique b. La densité de courant électrique c. Loi d’Ohm microscopique d. Loi d’Ohm macroscopique
2. Eléments d’un circuit électrique a. Notion de circuit électrique b. Puissance électrique disponible c. Nécessité d’une force électromotrice
3. Lois régissant les circuits électriques a. Loi d’Ohm généralisée b. Lois de conservation (lois de Kirchhoff) c. Résolution pratique des équations en électrocinétique d. Le théorème de Thèvenin
Formulaire d'électrostatique
Champ électrostatique
Créé par une particule:EM qr u()=1 40 2πε Créé par n charges ponctuelles:EM qr ui ii in ()== ∑1 40 21 πε
Créé par une distribution continue:
EMdEMdEMdq ru() ()()==∫ avec1 40 2πε Distributions de charges :
linéique :
dq = dl
surfacique : dq = d S
volumique : dq = d2 3λ σρ V
Potentiel électrostatique
Créé par une charge ponctuelleVM qr V()=+1 40 0πε Créé par n charges ponctuellesVM qr Vi ii n()=+ =∑ 14 01 0πε Créé par une distribution continueVM dqr V()=+∫ 14 00 πε
Conducteurs en équilibre
Champ à proximité (Th de Coulomb) :En= σε 0
Capacité d'un conducteur isolé :C QV =∫∫ où Q =d S2 Surfaceσ Coefficients d’influence (n conducteurs) :
QCV CCiijj jn ijji== =∑ 1 avec Capacité d’un condensateurC QU UVV==−où 12
Propriétés fondamentales
Flux (Th. de Gauss) :Φ= ⋅ =∫∫ EdSQ Sint ε0 Circulation :
VA VBEdlEVA B
() ()−=⋅=− ()∫ grad
Energie potentielle électrostatique
D'une charge ponctuelle :WqV e= D'un conducteur isolé :WQVCV e== 12 12 2
D'un système de n conducteurs :WQV ei nii == ∑1 21 Force électrostatique
Sur une particule chargée (Coulomb)FqE= Sur un conducteur en équilibre
FdF EdSPdSnS extSS ===∫∫ ∫∫∫∫222 σ
Expression via l'énergie (condensateur)FW UC e=−= gradgrad 22 Dipôle électrostatique
Moment dipolaire électrique :pqd= Potentiel à grande distance :VM pu()= ⋅ρ πε ρ40 2
Energie électrostatiqueWpE eext
=− ⋅
Force et moment électrostatiques
Fgrad p Ep Eextext =⋅() =∧et Γ
Électrocinétique
Densité de courantjnqv= ∑ααα αCourant IdQ dtjdS Section
== ⋅∫∫ 2
Loi d 'Ohm locale
jE=γγηγ ( conductivité, =1/ résistivité)
Résistance d'un conducteurR VVI EdlEdS ABA BS =− =⋅ ⋅∫ ∫∫γ 2
Force électromotrice (fém) entre A et Be Fq dlEdlA Bm AB =⋅= ⋅∫∫ Bilan de puissance d'une portion de circuitA Re BI UV V RIePUI AB=−=− =, puissance disponible entre A et B
P=RI , puissance dissipée par effet Joule
P=eI, puissance fournie (générateur si e > 0)
ou consommée (récepteur si e < 0)J 2
Lois de conservation
• Loi des nœudsII entrantssortants= ∑∑
• Loi des maillesRI ekkk kn −() == ∑0 11 Chapitre I- Le champ électrostatique
I.1- Notions générales
I.1.1- Phénomènes électrostatiques : notion de charge électrique
Quiconque a déjà vécu l’expérience désagréable d’une « décharge électrique » lors d’un
contact avec un corps étranger connaît un effet électrostatique. Une autre manifestation de
l’électricité statique consiste en l’attraction de petits corps légers (bouts de papier par ex.)
avec des corps frottés (règles, pour continuer sur le même ex.). Ce type de phénomène est
même rapporté par Thalès de Milet, aux alentours de 600 av. J.-C. : il avait observé
l’attraction de brindilles de paille par de l’ambre jaune frotté... Le mot électricité, qu désigne
l’ensemble de ces manifestations, provient de « elektron », qui signifie ambre en grec.
