Mécanique du point : Chapitre 6 oscillateurs harmoniques mécanique de point
Télécharger PDFObtenir le pack complet des cours, TDs, examens sur Mécanique du point!
Vous souhaitez maîtriser Mécanique du point ? Ne cherchez plus, nous avons le pack bien choisi pour vous.
Accédez à une collection complète des supports de cours, des travaux dirigés (TD) corrigés, examens...
Télécharger packPr. M. EL MOUDEN26/12/2014
Année Universitaire 2014‐20151
CHAPITRE 6 :
Oscillateurs harmoniquesq (La loi de force en – k.x)172 L’objectif de ce chapitre est l’étude des petits mouvements
d’un point matériel au voisinage d’une position d’équilibre
stable à l’aide d’un modèle: Oscillateur harmonique.
1) OSCILLATEUR HARMONIQUE NON AMORTI (libre)
1.1. Définition :
Par définition nous appellerons oscillateur harmonique à une
dimension un point matériel mobile sur un axe dont le mouvement
est décrit par une équation différentielle de la forme:2 2dx 2π173 20 20 dxx dtω+= avec:0 0T ω=
Toute fonction de la forme:ou: est solution de (1) avecφ,A,BetCsont des constantes ett
est le temps.00 cos()sin()xttωω=+AB0 cos()xtω=+Cφ
Remarque:
est la période du mouvement etCest l’amplitude.0 02 Tπ ω= (1)
1.2. EXEMPLE: Oscillateur vertical ™Une particule Mde masse mfixée à l’extrémité d’un ressort de longueur l
0 , de raideur k, suspendu à un point fixe
™La figure ci-dessous représente trois positions du ressort: Men mouvement
Men équilibrel 0l l0 zM le zP TM PT Etude de l’équilibre:0PT+= JG JGG
On a:avec: ()0 zez PmgeTklle ⎧= ⎪⎨ =− −⎪ ⎩
JG JGJGJG donc:() 00 e
mg k ll−−=(2) 174=0 Etude dynamique:
PT mγ+=JGJGG On a:avec: ()0 zez PmgeTkllze ⎧= ⎪⎨ =− − +⎡⎤ ⎪⎣⎦ ⎩JGJG JGJGdonc: k() 0e
mg k
llzmz−−+=⎡⎤⎣⎦ () 0e
mg k llkzmz−−−= 0e ll lΔ=−On pose:0 kzz m+= (3) 0
()cos()zttω=+0 zφ
Les constantesz0 etφsont calculées par les conditions initiales.
Le mouvement est périodique de période:0 02 Tπ ω= 20 km ω=
est solution de (3) avec:Soit: 02 mT kπ= 175
1.3. Détermination des énergies:
1.3.a. Energie cinétique: Ec 1.3.b. Energie potentielle: Ep ()2 c1 EmVM2 =JJJJJJG 2c 1Emz 2= ppp EE(P)E(T)=+GG Pour le poids:
On a:Soit:
On a:P G(3) Ce qui implique:
De même pour la force : Pour le poids :pp E/P -gradE∃=JJJJG Gp dEmg dz− =p dE
-k( lz)- dz
Δ+ =P TG Soit:p EmgzCte=− +pp E/T -gradE∃=JJJJG G
Ce qui implique:2 p1 Ek.l.z k.zCte2 =Δ++ Soit:176 L’énergie potentielleEp (M)deMest :
et en tenant compte de l’équation d’équilibre (2) on obtient :ppp E(M) E(P) E(T)=+GG 2p 1
E(M)mgz k. l.zk.z Cte2 =− + Δ ++
et si on suppose queEp =0à l’équilibre (z=0),Ep s’écrit :2 p1 E(M)k.z2 =2 p1 E(M)k.z Cte2 =+(4) (5)177 Pr. M. EL MOUDEN26/12/2014
Année Universitaire 2014‐20152
1.3.c. Energie mécanique totale: E
On a :E=Ep +Ec Soit : 2211 E= m.z + k.z22
Montrer que:∀∀tt,,EE==ctecte(6) Puisque :
En reportant ces deux expression dans l’équation (6), on obtient :
0000 ( )cos()z = -sin ()zttztωωωφ=+⇒+0 zφ 2200 1
E= m zCte2 ω=178 Remarques : 1) On peut vérifier de même que d’après l’équation (6):dE 0 ECtedt =⇒ =
2) Réciproquement si un mouvement est représenté par une équation de type :
multipliant cette équation par2(dz/dt) et en intégrant, on obtient:2 00zzω+= 222 0
zzCteω+= E = Cte1
Propriété:
L’énergie mécanique totale Eest constante pour tout système physique dont l’évolution obéit à une équation de type :
et multiplier par m/2:
et puisque :On obtient :2 0
X X0ω= +222 01 22mm zzCteω+= 2 0k mω= 2211 .. 122 mzk zCte+= 179
2) OSCILLATEUR AMORTI:
™Les oscillateurs réelsNON ENTRETENUS:
9n’oscillent pas indéfiniment,
9l’amplitude du mouvement décroît avec le temps,
9le système atteint une position d’équilibre,
9l’amortissement des oscillations est lié à une perted’éner gie du système auprofitdu milieuqui l’entoure.gypq
™Cette perte d’énergie est due à des forces de frottement qui
sont toujours opposées à la direction du mouvement.
