Ce document pédagogique, destiné aux étudiants universitaires en physique ou en sciences de l'ingénieur, propose un exercice corrigé détaillé sur la conductivité électrique des métaux. Il vise à renforcer la compréhension des mécanismes microscopiques de la conduction électrique et de leurs manifestations macroscopiques dans le cadre de l'électrocinétique.
Il couvre les notions suivantes :
- Le calcul de la vitesse de dérive (ou d'ensemble) des électrons.
- L'établissement de l'expression de la conductivité électrique.
- La démonstration de la loi de Joule locale et la puissance dissipée par unité de volume.
Electricité: Electrocinetique : Exercices corrigés conductivité électrique d’un métal elect
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Cet exercice explore les principes fondamentaux de la conduction électrique dans les métaux, en se concentrant sur le comportement des électrons libres et les lois qui régissent leur mouvement sous l'effet d'un champ électrique. Nous aborderons la notion de vitesse de dérive, la conductivité électrique et la loi de Joule locale.
Énoncé de l'Exercice
La conduction électrique dans un fil de cuivre de rayon R = 0,5 mm est assurée par des électrons libres de masse m, de charge -e, présents en nombre n par unité de volume.
Données
- Masse de l'électron :
m = 9,1 × 10⁻³¹ kg - Charge élémentaire :
e = 1,6 × 10⁻¹⁹ C - Nombre d'Avogadro :
NA = 6,02 × 10²³ mol⁻¹ - Masse volumique du cuivre :
ρCu = 8,9 × 10³ kg·m⁻³ - Masse atomique du cuivre :
MCu = 63,6 g·mol⁻¹
Questions
- Déterminer la « vitesse d'ensemble » v des électrons libres pour un courant
I = 3 A. On admettra que chaque atome de cuivre libère en moyenne un électron et que le vecteur densité de courant j est uniforme. - On suppose que la vitesse v est de la forme :
v = -(eτ/m)E, oùτest la durée moyenne entre deux chocs consécutifs, et E le champ électrique subi par un électron. Exprimer la conductivitéγdu cuivre en fonction den,e,metτ. - Montrer que la puissance dissipée par unité de volume vaut
dP/dV = γE²(loi de Joule locale).
Correction de l'Exercice
Question 1
Le courant I étant uniforme, on peut écrire : I = jS = j πR².
Par ailleurs, la densité de courant j est donnée par : j = nev.
Le nombre d'électrons libres par unité de volume, n, peut être calculé en considérant que chaque atome de cuivre libère un électron. Ainsi, n = (ρCu NA / MCu). Il est important de convertir MCu en kg/mol pour la cohérence des unités : MCu = 63,6 × 10⁻³ kg·mol⁻¹.
En combinant ces relations (I = nev πR²) et en isolant v, on obtient la vitesse d'ensemble :
v = I / (neπR²) = I MCu / (ρCu NA e πR²)
Application Numérique :
I = 3 AMCu = 63,6 × 10⁻³ kg·mol⁻¹ρCu = 8,9 × 10³ kg·m⁻³NA = 6,02 × 10²³ mol⁻¹e = 1,6 × 10⁻¹⁹ CR = 0,5 × 10⁻³ m
Calculons n d'abord :
n = (8,9 × 10³ kg·m⁻³ × 6,02 × 10²³ mol⁻¹) / (63,6 × 10⁻³ kg·mol⁻¹) ≈ 8,4 × 10²⁸ électrons/m³
Puis v :
v = 3 A / (8,4 × 10²⁸ m⁻³ × 1,6 × 10⁻¹⁹ C × π × (0,5 × 10⁻³ m)²) ≈ 0,28 × 10⁻³ m/s
La vitesse d'ensemble est donc : v ≈ 0,28 mm/s.
Remarque : Il est crucial de ne pas confondre cette « vitesse d'ensemble » (ou vitesse de dérive) des électrons, qui correspond à leur mouvement macroscopique moyen le long du fil de cuivre, avec la vitesse individuelle d'un électron entre deux chocs successifs. Cette dernière, due à l'agitation thermique, est beaucoup plus élevée, de l'ordre de 105 m/s ou 100 km/s, et se produit dans des directions aléatoires.