L’étude des phénomènes électriques s’est continuée jusqu’au XIXème siècle, où s’est
élaborée la théorie unifiée des phénomènes électriques et magnétiques, appelée
électromagnétisme. C’est à cette époque que le mot « statique » est apparu pour désigner les
phénomènes faisant l’objet de ce cours. Nous verrons plus loin, lors du cours sur le champ
magnétique, pourquoi il en est ainsi. On se contentera pour l’instant de prendre l’habitude de
parler de phénomènes électrostatiques.
Pour les mettre en évidence et pour apporter une interprétation cohérente, regardons deux
expériences simples.
Expérience 1 :
Prenons une boule (faite de sureau ou de polystyrène, par ex.) et suspendons-la par un fil.
Ensuite on approche une tige, de verre ou d’ambre, après l’avoir frottée préalablement : les
deux tiges attirent la boule.
Par contre, si l’on approche simultanément les deux tiges côte à côte, rien ne se passe.
Verre ou Ambre
++++++++++Verre Ambre
- - - - - - - - - -
Tout se passe donc comme si chacune des tiges était, depuis son frottement, porteuse
d’électricité, mais que celle-ci pouvait se manifester en deux états contraires (car capables
d’annuler les effets de l’autre). On a ainsi qualifié arbitrairement de positive l’électricité
contenue dans le verre (frotté avec de la soie), et de négative celle portée par l’ambre (idem,
ou encore du plastique frotté avec de la fourrure).2 Expérience 2 :
Prenons maintenant deux boules A et B, préalablement mises en contact avec une tige frottée
(elles sont « électrisées »), et suspendons-les côte à côte. Si elles ont été mises en contact
toutes deux avec une tige de même matériau, elles se repoussent.++ - -
Par contre, si elles ont été mises en contact avec des tiges de matériau différent (ex. A avec du
verre frotté et B avec de l’ambre frotté), alors elles s’attirent. Si, du fait de leur attraction,
elles viennent à se toucher, on observe qu’elles perdent alors toute électrisation : elles
prennent une position d’équilibre vis-à-vis du leur poids.
Cette expérience est assez riche. On peut tout d’abord en conclure que deux corps portant une
électricité de même nature (soit positive, soit négative) se repoussent, tandis qu’ils s’attirent
s’ils portent des électricités contraires.
Mais cette expérience nous montre également que cette électricité est capable, non seulement
d’agir à distance (répulsion ou attraction), mais également de se déplacer d’un corps à un
autre. Mais alors qu’est-ce qui se déplace ?
Si l’on suspend les boules à une balance, même très précise, nous sommes incapables de
détecter la moindre variation de poids entre le début de l’expérience et le moment où elles
sont électrisées. Pourtant, le fait qu’il soit nécessaire qu’il y ait un contact entre deux
matériaux pour que l’électricité puisse passer de l’un à l’autre, semble indiquer que cette
électricité est portée par de la matière.
On explique l’ensemble des effets d’électricité statique par l’existence, au sein de la matière,
de particules portant une charge électrique q, positive ou négative, et libres de se déplacer.
C’est Robert A. Millikan qui a vérifié pour la première fois en 1909, grâce à une expérience
mettant en jeu des gouttes d’huile, le fait que toute charge électrique Q est quantifiée, c’est à
dire qu’elle existe seulement sous forme de multiples d’une charge élémentaire e, indivisible
(Q=Ne). La particule portant cette charge élémentaire est appelée l’électron.
Dans le système d’unités international, l’unité de la charge électrique est le Coulomb
(symbole C). Des phénomènes d’électricité statique mettent en jeu des nanocoulombs (nC)
voire des microcoulombs (μC), tandis que l’on peut rencontrer des charges de l’ordre du
Coulomb en électrocinétique.3 L’ensemble des expériences de la physique (et en particulier celles décrites plus haut) ne
peuvent s’expliquer que si la charge électrique élémentaire est un invariant : on ne peut ni la
détruire ni l’engendrer, et ceci est valable quel que soit le référentiel. C’est ce que l’on décrit
par la notion d’invariance relativiste de la charge électrique.
I.1.2- Structure de la matière
La vision moderne de la matière décrit celle-ci comme étant constituée d’atomes. Ceux-ci
sont eux-mêmes constitués d’un noyau (découvert en 1911 par Rutherford) autour duquel
« gravite » une sorte de nuage composé d’électrons et portant l’essentiel de la masse. Ces
électrons se repoussent les uns les autres mais restent confinés autour du noyau car celui-ci
possède une charge électrique positive qui les attire. On attribue cette charge positive à des
particules appelées protons. Cependant, le noyau atomique ne pourrait rester stable s’il n’était
composé que de protons : ceux-ci ont en effet tendance à se repousser mutuellement. Il existe
donc une autre sorte de particules, les neutrons (découverts en 1932 par Chadwick) portant
une charge électrique nulle. Les particules constituant le noyau atomique sont appelées les
nucléons.
