Electricité: Electrocinetique : Rappels theoremes generaux reseaux en regime permanent sinu
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RAPPELS THEOREMES GENERAUX RESEAUX EN REGIME PERMANENT SINUSOIDAL FILTRES DU PREMIER ORDRE I – Rappels................................................................................................................................................ 3 1.1 Les dipôles...................................................................................................................................... 3 1.2. Les sources indépendantes............................................................................................................. 3 1.3. Les sources dépendantes................................................................................................................ 4 1.4. La capacité..................................................................................................................................... 4 1.5. L’inductance................................................................................................................................... 5 II-THEOREMES GENERAUX................................................................................................................ 5 II.1. Les lois de Kirchoff....................................................................................................................... 5 II.1.1 Loi des noeuds......................................................................................................................... 5 II.1.2 Loi des mailles......................................................................................................................... 5 II.2. Les méthodes indirectes................................................................................................................ 6 II.2.1 Méthode des mailles indépendantes........................................................................................ 6 II.2.2 Méthodes des noeuds indépendants........................................................................................ 7 II.2.3 Réduction d’un réseau par la méthode des circuits dérivés..................................................... 7 II.2.3.1 : Dérivation simple........................................................................................................... 7 II.2.3.2 Théorème de superposition.............................................................................................. 7 II.2.3.3 Théorème de Millman...................................................................................................... 8 II.2.3.4 Méthode du dipôle linéaire............................................................................................... 9 a) Théorème de Thévenin......................................................................................................... 9 b) Théorème de Norton........................................................................................................... 12 II.3. Analyse Nodale des circuits........................................................................................................ 13 II.3.1. Analyse nodale KCL............................................................................................................ 13 II.3.2. Analyse nodale KVL............................................................................................................ 16 III- RESEAUX EN REGIME PERMANENT SINUSOIDAL............................................................... 18 III.1. Régime sinusoïdal...................................................................................................................... 18 III.1.1.Grandeurs typiques en régime sinusoïdal............................................................................ 18 III.1.2. Notations de Fresnel............................................................................................................ 18 III.1.3 Les dipôles passifs linéaires................................................................................................. 19 III.2. Les Quadripôles......................................................................................................................... 19 II.2.1 Paramètres d’un quadripôle .................................................................................................. 20 II.2.1.1 Paramètres de chaînes ................................................................................................... 20 II.2.1.2 Paramètres impédances (Paramètres Z) ........................................................................ 20 II.2.1.3 Paramètres admittances (Paramètres Y) ........................................................................ 20 II.2.1.4 Paramètres Hybrides....................................................................................................... 20 II.2.2 Méthode de détermination des paramètres............................................................................ 20 II.2.3. Impédance d’entrée et de sortie............................................................................................ 21 II.2.3.1 Impédance d’entrée........................................................................................................ 21 II.2.3.2 Impédance de sortie........................................................................................................ 21 II.2.4.Fonction de transfert d'un quadripôle : Réponse fréquentielle.............................................. 21 II.2.4.1 Diagramme de Bode d'une fonction de transfert............................................................ 21 II.2.4.2. Etude de quelques fonctions de transfert élémentaires :............................................... 22 a) Diagramme de Bode de l’élément proportionnel................................................................ 