™On adopte dans ce chapitre une force de fortement
proportionnelle à la vitesse et opposée au mouvement du type :
avec α=constante /R
F V(M)=−α
G JJJJJJG180 2.1. Equation de l’oscillateur amorti:
™Considérons comme dans 1), une masse mest suspendue à un ressort et supposons que M(m) soit soumise à une force de frottement visqueuse donnée par : où αest une constante /R
F V(M)=−α
GJJJJJJG(7) ™Le P.F.D nous donne:
On a:/R PTF m(M)++=γ
JG JG JG JJJJJJGz Pmg e=JGJJG z
Tk(lz) e=− Δ +JGJJG 2dz GJJGJJG zzdz F e z edt =−α=−αGJJGJJG et ,, zz2 ezedt γ==et et en tenant compte del’équation d’équilibre(1), on obtient:avec: : période de l’oscillateur en absence d’amortissement. 20 zzz20+λ+ω =
2 mα λ=
: paramètre qui caractérise le phénomène dissipatif2 0k mω= : pulsation de l’oscillateur en absence d’amortissement0 02 Tπ =ω (8)181 Posons:
™Ce tempsτest appelé le temps de relaxation de l’oscillateur:
Temps de relaxation de l’oscillateur:
™On appelle temps de relaxation
le temps que met le système pour atteindre sa position d’équilibre stable. 12 τ=λ ™D’après l’équation (8), l’unité du facteur d’amortissement λest s-1 donc 1/λest un temps.
τest le temps que met le système pour atteindre sa position d’équilibre stable zt τ182 Taux d’amortissement:
™On appelle taux (ou rapport) d’amortissement
le coefficient définit par: 0λ ξ=ω α
™ξest sans unité.0 2mk2k.m mξ= ωα =λ =183 Pr. M. EL MOUDEN26/12/2014
Année Universitaire 2014‐20153
2.2. Résolution de l’équation de l’oscillateur amorti:
Le type de l’équation d’un oscillateur amorti est de la forme
: Av e c : A noter quez(t) est l’élongation ou déplacement à l’instanttde l’O.H.2 0
zzz20+λ+ω =
2 mα λ=2 0k mω= (8)
On propose une solution de la forme:
En reportant cette expression dans l’équation (8), on obtient:rt z(t)e , avec r=∈^0 22
20rr+λ+ω=
La solution de cette équation (10), dépend du signe de:22 0
'Δ=λ−ω
1er cas:
2ème cas:
3ème cas:
'0Δ>'0Δ=
'0Δ<(9) (10)184 1er cas:
2ème cas:
'0Δ=
'0Δ<
Amortissementfaible(régime pseudo-période)
Lorsque l’amortissement estcritique(λ=ω0 ), on
nepeutplusparlerd’unoscillateurpuisquele
λ< ω0 λ = ω0 Zt Z
3ème cas:'0Δ>
nepeutplusparlerdunoscillateurpuisquele
système retourne à sa position d’équilibre sans
effectuer d’oscillation autour de cette position.
λ > ω0 Amortissement fort (régime fort)t Zt 185
2.2.1. AMORTISSEMENT FAIBLE(régime pseudo-période)(Δ’<0)
L’amortissement faible est caractérisé par
λ < ω
0 , dans ce cas:
L’équation (10) admet donc 2 solutions complexes
, soient :22 0
'0Δ=λ −ω <22 101
ri'ii=−λ+ −Δ =−λ+ ω −λ =−λ+ ω22 201
ri'ii=−λ− −Δ =−λ− ω −λ =−λ− ω
Avec :22 10
ω= ω−λ
La solution générale de l’équation (8) est donc une combinaison linéaire deet donc: 1rt e12 rtr t
z(t)AeBe=+
Où Aet Bsont des constantes.
