Exercices corrigés circuit du 1er ordre à plusieurs mailles

Ce document pédagogique s'adresse aux étudiants universitaires en électrocinétique. Il présente un exercice complet sur l'analyse d'un circuit du premier ordre à plusieurs mailles, impliquant une source de tension, des résistances et un condensateur.

Il couvre les notions suivantes :

La détermination des lois de variation temporelle des courants et tensions (régime transitoire et permanent).
L'application des lois fondamentales de l'électrocinétique.
L'analyse du comportement d'un condensateur et de la constante de temps (τ).

Electricité: Electrocinetique : Exercices corrigés circuit du 1er ordre à plusieurs mailles

Télécharger PDF

Circuit du 1er ordre à plusieurs mailles

Énoncé de l'exercice

Considérons un circuit électrocinétique composé d'une source de tension E, d'un interrupteur K, de résistances R1 et R2, et d'un condensateur C. Le condensateur C est initialement déchargé. À t=0, on ferme l'interrupteur K. Les conventions de courants et de tensions sont les suivantes : i1(t) est le courant total traversant R1, et u2(t) est la tension aux bornes de R2 (qui est en parallèle avec C).

Question 1

Déterminer la loi de variation du courant i1(t) en fonction du temps et tracer la courbe correspondante.

Question 2

En déduire l'expression de la tension u2(t) en fonction du temps et la représenter.

Question 3

Retrouver directement les valeurs de u2(0+) et u2(∞).

Corrigé de l'exercice

Solution de la question 1

Les lois fondamentales de l'électrocinétique s'appliquent :

Loi des mailles : La tension totale E est égale à la somme des chutes de tension : E = R1 * i1(t) + u2(t).
Loi des nœuds : Au point de division des courants (avant R2 et C en parallèle), le courant total i1(t) se divise en courant traversant R2 (i2(t)) et courant traversant C (iC(t)) : i1(t) = i2(t) + iC(t).
Loi d'Ohm pour R2 : u2(t) = R2 * i2(t), d'où i2(t) = u2(t) / R2.
Loi du condensateur : iC(t) = C * (duC/dt). Puisque C est en parallèle avec R2, la tension aux bornes du condensateur uC(t) est égale à u2(t). Donc, iC(t) = C * (du2/dt).

En substituant les expressions de i2(t) et iC(t) dans la loi des nœuds :

i1(t) = u2(t) / R2 + C * (du2/dt)

De la loi des mailles, on peut exprimer u2(t) en fonction de i1(t) : u2(t) = E - R1 * i1(t).

En dérivant cette expression par rapport au temps (E étant une constante), on obtient du2/dt = -R1 * (di1/dt).

Substituons ces expressions de u2(t) et du2/dt dans l'équation de la loi des nœuds :

i1(t) = (E - R1 * i1(t)) / R2 + C * (-R1 * (di1/dt))

Réarrangeons cette équation pour obtenir une équation différentielle du premier ordre pour i1(t) :

R1 * C * (di1/dt) + i1(t) * (1 + R1/R2) = E / R2

R1 * C * (di1/dt) + i1(t) * ((R2 + R1) / R2) = E / R2

En divisant tous les termes par R1 * C, nous obtenons l'équation différentielle standard :

(di1/dt) + i1(t) * ((R1 + R2) / (R1 * R2 * C)) = E / (R1 * R2 * C)

On identifie la constante de temps du circuit τ = (R1 * R2 * C) / (R1 + R2). L'équation devient :

(di1/dt) + i1(t) / τ = E / (R1 * R2 * C)

La solution générale de cette équation différentielle du premier ordre est de la forme :

i1(t) = i1(∞) + (i1(0+) - i1(∞)) * exp(-t / τ)

Déterminons les conditions initiales et finales pour i1(t) :

À t = 0+ (juste après la fermeture de K) : Le condensateur est initialement déchargé, donc la tension à ses bornes est nulle : uC(0-) = 0. La tension aux bornes d'un condensateur est continue, donc uC(0+) = 0. Puisque le condensateur est en parallèle avec R2, la tension u2(0+) est également nulle.

Dans ces conditions, le condensateur, étant déchargé, se comporte comme un court-circuit (impédance nulle à l'instant initial). Le courant i1(0+) traverse alors uniquement la résistance R1, car le court-circuit aux bornes de R2 la rend inopérante (tout le courant préfère passer par le chemin de moindre résistance). Ainsi : i1(0+) = E / R1.
À t = ∞ (en régime permanent) : Le condensateur est complètement chargé et se comporte comme un circuit ouvert pour le courant continu (iC(∞) = 0), car il ne laisse plus passer de courant. Les résistances R1 et R2 sont alors en série. Le courant i1(∞) est :

i1(∞) = E / (R1 + R2).