22 b) Diagramme de Bode de l’élément différentiel....................................................................23 c) Diagramme de Bode de l’élément intégral.........................................................................23 II.2.4.3. Fonction de transfert en cascade...................................................................................23 VI. FILTRES DU PREMIER ORDRE...................................................................................................23 VI.1. Introduction................................................................................................................................ 23 VI.2- Circuit RC.................................................................................................................................. 24 VI.2.1 Circuit intégrateur RC..........................................................................................................24 VI.2.1.1 Réponse à une excitation échelon ou réponse indicielle...............................................24 VI.2.1.2 Réponse à une tension rectangulaire (tension créneau)................................................24 VI.2.1.3 Réponse à une excitation sinusoïdale (Réponse fréquentielle).....................................25 a) Amplitude et déphasage de la fonction de transfert............................................................25 b) Représentation graphique de la réponse en fréquence: diagramme de Bode.....................25 VI.2.2 Circuit différentiateur RC....................................................................................................26 VI.2.2.1 Réponse a une excitation échelon ou réponse indicielle...............................................27 VI.2.2.2 Réponse à tension rectangulaire...................................................................................27 VI.2.2.3 Réponse à une excitation sinusoïdale (Réponse fréquentielle).....................................28
électronique1 Pr El Mostafa SKOURI 2
Ce chapitre est consacré à un certain nombre de principes et théorèmes qui facilitent la mise en équation des réseaux électriques. Le but de l'analyse des circuits est double : d'une part l'élaboration de méthodes permettant de mettre en équation correctement un réseau; d'autre part la recherche de méthodes permettant de résoudre aisément ces équations. I – RAPPELS 1.1 Les dipôles Les dipôles élémentaires sont caractérisés par une relation entre la tension entre leurs bornes et le courant qui les traversent. Cette relation peut être linéaire, comme souvent pour la résistance, ou non linéaire comme dans le cas typique de la diode. Attention au signe : Un courant électrique est considère par convention comme constitué de charges positives se déplaçant dans le sens du champ .électrique, c’est-à-dire dans le sens décroissant du potentiel électrique. 1.2. Les sources indépendantes Source idéale de courant : C’est un dipôle qui peut délivrer un courant indépendant de la différence de potentiel u présente à ses bornes. Source réelle de courant : La non idéalité réside dans le fait que la résistance interne du générateur de courant n'est pas infinie : une source réelle de courant est un système composé d'une source idéale de courant en parallèle avec une résistance. Caractéristiques d'un générateur de courant Source idéale de tension : c’est un dipôle défini par une tension entre ses bornes imposée à une valeur u0 indépendamment du courant qui le traverse. Source réelle de tension : en pratique, une source de tension possède une résistance interne. On la modélise par une résistance en série avec le générateur de tension. En fonction de la qualité de l'alimentation, la résistance interne est plus ou moins grande. électronique1 Pr El Mostafa SKOURI 3
Caractéristiques d'un générateur de tension 1.3. Les sources dépendantes On appelle source dépendante une source de tension ou de courant qui est dépendante d'une grandeur, courant ou tension, caractérisant un autre élément du réseau. 1.4. La capacité ⎪⎪ ⎩⎪ ⎪⎨ ⎧+= +=⇒== ∫∫ tt ttic ututtiqtq tu ct qti 00 d)(1 )0()(
d)()0()(d dd d)( Exercice : Déterminer et i(t)
. )(tu
électronique1 Pr El Mostafa SKOURI 4, 6pour t 0d0
1 d)(1 6t3pour 4-24 )3(434d2
1 d)(1 3t0pour4d2 1 d01 0pour t d01 d)(1 d)(1 d)(1 )0()(6 6c 33 c0 00 0c 0c 0c ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎧≥=+ ≤<=−−×=−+
<≤=+
<=+=+= ∫∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫∞− ∞−∞− ∞−∞− tt ttt tc ttic tttc ttic ttc tc tc ttic ttic ttic utu⎪ ⎪⎩ ⎪⎪ ⎨⎧ ≥
<≤
<≤+
<=+=+= 6pour t0 6t3pour t-4 3t0pour t2 0pour
t 0)( )(
)()()(tiR tvtititi cc cR
1.5. L’inductance ∫+=⇒= tttu Liti tiL tu0 d)(1 )0()(d d)( II-THEOREMES GENERAUX II.1. Les lois de Kirchoff Les lois de Kirchhoff sont constituées de la loi des mailles, qui traite des tensions, et de la loi des noeuds qui traite des courants. II.1.1. Loi des noeuds La somme algébrique des k courants entrants dans un noeud est égale à la somme des l courants sortants : ∑∑= ll kk ii
Dans l’exemple de la figure 3241
iiii+=+ II.1.2 Loi des mailles La somme algébrique des tensions le long d'une maille est nulle. L'application de la loi des mailles nécessite le choix préalable de parcours :0)(=± ∑k k
v (-) si est dans le sens du parcours. ; (+) si est dans le sens contraire. kv kv Dans l’exemple de la Figure : électronique1 Pr El Mostafa SKOURI 50 1221
=−−+EvEv0 122211
=−−++EiREiR
Méthode de résolution : • Attribuer une lettre à chaque noeud, puis compter le nombre de noeud N du circuit. • Compter le nombre de branches B, puis indiquer les courants qui passent dans chacune d’elles (I1 , I2 ...IB ) sans oublier de leur donner arbitrairement un sens. • Appliquer la première loi de Kirchhoff aux noeuds, en notant que, en fait, on n’obtient jamais que N - 1 équations indépendantes. • Appliquer la deuxième loi de Kirchhoff à autant de mailles qu’il faut pour obtenir un nombre d’équations indépendantes égal au nombre d’inconnues B, compte tenu des N - 1 équations indépendantes tirées de la première loi. Il faut donc tirer B - (N - 1) équations de la deuxième loi, ce qui revient à considérer B - N + 1 mailles. Elles doivent être choisies de façon à obtenir des équations indépendantes; en pratique, cela signifie que tous les courants doivent intervenir dans ces équations au moins une fois. • Résoudre le système d’équations et en tirer les réponses demandées. Exercice • Mettre en équation le circuit suivant, pour déterminer le courant et la tension de la charge RL .