Dans le tableau de Mendeleev tout élément chimique X est représenté par la notation ZA X
. Le
nombre A est appelé le nombre de masse : c’est le nombre total de nucléons (protons et
neutrons). Le nombre Z est appelé le nombre atomique et est le nombre total de protons
constituant le noyau. La charge électrique nucléaire totale est donc Q=+Ze, le cortège
électronique possédant alors une charge totale Q=-Ze, assurant ainsi la neutralité électrique
d’un atome.
Exemple : le Carbone 612 C possède 12 nucléons, dont 6 protons (donc 6 électrons) et 6
neutrons, le Cuivre 2963 Cu 63 nucléons dont 29 protons (donc 29 électrons) et 34 neutrons.
L’atome de cuivre existe aussi sous la forme 2964 Cu
, c’est à dire avec 35 neutrons au lieu de
34 : c’est ce qu’on appelle un isotope.
Valeurs des charges électriques et des masses des constituants atomiques dans le Système
International :
Electron : q = -e = -1.602 10 C m = 9.109 10 kg
Proton : q = +e =1.602 10 C m =1.672 10 kg
Neutron : q = 0 C
m =1.674 10 kge -19 e-31 p
-19 p-27 nn-27 Comme on peut le remarquer, même une charge de l’ordre du Coulomb (ce qui est énorme),
correspondant à environ 10
18 électrons, ne produit qu’un accroissement de poids de l’ordre de10 12− kg : c’est effectivement imperceptible.
Si les électrons sont bien des particules quasi-ponctuelles, les neutrons et les protons en
revanche ont une taille non nulle (inférieure à 10
15− m
). Il s’avère qu’ils sont eux-mêmes
constitués de quarks, qui sont aujourd’hui, avec les électrons, les vraies briques élémentaires
de la matière. Les protons ainsi que les neutrons forment ainsi une classe de particules appelée
les baryons.
A l’heure actuelle, l’univers (ou plutôt l’ensemble reconnu de ses manifestations) est
descriptible à l’aide de quatre forces fondamentales :4 1) La force nucléaire faible, responsable de la cohésion des baryons (quarks-quarks);
2) La force nucléaire forte, responsable de la cohésion du noyau (protons-neutrons) ;
3) La force électromagnétique, responsable de la cohésion de l’atome (électrons-nucléons) ;
4) La force gravitationnelle, responsable de la structure à grande échelle de l’univers
(cohésion des corps astrophysiques, cohésion des systèmes planétaires, des galaxies, des
amas galactiques, moteur de la cosmologie).
I.1.3- Les divers états de la matière
La cohésion de la matière est due à l’interaction entre ses constituants, interaction mettant en
jeu une énergie de liaison. Or, chaque constituant (atome ou molécule) possède lui-même de
l’énergie cinétique liée à sa température (énergie d’agitation thermique). La rigidité d’un état
particulier de la matière dépend donc de l’importance relative de ces deux énergies (cinétique
et liaison).
Si l’on prend un gaz constitué d’atomes (ou de molécules) neutres, alors l’interaction entre
deux constituants est assez faible : elle ne se produit que lorsqu’ils sont assez proches pour
qu’il y ait répulsion entre les électrons périphériques. Ainsi, chaque atome est relativement
libre de se déplacer dans l’espace, au gré des « collisions » avec d’autres atomes.
Si l’on refroidit ce gaz, certaines liaisons électrostatiques qui étaient négligeables auparavant
peuvent devenir opérantes et l’on obtient alors un liquide. Si l’on chauffe ce gaz, de l’énergie
est fournie à ses constituants, les molécules se brisent et, si l’on continue à chauffer, on peut
même libérer un ou plusieurs électrons périphériques des atomes, produisant ainsi un gaz
d’ions ou plasma.
Dans un solide au contraire, les liaisons entre chaque atome sont beaucoup plus fortes et les
atomes ne bougent quasiment pas, formant un cristal. La force de cette cohésion dépend
beaucoup d’un solide à l’autre. Ainsi, elle est très puissante si les atomes mettent en commun
leur cortège électronique (liaison covalente comme pour le diamant et liaison métallique,
comme pour le Cuivre) et beaucoup plus faible si les cortèges électroniques de chaque atome
restent intouchés (liaison ionique, comme pour le sel).
