Electricité: électrostatique : Électricité 1 contrôle terminal
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Exercice 1 : Comportement des électrons dans un matériau diélectrique
Un matériau, de constante diélectrique ε₀ égale à celle du vide, contient n électrons de conduction par unité de volume. Ce matériau est placé dans un champ électrique uniforme Eᵣ indépendant du temps. On suppose que tous les électrons, de masse m, sont animés de la même vitesse vᵣ.
En plus de la force électrique, chaque électron est soumis à une force de frottement, définie par Fᵣ = -mτvᵣ, où τ est une constante de temps (durée entre deux collisions successives).
Questions
1. En appliquant le principe fondamental de la dynamique, donner l’équation différentielle satisfaite par la vitesse vᵣ.
2. Donner la solution de cette équation différentielle en prenant v(0) = 0.
3. Décrire l’allure de la courbe v(t). Que devient v(t) en régime permanent, c’est-à-dire lorsque t ≫ τ ?
4. Déduire de la relation entre le vecteur densité de courant jᵣ et le champ Eᵣ, en régime permanent (t ≫ τ), l’expression de la conductivité γ du matériau en fonction de n, e et m.
Exercice 2 : Champ électrostatique entre deux sphères conductrices
On considère deux sphères conductrices concentriques (S₁) et (S₂) de centre O, chargées uniformément en surface : la plus petite (S₁) a un rayon R₁ et porte la charge +Q, tandis que la plus grande (S₂) a un rayon R₂ (avec R₂ > R₁) et porte la charge -Q. Entre les deux sphères se trouve le vide de permittivité électrique ε₀.
Questions
1. En appliquant le théorème de Gauss, calculer le champ électrostatique créé à une distance r = OM du centre O telle que R₁ < r < R₂.
2. Calculer la différence de potentiel U = V(R₁) - V(R₂).
3. En déduire l’expression de la capacité C du condensateur formé par ces deux sphères.
4. Déterminer l’énergie W stockée par ce condensateur.
5. Sachant que la densité d’énergie électrique est donnée par W = ∫∫∫ ε₀E²/2 dV, calculer à nouveau l’énergie électrique W stockée entre les deux sphères.
Exercice 3 : Circuit électrique et lois de Kirchhoff
On considère le circuit suivant :
1. Déterminer l’intensité du courant I qui traverse la résistance R₂ et la tension U aux bornes de la résistance R₃ en utilisant les associations de résistances et les lois de Kirchhoff.
2. Donner le schéma de Thévenin équivalent et en déduire la valeur de I.
3. Donner le schéma de Norton équivalent et en déduire la valeur de I.
Application numérique : E = 6 V, R₁ = 100 Ω, R₂ = R₃ = R₄ = 50 Ω.
FAQ
1. Qu’est-ce que la constante de temps τ dans l’exercice 1 ?
La constante de temps τ représente la durée moyenne entre deux collisions successives des électrons avec le matériau, influençant la force de frottement.
2. Comment calculer la différence de potentiel entre deux sphères conductrices ?
La différence de potentiel se calcule en intégrant le champ électrique entre les deux sphères, généralement à l’aide du théorème de Gauss et des propriétés des sphères.
3. À quoi servent les schémas de Thévenin et Norton ?
Ces schémas équivalents simplifient l’analyse d’un circuit complexe en le remplaçant par un modèle plus simple (source de tension ou de courant avec une résistance équivalente).