Substituons ces valeurs dans l'expression générale de i1(t) :

i1(t) = E / (R1 + R2) + (E / R1 - E / (R1 + R2)) * exp(-t / τ)

Pour simplifier le terme entre parenthèses :

E / R1 - E / (R1 + R2) = E * (R1 + R2 - R1) / (R1 * (R1 + R2)) = E * R2 / (R1 * (R1 + R2))

D'où l'expression finale du courant i1(t) :

i1(t) = E / (R1 + R2) + (E * R2 / (R1 * (R1 + R2))) * exp(-t / τ)

La courbe de i1(t) démarre de la valeur E/R1 à t=0 et décroît exponentiellement pour atteindre asymptotiquement la valeur E/(R1+R2) en régime permanent. La vitesse de cette décroissance est déterminée par la constante de temps τ.

Solution de la question 2

La tension u2(t) peut être déduite de la loi des mailles : u2(t) = E - R1 * i1(t).

En substituant l'expression de i1(t) trouvée précédemment :

u2(t) = E - R1 * [E / (R1 + R2) + (E * R2 / (R1 * (R1 + R2))) * exp(-t / τ)]

u2(t) = E - (E * R1 / (R1 + R2)) - (E * R1 * R2 / (R1 * (R1 + R2))) * exp(-t / τ)

u2(t) = E * (1 - R1 / (R1 + R2)) - (E * R2 / (R1 + R2)) * exp(-t / τ)

u2(t) = E * ((R1 + R2 - R1) / (R1 + R2)) - (E * R2 / (R1 + R2)) * exp(-t / τ)

D'où l'expression de la tension u2(t) :

u2(t) = (E * R2 / (R1 + R2)) * (1 - exp(-t / τ))

Pour tracer la courbe de u2(t) :

À t=0, u2(0) = (E * R2 / (R1 + R2)) * (1 - exp(0)) = (E * R2 / (R1 + R2)) * (1 - 1) = 0.
À t=∞, u2(∞) = (E * R2 / (R1 + R2)) * (1 - 0) = E * R2 / (R1 + R2).

La courbe de u2(t) démarre de 0 à t=0 et croît exponentiellement pour atteindre asymptotiquement la valeur finale E * R2 / (R1 + R2). La vitesse de cette croissance est caractérisée par la constante de temps τ.

Solution de la question 3

Calcul direct de u2(0+) :

À t=0+, le condensateur étant initialement déchargé, la tension à ses bornes est nulle : uC(0-) = uC(0+) = 0 (la tension aux bornes d'un condensateur ne peut pas changer instantanément). Puisque le condensateur est en parallèle avec la résistance R2, la tension aux bornes de R2 à cet instant est également nulle : u2(0+) = 0.

Vérification par la loi des mailles : À t=0+, nous avons i1(0+) = E / R1 et E = R1 * i1(0+) + u2(0+). En substituant, E = R1 * (E / R1) + u2(0+), ce qui implique E = E + u2(0+). Par conséquent, u2(0+) = 0.

Calcul direct de u2(∞) :

Au bout d'un temps très long (régime permanent, t → ∞), le condensateur agit comme un circuit ouvert pour le courant continu (iC(∞) = 0), car il est complètement chargé et aucun courant ne le traverse. Dans cette configuration, les résistances R1 et R2 se retrouvent en série.

La tension u2(∞) est la tension aux bornes de R2 dans ce circuit série. Nous pouvons utiliser la règle du diviseur de tension :

u2(∞) = E * (R2 / (R1 + R2)).

Foire aux questions (FAQ)

Qu'est-ce qu'un circuit du 1er ordre ?

Un circuit du 1er ordre est un circuit électrique linéaire contenant un seul élément à accumulation d'énergie (un condensateur ou une bobine) et des résistances. Sa réponse temporelle, ou régime transitoire, est décrite par une équation différentielle du premier ordre, ce qui signifie qu'il est caractérisé par une seule constante de temps.

Comment se comporte un condensateur en régime transitoire et permanent ?

En régime transitoire (immédiatement après un changement, comme l'ouverture ou la fermeture d'un interrupteur), un condensateur initialement déchargé se comporte instantanément comme un court-circuit (sa tension est nulle). S'il est initialement chargé, il maintient sa tension précédente.

En régime permanent (après que les phénomènes transitoires se soient estompés, généralement après 5 fois la constante de temps), un condensateur se comporte comme un circuit ouvert pour le courant continu. Il est alors complètement chargé et aucun courant ne le traverse.

Quelle est l'importance de la constante de temps (τ) dans un circuit RC ?

La constante de temps τ est un paramètre fondamental qui quantifie la vitesse de réponse d'un circuit RC. Elle représente le temps nécessaire pour que la tension ou le courant atteigne environ 63,2% de sa valeur finale (ou chute à 36,8% de sa valeur initiale) lors d'une charge ou d'une décharge. Une constante de temps faible indique une réponse rapide du circuit, tandis qu'une constante de temps élevée indique une réponse lente.