Ce document pédagogique est destiné aux étudiants universitaires en physique et en génie électrique. Il présente un exercice détaillé d'électrocinétique axé sur l'étude d'un filtre réjecteur de bande, consolidant les connaissances en analyse de circuits en régime sinusoïdal.
Les objectifs d'apprentissage incluent :
- La détermination de la fonction de transfert.
- L'analyse du comportement en basse et haute fréquence.
- Le tracé de la courbe de gain en décibels (diagramme de Bode).
- L'application du théorème de Millman en analyse de circuits.
Electricité: Electrocinetique : Exercices corrigés filtre réjecteur de bande electrocinetiq
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Exercice d'Oral - Filtre Réjecteur de Bande
Énoncé
Le schéma ci-dessous représente un filtre réjecteur de bande avec des composants UE, US, R1, R2, C, C.
- Déterminer la fonction de transfert H(jω) = US/UE.
- Analyser le comportement en basse fréquence, puis en haute fréquence.
- Tracer la courbe 20 log(|H|) en dB. Remarque : on considérera que R1 ≈ R2.
Corrigé - Filtre Réjecteur de Bande
1) Détermination de la fonction de transfert
On applique le théorème de Millman au point N :
(UE/R2) + (USjCω) + (UNjCω) = UN(1/R2 + jCω + jCω) (1)
Le quadripôle ne débitant aucun courant, l'intensité qui traverse la résistance R1 est égale à celle qui traverse la capacité C reliée à la sortie ; on peut donc écrire :
(US - UN) / R1 = - UNjCω (2)
En éliminant UN entre les relations (1) et (2), on obtient la fonction de transfert :
H(jω) = US/UE = (1 - R1R2C2ω2 + j2R2Cω) / (1 - R1R2C2ω2 + j(R1+R2)Cω)
Cette expression peut être réécrite sous une forme normalisée :
H(x) = (1 - x2 + jAx) / (1 - x2 + jBx)
avec les paramètres suivants (tels qu'énoncés dans le document original) :
- ω0 = 1 / (C√(R1R2))
- x = ω/ω0
- A = 2R2/R1
- B = 1 + 2R1/R2
2) Analyse du comportement
Comportement en basse fréquence :
Lorsque la fréquence ω tend vers 0 (x → 0), les condensateurs se comportent comme des circuits ouverts. La fonction de transfert H tend vers 1 (soit 0 dB).
Comportement en haute fréquence :
Lorsque la fréquence ω tend vers l'infini (x → ∞), les condensateurs se comportent comme des courts-circuits. La fonction de transfert H tend également vers 1 (soit 0 dB).
3) Tracé de la courbe 20 log(|H|) en dB
- Quand x → 0 : H → 1, ce qui correspond à 0 dB.
- Quand x → ∞ : H → 1, ce qui correspond à 0 dB.
- Quand x = 1 (correspondant à la fréquence de réjection ω0) : H = 1/B. Le gain en décibels est alors 20 log(|H|) = 20 log(1/B) = -20 log(B) dB.
Il s'agit donc d'un filtre coupe-bande (ou réjecteur de bande) qui atténue fortement les fréquences autour de ω0, tout en laissant passer les basses et hautes fréquences. Pour le cas où R1 = R2, on parle spécifiquement de « filtre réjecteur de bande » dont le but est d'éliminer sélectivement une bande de fréquence très étroite autour de la fréquence centrale (parasite) ω0.
L'allure de la courbe de gain 20 log(|H|) en dB en fonction de log(x) est la suivante :
Le gain est de 0 dB pour les fréquences très basses et très hautes. Il présente un minimum à la fréquence centrale ω0 (quand x = 1), dont la valeur est -20 log(B) dB. Une valeur de B plus grande (comme pour la courbe 2 par rapport à la courbe 1) indique une réjection plus profonde à la fréquence centrale.
Questions Fréquemment Posées (FAQ)
Qu'est-ce qu'un filtre réjecteur de bande ?
Un filtre réjecteur de bande, également connu sous le nom de filtre coupe-bande ou "notch filter", est un dispositif électronique conçu pour bloquer ou atténuer fortement un intervalle spécifique de fréquences, tout en laissant passer les fréquences situées en dehors de cet intervalle. Il est souvent utilisé pour éliminer des signaux indésirables ou des bruits à des fréquences précises.
Dans quelles applications utilise-t-on les filtres réjecteurs de bande ?
Ces filtres sont largement employés dans diverses applications, notamment :
- Audio : Suppression du bruit de ronflement (souvent 50 ou 60 Hz) ou d'autres fréquences parasites.
- Instrumentation : Filtrage des interférences dans les équipements de mesure ou médicaux (ex: ECG).
- Télécommunications : Élimination de porteuses indésirables ou d'interférences de canaux adjacents.
- Contrôle de processus : Amélioration de la stabilité des systèmes en supprimant des résonances indésirables.
Quelle est la différence entre un filtre coupe-bande et un filtre réjecteur de bande ?
Les termes "filtre coupe-bande" et "filtre réjecteur de bande" sont souvent utilisés de manière interchangeable. Cependant, "filtre réjecteur de bande" (ou "notch filter") tend à désigner un filtre avec une bande de fréquences rejetées très étroite, conçu pour cibler une fréquence spécifique (comme une seule fréquence parasite). Un "filtre coupe-bande" peut impliquer une bande de rejet plus large. Le terme "réjecteur de bande" souligne la précision de l'élimination d'une bande étroite.