Ce circuit comporte 6 mailles, 4 noeuds et 6 branches. Il nous faudra six équations indépendantes pour trouver les 6 courants. Appliquons la première loi à 3 noeuds (N - 1 = 4 - 1 = 3), nœud a : I1 -I2 -I4 =0; nœud b : I4 -I5 -IL =0
; nœud c : I3 -I5 -IL =0. Puis la deuxième loi aux trois mailles (B - N + 1 = 6 - 4 + 1 = 3), de façon que chacun des courants y soit cité au moins une fois. On choisit de les parcourir dans le sens de rotation des aiguilles d’une montre : maille 1 : -E+R1 I1 +R2 I2 =0
; maille 2 : -R2 I2 +R4 I4 +R5 I5 +R3 I3 =0; maille 3 : RL IL -R5 I5 =0 Notons également qu’on aurait pu en réalité écrire 10 équations, si on avait numéroté tous les noeuds, les équations supplémentaires sont redondantes (elles sont automatiquement vérifiées si les 6 équations précédentes le sont). II.2. Les méthodes indirectes Les méthodes indirectes sont basées sur les lois de Kirchoff. Elles visent à simplifier le réseau et à fractionner la difficulté en faisant des calculs partiels. II.2.1 Méthode des mailles indépendantes Dans un réseau, une branche peut être utilisée une seule fois. La maille qui contient cette branche est appelée maille indépendante. Son courant est conservé comme courant principal. électronique1 Pr El Mostafa SKOURI 60)( 3111
=+−++−eriirRE 0)(1333 =−−++eriEirR II.2.2 Méthodes des noeuds indépendants Cette méthode convient bien à un filtre en π
Au nœud A : 31 11 iR v
i+= et 321 3R vvi −= 32 3111 )11 (R vRR vi−+=⇒
De même, )11 (32 23 12 RRv Rv i+−+=
On en déduit : Au noeud A est attribuée la tension
, dans le calcul de, le coefficient de
est la somme de toute les admittances des branches qui aboutissent à A, le coefficient de
est constitué par l’admittance de couplage entre les deux noeuds consécutif. 1v 1i 1v 2v II.2.3 Réduction d’un réseau par la méthode des circuits dérivés Si l’on ne veut pas tout calculer dans un réseau, mais seulement le courant dans une certaine branche, on peut souvent remplacer le réseau par un réseau équivalent. La méthode du schéma équivalent est très importante en électronique. II.2.3.1 Dérivation simple 2121 AB; RRRR rRR Ei AB+ +==
II.2.3.2 Théorème de superposition électronique1 Pr El Mostafa SKOURI 7
L’intensité du courant circulant dans une branche d’un réseau contenant plusieurs branches est égale à la somme algébrique des intensités créées dans cette branche par chaque générateur supposé seul (les autres étant éteints). C
i Circuit 1 :RRRRRR REi RRR iiR Rii 212121 12 2R1R1 2R11 ++= +=⇒+= Circuit 2 (Il suffit de permuter les indices) :RRRRRR REi 122112 R2++ =
En superposant les deux courants partiels : RRRRRRRERE iii1221 1221R2R1R +++ =+=
II.2.3.3 Théorème de Millman Le théorème de Millman permet de déterminer le potentiel d’un nœud où aboutissent des branches composées d’un générateur de tension réel. ∑∑ == =n ii ni ii RR Ev 11 1
Démonstration :∑ ∑∑∑ == ===⇒= −⇒= ni in ii in jj jn jj RR Ev RvE i1 111 100 Ex : Calculer la tension v du circuit de la figure ci-dessous: RRRRRRRERER RRRRR ER Ev 12211221 212 21 1)( 1110 +++ =++ ++= On obtient le même résultat que précédemment : électronique1 Pr El Mostafa SKOURI 8RRRRRR RERERRiv 12211221 R)( +++ ==
II.2.3.4 Méthode du dipôle linéaire C’est la méthode la plus préférée des électroniciens. Dans des réseaux complexes, on peut remplacer une portion du circuit par son équivalent limité à une branche composée d’une source et d’une impédance en série ou en parallèle. L’exploitation de cette portion de réseau est similaire au débit d’une source réelle dans une charge. Suivant que l’on assimile le réseau à une source de tension ou de courant, on distingue deux théorèmes : Thévenin et Norton. a) Théorème de Thévenin On suppose que : - Aucun couplage magnétique n’existe entre S et C. - C ne contient aucune source liée à une grandeur de S et réciproquement. Le réseau compris entre deux nœuds A et B est équivalent à un générateur : - De force électromotrice égale à la tension qui apparaîtrait entre A et B à vide (C débranchée).
