Ce document, destiné aux étudiants universitaires, propose une introduction exhaustive à l'analyse des réseaux électriques. Il débute par des rappels fondamentaux sur les dipôles et les sources.
Il couvre les notions suivantes:
- Les théorèmes généraux pour la mise en équation et la résolution des réseaux (Kirchhoff, superposition, Millman, Thévenin, Norton).
- L'analyse des réseaux en régime permanent sinusoïdal et les quadripôles.
- L'étude détaillée des filtres du premier ordre, incluant les circuits RC et leurs réponses fréquentielle et indicielle (diagrammes de Bode).
Electricité: Electrocinetique : Rappels theoremes generaux reseaux en regime permanent sinu
Télécharger PDFCHAPITRE I : RAPPELS, THÉORÈMES GÉNÉRAUX, RÉSEAUX EN RÉGIME PERMANENT SINUSOÏDAL, FILTRES DU PREMIER ORDRE
Ce chapitre est consacré à un certain nombre de principes et théorèmes qui facilitent la mise en équation des réseaux électriques. Le but de l'analyse des circuits est double : d'une part l'élaboration de méthodes permettant de mettre en équation correctement un réseau; d'autre part la recherche de méthodes permettant de résoudre aisément ces équations.
I – RAPPELS
1.1 Les dipôles
Les dipôles élémentaires sont caractérisés par une relation entre la tension entre leurs bornes et le courant qui les traversent. Cette relation peut être linéaire, comme souvent pour la résistance, ou non linéaire comme dans le cas typique de la diode. Des exemples de dipôles linéaires incluent les résistances, les condensateurs et les inductances.
Attention au signe : Un courant électrique est considéré par convention comme constitué de charges positives se déplaçant dans le sens du champ électrique, c’est-à-dire dans le sens décroissant du potentiel électrique.
1.2. Les sources indépendantes
Source idéale de courant : C’est un dipôle qui peut délivrer un courant indépendant de la différence de potentiel u présente à ses bornes. Dans la réalité, une telle source n'existe pas, elle est une idéalisation.
Source réelle de courant : La non-idéalité réside dans le fait que la résistance interne du générateur de courant n'est pas infinie : une source réelle de courant est un système composé d'une source idéale de courant en parallèle avec une résistance interne.
Source idéale de tension : C’est un dipôle défini par une tension entre ses bornes imposée à une valeur u0 indépendamment du courant qui le traverse. Comme la source de courant idéale, elle simplifie l'analyse théorique.
Source réelle de tension : En pratique, une source de tension possède une résistance interne. On la modélise par une résistance en série avec le générateur de tension idéal. En fonction de la qualité de l'alimentation, la résistance interne est plus ou moins grande.
1.3. Les sources dépendantes
On appelle source dépendante une source de tension ou de courant qui est dépendante d'une grandeur, courant ou tension, caractérisant un autre élément du réseau.
1.4. La capacité
La capacité est la propriété d'un composant électronique, le condensateur, à stocker de l'énergie électrique. Elle se caractérise par sa capacité C, qui exprime la quantité de charge électrique qu'il peut accumuler par unité de tension. Un condensateur s'oppose aux variations brusques de tension.
1.5. L’inductance
L'inductance est la propriété d'un composant électronique, la bobine (ou inducteur), à stocker de l'énergie sous forme de champ magnétique. Elle se caractérise par son inductance L, qui exprime sa capacité à générer une force électromotrice s'opposant aux variations de courant. Une bobine s'oppose aux variations brusques de courant.
II-THÉORÈMES GÉNÉRAUX
II.1. Les lois de Kirchhoff
Les lois de Kirchhoff sont constituées de la loi des mailles, qui traite des tensions, et de la loi des nœuds, qui traite des courants.
II.1.1. Loi des nœuds
La loi des nœuds stipule que la somme algébrique des courants entrants dans un nœud est égale à la somme des courants sortants. Cela signifie qu'il n'y a pas d'accumulation ou de perte de charge à l'intérieur d'un nœud.
II.1.2 Loi des mailles
La loi des mailles énonce que la somme algébrique des tensions le long d'une maille fermée (un chemin fermé dans un circuit) est nulle. L'application de la loi des mailles nécessite le choix préalable de sens de parcours : la tension est comptée négativement si elle est dans le sens du parcours, et positivement si elle est dans le sens contraire.
Méthode de résolution :
- Attribuer une lettre à chaque nœud, puis compter le nombre de nœuds N du circuit.
