Electricité: électrostatique : Travaux dirigés d’électricité 1
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2013-2014
Faculté des Sciences
Département de Physique Travaux dirigés d’Electricité 1 SMP/SMC/SMA/SMI Série 1 I/ Deux charges ponctuelles placées comme l’indique la figure 1. Etudier, en fonction de x, les variations de l’intensité de la force électrostatique 01F qui s’exerce sur q1 . Etudier les variations de la composante de cette même force sur l’axe des X. Conclure. II/ Un système moléculaire est équivalent à quatre charges de valeur q et une cinquième charge de valeur Q placées comme le montre le schéma de la figure 2. Déterminer la valeur de Q pour que tout le système soit stable. III/ Deux charges ponctuelles de même valeur +q sont placées respectivement en A(-a,0) et B(a,0). Calculer le champ électrostatique au point M(0,y). Tracer les variations du champ en fonction de y (y>0). En déduire au point M l’expression de la force électrostatique. IV/ Un segment de droite AB, de longueur 2a, porte une distribution continue de charges dont la densité linéique λ supposée positive est uniforme. On prend cette droite comme axe des X; l'origine O étant au milieu de AB. Soit OY l'axe perpendiculaire à OX. 1- En considérant deux éléments de charge centrés en deux points P
1 et P2 , symétriques par rapport à l'origine O, montrer que le champ électrostatique sur l'axe OY est porté par ce dernier. 2- Calculer la valeur de ce champ. 3- Examiner ce que devient l'expression obtenue quand la distance AB augmente indéfiniment
. 0q 1q 0 01F x
Figure 1q qq qQ aa Figure 2 http://http:// M. Chafik 2
V- Un disque plan circulaire de rayon R porte une distribution de charges superficielle uniforme de densité σ. Un point M de l'axe de révolution du disque est repéré par sa distance z au centre O. 1- Calculer E(M) 2- En déduire le champ crée par un plan infini. VI- Une charge q est placée au centre d'une sphère de rayon r. Soit E le champ électrostatique crée par cette charge. Calculer le flux de
E à travers la sphère. La charge q est maintenant placée au centre d'un cylindre de rayon R et de hauteur 2L. Calculer le flux de E à travers le cylindre. La charge q est maintenant placée entre deux plan P
1 et P
2 parallèles et indéfinis. Calculer le flux de E à travers ces deux plans. Quelle conclusion fondamentale peut-on tirer de cette étude ? VII- On considère la surface fermée d'un cube d'arête a placé dans une région de l'espace où règne un champ électrostatiquei2 xE= 1- Calculer le flux du champ électrostatique à travers la surface total du cube. 2- En déduire la charge intérieure du cube. 3- Retrouver la charge totale dans le cube en calculant, en tout point de l'espace, la densité volumique de charges ρ. VIII- Soit une sphère, de centre O et de rayon R portant une charge répartie en volume avec une densité ρ non constante. Calculer le champ électrostatique en un point M à la direction r' de O (r' > R) dans les deux cas suivants : 1- ρ = a roù 0 < r < R 2- ρ = b / r IX- On considère deux distributions de charges dont le champ électrostatique est donnés par : j2 y2 xaiaxy21 E −+= kbz2jay2iax22 E−−−= Déterminer dans chacun des cas la densité volumique de charges ρ. Ej YZ Xa Figure 3i khttp:// http://
