Ce document didactique est conçu pour les étudiants universitaires en physique ou en ingénierie électrique, désireux d'approfondir leurs connaissances en électrocinétique. Il propose un exercice détaillé, accompagné de son corrigé, explorant les régimes transitoires dans des circuits R-C et R-L en parallèle, puis dans un circuit RLC série.
Cette ressource pédagogique couvre l'établissement des équations différentielles régissant ces systèmes, la détermination des conditions initiales, et l'analyse des différents comportements temporels (apériodique, critique, pseudopériodique) suite à des commutations.
Electricité: Electrocinetique : Exercices corrigés circuits r c et r l en parallèle electro
Télécharger PDFÉlectrocinétique : Exercice sur les Circuits R-C et R-L en Parallèle
Cet exercice propose l'étude des régimes transitoires dans des circuits R-C et R-L montés en parallèle, analysant leur comportement suite à la fermeture puis à l'ouverture d'un interrupteur.
Énoncé de l'Exercice
On considère un circuit comprenant des résistances (R), une inductance (L) et un condensateur (C). Initialement, le condensateur C est déchargé. À l'instant t=0, l'interrupteur K est fermé.
1) Déterminer les expressions des courants i1(t) et i2(t), puis tracer les courbes d'évolution correspondantes.
2) À quel instant t0 la condition i1(t) = i2(t) est-elle satisfaite ?
L'interrupteur K reste fermé jusqu'à l'établissement du régime permanent. À un instant ultérieur, pris comme nouvelle origine des temps t', l'interrupteur K est ouvert.
3) Établir les équations différentielles régissant l'intensité du courant i(t') et la tension u(t') aux bornes du condensateur dans cette nouvelle configuration.
4) Quelles sont les valeurs initiales i(0+) et u(0+) à l'instant de l'ouverture (t'=0) ?
5) Déduire les expressions de i(t') et de u(t'), en distinguant les différents cas possibles de régime. Les constantes d’intégration ne seront pas calculées numériquement.
Corrigé de l'Exercice
1) Détermination et tracé des courants i1(t) et i2(t)
À la fermeture de l'interrupteur, le circuit est alimenté par une source de tension E. Les équations différentielles décrivant le comportement des deux branches sont :
- Pour la branche R-L : E = R · i1(t) + L · (di1(t)/dt)
- Pour la branche R-C : E = R · i2(t) + uc(t), avec i2(t) = C · (duc(t)/dt)
Les conditions initiales sont cruciales :
- Le courant dans l'inductance ne peut pas varier instantanément : i1(0-) = i1(0+) = 0.
- La tension aux bornes du condensateur ne peut pas varier instantanément et il est initialement déchargé : uc(0-) = uc(0+) = 0.
L'intégration de ces équations avec les conditions initiales mène aux solutions suivantes pour les courants et la tension du condensateur :
- Courant dans la branche R-L : i1(t) = (E/R) · [1 − exp(−t/τ1)] où τ1 = L/R (constante de temps inductive).
- Tension aux bornes du condensateur : uc(t) = E · [1 − exp(−t/τ2)] où τ2 = RC (constante de temps capacitive).
- Courant dans la branche R-C : i2(t) = C · (duc(t)/dt) = (E/R) · exp(−t/τ2).
Les courbes d'évolution montrent que i1(t) croît exponentiellement de 0 vers E/R, tandis que i2(t) décroît exponentiellement de E/R vers 0.
2) Détermination de l'instant t0 où i1(t) = i2(t)
(E/R) · [1 − exp(−t0/τ1)] = (E/R) · exp(−t0/τ2)
Ce qui se simplifie en : 1 − exp(−t0/τ1) = exp(−t0/τ2).
Remarque : La résolution analytique de cette équation pour t0 n'est pas toujours simple. Elle requiert généralement un calcul numérique si les valeurs de R, L et C sont connues.
3) Établissement des équations différentielles après l'ouverture de K
Lorsque l'interrupteur K est ouvert (pour t' ≥ 0), le circuit se transforme en une boucle fermée constituée en série de l'inductance L, du condensateur C et des deux résistances R. La résistance totale de cette nouvelle boucle RLC série est donc 2R.