En reportant l’expression de r1 et r2 dans z(t):() 11itit tz(t) eAeBeω−ω −λ=+ 2rt e186 ™En utilisant la formule de Moivre:
On peut écrire z(t) sous la forme suivante:
™On sait que z(t)est une élongation, donc cette solution z(t)est une valeur réelle
™En choisissant les coefficients arbitraires Aet Btels que: (A + B) soit réelet (A-B) soit imaginaire pur™ () ()()in ecos ni sin n n,θ =θ+ θ∀θ()() t11 z(t) eA B cos
tA B i sint −λ⎡⎤ =+ω+− ω⎣⎦ ™Dans ce cas :
‰l’amplitude initiale(t=0)=a0 et laphaseφsont deux
constantes déterminées par les conditions initiales.‰ ω1 est la pulsationde l’oscillateur amorti, donnée par:[] t11 z(t) eCcos t Dsin t−λ =ω+ ωou ()t 01z(t) a ecost −λ=ω+φ 22210 ω=ω −λ1 12 Tπ =ω ‰T
1 est la périodede l’oscillateur amorti est donnée par:où: 187
‰Représentation graphique dez(t):() t01 z(t) a ecost −λ=ω+φ Cette solutionz(t) représente un oscillateur amorti depériodeT1 telle que:.1 12 Tπ =ω 22210 ω=ω−λ0 12 TT 1-= ⎛⎞λ ⎜⎟
Et puisque:Donc: Et d’amplitudedécroissante exponentiellement en fonction de t0 ae−λ 01 ⎜⎟ω ⎝⎠188 9Conditions initiales:
9Conditions initiales:0 A t=0: z(0) = 0 et Vz(0)0=≠ 00 A t=0: z(0)=a0 et Vz(0)0≠== a 0O Z(t)O Z(t)-t 0ae λ-t 0
-a eλ T1 Remarque:2 02 01 λλω⇒ ω 122 20 10 02 000 T1 TT1T12 1− ⎛⎞⎡ ⎤⎛⎞⎛⎞ λλ⎜⎟ ⎢⎥==−≈+ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ωω⎢⎥ ⎝⎠⎝⎠⎛⎞ λ
⎝⎠⎣ ⎦− ⎜⎟ω ⎝⎠
On a donc:t t
Puisque:189 Pr. M. EL MOUDEN26/12/2014
Année Universitaire 2014‐20154
‰Energie mécanique totale:
™L’énergie cinétiquede la particule:
et son énergie potentielle
est donnée par:
donc l’énergie totaleest: ™Multiplions scalairement, l’équation différentielle du mouvement,par 2c 1Em.z 2= 2 p1 Ek.z2 =22 11
Em.z k.z22 =+ mzz
kz0+α + =
()() dzdz
m.zk.z.zdtdt +=−α dzdt Soit:
Donc on en déduit que: 1) La dérivée deE par rapport au temps est négative (≠0) ⇒l’énergie ne reste pas constante càdEdécroît depuis une valeur initiale E0 .
2) Si l’on écrit :
On fait apparaître la puissance Pde la force de frottement responsable de la décroissance de l’énergie E.() 222 d11dzm.zk.z dt 22dt⎛⎞⎛⎞ +=−α⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ () ( )2 ddzE dtdt⎛⎞ =−α⎜⎟ ⎝⎠dE V.VF.V Puissance de frottementdt =−α = =
GG GGou 190
2.2.2. AMORTISSEMENT CRITIQUE (Régime apériodique)(Δ’=0)
™L’amortissement critique est défini par
λ = ω
0 , dans ce cas: ™L’équation caractéristique (10) admet une racine double: r =−λ
Donc la solutiongénérale de l’équation(8)estdelaforme:22 0
'0Δ=λ −ω =gq() ()0 -tz(t)A B.t eω =+
oùAetBsont des constantes de déterminant à partir des conditions
initiales.191 ‰Représentation graphique dez(t)
On a:
donc z(t) est toujours positif, sans effectué aucune oscillation. Et quand
De même:
Doncz(t)admet un maximum pourt=tm .
