Electricité: électrostatique : Examens électricité s2 smpc et sma
Télécharger PDFContrôle N°1 : Électricité 1 - Filière SMPC/SMA (2006-2007)
Question de cours
Rappeler les propriétés d’un conducteur en équilibre électrostatique.
Exercice 1 : Système de quatre charges ponctuelles
Soient quatre charges ponctuelles disposées au sommet d’un carré dont la longueur du côté est 2a (et non du diagonal).
1. Déterminer le champ électrostatique ⃗E et le potentiel V au centre (O) du carré dans les cas suivants :
Représenter ⃗E dans chacun de ces cas.
Exercice 2 : Distribution cylindrique de charges
On considère un cylindre de rayon R, de longueur infinie, chargé uniformément en surface avec une densité surfacique de charges σ.
À l’aide du théorème de Gauss, déterminer le champ électrostatique ⃗E en tout point M de l’espace, créé par cette distribution.
M est un point situé à la distance r de l’axe du cylindre et repéré par ses coordonnées cylindriques (r, θ, z).
1. Symétrie et invariance
Par des considérations de symétrie et d’invariance, déterminer la direction du champ ⃗E et les variables dont il dépend.
2. Surface de Gauss
a. Définir précisément la surface de Gauss utilisée (en justifiant le choix).
b. Déterminer le champ ⃗E en tout point de l’espace.
3. Potentiel électrostatique
En déduire le potentiel V pour tous les points M de l’espace (en prenant comme origine des potentiels V(∞) = 0).
4. Courbes de variation
Tracer les courbes de variation de E et V en fonction de r (où E est la norme du champ). Conclure.
5. Lignes de champ et surfaces équipotentielles
Quelles sont les lignes de champ et les surfaces équipotentielles pour cette distribution de charges ?
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Question de cours
Les propriétés d’un conducteur en équilibre électrostatique sont :
- Le champ électrique est nul à l’intérieur d’un conducteur en équilibre : ⃗E = 0.
- La densité volumique de charges à l’intérieur du conducteur est nulle.
- Le potentiel est constant en tout point du conducteur.
Exercice 1 : Champ et potentiel au centre du carré
1. Détermination de ⃗E et V au centre (O) dans les cas suivants :
a. 1er cas :
Soit ⃗E1, ⃗E2, ⃗E3, ⃗E4 les champs créés en O respectivement par les quatre charges.
On a : ⃗E1 = ⃗E3 et ⃗E2 = ⃗E4.
Le champ résultant ⃗E est donc : ⃗E = ⃗E1 + ⃗E2 + ⃗E3 + ⃗E4.
Le potentiel V est défini par : V = k(Σqi/ri).
On a : V = k(q1/r + q2/r + q3/r + q4/r).
Avec r = a√2 (distance du centre à un sommet).
Exercice 2 : Distribution cylindrique de charges
1. Direction et dépendance du champ ⃗E
Le champ ⃗E est radial et dépend uniquement de la distance r à l’axe du cylindre.
2. Surface de Gauss
a. Surface de Gauss : Un cylindre coaxial de rayon r et de longueur L (choix justifié par la symétrie cylindrique).
b. Champ ⃗E en tout point de l’espace :
À l’intérieur du cylindre (r ≤ R) : ⃗E = 0.
À l’extérieur du cylindre (r > R) : ⃗E = σR/r ⃗ur, où ⃗ur est le vecteur unitaire radial.
3. Potentiel électrostatique V
Pour r ≥ R : V(r) = -σR ln(r) + C, avec C une constante.
Pour r = R (surface du cylindre) : V(R) = -σR ln(R) + C.
4. Courbes de variation
Tracer les courbes de E(r) = σR/r et V(r) = -σR ln(r) + C en fonction de r.
Conclusion : E décroît avec r, tandis que V décroît logarithmiquement.
5. Lignes de champ et surfaces équipotentielles
Les lignes de champ sont radiales (parallèles à l’axe Oz). Les surfaces équipotentielles sont des cylindres coaxiaux.
FAQ
1. Quelles sont les propriétés fondamentales d’un conducteur en équilibre électrostatique ?
Un conducteur en équilibre électrostatique a un champ électrique nul à l’intérieur, une densité volumique de charges nulle et un potentiel constant en tout point.
2. Comment déterminer le champ électrique dans un système de charges ponctuelles ?
Le champ électrique résultant est la somme vectorielle des champs créés par chaque charge ponctuelle. Utiliser la loi de Coulomb pour chaque charge et additionner les vecteurs.
3. Pourquoi choisir un cylindre coaxial comme surface de Gauss pour un cylindre chargé ?
La symétrie cylindrique permet de simplifier les calculs : le champ électrique est radial et constant sur la surface du cylindre coaxial, facilitant l’application du théorème de Gauss.