M. Chafik 3Année Universitaire
2013-2014
Faculté des Sciences
Département de Physique Travaux dirigés d’Electricité 1 SMP/SMC/SMA/SMI Série 1 Solution I/u xqq k01 F2 10= AvecSI10.9 41 k9 0== πε
, l’intensité ou module est 210 01x qqkF= La variation de F
01 par rapport à x serait : La composante unique F01x sur OX
peut prendre des valeurs positives ou négatives, la variation serait : Plus x est faible, (q 1 s’approche de q0 ) plus F
01 est grande. Quand les deux charges entrent en contacte, la force devient infinie pour reprendre des valeurs finies de l’autre coté de x = 0. La force coulombienne est discontinue à la traversée d’une zone (ici un point ponctuel et en général une surface sans épaisseur) chargée. II/ On numérote les sites des charges. On applique la somme des forces = 0 sur toutes les charges. Le choix de 52
F est au hasard. De toute façon la résultante doit s’annuler. Comme il y a deux types de charges q et Q et vu la symétrie du problème, on n’étudiera par exemple que les sites 2 et 5. La somme des forces = 0 appliquée sur Q ne donnera que 0 = 0. Il reste le site 2 : 0
52423212=+++ FFFF 54 32 142 Fq qq qQ aa 32F 12F 52F 0q 1 q0 01F x
Figure 1 F01 x F01x xhttp:// http://
M. Chafik 402 21 02 25431 25 24 22 32 21 22 = +++ =+++
uQuququqa qk ua qQku aq kua qku aq k
On projette su r OX : q6,024 22qQ 42 1q2Q:Soit0 22 Q22 2q 21 qa qk 04 cosQ24 cosq2 1q aq k2 2−= +−= +−== ++= ++ππ Noter que la projection sur OY donnerait la même équation. III/() BA22 0B 220 A22 0BA uuya q4 1u yaq 41 uya q4 1EEE ++ =+ ++ =+=πεπεπε La somme vectorielle des vecteurs unitaires est un vecteur appartenant à l’axe OY, donc le champ total est porté par OY
. Projection sur OY : θπε sin2ya q4 1E 220 += . Soit : () 23 220 yay2 4q E+ =πε et donc () jya y24 qE 23 220 += πε( )( )( )3 2222 21 220 2ya y2aya24 qa'E +−+ =πε , La dérivée de E a le signe de( )22 y2a
−, le reste de l’expression est toujours positif. Donc E’ ≥ 0 si y est comprise entre 2a y2 a
≤≤− et il est négatif à l’extérieur de ces racines. Comme le problème est limité aux y ≥ 0 nous avons :y 02 a+ ∞E’(y) ++ +- -- E(y)
0 20 a1 4q 334 Eπε =0 BE AE YX M+q +qθ Au Bu http://http:// M. Chafik 5
Le champ passe par un extremum, s’annule à l’infini et au centre entre les charge. Le champ ici reste continu. Bien entendu au point M il n’y a pas de charge donc il n’y a pas de force électrique. IV/ 1- dl1 créeau pointM lechamp élémentaire1 dE
faisant θavec la
verticale,dl 2
symétrique à dl
1 par rapport à OY crée au point M le champ 2
dE symétrique aussi à 1dE . Le champ résultant dE
est donc porté par OY
. En considérant, de cette façon, deux à deux tous les éléments
symétriques, nous obtenons un champE total porté par OY