9Conditions initiales:() 0-t z(t)A
Bt eω =+t 0 ; on a: z(0) = A
t ; on a: z( ) = 0= ⎧⎨ →∞∞⎩ 0m 0BAdz 0 pour tdtB −ω== ω
9Conditions initiales:
à t=0; z(0)=a et z(0)=0 à t=0; z(0)=0 et z(0)=V0≠ tz(t) O
0 à t=0; z(0)=a et z(0)=0
000 m
A=a ; B=a
t0ω⇒ =0 t00 z(t)=a (1t)e−ω +ω0 t0 z(t)=V t e−ω tm tm =0t z(t)O C.I ⇒0 à t=0; z(0)=0 et z(0)=V0≠0m 011 A=0 ; B=Vt ⇒==λω C.I ⇒Soit: Soit:192 2.2.3. AMORTISSEMENT FORT (régime apériodique)
™C’est le cas où
λ > ω
0 , ce qui implique: ™L’équation (10) admet donc deux solutions réelles:() 11t-t -t
z(t)A eB eeωω λ
=+ 220 '0Δ=λ−ω>22 101
r'=−λ+ Δ = −λ+ λ −ω = −λ+ω22 10
ω= λ−ω22 201
r'=−λ− Δ = −λ− λ −ω = −λ−ω
Avec :
™La solution générale de l’équation (8) s’écrit donc:() ‰Représentation graphique de z(t)t m
0 à t
0; z(0)
a et z(0)0===
C.I :
C.I :t z(t)O tz(t) O12 rtr t
z(t)AeBe=+car: 0
à t
0; z(0)
0 et z(0)
V0== =≠ 19320 λ>ω00 λ=ωz(t) t10 λ<ωt 194
3) OSCILLATEUR AMORTI ENTRETENU:
™L’énergie d’un oscillateur amorti décroît, cette énergie se dissipe
sous l’action des forces de frottement et le mouvement s’amortit après
quelques temps.
™Pour entretenir un phénomène physique amorti, on lui applique une
force excitatrice extérieure qui lui apporte autant d’énergie qu’en
dissipent les frottements.
3.1. Equation de l’oscillateur amorti entretenu (O.A.E):
Prenons l’exemple précédent de l’oscillateur vertical soumisen plus
à une force extérieure F(t), l’équation du mouvement, s’écrit:2 0x2x x F(t)+λ+ω =
195 Pr. M. EL MOUDEN26/12/2014
Année Universitaire 2014‐20155
™Le P.F.D nous donne:
On a:/R PTF m(M)++=γ
JG JG JG JJJJJJGz Pmg e=JGJJG z
Tk(lz) e=− Δ +JGJJG 2zz 2dz ezedt γ==GJJGJJG zz dz
F e z edt =−α=−αGJJGJJG et et en tenant compte del’équation d’équilibre
(1), on obtient:, ,avec: : période de l’oscillateur en absence d’amortissement. 20 z2zz F(t)+λ+ω =
2 mα λ=
: paramètre qui caractérise le phénomène dissipatif2 0k mω= : pulsation de l’oscillateur en absence d’amortissement0 02 Tπ =ω (a)196 3.2. Résolution de l’équation de l’O.A.E.
™La solutionz(t) de l’équation (a) est la somme de:
1- Lasolution générale de l’équation sans second membre,soit z1 (t)solution déjà calculéedans l’étude de l’oscillateur amortie
(voir§2).
2- Lasolution particulière avec second membre,soitz2 (t)que
nous allons calculer ci-dessous.