- Compter le nombre de branches B, puis indiquer les courants qui passent dans chacune d’elles (I1, I2...IB) sans oublier de leur donner arbitrairement un sens.
- Appliquer la première loi de Kirchhoff (loi des nœuds) aux nœuds, en notant que, en fait, on n’obtient jamais que N - 1 équations indépendantes.
- Appliquer la deuxième loi de Kirchhoff (loi des mailles) à autant de mailles qu’il faut pour obtenir un nombre d’équations indépendantes égal au nombre d’inconnues B, compte tenu des N - 1 équations indépendantes tirées de la première loi. Il faut donc tirer B - (N - 1) équations de la deuxième loi, ce qui revient à considérer B - N + 1 mailles. Elles doivent être choisies de façon à obtenir des équations indépendantes; en pratique, cela signifie que tous les courants doivent intervenir dans ces équations au moins une fois.
- Résoudre le système d’équations et en tirer les réponses demandées.
Exercice :
Mettre en équation le circuit suivant, pour déterminer le courant et la tension de la charge RL. Ce circuit comporte 6 mailles, 4 nœuds et 6 branches. Il nous faudra six équations indépendantes pour trouver les 6 courants. Notons également qu’on aurait pu en réalité écrire 10 équations, si on avait numéroté tous les nœuds, les équations supplémentaires sont redondantes (elles sont automatiquement vérifiées si les 6 équations précédentes le sont).
II.2. Les méthodes indirectes
Les méthodes indirectes sont basées sur les lois de Kirchhoff. Elles visent à simplifier le réseau et à fractionner la difficulté en faisant des calculs partiels.
II.2.1 Méthode des mailles indépendantes
Dans un réseau, une branche peut être utilisée une seule fois. La maille qui contient cette branche est appelée maille indépendante. Son courant est conservé comme courant principal. Cette méthode permet de réduire le nombre d'équations à résoudre en se concentrant sur les courants de mailles.
II.2.2 Méthodes des nœuds indépendants
Cette méthode convient bien à un filtre en π. Elle consiste à déterminer les tensions aux nœuds du circuit par rapport à un nœud de référence. Le coefficient de la tension d'un nœud donné est la somme des admittances de toutes les branches connectées à ce nœud, tandis que le coefficient de la tension d'un nœud voisin est l'admittance de couplage entre les deux nœuds.
II.2.3 Réduction d’un réseau par la méthode des circuits dérivés
Si l’on ne veut pas tout calculer dans un réseau, mais seulement le courant dans une certaine branche, on peut souvent remplacer le réseau par un réseau équivalent. La méthode du schéma équivalent est très importante en électronique pour simplifier l'analyse de circuits complexes.
II.2.3.1 : Dérivation simple
La dérivation simple fait référence à la simplification de branches parallèles ou séries pour obtenir une résistance ou une impédance équivalente, rendant le circuit plus facile à analyser.
II.2.3.2 Théorème de superposition
Le théorème de superposition stipule que l’intensité du courant circulant dans une branche d’un réseau contenant plusieurs sources indépendantes est égale à la somme algébrique des intensités créées dans cette branche par chaque générateur supposé seul (les autres étant éteints, c'est-à-dire les sources de tension remplacées par un court-circuit et les sources de courant par un circuit ouvert).
II.2.3.3 Théorème de Millman
Le théorème de Millman permet de déterminer le potentiel d’un nœud où aboutissent des branches composées d’un générateur de tension réel (source de tension en série avec une résistance). Il est particulièrement utile pour les circuits avec plusieurs sources connectées au même nœud. Pour le démontrer, on peut considérer chaque branche comme un générateur de courant équivalent selon Norton, puis appliquer la loi des nœuds.
II.2.3.4 Méthode du dipôle linéaire
C’est la méthode la plus préférée des électroniciens. Dans des réseaux complexes, on peut remplacer une portion du circuit par son équivalent limité à une branche composée d’une source et d’une impédance en série ou en parallèle. L’exploitation de cette portion de réseau est similaire au débit d’une source réelle dans une charge. Suivant que l’on assimile le réseau à une source de tension ou de courant, on distingue deux théorèmes : Thévenin et Norton.
a) Théorème de Thévenin
Le réseau compris entre deux nœuds A et B est équivalent à un générateur de Thévenin. Ce générateur est caractérisé par :
- Une force électromotrice (tension de Thévenin) égale à la tension qui apparaîtrait entre A et B à vide (circuit ouvert entre A et B).