. 2-Le champ
élémentaire
résultantest :() 212 021 uur dl4 1
dEdEdE+=+=λ πε
Où dl = dl1 =dl2 Projection sur OY : θλ πεα λπε cos2r dl4 1sin2 rdl 41 dE2 02 0== Avecr ycos=θ , yl tg=θ et doncy dlcos d2 =θ θ
, nous aurons : θθ θθ πελ cos2y coscos yd4 dE2 22 0= Soit après simplificationθθ πελ dcosy4 2dE 0= . Le champ total sera après intégration : 10 10 0sin y42 dcosy4 2Eθ πελ θθπε λθ ==
∫ . Avec 221 aya sin+ =θ
L’intégrale porte sur la moitié de la longueur chargée puisque l’on a considéré au début deux éléments de charge. D’où22 0ayy a2 )y(E+ =πε λ
3- Si a devient infinie, alors y1 2)y(E 0πε λ
= . C’est le champ, au point M, crée par un fil infini portant une distribution linéique de charge. MdE αθ P
2 OP 1 1dE 2dE EX dl
1 dl
2 http://http:// M. Chafik 6
V- 1- dS
1 contient dq
1 et crée au point M le champ élémentaire 12 11 01 uMO dq4 1dE πε= faisant l’angle θ avec OZ
. dS
2 symétrique à dS
1 contient dq
2 = dq
1 et crée au point Mle champ
élémentaire2 22 20 2u MOdq 41 dEπε =
faisant le même angle θ
avec OZ
. Si l’on note dq = dq
1 = dq
2 et sachant que O1 M = O2 M
, alors le champ résultant sera
forcement porté par OZ : ()21 21 021 uuMO dq4 1
dEdEdE+=+=
πε où ρ = O1 O = O2 O
. Projection sur OZ : απε sin2MO dq4 1dE 21 0
= ou θπε cos2MO dq4 1dE 21 0= . Avec dq = σ dS
, MOz cos1 =θ
, ztg ρ
θ= et doncz dcos d2 ρθ θ= , nous aurons : θθ πεσ cos2cos zdS 4dE 22 0= . En coordonnées cylindrique dS = ρ dρ dφ
. Le champ total sera : φθθπε σθ φθ θθ πεσ θφρρ πεσ ddsin4 2cos zd cosdz tgz4 2cos zdd 42 dE0 32 20 32 0=== . Si l’on intègre : ()πθ πεσ φθθπε σθ π2cos1 42 ddsin4 2E 00 02 00 0−== ∫∫ . Avec 220 zRz cos+ =θ
L’intégrale porte sur la moitié de la surface chargée puisque l’on a considéré au début deux éléments de charge. D’où + −=22 0zR z1)z(E εσ 2- Z => +∞,0 )z(Eε σ= est le champ crée par un plan chargé en surface. VI- 1/u Rq 41 E2 0πε = est le champ électrostatique crée par q en tout point M de la surface de la sphère. Par définition le flux de
E à travers la sphère est ()∫∫ =S dSES/EΦ
. Or E et dS
sont parallèles. Le flux devient : ()∫∫ =S EdSS/EΦ . Comme E ne dépend que de R et que tous les points de S sont à dS
q Eu 1u O
1 O
2 MO αθ dS
2 dS1 dE1 dE2 dEhttp:// http://
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la même distance R de O
, le module du champ est uniforme : ()0 22 0S qR4 Rq 41 ESdSES/Eε ππε Φ==== ∫∫
2- Le cylindre est composé d’une surface latérale S
L et de deux surfaces de bases S
B1 et SB2 . Le flux de
E à travers le cylindre est ()
∫∫∫∫∫∫∫∫++== SSSS
dSEdSEdSEdSES/EΦ
. ∫∫∫∫∫∫++= 2SB22B2B 1SB11SB1B SlLLL cosdSEcosdSEcosdSEθθθAvec 2L 0L rq 41 Eπε =, 21 01B rq 41 Eπε =et 22 02B rq 41 Eπε =
. Si ΩL , Ω
1 et Ω
2 sont les angles solides sous lesquels on observe du point O respectivement les surface SL , S
B1 et S
B2 alors l’expression du flux devient : ()() ππε Ωπε ΩΩΩπε θθθπε Φ4 4q 4q 4q rcosdS rcosdS rcosdS 4q S/E00 2B1BL0 SLSl2 222B 1SB2 111B 2L LL0 ==++= ++=∫∫∫∫∫∫ Où Ω = 4