En appliquant la loi des mailles, on obtient l'équation régissant la boucle :
L · (di(t')/dt') + 2R · i(t') + u(t') = 0
En utilisant la relation constitutive du condensateur i(t') = C · (du(t')/dt') :
- L'équation différentielle pour la tension u(t') aux bornes du condensateur est :
L · C · (d²u(t')/dt'²) + 2R · C · (du(t')/dt') + u(t') = 0
Soit : (d²u(t')/dt'²) + (2R/L) · (du(t')/dt') + (1/LC) · u(t') = 0 - De même, en dérivant l'équation de la maille par rapport à t' et en remplaçant (du/dt') par i/C, l'équation différentielle pour le courant i(t') est :
(d²i(t')/dt'²) + (2R/L) · (di(t')/dt') + (1/LC) · i(t') = 0
4) Détermination des valeurs initiales i(0+) et u(0+)
Avant l'ouverture de l'interrupteur (t' = 0-, équivalent à t → ∞), le circuit est en régime permanent :
- Le condensateur se comporte comme un circuit ouvert, donc i2(∞) = 0. Par conséquent, la tension à ses bornes est égale à la tension de la source : uc(∞) = E. Par continuité de la tension aux bornes du condensateur, u(0+) = E.
- L'inductance se comporte comme un court-circuit. Le courant qui la traverse est i1(∞) = E/R. Par continuité du courant traversant l'inductance, le courant dans la boucle RLC après l'ouverture est i(0+) = −E/R. Le signe « moins » indique une orientation du courant opposée à celle de i1(t) choisie dans le schéma initial.
5) Expressions de i(t') et u(t') : Analyse des régimes transitoires
Les solutions des équations différentielles de la question 3 sont déterminées par les racines du polynôme caractéristique :
r² + (2R/L)r + (1/LC) = 0
Le comportement du circuit dépend du discriminant Δ' de ce polynôme : Δ' = (2R/L)² − 4(1/LC). Trois régimes distincts sont possibles :
a) Régime critique (si Δ' = 0)
Ce régime survient lorsque (2R/L)² = 4/LC, ce qui implique R = √(L/C). La solution est de la forme :
u(t') = (A + B · t') · exp(−(R/L) · t')
Où A et B sont des constantes d’intégration déterminées par les conditions initiales u(0+) et i(0+) = C · (du(t')/dt')t'=0.
b) Régime apériodique (si Δ' > 0)
Ce régime, caractérisé par un amortissement élevé, se produit lorsque R > √(L/C). La solution est une somme d'exponentielles décroissantes :
u(t') = A · exp(r1 · t') + B · exp(r2 · t')
Où r1 et r2 sont les deux racines réelles distinctes du polynôme caractéristique. A et B sont des constantes d’intégration.
c) Régime pseudopériodique (si Δ' < 0)
Ce régime, impliquant des oscillations amorties, apparaît lorsque R < √(L/C). La solution est une exponentielle amortie modulée par une fonction sinusoïdale :
u(t') = exp(−(R/L) · t') · [A · cos(Ω · t') + B · sin(Ω · t')]
Avec Ω = √(1/LC − (R/L)²), appelée pseudo-pulsation. A et B sont des constantes d’intégration.
Dans chacun des trois cas, les constantes d’intégration A et B sont déterminées à partir des conditions initiales u(0+) et i(0+) (ou (du(t')/dt')t'=0).
Foire aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'un circuit R-C ou R-L en parallèle ?
Un circuit R-C en parallèle est une configuration électrique où une résistance (R) et un condensateur (C) sont connectés en parallèle aux bornes d'une source ou d'une autre partie du circuit. Similairement, un circuit R-L en parallèle combine une résistance (R) et une inductance (L) branchées de la même manière. Ces structures sont fondamentales pour l'analyse des signaux en courant alternatif et des transitoires.
Pourquoi les conditions initiales sont-elles essentielles dans l'analyse des circuits RLC ?
Les conditions initiales décrivent l'état énergétique d'un circuit au moment précis où un changement (fermeture/ouverture d'un interrupteur, application d'une source) se produit. Pour les éléments réactifs comme les condensateurs et les inductances, la tension et le courant ne peuvent pas changer instantanément. Ces conditions (tension aux bornes du condensateur et courant traversant l'inductance à t=0) sont indispensables pour trouver la solution unique des équations différentielles qui régissent le circuit et prédire son comportement transitoire.
Quels sont les différents régimes transitoires observés dans un circuit RLC ?
Un circuit RLC (composé d'une résistance, d'une inductance et d'un condensateur) peut présenter trois types de comportements transitoires, déterminés par l'amortissement relatif des oscillations :
- Régime apériodique (ou suramorti) : Le système revient à l'équilibre sans osciller, mais de manière relativement lente. Cela se produit quand la résistance est trop élevée et dissipe rapidement l'énergie.
- Régime critique : C'est le retour le plus rapide à l'équilibre sans aucune oscillation. Il représente un équilibre idéal entre la dissipation d'énergie (résistance) et le stockage (inductance et capacité).
- Régime pseudopériodique (ou sous-amorti) : Le système oscille autour de l'équilibre avec une amplitude décroissante au fil du temps. Cela se produit lorsque la résistance est faible, permettant aux éléments réactifs de stocker et d'échanger de l'énergie, créant des oscillations qui s'amortissent progressivement.