Electricité: électrostatique : Exercices corrigés d’electrostatique
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Fabrice Sincèrecere/ page 1/6 EXERCICES D’ELECTROSTATIQUE ENONCES Exercice 1 : Champ électrostatique crée par des charges Trois charges ponctuelles +q, -q et -q sont placées aux sommets d’un triangle équilatéral de côté a. Déterminer les caractéristiques du champ électrostatique régnant au centre du triangle. Application numérique : q = 0,1 nC et a = 10 cm. Exercice 2 : Champ électrostatique crée par deux plans Considérons deux plans parallèles distants de d. Le premier plan est chargé positivement avec une densité surfacique de charge +σ (en C/m²). Le second plan est chargé négativement avec une densité surfacique de charge -σ. Déterminer le champ électrostatique crée par les deux plans en un point quelconque de l’espace. Exercice 3 : Expérience de Millikan (1911) Entre deux plaques métalliques horizontales distantes de 1,5 cm, on applique une différence de potentiel de 3 kV. On constate alors que de petites gouttes d’huile chargées négativement sont en équilibres entre les deux plaques. a) Quelles sont les polarités des plaques ? b) Quelle est la charge d’une goutte d’huile ? Comparer à la charge d’un électron. On donne :
- masse volumique de l’huile : ρ = 900 kg/m
3 - diamètre d’une goutte : D = 4,1 μ m - intensité du champ de pesanteur : g = 9,8 m/s² Exercice 4 : Champ électrostatique crée par une boule métallique Considérons une boule en métal de rayon R ayant une charge globale Q. A l’équilibre, comment se répartissent les charges dans le conducteur ? En déduire l’expression de la densité surfacique de charge σ (en C/m²). Que vaut le champ électrostatique dans le conducteur ? En appliquant le théorème de Coulomb, vérifier qu’à la surface du conducteur : ²RQ 41 E0 πε
= En utilisant le théorème de Gauss, montrer que l’intensité du champ électrostatique crée à la distance r (r ≥ R) du centre du conducteur est : ²rQ 41 E0 πε
= IUT de Nancy-Brabois
Fabrice Sincèrecere/ page 2/6 Exercice 5 : Association de condensateurs Montrer que pour des condensateurs branchés en parallèle les capacités s’additionnent. Montrer que pour des condensateurs branchés en série les inverses des capacités s’additionnent. Exercice 6 : Décharge de condensateurs Un condensateur de capacité C = 100 nF est chargé sous une tension U=20 V. On le relie à un condensateur de même capacité C, mais initialement déchargé. a) Calculer la tension qui apparaît aux bornes de l’ensemble. b) Faire le bilan énergétique avant et après connexion. Commentaire ? IUT de Nancy-Brabois
Fabrice Sincèrecere/ page 3/6 CORRIGES Exercice 1 Le centre C est situé à la distance : 3a r= Théorème de superposition : 321
EEEE++= En intensité : E = E
1 + E
2 cos 60° + E
3 cos 60° E
1 = E
2 = E
3 = ²r4q 0πε ²a2q3 )60cos21(²r4 qE 00πε =°+πε = A.N. E = 540 V/m Exercice 2 (1)(2) (3)+q -q-q Ca r(1) (2)(3) +q-q -qC E1 E2 E3 EE 1E 2E 3E ++ ++ ++ ++ -- -- -- -- +E +E +E −E −E −E −+ +=EEE0EEE=+= −+ 0EEE=+=− +d IUT de Nancy-Brabois
Fabrice Sincèrecere/ page 4/6 ++ ++ ++ ++ ++ +R rE 0E=+ E et −
Edésignent respectivement les champs crées par le plan chargé positivement et le plan chargé négativement. Entre les deux plans, le champ Eest uniforme : c’est la somme de deux champs uniformes de même sens et de même intensité 02ε σ
. 002 2Eε σ= εσ ×= (indépendant de la distance entre les deux plans). En dehors des deux plaques, le champ est nul car les champs crées par chaque plaque se compensent exactement. Exercice 3 a) C’est la force électrostatique qui empêche les gouttes de tomber. La force électrostatique est donc dirigée vers le haut. La charge étant négative, force électrostatique et champ électrostatique sont de sens opposés. Le champ électrostatique est donc dirigé vers le bas. La plaque du haut est donc chargée positivement, celle du bas négativement. b) A l’équilibre, la somme des forces qui s’applique sur une goutte est nulle. Le poids est exactement compensé par la force électrostatique : 0Eqgm=+ (m et q désignent la masse et la charge d’une goutte) C106,1U3 gR4U VgU mgE mgq 183 −⋅≈ ρπ= ρ=== lll
R est le rayon de la goutte ; l = 1,5 cm ; U = 3 kV. V est le volume de la goutte de forme sphérique. q = -10
e : une goutte contient dix électrons excédentaires. Exercice 4 A l’équilibre, les charges se répartissent uniformément sur la surface. ²R4Q SQ π
==σ en C/m². S est la surface d’une sphère. Dans un conducteur à l’équilibre, le champ électrostatique est nul. A la surface (théorème de Coulomb) : ²RQ 41 E00 πε= εσ = Considérons une surface fermée sphérique de rayon r. Le flux du champ électrostatique à travers cette surface est : Φ = ES = E 4πr² L’application du théorème de Gauss donne : 0Q ²r4 Eε =π L’intensité du champ électrostatique à la distance r ≥ R est donc : ²rQ 41 E0 πε
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Fabrice Sincèrecere/ page 5/6 Exercice 5 Q
1 = C1 U Q
2 = C2 U Q = Céq U Il y a conservation de la charge : Q = Q
1 + Q2 Donc : C
éq = C
1 + C
2 En série, tous les condensateurs ont la même charge : Q = Q
1 = Q
2 U = U
1 + U
2 21éqC QC QC Q
+= d’où : 21éqC 1C 1C 1
+= ++ ++ -- -- ++ -- Q1 -Q1 Q2 -Q2 U+ ++ ++ +- -- -- -U Q-Q= ++ -- Q1 -Q1 ++ -- Q2 -Q2 Q2 -Q1 =0U 2U 1U ++ -- UQ-Q =
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Fabrice Sincèrecere/ page 6/6 Exercice 6 a) La charge initiale Q va se répartir, après liaison, de la façon suivante : Q/2 = C U’ Tension qui apparaît aux bornes de l’ensemble : U’ = Q/(2C) = U/2 = 10 V b) Bilan énergétique Avant liaison : μ J 200²CU2 1
W=+= Après liaison : μ J 102 W
'²CU2 1
'²CU2 1
'W==+= Commentaire : il « manque » 10 μ J. Cette énergie n’a pas disparu ! Lors de la liaison, le courant de décharge crée un champ électromagnétique : 10 μJ sont donc rayonnée (à la manière d’une antenne émettrice). Pour s’en convaincre, il suffit de placer un récepteur radio à proximité du dispositif. On entend un craquement, caractéristique de la réception d’une onde électromagnétique (pour les mêmes raisons, on peut « entendre » la foudre à la radio). CC+Q -QU CC+Q/2 -Q/2U' +Q/2
-Q/2