π est l’angle solide sous lequel on observe tout l’espace. On retrouve ()0 qS/E εΦ= De même pour deux plans on retrouve le même rapport q/ε 0 car l’angle solide sous lequel on voit un plan est 2
π Srd et donc l’angle solide sous lequel on voit deux plans est 4
π Srd (espace). Remarque : - les surfaces étudiées sont toutes fermées. Deux plans parallèles et espacés sont considérés comme une surface fermée. Conclusion : Le flux du champ électrique crée par une charge à travers une surface fermée contenant la charge est toujours égal au rapport q/ε 0 : théorème de Gauss. VII- 1- i2 xE=
possède une seule composante. Le champ sera donc perpendiculaire à tous les vecteurs de surface (flux nul) sauf ceux des faces parallèle au plan OZ. Le flus total est alors : ()∫∫∫∫ +=2S 22 1S1 2
dSixdSixS/EΦ
Or sur le plan appartement à OYZ
x = 0 et sur le plan parallèle x = a d’où : ()422 S2 aaa0dSaS/E==+=∫∫ Φ
2- La surface étant fermée,() 04 qaS/E εΦ ==
, soit 04 aqε=
3- On utilise l’équation de Poisson : 0Ediv ερ =
Ce qui nous emmène à : 02 dxdx ερ = soitx2 0ερ= . La densité n’est pas uniforme mais varie linéairement avec x
. C'est-à-dire que l’on a des plans "équicharges" tous parallèles à OYZ
. Sur le θ l 2BE 1BdS ldS lE 1BE 2BdS θ
2 θ
1 2lR qr 2 r
l r
1 http://http:// M. Chafik 8
plan OYZ (
x = 0
) il y a absence de charges. Plus on s’éloigne plus la quantité de charges augmente. La charge contenue dans le cube est la somme de toutes ces charges. Soit dans le cube un volume élémentaire dV contenant la charge dq. On peut écrire : dVdqρ=
. La charge du cube serait : ∫∫∫∫∫∫∫=== a0 a0 a0 0cubedu volume0 cubeduvolume dzdyxdx2xdxdydz2dVqεερ
Et on retrouve 04 aqε=
VIII- Théorème de Gauss : ∫∫∫∫∫= v0 Sdv 1dSEρ ε
où S est la sphère de Gauss de centre O et de rayon r’
. v est le volume chargé. 1- ∫∫∫∫∫∫== ππφθθ εφθθ επ 02 0R 03 0v 20 2
ddsindrra dddrsinrra 'r4E2 04 24 0'r 14 aR'r 122 4R 4a Eε ππε ==
2- ∫∫∫∫∫∫== ππφθθ εφθθ επ 02 0R 00 v2 02 ddsindrrb dddrsinrr 1b
'r4E2 03 23 0'r 13 bR'r 122 3R 4b Eε ππε ==
IX- On utilise l’équation de Poisson : 0Ediv ερ =
a2ay2Ediv1 −=
=>() 1ya20 −=ερ
. ρ est une fonction de y
b2a4b2a2a2Ediv2 −−=−−−=
=>() ba220 +−=ερ . ρ est uniforme http://http:// M. Chafik 1Année Universitaire
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Département de Physique Travaux dirigés d’Electricité 1 SMP/SMC/SMA/SMI Série 2 I- Un anneau fin de rayon R porte une densité linéique de charges λ qui varie avec l'angle des coordonnées polaires θ selon la loi λ = λ
o cosθ. λ
o une constante positive. Calculer le potentiel et le champ au centre de l'anneau.
II- 1- Calculer le champ et le potentiel crées, en tout point M de l'espace, par une distribution volumique de charges, de densité uniforme ρ, contenue entre deux sphères concentriques de rayon R
1 et R
2 (R
1 < R2). 2- Tracer les courbes E(r) et V(r) avec r = OM. E et V sont-ils continues ? 3- Retrouver les valeurs de E et V si R
1 tend vers R2 . E et V reste-ils continues ?