- Une impédance interne (résistance de Thévenin) égale à l’impédance du dipôle vu des bornes A et B, toutes les sources indépendantes étant éteintes (sources de tension remplacées par un court-circuit, sources de courant par un circuit ouvert).
On suppose que :
- Aucun couplage magnétique n’existe entre la source (S) et le circuit de charge (C).
- Le circuit de charge (C) ne contient aucune source liée à une grandeur de la source (S) et réciproquement.
b) Théorème de Norton
Un réseau compris entre deux nœuds A et B est équivalent à une source indépendante de courant réelle en parallèle avec un dipôle composé d’admittance. Cette source de Norton est caractérisée par :
- Un courant électromoteur (courant de Norton) qui est le courant circulant entre A et B lorsque ces bornes sont court-circuitées.
- Une admittance de Norton, obtenue lorsque toutes les sources indépendantes sont éteintes, similaire à la détermination de l'impédance de Thévenin (l'admittance est l'inverse de l'impédance).
Exercice : Déterminer le générateur de Norton équivalent au circuit entre A et B et vérifier, en utilisant les résultats de l’exercice précédent, la correspondance Thévenin-Norton.
Exercice : Pour le circuit de la figure ci-dessous calculer le courant dans la résistance R : a) En utilisant directement le théorème de Thévenin b) En utilisant la correspondance Thévenin-Norton. a) À faire à la maison. b) En utilisant la transformation Thévenin-Norton.
II.3. Analyse Nodale des circuits
II.3.1. Analyse nodale KCL
II.3.2. Analyse nodale KVL
III- RÉSEAUX EN RÉGIME PERMANENT SINUSOÏDAL
III.1. Régime sinusoïdal
III.1.1. Grandeurs typiques en régime sinusoïdal
III.1.2. Notations de Fresnel
III.1.3 Les dipôles passifs linéaires
III.2. Les Quadripôles
II.2.1 Paramètres d’un quadripôle
II.2.1.1 Paramètres de chaînes
II.2.1.2 Paramètres impédances (Paramètres Z)
II.2.1.3 Paramètres admittances (Paramètres Y)
II.2.1.4 Paramètres Hybrides
II.2.2 Méthode de détermination des paramètres
II.2.3. Impédance d’entrée et de sortie
II.2.3.1 Impédance d’entrée
II.2.3.2 Impédance de sortie
II.2.4. Fonction de transfert d'un quadripôle : Réponse fréquentielle
II.2.4.1 Diagramme de Bode d'une fonction de transfert
II.2.4.2. Étude de quelques fonctions de transfert élémentaires :
a) Diagramme de Bode de l’élément proportionnel
b) Diagramme de Bode de l’élément différentiel
c) Diagramme de Bode de l’élément intégral
II.2.4.3. Fonction de transfert en cascade
VI. FILTRES DU PREMIER ORDRE
VI.1. Introduction
VI.2- Circuit RC
VI.2.1 Circuit intégrateur RC
VI.2.1.1 Réponse à une excitation échelon ou réponse indicielle
VI.2.1.2 Réponse à une tension rectangulaire (tension créneau)
VI.2.1.3 Réponse à une excitation sinusoïdale (Réponse fréquentielle)
a) Amplitude et déphasage de la fonction de transfert
b) Représentation graphique de la réponse en fréquence: diagramme de Bode
VI.2.2 Circuit différentiateur RC
VI.2.2.1 Réponse à une excitation échelon ou réponse indicielle
VI.2.2.2 Réponse à tension rectangulaire
VI.2.2.3 Réponse à une excitation sinusoïdale (Réponse fréquentielle)
Foire aux questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'un dipôle en électronique ?
Un dipôle est un composant électronique caractérisé par deux bornes, entre lesquelles une tension est appliquée et un courant circule. Il peut être linéaire (comme une résistance) ou non linéaire (comme une diode).
Quelle est la différence entre une source idéale et une source réelle ?
Une source idéale de tension ou de courant maintient sa valeur indépendamment de la charge, sans résistance interne. Une source réelle, en revanche, possède une résistance interne qui affecte sa performance en fonction de la charge connectée.
À quoi servent les lois de Kirchhoff dans l'analyse de circuits ?
Les lois de Kirchhoff (loi des nœuds pour les courants et loi des mailles pour les tensions) sont fondamentales pour l'analyse des circuits électriques. Elles permettent d'établir un système d'équations pour déterminer les courants et les tensions inconnus dans un réseau.