™On a donc :z(t)=z1 (t)+z2 (t)
9Au début de mouvement,z(t) est compliquée et représente le
régime transitoire.9Quandt →∞,z1 (t)→0doncz(t)→z2 (t). Ceci définit lerégime
permanent.197 z(t)O Régime transitoire
Régime permanentt Oz 1(t) z2 (t)198 3.2.1. Détermination de z2 (t): régime permanent
™Etude le cas oùF(t)=F0 cos(ωt)
Avec F0 le module de F(t) et ωsa pulsation1 T⎛⎞ =⎜⎟ ω⎝⎠ ™Dans ce casz2 (t) s’écrit:
(t)A(t)+Bi(t)z2 (t)=Acos(ωt)+Bsin(ωt)
où a etφsont deux constantes que nous allons déterminer en
utilisant laNOTION COMPLEXE
ou bien z2 (t)=acos(ωt+φ)199 3.2.2. Déterminer de l’amplitudea(ω): Par une méthode basée
sur la notion complexe()() it00 F(t)F eF costi sintω ⎡⎤
== ω+ω⎣⎦ ()()() it2 z(t) aea cos tisin tω+φ ⎡⎤
==ω+φ+ ω+φ⎣⎦ Dans ce casz2 (t) s’écrit:Soit: ⎣⎦
En injectant ces expressions, dans l’équation:2 0
z2zz F(t)+λ+ω =
On obtient :() ()22i 00 Fai2e mφ ⎡⎤
ω−ω + λω= ⎣⎦(*) 200
Rappel:Soientz1 etz2 ∈₵
11 111 1
22 222 21212 zaibzaib zaibzaib z zz z
et si x x = x=+⇒=− =+ ⇒ =−=∈\ On a :Donc: ⇒() *() ()22i 00 Fai2e m−φ ⎡⎤
ω−ω − λω=⎣⎦ Multipliant membre à membre les équations (*) et (**) :() ()2 22 2220 0F a2m ⎛⎞⎡⎤ ω−ω + λω =⎜⎟ ⎢⎥⎣⎦ ⎝⎠
Soit :() ()0 22 220 Fa= m2
ω−ω + λω(**) 201
Pr. M. EL MOUDEN26/12/2014
Année Universitaire 2014‐20156
Etude de la variation de a en fonction deω() ()0 22 220 Fa= m2ω−ω + λω
On a :
Soit :() ()1 22 222 00 Fa2 m− ⎡⎤=ω−ω+λω ⎢⎥⎣⎦ On calcul la dérivée de a par rapport à ω:() ()
22 20 03 22 22 2Fda dm
ωω−ω− λ= ω⎡⎤ ω0 +∞22 r0
2ω= ω−λ() ()2 22 220 2⎡⎤ ω−ω + λω⎢⎥ ⎣⎦
Cette dérivée s’annule pour :
22 20 0(i) da
0 oud 2(ii) ⎧ω= ⎪=⇒ ⎨ω ⎪ω=ω−λ ⎩2 00 2 <(ii)2 2
0⇒ω− λω ⇒λ>
(Amortissement faible)ω 0a 0+ dadω +∞0 20 Fmω ra( )ω0 r0- 0202 ω0 a0 +da dω+∞ Fr a()ω 022 r02ω=ω−λ 02 0F mω ra( )ω0 2
<ω λ0 0F m.2 .λωa -0 00 20 Fmω L’amplitude a(ω) présente un maximum pour:1 22 22r000 20 2 =21⎛⎞ λ
ωω−λ =ω −<ω⎜⎟ ω⎝⎠ ()() ()0 22 220 Fa= m2ω ω−ω + λω
On a :r ω0 ωωO 2030 2
>ω λ
™Dans le cas où
l’amortissement est assez important.
™Doncs’annule que pour
ω=0, et puisque a→0quand
ω→+∞donc :da dωa 0F ωO 02 ω
λ>2 0mω 204
Remarque: RésonancePour ω=ωr :
™On dit qu’il y a résonance entre l’oscillateur et la force
excitatrice
™et si le frottement n’est pas trop important (λfaible)
l’amplitude passe par un maximum pour:
22 20 2ω=ω−λ
Calcul de a pourω=ωr :
⇒le phénomène de résonnasse commence à apparaître.() ()() 0r 22 220rr Fa m2ω= ω−ω + λω
22 2r0 2ω=ω−λoù On a :205 ()() ()() ()() 2r 22r 0r 1/22 222 rr0 01/2 22 20 1/22 0/ 2F am2 Fm2 F1 m
(2 )F 1⎡⎤ ⎢⎥⎣⎦ ⎡⎤λ ⎢⎥⎣⎦ ⎡⎤λ+ω ⎣⎦ω= ω−ω + λω= λ+ ω= λ= 1/222 r0 1/ 222 20 01/2 220 01/2 20 20 m.2F 1m.2 2F 1m.2 F1 m.2 .1 ⎡⎤⎣⎦ ⎡⎤⎣⎦ ⎡⎤⎣⎦ ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ λλ+ω =λ λ+ω−λ= λω−λ =λω λ− ω206 02 ω