III- Un dipôle électrique de moment dipolaire
iqap= est constitué de deux charges ponctuelle -q et +q placées dans le vide aux points A et B de l'axe OX de part et d'autre de O. La distance AB = a. Un point M éloigné des charges est repéré par ses coordonnées polaires r et θ. 1- Calculer V(M). 2- En déduire le module et l'orientation du champ électrostatique au point M. Le dipôle est maintenant placé dans un champ extérieur uniforme E
0 orienté suivant l'axe OX. Le potentiel de ce champ est nul à l'origine O 3- Donner l'expression du potentiel électrostatique au point M. 4- Quelles sont les surfaces équipotentielles V = 0 http://http:// M. Chafik 2Année Universitaire
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Département de Physique Travaux dirigés d’Electricité 1 SMP/SMC/SMA/SMI Série 2 - Solution I- Remarquons d’abord que les charges sont concentrées autour de θ = 0 et θ = π et qu’il y a absence de charge à θ = ± π/2. On peut chercher le champ et le potentiel en un point quelconque de l’axe OZ et les appliquer au centre. En plus le cosinus est positif quand 0 < θ < π/2 et il est négatif quand π/2 < θ < π ()
jsinicosjsinicosR dq4 1u Rdq 41 uR dq4 1dEdEdE 20 22 01 20 21θθθθ πεπεπε
+−−−=+=+=() icosR dl4 2icos2 Rdq 41 dE2 02 0θ λπε θπε −=−= =>
E est porté par OX et il est opposé à i dl = Rdθ, la seule variable dans cette expression est θ. i4 2sin2R 14 2id 22cos1 R1 42 idcosR 14 2E 00 00 00 02 00 πππ θθπε λθ θπε λθθ πελ +− =+ −= −= ∫∫i 2R1 42 E0 0π πελ− = Soit iR 14 E0 0ε λ−= En M le potentiel crée par une charge élémentaire dq = λ dl est : 20 02 0R dRcos4 1R dl4 1dV θθλπε λπε ==soit 0dcosR4 V2 00 0== ∫π θθπε λ
En O, le potentiel des charges plus compense celui des charges négatives de sorte que le potentiel total soit nul. N.B : expliquez aux étudiants que l’on ne peut pas utiliser ici la relation VgradE−=
II- 1- En un point M de l’espace le champ est radial et il est constant sur tous les points ayant la même distance r de O. ∫∫∫∫∫= Sv0 dv1 dSEρ
ε S étant la surface de Gauss et v le volume chargé inclus dans S. θ2 u2 dE1 u1 dE- -- -- -- -- -+ ++ ++ ++ ++ +http:// http://
M. Chafik 3
► Si r > R2 , ()1 32 30 2RR 34 r4E−=π ερ π soit ()2 03 13 2r 13 RRE ερ− = VgradE−=
<=> ()r 13 RREdrV 03 13 2ε ρ−=−= ∫
, la constante d’intégration est nulle car V(∞) = 0
► Si R2 > r > R1 , ()1 330 2Rr 34 r4E−=π ερ π soit ()2 133 0r Rr3 E− =ε ρ
VgradE−=
<=> 13 12 0C rR 2r 3EdrV+ +−=−=∫ ερ ► Si r < R1 , absence de charge dans la surface fermée, E = 0
. V = C2 . Détermination de C
1 et C2 Quand M est à la distance R
1 de O : )r(Vlim)r(Vlim11 RrRr−+ −−= ff
. Soit 11 31 21 02 CR R2 R3 C+ +−= ερ A la distance R
2 de O : )r(Vlim)r(Vlim22 RrRr−+ −−= ff
. Soit ()20 31 32 12 31 22 0R 13 RRC RR 2R 3ε ρε ρ− =+ +− =>2 20 1R 323 Cε ρ
= et donc ()2 12 20 2RR 323 C−=ε ρ
On regroupe les résultats dans le tableau : r > R2 ()2 03 13 2r 13 RRE ερ− =() r1 3RR V0 31 32 ερ− =R 2
> r > R1 ()2 31 30 rRr 3E −= ερ +−−= r2R2r 2R3 3V 31 32 20 ερ r < R1 E = 0 ()2 12 20 RR32 3V−= ερ 2- R1 R2 rE R2R1http:// http://
M. Chafik 4
Le champ et le potentiel sont des fonctions continues à la traversée d’un volume chargé. 3- Si R
1 tend vers R2 , on obtient une seule sphère chargée en surface de distribution :2 R4Q πσ= Deux cas uniquement sont possibles r < R et r > R