- D’impédance interne égale à l’impédance du dipôle S, vue des bornes A et B, les sources
indépendantes étant éteintes. La Démonstration fait appel au théorème de superposition. On suppose que les sources indépendantes de C sont éteintes, c’est à dire que C est équivalente à une impédance CZ Premier état : On insère entre S et C une source de tension de telle façon que le courant soit nul. 1E 1I Dans ces conditions : 0edéconnecté CBA1
)(VVVE=−= Deuxième état : On éteint les sources indépendantes de S qui est équivalent à une impédance
. On insère entre S et C une source de tension tel que et qui provoque le passage d’un courant tel que : SZ 2E 02VE−= 2I SC0 SC2 2ZZ VZZ EI += +− =
Superposition des deux états : électronique1 Pr El Mostafa SKOURI 9
- Il circule un courant de valeur SC0 SC0 210' ZZV ZZV III+ =+ +=+=
- , On retrouve donc le circuit de départ : 021 =+EESC 0' ZZV II+ ==
EXERCICE : Pour le circuit de la figure, déterminer la valeur du courant dans3 R Calcul de Eth (On coupe) 3R 222 videàBAth
)()(EirRVVE++=−= 0)(222111 =+++++−EirRRrE∑ −= +++− =R EErRRr EEi 212211 21)( avec rRRrR+++=∑ 211∑ ∑++− =R RErREEE th22221 ))((∑ +++= RRrErRE Eth )()(112221 Calcul de Rth (On court circuit et) 1E 2E )//()(2211 rRrRRRABth ++== ∑++ =+++ ++= RrRrR rRrRrRrR Rth ))(()()( ))((2211 22112211 Entre A et B le circuit est donc équivalent à un générateur de thevenin. Le courant qui circule dans est donc : 3R ∑+++ +++= += RRRrrRRrErRE RRE ITh th31122 1122213 ))(()()( Remarque : Pour et , on retrouve le circuit traité par le théorème de superposition. 021 ==rrRR= 3
On remplace dans l’expression précédente :
rRRrR+++=∑ 211= 21RR+ électronique1 Pr El Mostafa SKOURI 102112 12212112 122131122 1122213 )()0)(0()0()0( ))(()()( RRRRRRRERE RRRRRRERE RRRrrRRrErRE RRE ITh th++ += +++++++ =+++ +++= += ∑
On retrouve évidemment le même résultat. Exercice : Pour le circuit de la figure, déterminer le générateur de Thevenin équivalent au circuit entre les bornes A et B. Solution : Entre A et B, le circuit est équivalent à : Calcul de ThE Maille 1 ⇒2 x2 )1(R vI += α11x IRv= et ))1( (2 x21 Rv IIIIgg ++−=−−= α12 21x )1(RRRRI vg ++−=⇒ α22Th IRE== 2x 2)1( Rv R+α =)1( x+αv =12 21)1( )1(RR RRIg +++ −α α
Calcul de ThR On éteint les sources indépendantes : Maille 1 : 211 2221111)1( 0)(R IRIIRIRIR +=⇒=+−− α
α ; 21 2210 ))1( 1(IR RIII ++=+= α
électronique1 Pr El Mostafa SKOURI 11220 IRV= ⇒21 212 12 22 022 00 Th)1( )1() )1(1( RRRR IR RI RI IRI VR +++ =+ +=== αα α
b) Théorème de Norton Un réseau compris entre deux nœuds A et B est équivalent à une source indépendante de courant réelle en parallèle avec un dipôle composé d’admittance. 0I 0Y - est le courant électromoteur, c’est à dire lorsque la portion de réseau débite dans un court circuit. 0I - est obtenue lorsque toutes les sources indépendantes sont éteintes (comme pour Thévenin) 0Y S0 S
edéconnecté CBA0 )(Z VZ VVI= −= ;S 01 ZY= Exercice : Déterminer le générateur de Norton équivalent au circuit entre A et B et vérifier, en utilisant les résultas de l’exercice précédent, la correspondance Thevenin-Norton. Détermination du courant de Norton (courant du Court-circuit) : Maille 1 : g
IIIIRIR−=⇒=⇒=+−011111 00)(α
0n retrouve le même résultat en utilisant la correspondance Norton – Thevenin : gg IRR RRRR RRIR EI−= +++ +++ −== 2121 1221 ThTh 0)1( )1()1( )1(α αα α
Exercice : Pour le circuit de la figure ci-dessous calculer le courant dans la résistance R : a) En utilisant directement le théorème de thevenin b) En utilisant la correspondance Thevenin-Norton. électronique1 Pr El Mostafa SKOURI 12
a) À faire à la maison. b) En utilisant la transformation Thevenin Norton le circui