Electricité: électrostatique : Td n4 electrostatique des conducteurs
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Cycle Intégré Préparatoire aux Formations d’Ingénieurs
UNIVERSITE IBN TOFAIL
Année Universitaire 2012/2013
ECOLE NATIONALE DES SCIENCES APPLIQUEES Cycle Intégré Préparatoire aux Formations d’Ingénieurs Physique 1 : électrostatique - Électrocinétique T.D N° 4 : électrostatique des Conducteurs Exercice 4.1. Trois petites sphères (S1 ), (S2 ) et (S3 ) conductrices, isolées,
identiques de rayon R, sont placées dans le vide aux trois sommets d’un triangle équilatéral de côté a. Elles portent respectivement les charges Q1 , Q2 , Q3 . 1. Calculer les potentiels aux centres O1 , O
2 et O3 . On posera : α=a R
(α << 1) Établir la relation matricielle qui exprime les potentiels V
i en fonction des charges Q
i avec i = 1, 2 ou 3. On notera cette matrice [D]. 2. Si on écrit avec j = 1, 2, 3 et où V∑ =j jijiVCQ j est le potentiel de la sphère j portant la charge Qj , on introduit la matrice [C] des coefficients de capacité et d’influence C
ij qui exprime les charges Q
i en fonction des potentiels Vi . a) Déterminer cette matrice en considérant que c’est la matrice inverse de celle définie à la première question. b) Vérifier qu’elle est symétrique, que les coefficients C
ii sont positifs et les coefficients C
ij négatifs. c) Déterminer ces coefficients en fonction de R et a pour R << a. 3. On fait les trois opérations suivantes : la sphère (S1 ) est connectée à la terre pendant un temps suffisamment long pour que l’équilibre électrostatique se rétablisse, puis la connexion est coupée. On refait la même opération avec (S 2
), puis avec (S3 ). Calculer les charges Q’1 , Q’
2 et Q’
3 (en fonction des charges Q1 , Q2 , Q
3 et α) des trois sphères après ces trois opérations. Remarque : La matrice des coefficients d’influence [C] est l’inverse de la matrice [D]. Elle s’obtient : ])[(]det[ 1][][ 1Dcom DDC t== −
• la matrice transposée est obtenue en échangeant les lignes et les colonnes. ][Dt la matrice complémentaire
est obtenue en remplaçant chaque élément par le cofacteur
correspondant, c’est-à dire le déterminant obtenu en barrant la ligne et la colonne du terme considéré, affecté du signe : ])[(Dcomt + si la somme i + j est paire,
– si la somme i + j est impaire. • det[D] est le déterminant ∆ de la matrice [D]. Exercice 4.2. Une sphère métallique (Σ) de centre O et de rayon R est reliée à la terre (potentiel nul). On l’entoure par une sphère conductrice et concentrique (Σ’) de rayon R
1 et R
2 portant une charge Q
2 et placée au potentiel V2 =12 V. On donne : . cmRetcmRcmR108,621 ===
Avec :9 010.9 41 =
πε S.I. Hassan Mharzi
Travaux dirigés d’électrostatique - Électrocinétique 1
Université Ibn Tofaïl – ENSA Kénitra
Cycle Intégré Préparatoire aux Formations d’Ingénieurs 1. Donner la répartition des charges sur (Σ) et (Σ)’. 2. Calculer le potentiel V en tout point (le potentiel est nul à l’infinie). 3. En déduire la charge sur chaque face des deux sphères en fonction de V2 , R, R
1 et R2 . Calculer ces charges. 4. Calculer les coefficients d’influences et de capacités C
12 et C
22 des deux sphères. 5. Dans le cas où R = 0.99 cm, R
1 = 1 cm et R
2 = 2 cm. Recalculer les charges qui apparaissent sur chaque face des deux sphères. En déduire les coefficients C
12 et C22 . Conclusion. Exercice 4.3. [*]
Une sphère métallique (S1 ) de rayon R
1 = 9 cm porte la charge positive Q1 =10−8 C. 1. Quels sont la capacité C
1 et le potentiel V
1 de (S1 ) ? 2. On relie (S1 ) à une autre sphère métallique (S2 ) de rayon R
2 = 1 cm, par un fil conducteur long et fin.(S 2
) est suffisamment éloigné de (S1 ) pour négliger
l’influence mutuelle de (S1 ) et (S2 ). Les charges superficielles sur le fil fin sont supposées négligeables. Calculer, à l’équilibre, les charges Q’
1 et Q’
2 portées par les deux sphères et la valeur du champ électrique au voisinage de chaque sphère. [*] (A faire comme devoir à la maison) Hassan Mharzi
Travaux dirigés d’électrostatique - Électrocinétique 2