. On peut rappliquer le théorème de Gauss ou directement remplacer ρ par son expression en fonction de la charge. r > R2 02 r1R Eε σ= r1R V0 2ε σ= r < R
E = 0 0R Vε σ= III/ 1- rV R1
R2 Er E θE α θ θe r
e MO HH’ a
-q qB A r = OM = OH + HM r
1 = AM = AH’ + H’M r
2 = BM r >> a => θ ≈ αhttp:// http://
M. Chafik 521 210120 rrrr 4q r1 r1 4q )M(V− = −= πεπεrcos 2a M'H'AHr1 +≈+=αet 2rcos 2a HMOHr+≈+=θ
On en déduit : θcosarr 21≈− et22 22 21rcos 4a rrr≈−=θ Soit : 20 rcosa 4q )M(Vθ πε= 2- VgradE−= => 30 rr cosa24 qr VE θπε =∂ ∂
−= et 30 rsina 4qV r1 Eθ πεθθ =∂ ∂−= 1cos3r a4 q
sinacosa4r 14 qEEE 23 02222 30 22r +=+=+=θπε θθπε θ
L’orientation du champ peu être définie par l’angle φ que fait E avec OM : θφθ tg2 1E Etg r== 3- Le nouveau potentiel est la somme du potentiel du dipôle et du potentiel extérieur issu de E0 . V’ (M) = V(M) + V0 . iEE0 0
= et la relation VgradE
−= donnent : ∫+−=−= CtexEdxEV000 A l’origine V0 (O) = 0 => Cte = 0
, d’où V
0 = - E
0 x
. avec x = r cosθ
. θθ πεcosrE rcosa 4q )M(V0 20 Total−= 4- V
Total = 0 =>0cosrE ra 4q 02 0= −θ πε
=> 0rEr a4 q0 20 = − πε et dans ce cas3 00E a4 qr πε= , ce qui définit une sphère de rayon r et de centre O comme surface équipotentielle. Ou cosθ = 0 => θ = π / 2
, ce qui définit le plan médiateur OY comme surface équipotentielle. http://http:// M. Chafik 1Année Universitaire
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Département de Physique Travaux dirigés d’Electricité 1 SMP/SMC/SMA/SMI Série 3 EXE 1 Soit deux sphères conductrices S et S', de rayon R et R', reliées par un fil conducteur. On porte l'ensemble à un potentiel V. 1) Exprimer le rapport Q/Q' de charges portées par chacune des sphères. En déduire le rapport σ/σ'. 2) En déduire des conséquences pratiques sur un corps chargé et relié au sol et sur les pouvoirs des pointes. N.B. : On suppose que le fil est assez long de façon que le potentiel de chaque sphère ne peut être du qu'à l'influence de ses propres charges. EXE 2 Une sphère conductrice S, de rayon R, et de centre O, est placée dans le vide de permittivité relative égale à 1. L'origine des potentiels est prise à l'infini. 1) La sphère S porte une charge Q0 . Quelle est son potentiel V et sa capacité C. 2) On approche de S une deuxième sphère, conductrice et chargée, de centre O' et de rayon R'. La distance OO' = d (d = 2R = 4R'). S est maintenue au potentiel V et celui de S' est V'. a- Calculer, en fonction de R, V et V', les expressions de la charge Q de S et de la charge Q' de S'.
b- En déduire les expressions des coefficients, C11 , C12 , C
21 et C22 . Expliquer la signification de chacun de ces coefficients. EXE 3 On considère un ensemble de charges +q, +q, -q, -q placées respectivement aux sommets A, B, C et D d'un carré de coté a : Calculer l'énergie électrostatique du système. EXE 4 Calculer la capacité d'un condensateur cylindrique de rayon intérieur R1 , de rayon extérieur R
2 et de hauteur h. EXE 5 On charge un condensateur C sous une différence de potentiel V0 . C étant isolé on le relie à un autre condensateur C' initialement neutre. Calculer les charges portées par chaque condensateur ainsi que leurs d.d.p. http://http:// M. Chafik 2Année Universitaire
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