Electricité: électrostatique : Exercices corrigés d’electrostatique
Télécharger PDFExercices d’Électrostatique – Énoncés
Exercice 1 : Champ électrostatique créé par des charges
Trois charges ponctuelles +q, -q et -q sont placées aux sommets d’un triangle équilatéral de côté a. Déterminer les caractéristiques du champ électrostatique régnant au centre du triangle.
Application numérique : q = 0,1 nC et a = 10 cm.
Exercice 2 : Champ électrostatique créé par deux plans
Considérons deux plans parallèles distants de d. Le premier plan est chargé positivement avec une densité surfacique de charge +σ (en C/m²). Le second plan est chargé négativement avec une densité surfacique de charge -σ. Déterminer le champ électrostatique créé par les deux plans en un point quelconque de l’espace.
Exercice 3 : Expérience de Millikan (1911)
Entre deux plaques métalliques horizontales distantes de 1,5 cm, on applique une différence de potentiel de 3 kV. On constate alors que de petites gouttes d’huile chargées négativement sont en équilibre entre les deux plaques.
a) Quelles sont les polarités des plaques ?
b) Quelle est la charge d’une goutte d’huile ? Comparer à la charge d’un électron.
Données :
- masse volumique de l’huile : ρ = 900 kg/m³
- diamètre d’une goutte : D = 4,1 µm
- intensité du champ de pesanteur : g = 9,8 m/s²
Exercice 4 : Champ électrostatique créé par une boule métallique
Considérons une boule en métal de rayon R ayant une charge globale Q.
a) À l’équilibre, comment se répartissent les charges dans le conducteur ? En déduire l’expression de la densité surfacique de charge σ (en C/m²).
b) Que vaut le champ électrostatique dans le conducteur ?
c) En appliquant le théorème de Coulomb, vérifier qu’à la surface du conducteur : E = ²RQ / 4πε₀.
d) En utilisant le théorème de Gauss, montrer que l’intensité du champ électrostatique créé à la distance r (r ≥ R) du centre du conducteur est : E = ²rQ / 4πε₀.
Exercice 5 : Association de condensateurs
Montrer que pour des condensateurs branchés en parallèle, les capacités s’additionnent.
Montrer que pour des condensateurs branchés en série, les inverses des capacités s’additionnent.
Exercice 6 : Décharge de condensateurs
Un condensateur de capacité C = 100 nF est chargé sous une tension U = 20 V. On le relie à un condensateur de même capacité C, mais initialement déchargé.
a) Calculer la tension qui apparaît aux bornes de l’ensemble.
b) Faire le bilan énergétique avant et après connexion.
Exercices d’Électrostatique – Corrigés
Exercice 1
Le centre C est situé à la distance r = ³√(a/3) des charges.
Par le théorème de superposition, le champ électrostatique total E est la somme des champs E₁, E₂ et E₃ créés par chaque charge.
En intensité : E = E₁ + E₂ cos(60°) + E₃ cos(60°).
Chaque champ Eᵢ = ²r₄q / 4πε₀ᵢ, avec rᵢ = a/√3 pour E₁ et E₂, E₃.
Application numérique : E = 540 V/m.
Exercice 2
Le champ électrostatique créé par les deux plans est uniforme entre eux et nul en dehors.
Entre les plans, E = E₁ + E₂ = ²σ/ε₀ + ²σ/ε₀ = ²σ/ε₀ (indépendant de la distance d).
En dehors des plans, E = E₁ - E₂ = 0.
Exercice 3
a) La force électrostatique est dirigée vers le haut, donc le champ est vers le bas. La plaque supérieure est chargée positivement, celle inférieure négativement.
b) À l’équilibre, le poids est compensé par la force électrostatique : E = ρgD²π/8q.
Avec U = 3 kV et d = 1,5 cm, on trouve q ≈ -10e (une goutte contient dix électrons excédentaires).
Exercice 4
À l’équilibre, les charges se répartissent uniformément sur la surface. La densité surfacique est σ = Q/4πR².
Dans un conducteur à l’équilibre, le champ électrostatique est nul.
À la surface, E = ²RQ / 4πε₀.
Par le théorème de Gauss, pour r ≥ R, E = ²rQ / 4πε₀.
Exercice 5
En parallèle : Cₑ = C₁ + C₂.
En série : 1/Cₑ = 1/C₁ + 1/C₂.
Exercice 6
a) Après connexion, la tension aux bornes de l’ensemble est U’ = U/2 = 10 V.
b) Bilan énergétique :
Avant liaison : W = ½CU² = 200 µJ.
Après liaison : W’ = ½C(U/2)² = 100 µJ + 100 µJ (énergie rayonnée).
FAQ
1. Pourquoi le champ électrostatique est-il nul en dehors des deux plans chargés dans l’exercice 2 ?
Les champs créés par les deux plans de charges opposées (+σ et -σ) s’annulent exactement en dehors des plans, car ils sont de même intensité mais de sens opposés.
2. Comment se répartissent les charges dans un conducteur métallique à l’équilibre ?
Les charges se répartissent uniformément sur la surface externe du conducteur, sans aucun champ électrostatique à l’intérieur.
3. Pourquoi l’énergie semble-t-elle disparaître lors de la décharge des condensateurs ?
L’énergie n’est pas perdue ; elle est convertie en énergie électromagnétique rayonnée sous forme d’ondes, comme une antenne émettrice.