Ce document propose un exercice détaillé d'électrocinétique, spécifiquement conçu pour les étudiants universitaires en sciences de l'ingénieur ou physique. Il se concentre sur l'analyse de quadripôles et met en lumière l'influence cruciale de la charge sur leur transfert.
Il couvre les notions fondamentales suivantes :
- Le calcul et l'interprétation des fonctions de transfert H(jω).
- L'application de théorèmes d'analyse de circuits, tel que Millman.
- L'étude de l'impact de différentes charges sur la performance d'un quadripôle.
- Les caractéristiques des filtres passe-bas du premier ordre.
Electricité: Electrocinetique : Exercices corrigés influence de la charge sur le transfert
Télécharger PDFÉlectrocinétique : Exercice sur l'influence de la charge sur le transfert d’un quadripôle
Énoncé
Les deux circuits ci-dessous fonctionnent en régime sinusoïdal forcé de pulsation ω. Les schémas des circuits (1) et (2) ne sont pas fournis mais les questions décrivent leurs fonctionnalités.
- Donner la fonction de transfert du circuit (1), notée H(jω), soit H(jω) = US/UE.
- Calculer la fonction de transfert du circuit (2), notée H''(jω), soit H''(jω) = U''S/U''E.
- Exprimer H''(jω) en fonction de H(jω) pour k ≫ 1. Conclure.
Corrigé
Ce problème explore comment la charge affecte la fonction de transfert d'un quadripôle en électrocinétique, un concept fondamental en analyse de circuits.
1) Fonction de transfert du circuit (1) :
Le circuit (1) est un filtre passe-bas du 1er ordre simple. Une application directe de la formule du diviseur de tension donne :
H(jω) = 1 / (1 + jRCω)
On pose la constante de temps τ = RC. La fonction de transfert devient :
H(jω) = 1 / (1 + jωτ)
Remarque : Il s'agit d'un filtre passe-bas du 1er ordre, de pulsation de coupure ω0 = 1/τ.
2) Calcul de la fonction de transfert du circuit (2) :
En appliquant le théorème de Millman au point N pour déterminer la tension VN, puis la formule du diviseur de tension pour trouver U''S en fonction de VN, et enfin en éliminant VN pour obtenir une relation entre U''S et U''E, on parvient après calculs à la fonction de transfert :
H''(jω) = 1 / ((1 - k(jωτ)2) + jωτ(2 + 1/k))
Explications détaillées :
- Théorème de Millman : Il permet de calculer la tension à un nœud lorsqu'il est connecté à plusieurs branches. Pour le point N, il faut considérer les impédances connectées à U''E, à la masse (potentiel 0), et à l'impédance de la charge.
- Diviseur de tension : Appliqué pour exprimer la tension de sortie U''S en fonction de la tension VN et des impédances de la partie de charge (généralement une résistance kR et une capacité C).
- Élimination de VN : Une fois que VN et U''S sont exprimées en fonction de U''E et VN respectivement, on résout le système pour trouver H''(jω) = U''S/U''E.
3) Expression de H''(jω) en fonction de H(jω) pour k ≫ 1 :
Pour un coefficient k très grand (k ≫ 1), l'impédance kR + 1/(jCω) devient très élevée. Dans cette condition, le premier quadripôle se retrouve pratiquement à vide, ce qui signifie que son fonctionnement est peu perturbé par la charge. Sa fonction de transfert peut alors être assimilée à H(jω).
En simplifiant l'expression de H''(jω) pour k ≫ 1, on peut écrire :
H''(jω) = H(jω) / (2 - (jωτ)2 + jωτ(1/k))
Conclusion :
Ce résultat n'est pas trivial. Tandis que le rapport de la tension de sortie à la tension du nœud N (U''S/VN) est un simple diviseur de tension, le rapport de VN à l'entrée (VN/U''E) est affecté par l'interaction complexe des impédances en parallèle. Toutefois, lorsque la charge k est très grande (k ≫ 1), l'impédance de charge (kR + 1/(jCω)) tend vers l'infini, et le premier quadripôle se comporte comme s'il était à vide. Dans ce cas idéal, la fonction de transfert globale peut être approchée par le produit des transferts à vide des deux étages.
Questions Fréquentes (FAQ)
Qu'est-ce qu'un quadripôle en électrocinétique ?
Un quadripôle est un circuit électrique qui possède deux bornes d'entrée et deux bornes de sortie. Il est souvent utilisé pour modéliser des composants ou des systèmes qui transmettent ou traitent des signaux électriques, comme des filtres, des amplificateurs ou des lignes de transmission.
Comment la charge affecte-t-elle la fonction de transfert d'un quadripôle ?
La charge connectée à la sortie d'un quadripôle peut modifier son comportement en influençant les courants et tensions internes. Une charge de faible impédance (forte charge) peut "tirer" plus de courant, abaissant la tension de sortie et modifiant potentiellement la fonction de transfert par rapport à une situation sans charge (circuit ouvert) ou avec une charge de très haute impédance.
Qu'est-ce que la pulsation de coupure d'un filtre passe-bas ?
La pulsation de coupure (ω0) d'un filtre passe-bas est la fréquence à laquelle l'amplitude du signal de sortie est réduite à 1/√2 (environ 70,7%) de son amplitude maximale dans la bande passante. Au-delà de cette fréquence, le signal est de plus en plus atténué, d'où le nom de "passe-bas".