Exercices corrigés circuit du 1er ordre à plusieurs mailles

Electricité: Electrocinetique : Exercices corrigés circuit du 1er ordre à plusieurs mailles

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Page 1 Christian MAIRE  EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique ELECTROCINETIQUE EXERCICE D’ ORAL -EXERCICE 3.1- ••• • ENONCE : « Circuit du 1

er ordre à plusieurs mailles » EK 1R 1() it2 ()ut 2R C

Le condensateur C est initialement déchargé.

A t=0, on ferme l'interrupteur K.

1) Déterminer la loi

et tracer la courbe

correspondante.

2) En déduire l'expression de

et la

représenter.1 ()it 2() ut

3) Retrouver directement les valeurs de 22

(0) et

( )uu∞. Page 2 Christian MAIRE  EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique ELECTROCINETIQUE EXERCICE D’ ORAL ••• • CORRIGE : «Circuit du 1

er ordre à plusieurs mailles » 1) EK 1R 1() it2 ()ut 2R C2 iC i1 u

La loi des mailles donne:

121 112 22avec: et

Eu uu Riu Ri=+==

La loi des noeuds fournit:1 21avec CCdu iiii Cdt =+= ×

Il vient donc pour 0t≥ : 1

112 112 11 2

()( )C di

ERi RiiR Ri RRCdt =+ +=+ +× ; en posant 1212 RRCRR τ= + , on obtient :11 12

()()di ti tE

dtR R Cτ +=

• La solution particulière de l’équation différentielle précédente (linéaire, du 1

er ordre, à coefficients constants, avec second membre) a même forme mathématique que le second membre ⇒ elle est elle-même constante ⇒ 10 partdi dt

= ⇒ 112 partE iRR =

+ . • La solution générale de l’équation homogène associée (sans second membre) s’écrit : 1

( )exp(/ )ssmb itA tτ =− ⇒ finalement :1 12

( )exp(/ )E itAtRR τ=+− +

• La tension aux bornes d’un condensateur étant continue, on a 11

(0 )(0 )0uu −+

== ⇒ on en déduit que : 11 112

(0 )

(0 )0uE iARRR ++ ===+

+ ⇒12 EA RR=− +

D’où : 1() it12 ERR+ 0τ t1 12

( )[1 exp(/ )]E ittRR τ=×−− +

2) La tension 2

()ut s’obtient à partir de : 211

()()ut E Rit=− ⇒21 212 exp(/ )() RRt

ut ERR τ+− =×+ Page 3 Christian MAIRE  EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique ELECTROCINETIQUE EXERCICE D’ ORAL 0t τ2 ()ut E2 12R ERR ×+ On remarque que:2 2212 (0) et

( ) R

uEu ERR =∞=×⇒+ 3) La loi des mailles permet d’écrire : 21

(0 )(0 )uEu++ =− ; or, comme précédemment signalé, on a 11

(0 )(0 )0uu −+

== (continuité de la tension aux bornes d’un condensateur) ⇒2 (0 )uE+ =

• Au bout d’un temps très long devant la constante de temps τ du circuit, les grandeurs n’évoluent plus ⇒ le courant qui traverse le condensateur C (obtenu par dérivation temporelle) tend vers zéro ⇒

les résistances 12 et RR se retrouvent en série ; on peut alors utiliser la relation du « diviseur de tension » pour trouver :2 212 ()R uERR ∞= ×

+ .