Enfin, la matière molle (caoutchouc, plastiques, textiles, mousses) possède une hiérarchie du
point de vue de sa cohésion : elle est constituée d’éléments « solides » (macromolécules liées
par des liaisons covalentes) interagissant entre eux par des liaisons ioniques (électrostatiques).
I.1.4- Matériaux isolants et matériaux conducteurs
Un matériau est ainsi constitué d’un grand nombre de charges électriques, mais celles-ci sont
toutes compensées (même nombre d’électrons et de protons). Aux températures usuelles, la
matière est électriquement neutre. En conséquence, lorsque des effets d’électricité statique se
produisent, cela signifie qu’il y a eu un déplacement de charges, d’un matériau vers un autre :
c’est ce que l’on appelle l’électrisation d’un corps. Ce sont ces charges, en excès ou en
manque, en tout cas non compensées, qui sont responsables des effets électriques sur ce corps
(ex : baguette frottée).5 Un matériau est dit conducteur parfait si, lorsqu’il devient électrisé, les porteurs de charge
non compensés peuvent se déplacer librement dans tout le volume occupé par le matériau.
Ce sera un isolant (ou diélectrique) parfait si les porteurs de charge non compensés ne
peuvent se déplacer librement et restent localisés à l’endroit où ils ont été déposés.
Un matériau quelconque se situe évidemment quelque part entre ces deux états extrêmes.
Cette propriété de conduction de l’électricité sera abordée plus loin, dans le Chapitre sur
l’électrocinétique.
Refaisons une expérience d’électricité statique : prenons une baguette métallique par la main
et frottons-la avec un chiffon. Cela ne marchera pas, la baguette ne sera pas électrisée.
Pourquoi ? Etant nous-mêmes d’assez bons conducteurs, les charges électriques arrachées au
chiffon et transférées à la baguette sont ensuite transférées sur nous et l’on ne verra plus
d’effet électrique particulier au niveau de la baguette. Pour que cette expérience marche, il est
nécessaire d’isoler électriquement la baguette (en la tenant avec un matériau diélectrique).
I.2- Force et champ électrostatiques
I.2.1- La force de Coulomb
Charles Auguste de Coulomb (1736-1806) a effectué une série de mesures (à l’aide d’une
balance de torsion) qui lui ont permis de déterminer avec un certain degré de précision les
propriétés de la force électrostatique exercée par une charge ponctuelle q
1 sur une autre
charge ponctuelle q2 :
1) La force est radiale, c’est à dire dirigée selon la droite qui joint les deux charges ;
2) Elle est proportionnelle au produit des charges : attractive si elles sont de signe opposé,
répulsive sinon ;
3) Enfin, elle varie comme l’inverse du carré de la distance entre les deux charges.
L’expression mathématique moderne de la force de Coulomb et traduisant les propriétés ci-
dessus est la suivanteF qqr u12 012 21 4/ =πε où la constante multiplicative vaut K=≈− 14 9100 92
πε SI (N m C2 )
. La constanteε
0 joue un
rôle particulier et est appelée la permittivité électrique du vide (unités : Farad/m).q 1q 2r=M 1M 2u 6
Remarques :
1) Cette expression n’est valable que pour des charges immobiles (approximation de
l’électrostatique) et dans le vide. Cette loi est la base même de toute l’électrostatique.
2) Cette force obéit au principe d’Action et de Réaction de la mécanique classique.
3) A part la valeur numérique de la constante K, cette loi a exactement les mêmes propriétés
vectorielles que la force de la gravitation (loi de Newton). Il ne sera donc pas étonnant de
trouver des similitudes entre ces deux lois.
Ordres de grandeur
• Quel est le rapport entre la force d’attraction gravitationnelle et la répulsion coulombienne
entre deux électrons ?F Fe Gme ge=≈ 20 242 41 410πε La force électrostatique apparaît donc dominante vis-à-vis de l’attraction gravitationnelle.
Cela implique donc que tous les corps célestes sont exactement électriquement neutres.
• Quelle est la force de répulsion coulombienne entre deux charges de 1 C situées à 1 km ?Fe g= ()≈ 14 110 110 100 32 3πε kg
C’est une force équivalente au poids exercé par une tonne !
I.2.2- Champ électrostatique créé pa