Electricité: électrostatique : Travaux dirigés d’électricité 1
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I/ Deux charges ponctuelles
L’intensité de la force électrostatique F01 exercée sur q1 en fonction de x est donnée par : F01 = k·q0·q1/x2.
La composante de cette force sur l’axe des X est : F01x = ±k·q0·q1/x2, selon le signe des charges.
Pour x faible, la force devient très grande. À l’approche des charges (x = 0), la force tend vers l’infini. La force coulombienne est discontinue à la traversée d’une zone chargée.
II/ Système moléculaire équivalent à cinq charges
Pour que le système soit stable, la valeur de Q doit être déterminée en annulant la résultante des forces sur toutes les charges. En étudiant les sites 2 et 5, on obtient : Q = -q·cos(π/4).
III/ Deux charges ponctuelles de même valeur +q
Le champ électrostatique au point M(0,y) est donné par : EM = 2q·y/(4πε0(y2 + a2))3/2.
Pour y > 0, le champ passe par un maximum, s’annule à l’infini et au centre entre les charges. Le champ reste continu.
Au point M, il n’y a pas de force électrique car il n’y a pas de charge.
IV/ Segment de droite AB avec densité linéique uniforme λ
1. En considérant deux éléments de charge symétriques par rapport à l’origine, on montre que le champ électrostatique sur l’axe OY est porté par ce dernier.
2. Le champ électrostatique au point M(0,y) est : EM = λ/2πε0·(sin(α) + sin(-α)) = λ/πε0·(a/(y2 + a2)).
3. Quand la distance AB tend vers l’infini, le champ devient : EM = λ/2πε0y, correspondant au champ créé par un fil infini.
V/ Disque plan circulaire avec densité superficielle uniforme σ
1. Le champ électrostatique au point M(0,0,z) est : EM = σ/2ε0·(1 - z/(z2 + R2)).
2. Pour un plan infini, le champ électrostatique est constant et vaut : EM = σ/2ε0.
VI/ Flux du champ électrostatique à travers différentes surfaces
1. Le flux de E à travers la sphère est : Φ = q/ε0.
2. Pour un cylindre, le flux est : Φ = q/ε0.
3. Pour deux plans parallèles et indéfinis, le flux est : Φ = q/ε0.
Conclusion : Le flux du champ électrique créé par une charge à travers une surface fermée contenant cette charge est toujours égal à q/ε0 (théorème de Gauss).
VII/ Cube dans un champ électrostatique uniforme
1. Le flux du champ électrostatique à travers la surface totale du cube est : Φ = 4a2·Ex.
2. La charge intérieure du cube est : q = 4a3·ε0·Ex.
3. La densité volumique de charges est : ρ = 2ε0·Ex.
VIII/ Sphère avec densité volumique non constante
1. Pour ρ = a (où 0 < r < R), le champ électrostatique en un point M est : EM = a·r2/3ε0.
2. Pour ρ = b/r, le champ électrostatique en un point M est : EM = b·r/3ε0.
IX/ Densité volumique de charges pour deux champs donnés
1. Pour le premier champ, la densité volumique est : ρ = 1/ε0·(a2y2 + 2a2y)·e-a2y.
2. Pour le second champ, la densité volumique est uniforme et vaut : ρ = b/ε0.
FAQ
Qu’est-ce qu’une force électrostatique discontinue ?
Une force électrostatique est discontinue lorsqu’elle subit une variation brutale à la traversée d’une zone chargée (comme un point ponctuel ou une surface sans épaisseur). Cela signifie que sa valeur passe instantanément d’une valeur finie à une autre ou à l’infini.
Comment calculer le champ électrostatique d’une distribution continue de charges ?
On utilise la loi de Coulomb pour les éléments de charge infinitésimaux, puis on intègre sur toute la distribution. Par exemple, pour un segment de droite, on considère des éléments de longueur dl et on projette le champ élémentaire sur l’axe d’étude.
Quelle est la signification du théorème de Gauss ?
Le théorème de Gauss stipule que le flux du champ électrique à travers une surface fermée contenant une charge est toujours égal à q/ε0. Cela permet de simplifier le calcul du champ électrique pour des distributions symétriques de charges.