Electricité: électrostatique : Td n4 electrostatique des conducteurs
Télécharger PDFTravaux Dirigés d’Électrostatique – Électrocinétique
Université Ibn Tofail – ENSA Kénitra
Cycle Intégré Préparatoire aux Formations d’Ingénieurs
Année Universitaire 2012/2013
Exercice 4.1 : Électrostatique des Conducteurs
Trois petites sphères conductrices, isolées et identiques (S1), (S2) et (S3), de rayon R, sont placées dans le vide aux trois sommets d’un triangle équilatéral de côté a. Elles portent respectivement les charges Q1, Q2 et Q3.
1. Calcul des potentiels aux centres O1, O2 et O3
On pose α = a/R (avec α ≪ 1). Établir la relation matricielle qui exprime les potentiels Vi en fonction des charges Qi (pour i = 1, 2 ou 3). On notera cette matrice [D].
2. Matrice des coefficients de capacité et d’influence [C]
Si on écrit Vj = Σi=1 à 3 CijQj, où VΣ = Vj est le potentiel de la sphère j portant la charge Qj, on introduit la matrice [C] des coefficients Cij.
a) Détermination de la matrice [C]
La matrice [C] est l’inverse de la matrice [D].
b) Vérification des propriétés de [C]
Vérifier que :
- Cij est symétrique (c’est-à-dire que Cij = Cji).
- Les coefficients Cii sont positifs.
- Les coefficients Cij (pour i ≠ j) sont négatifs.
c) Expression des coefficients pour R ≪ a
Déterminer les coefficients Cij en fonction de R et a.
3. Opérations successives de mise à la terre
On effectue les trois opérations suivantes :
- La sphère (S1) est connectée à la terre pendant un temps suffisant pour rétablir l’équilibre électrostatique, puis la connexion est coupée.
- On répète la même opération avec la sphère (S2).
- On répète la même opération avec la sphère (S3).
Calculer les nouvelles charges Q'1, Q'2 et Q'3 (en fonction des charges initiales Q1, Q2, Q3 et de α) après ces trois opérations.
Exercice 4.2 : Sphères Conductrices Concentriques
Une sphère métallique (Σ) de centre O et de rayon R est reliée à la terre (potentiel nul). Elle est entourée par une sphère conductrice et concentrique (Σ') de rayons R1 = 8,6 cm et R2 = 10,8 cm, portant une charge Q2 et placée au potentiel V2 = 12 V.
1. Répartition des charges sur (Σ) et (Σ')
Donner la répartition des charges entre les deux sphères.
2. Calcul du potentiel en tout point
Calculer le potentiel V en tout point (le potentiel est nul à l’infini).
3. Charges sur chaque face des sphères
En déduire la charge sur chaque face des deux sphères en fonction de V2, R, R1 et R2. Calculer ces charges.
4. Coefficients d’influence et de capacité
Calculer les coefficients d’influence et de capacité C12 et C22.
5. Cas spécifique avec R = 0,99 cm, R1 = 1 cm et R2 = 2 cm
Recalculer les charges sur chaque face des deux sphères. En déduire les coefficients C12 et C22.
Exercice 4.3 : Sphères Métalliques Isolées
Une sphère métallique (S1) de rayon R1 = 9 cm porte une charge positive Q1 = 10−8 C.
1. Capacité et potentiel de (S1)
Quels sont la capacité C1 et le potentiel V1 de (S1) ?
2. Connexion à une autre sphère métallique (S2)
On relie (S1) à une autre sphère métallique (S2) de rayon R2 = 1 cm par un fil conducteur long et fin. (S2) est suffisamment éloignée de (S1) pour négliger l’influence mutuelle. Les charges superficielles sur le fil sont négligeables.
Calculer, à l’équilibre, les charges Q'1 et Q'2 portées par les deux sphères et la valeur du champ électrique au voisinage de chaque sphère.
FAQ
1. Comment calculer le potentiel d’une sphère conductrice isolée ?
Le potentiel V d’une sphère conductrice de rayon R portant une charge Q est donné par la formule V = kQ/R, où k = 1/(4πε0) est la constante de Coulomb dans le vide.
2. Pourquoi la matrice [C] est-elle symétrique ?
La symétrie de la matrice [C] découle du principe de réciprocité en électrostatique : l’influence d’une charge sur le potentiel d’un autre conducteur est identique à l’influence inverse.
3. Comment interpréter les coefficients négatifs Cij dans la matrice [C] ?
Les coefficients négatifs Cij (pour i ≠ j) indiquent que la présence d’une charge sur une sphère réduit le potentiel d’une autre sphère, en raison de l’interaction électrostatique entre elles.