λ<<Si on peut écrire :() 20 r2 00F 1a1 m.2 .2⎡⎤ λω=+ ⎢⎥λωω ⎣⎦Sit ()0 F1 ()
1/ 22 0r 200 Fa1 m.2 .− ⎡⎤λ ω=−⎢⎥ λωω⎣⎦ Donc :Soit: ()0 r0 am2 ω=ωλ La fréquence:s’appelle lafréquence de résonance.r rf 2ω =π 207
Pr. M. EL MOUDEN26/12/2014
Année Universitaire 2014‐20157a(ω) Amortissement faible
Amortissement fortω Or ω208 3.2.3. Détermination deφ:
D’après la relation (*), on peut écrire que :() ()22i 00 Fi2e amφ ⎡⎤
ω−ω + λω =⎣⎦ ()()()1212 Arg z * zArg zArg z=+Rappel: On a : ce qui implique : ()() 220 Argi 20⎡⎤ ω−ω + λω +φ=⎣⎦ ()() 220 Argi 2⎡⎤ φ=−ω −ω + λω⎣⎦ 220 2tg λωφ= ω−ω
Soit : donc : 209
CHAPITRE 7 :
Gravitation(F) 1
(Force en )210 21 r
L’objectif de ce chapitre est l’étude des mouvements dans un
champ de forces en(champ Newtonien) avec des
applications aux mouvements des plantes et satellites.2 1/ r
1) Forces gravitationnelles:
™NEWTENa découvert à la fois la loi fondamentale de la
dynamique:et la loi de la force de gravitation selon
laquelle deux masses
metm’s’attirent toujours en raison
inverse du carré de la distance
rqui les sépare :Fm=γ GG 211
Où mm’ 2
Gmm 'F r= GF GF G(1) Remarque : ™
L’expérience deCAVENDICHpermit de mesurer l’attraction
entre deux sphères de plomb et d’en déduire la valeur numérique
de la constante
Gde gravitation:1122 G 6.67*10
Nm / kg− =
L’étude des phénomènes électriques a montré l’existence
d’une autre force: la
force coulombiennequi s’exerce entre deuxcharges qetq’:c 2
kqq 'F r= JJG922 01 k8.987*10 Nm/C4 ==πε où
2) Equations des trajectoires pour des mouvements de forces centrales en2 1/ r
Soit une particule Mde masse msoumise à une force centrale passant par un point fixe O: R(Oxyz)est un repèrefixey 213où r2 AFe r=− GG et Aest une constante
R(Oxyz) est un repère fixe(2) re JGe θJJG θx yO FG M0 kJJG :
Pr. M. EL MOUDEN26/12/2014
Année Universitaire 2014‐20158
D’après le théorème du moment cinétique :() OO Rd mFdt ⎛⎞σ =⎜⎟ ⎜⎟⎝⎠ JJGJJJG G
et puisque() O
mF OMF=∧
JJJG JJJJGGG et
OM // FJJJJGG Donc:() O
mF OMF0=∧=
JJJG JJJJGG GGO Rd 0dt ⎛⎞σ =⎜⎟ ⎜⎟⎝⎠ JJGG O
constante OM mV(M)
constant eσ=⇒ ∧=
JJG JJJJJJJJJJGJJJJG JJJJJJG JJJJJJJJJJG
Par suite: ™Ltj ti dMtl dltOt(3) Donc:
2.1. Propriétés et conséquences des mouvements à forces centrales:214 ™La trajectoire de Mest plane dans un plan passant par Oet perpendiculaire à. ™Le mouvement s’effectue de telle sorte que :2 Orr
rem(rer e )mr
kconstanteθ σ= ∧ +θ = θ=
JJGJJJJJJJJJJGG GGG
Soit :⇒⇒ 2mr kconstanteθ=
JJJJJJJJJJGG 2 Od mrctedt θ
=σ =2 Od rCdtm σθ ==
càd le mouvement s’effectue avec unevitesse aréolaire
constante
(2ème loi de KEPLER).0 kJJG (4)2 rcte⇒θ= On a :
™A l’instant tla particule occupe la position M(t), et à l’instant t+dtla particule occupe la position M(t+dt). ™Et le vecteur
a balayé la surface dS.
