Electricité: Electrocinetique : Exercices corrigés circuits r c et r l en parallèle electro
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Télécharger packPage 1 Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique ELECTROCINETIQUE EXERCICE D’ ORAL -EXERCICE 3.3- ••• • ENONCE : « Circuits R-C et R-L en parallèle » RR CL EK 1i 2i Le condensateur C étant initialement déchargé,
on ferme l'interrupteur K à l'instant t=0.
1) Déterminer les courantset , puis
tracer les courbes correspondantes.
2) A quel instant aura-t-on? 2() it1 ()it 12ii= • L’interrupteur étant toujours fermé, on attend la fin de l’établissement du régime permanent ; à un instant pris comme nouvelle origine des temps t’, on ouvre l’interrupteur K. 3) Etablir les équations différentielles vérifiées par l’intensité du courant (')it et par la tension (')ut aux bornes du condensateur. 4) A t’=0, quelles sont les valeurs initiales (0 ) et (0 )iu
−− ? 5) En déduire les expressions de (')it et de (')ut, en distinguant les différents cas possibles (on ne calculera pas les constantes d’intégration). Page 2 Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique ELECTROCINETIQUE EXERCICE D’ ORAL ••• • CORRIGE : «Circuits R-C et R-L en parallèle » 1) Les 2 équations différentielles sont : 11 ()() di t
ERit Ldt =+et ()() cc du t
Eut RCdt =+, avec 2() ()c du t
it Cdt = • En tenant compte de 11
(0 )(0 )0ii −+
== (continuité du courant traversant une inductance) et de (0 )(0 )0 ccuu −−
== (continuité de la tension aux bornes d’un condensateur), un calcul développé dans le cours conduit à : 11
( )[1 exp(/)] Eitt Rτ =−−1 LR τ
= ; 2
( )[1 exp(/)]c ut Etτ =− − ⇒22 ( )exp(/)E ittR τ=− 2RC τ= • On en déduit les courbes suivantes : 1() itE R0 1τ t0 t2 τ2 ()it ER 2) Cet instant, noté 0
t, est déterminé par :
010 2
1 exp(/) exp(/)ttττ −− =−
Rq :
l’instant 0
t n’est pas donné de façon analytique, mais on pourrait le calculer
numériquement si les valeurs de ,,RLC étaient fournies. 3) Pour '0t≥
, le circuit se ramène à : (')it
(')utC LRR La loi des mailles donne:
( ')( ')
2( ')0LR ut utut++=
(')(')avec: ( '); ( ')( ') et
( ')
''LR di tdu t
u tLu tRititCdtdt == =
On en déduit :2 2
(') 2(')(')0 ''
d u tR du tu tdtLdtLC +×+ =et 22 (') 2(')
(')0 ''
d i tR di ti tdtLdtLC +×
+ =
4) D’après la question 1), on sait que 2
()0it=∞ = ⇒
()(' 0)(' 0)utututE−+ =∞=====
D’autre part :1 ()(' 0)(' 0)E i tititR −+
=∞ ==−==−=
Rq : le signe « moins » provient de l’orientation contraire des courants 1 et ii. Page 3 Christian MAIRE EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique ELECTROCINETIQUE EXERCICE D’ ORAL 5) Les solutions des équations de la question 3) sont à chercher en exp( ')rt, où r∈ ! ; le polynôme caractéristique est :2 210 Rrr LLC
+×+ =⇒ 22 1' RLLC ∆=−
♦ si LR C= , '0∆= : le régime est dit critique, de la forme : ( ')(') exp(')R utA BttL =+−
♦ si LR C" , '0∆" : le régime est apériodique, de la forme : 12
( ')exp(
')exp(')utArtBrt=+
(où 12 etrr −
∈#) ♦ si LR C
≺, '0∆≺ : le régime est pseudopériodique, de la forme : ( ')
exp(') [ cos(')sin(')]R uttAtBtL =− × Ω+ Ω
avec : 22 1RLCL Ω=− (= pseudo-pulsation) Rq : dans les 3 cas, les 2 constantes d’intégration se déterminent à l’aide des 2 conditions initiales de la question 4), qui portent sur la grandeur (')ut et sa dérivée (')it (à une constante multiplicative près).