Question 2
La vitesse de dérive des électrons est donnée par : v = -(eτ/m)E.
La densité de courant j est définie par : j = -nev (le signe moins est dû au fait que e est la charge de l'électron, et la convention est que j est dans le sens du mouvement des charges positives. Si v est la vitesse des électrons, et -e leur charge négative, le courant j est dans le sens opposé à v, donc j = (-e)nv si v est le vecteur vitesse des électrons, ou j = nev si v est la norme de la vitesse des électrons et j est dans la même direction que -v. Ici, j = -nev est utilisé avec v comme un vecteur, signifiant que j est opposé à la direction du mouvement des électrons, ce qui est cohérent avec E).
En substituant l'expression de v dans j = -nev, on obtient :
j = -n(-e)(eτ/m)E = (ne²τ/m)E.
Cette expression peut être identifiée avec la loi d'Ohm locale j = γE, où γ est la conductivité électrique du matériau.
Par comparaison, on trouve que la conductivité γ est : γ = ne²τ/m.
Cette formule montre que la conductivité dépend de la concentration des porteurs de charge (n), de leur charge (e), de leur masse (m) et du temps moyen entre les collisions (τ). Un τ plus grand signifie moins de collisions et donc une meilleure conductivité.
Question 3
Lorsqu'un électron est placé dans un champ électrique E, il subit une force F = -eE.
La force volumique fvol (force par unité de volume) exercée sur l'ensemble des électrons libres présents en nombre n par unité de volume est donc : fvol = nF = -neE.
La puissance dissipée par unité de volume, dP/dV, est le produit scalaire de la force volumique par la vitesse de dérive v : dP/dV = fvol · v.
En substituant fvol = -neE et v = -(eτ/m)E, on obtient :
dP/dV = (-neE) · (-(eτ/m)E)
dP/dV = (ne²τ/m)E²
Sachant que la conductivité est γ = ne²τ/m, on retrouve la loi de Joule locale :
dP/dV = γE².
Remarque : L'énergie électrique fournie par le champ E est initialement transmise aux électrons sous forme d'énergie cinétique. Cette énergie est ensuite dissipée et transférée aux ions du réseau cristallin du métal lors des chocs. L'augmentation de l'agitation thermique des ions se traduit par une élévation de la température du fil, un phénomène macroscopique connu sous le nom d'« effet Joule ».
FAQ sur la Conductivité Électrique des Métaux
Qu'est-ce que la vitesse d'ensemble (ou de dérive) des électrons ?
La vitesse d'ensemble, ou vitesse de dérive, est la vitesse moyenne des électrons libres dans un conducteur sous l'influence d'un champ électrique. Bien que les électrons se déplacent à des vitesses thermiques très élevées (aléatoirement et dans toutes les directions), la vitesse de dérive représente leur mouvement global et directionnel, qui est généralement très lent (quelques millimètres par seconde) mais suffisant pour constituer un courant électrique.
Quel est le rôle de la durée moyenne entre deux chocs (τ) dans la conductivité ?
La durée moyenne entre deux chocs, notée τ (tau), représente le temps moyen qu'un électron passe sans collision avec les ions du réseau cristallin ou d'autres imperfections. Une valeur de τ plus élevée indique que les électrons peuvent accélérer plus longtemps sous l'effet du champ électrique avant d'être ralentis par une collision, ce qui se traduit par une meilleure conductivité électrique. Inversement, une τ faible implique de fréquentes collisions et une moindre conductivité.
Qu'est-ce que l'effet Joule local ?
L'effet Joule local décrit la puissance électrique dissipée sous forme de chaleur par unité de volume d'un conducteur. Il est exprimé par la formule dP/dV = γE², où dP/dV est la puissance volumique, γ la conductivité électrique, et E l'intensité du champ électrique. Ce phénomène résulte des collisions entre les électrons en mouvement et les ions du réseau cristallin, transférant l'énergie cinétique des électrons aux ions sous forme d'agitation thermique, ce qui élève la température du matériau.