™D’après ce triangle : RdS Application et conséquence (la loi des Aires)
Soit :da dr. r.dadsr .rdt d⎫ θ⎛⎞ ⎪⎜⎟ ⎪⎝⎠ OMJJJJG (4)d r.rctedt θ= 215F GM(t) RO θr M(t+dt)dθ dadS ctet dt=∀ L’aire balayé (par le vecteur
) par unité de temps est constante : c’est la loi des Aires.
r. rdt dsds dt2dt2 dt2dad dar.dr.dtdt ⎜⎟=⇒= ⎪⎝⎠ ⇒=⎬ ⎪θ =θ⇒ =⎪ ⎭
Interprétation de ce résultat:OM JJJJGddS r.rcte 2.ctedtdt θ
=⇒ =
et puisqueDonc: dScte tdt =∀O Exemple: Mouvement de la Terre.S T(M)PA On a :216 ™Le rayon vecteurSTbalaye des aires égales pendant des temps égaux. ™Donc la vitesse de la Terre près de Pest> à sa vitesse près de A.
Loi de KEPLER™ C’est vers 1618 que KEPLER énonça lestrois lois empiriquessuivantes qui constituent
sans doute une des plus grandes découvertes
expérimentales dans l’histoire de l’humanité.
™Les deux premières lois de Kepler furent
publiées en 1609 et la troisième en 1618.
Kepler (1571 – 1630)217 ™Peu après,IsaacNewtondécouvriten 1687
la loi de l'
attraction gravitationnelle(ou
gravitation), induisant celle-ci, par le calcul,
les trois lois de Kepler.
™Copernicavait soutenu en 1543 que les
planètes tournaient autour du Soleil, mais il les
laissait sur les trajectoires circulaires
Isaac Newton (1643 – 1727)
1- LOI des ORBITES L'orbite de chaque planète estune ellipse,
dont l'un des foyers est occupé par lesoleil. 2- LOI des AIRES Le mouvement de chaque planète est tel
quelesegmentdedroitereliantlesoleilet218 quelesegmentdedroitereliantlesoleilet
la planète balaie des aires égales pendant
des durées égales.
3- LOI des PÉRIODES Pour toutes les planètes, le rapport entre le cube du demi grand axe de la trajectoire et le carré de la période est le même. 23 T
=constantea dScte tdt =∀
EXEMPLE: 3ème loi de Kepler ou loi des Périodes (1618)
™Pour toutes les planètes, le rapport entre le cube du demi
grand axe (
r)delatrajectoireetlecarrédelapériode(T)estlemême. ™Cette constante est indépendante de la masse de la planète.
™Pour les différentes planètes du système solaire, on a:219 Pr. M. EL MOUDEN26/12/2014
Année Universitaire 2014‐20159220 2.2. Etude énergétique: Conservation de l’énergie mécanique
On a :E = Ec + Ep avecE c
: énergie cinétiqueet Ep : énergie potentielle 2.2.1. Energie cinétique: Ec L’énergie cinétique d’une particule Mde masse m, animée d’une vitesse
est telle que :2 c1 EmV(M)2 =JJJJJJG V(M)JJJJJJG 221
et d’après les données:r V(M) rer eθ =+θJJJJJJG GG () 22 c1 Emrr2 ⎡⎤=+θ ⎢⎥⎣⎦ Donc :r OM r e=JJJJG G
On a:r eJG eθ JJGθ xy OF GM 0k JJG: V(M)JJJJJJG oùr 2A Fer =−G G
et Aest une constante(2)
2.2.2. Energie potentielle: Ep L’énergie potentielle Ep d’une particule Msoumise à la force est donnée par : p
FgradE=−JJJJG G
On a:⇒ p2 pE Arr E0 ∂−=− ∂∂ ⎫−= ⎪⎪ ∂θ⎬ E(r)⇒p 2dE A= drr⇒ FG r2 AFe r=− GJG222 pE 0z ⎬∂ ⎪−= ⎪∂ ⎭
p E(r)⇒p A Ecstr ⇒=−+
Et si Ep (r →∞) = 0, Ep s’écrit:p AE r=− où Aest une constante2 0d mrconstantedt θσ== 2.2.3. Energie mécanique (Totale): E
On a: E = Ec + Ep implique ()2 21A Emrr2r ⎡⎤=+θ− ⎢⎥⎣⎦ D’après la relation (4)(7) 223
- Développement de l’expression deEavec un changement de
variable:
et Es’écrit :2 22 04 1drAEr 2m rdr⎡⎤ σ⎛⎞ =+−⎢⎥ ⎜⎟θ ⎝⎠⎢⎥ ⎣⎦(8) ™Posons:11 u rru =⇒=
Changement de variable ce qui nous donne:2 dr1 dudud =−θθ et en le reportant dans l’expression de E(8), on obtient:2 22 00
du2mA2mEuu d⎛⎞ +−= ⎜⎟θσσ ⎝⎠
™Si on dérive l’équation (9) par rapport à θ: (9)224 212 220 dud udu2mA du22u0 dddd− ⎛⎞
⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞
+− =⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟
θθ θσθ
⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠ drdr dtdrddu /00
ddtddtdtdθ == ≠⇒≠θθθ Et puisque:2 220 dumAu d+= θσ
On obtient ainsi:
C’est l’équation différentielle du trajectoire deM. (10)
- Résolution de cette équation :™ Pour un Changement de variable, on pose: 20 mAdudv
vu dd
=− ⇒ =σθθ l’éti(10)’é it2 dv0 222 0dumA ud +=θσ (10)
l’équation (10) s’écrit:2 v0d +=θ ™La solution de cette équation est de la forme:() 00
vAcos=θ+θSoit: ()00 20 mA
uAcos=θ+θ+σ et d’après:1 ur =
on peut écrire :() 002 01 r mAAcos =+θ+θ σ() 20 20 00mA r1Acos mAσ =σ +θ+θ(11) (12)225 Pr. M. EL MOUDEN26/12/2014
Année Universitaire 2014‐201510
Nature de cette trajectoire de M
On a:Par identificationà l’expression d’une conique donnée par:() 20 20 00mA r1Acos mAσ =σ +θ+θ(12) 226p er 1cos= +θ2 02 00 p=mA eAmA ⎧σ ⎪⎪ ⎨σ ⎪= ⎪⎩ On trouve:
On peut toujours choisir les C.I pour queθ 0
=0sans changer
la nature de la trajectoire.
3) Nature de cette conique en fonction dee(Rappel)
Suivant la valeur de l’excentricitée, on peut définir lanature de
la conique;Si: e<1la trajectoire deMest une ELLIPSE
e>1latrajectoiredeMestuneHPERBOLEr 1cosp e= +θ227 e>1latrajectoiredeMestuneHPERBOLE
e=1la trajectoire deMest une PARABOLE
e=0la trajectoire deMest un CERCLE
e > 1
e = 0
4) EnergieEen fonction de l’ Excentricitée
™Nous allons montrer comment l’excentricité e de la trajectoire dépend de l’énergie totale E = Ec + Ep . ™D’après la relation (8), on a: 22 20 c4 1drEr 2m rd⎡⎤ σ⎛⎞ =+⎢⎥ ⎜⎟θ ⎝⎠⎢⎥ ⎣⎦
Avec : etA 22 20 41drA Er
2m rdr⎡⎤ σ⎛⎞ =+−⎢⎥ ⎜⎟θ ⎝⎠⎢⎥ ⎣⎦p AE r=− Et puisque
, On trouve: ()2 drsind 1pe coseθ =θ +θ
e11 csp or +θ= En reportant ces relations dans les expressions de Ec et Ep , Ec et Ep deviennent : ()2 c2 02 e12e2m Ecosp σ=++θ ()p A1eo pEcs=−+ θ
Expression de Ec et Ep en fonction de θ:⎝⎠ ⎢⎥⎣⎦ pe r1cos =+θ etet 22822 00 p= A=mAmp σσ⇒ Sachant que:
et puisque E=Ec +Ep , On a:() 2A Ee12p =−
4.1. Nature des trajectoires en fonctions de Ee e=0e=1 +∞e-1 e+1- +0 0() 2A Ee12 =−+ -+ -1+1 A2 −+ 2229 0() 2p+ D’après l’étude des coniques (voir cours de math) la nature de
cette conique dépend de la valeur de
e(Excentricité ) :2p ExcentricitéTrajectoire
0< e < 1Ellipse
e = 0Cercle
e = 1Parabole
e > 1HyperboleEnergie E < 0
E =
E = 0
E > 0A 2p− ™La connaissance de cet élément e, nous permet de déterminer la forme de l'orbite d’un satellite : Exemple orbite d’un satellite :
ExcentricitéTrajectoire
0< e < 1Ellipse
e = 0Cercle
e = 1Parabole
e>1HyperboleEnergie E < 0
E =
E = 0
E>0A2p− Satellite de V0
e > 1T e = 0
e = 1230 ™Plusieurs cas sont alors possibles :
‰E > 0 : la trajectoire est une hyperbole. ‰E = 0 : la trajectoire est une parabole. ‰E < 0 : la trajectoire est une ellipse et donc est fermée. ™Par conséquent, la fusée "s'évade" si et seulement si E &