Mécanique du point : Examen mecanique du point materiel mécanique de point
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Télécharger packQuestions de cours 1. Donner avec démonstration le théorème du moment cinétique par rapport à un point fixe 1 relativement à un référentiel R'(O',x,y',z') supposé mobile. 2. Donner la définition d'une force centrale. 3. Montrer qu'un système, soumis à une force centrale, a une trajectoire plane. Problème Un point matériel M de masse m glisse sans frottement sur une tige (A) qui tourne à une vitesse angulaire constante co autour de l'axe vertical Oz d'un référentiel R(éx éy, é) supposé galiléen. Le point matériel M est soumis aussi à la force de rappel due au ressort de raideur k auquel il est lié On désigne par R'(O, , é. é,) un référentiel lié à la tige (A), p longueur à vide du ressort et p position de M sur la tige (A). 6 1. Déterminer , vecteur rotation du référentiel R' par rapport au référentiel R 2. Calculer la vitesse relative Vuet la vitesse d'entrainement 3. Calculer l'accélération relative l'accélération d'entraînement, et de l'accélération de Coriolis 7 Ecrire la relation fondamentale de la dynamique dans R'(référentiel mobile) En déduire l'équation différentielle du mouvement de M. Trouver l'équation horaire p(t) du mouvement de M sachant qu'à l'instant initial (t-0) pp et0. On supposera que Trouver l'expression de la réaction R Rë+ Re,+ Ré, de la tige sur le point matériel M à partir du théorème du moment cinétique par rapport au point O appliqué au point M dans le référentiel R'. Dans quel cas, cette réaction est verticale ? 7. Ce mouvement, vérifie t-il la loi des aires ?
Dans cette épreuve, on notera n la quantité de matière de gaz parfait, R la constante des gaz parfaits, C, la capacité thermique à pression constante des n moles de gaz, C, la capacité thermique à volume constant des n moles de gaz et y le rapport des capacités thermiques à pression et volume constants. Cp PARTIE-I-: Questions indépendantes 1) Donner l'équation d'état du gaz parfait. Préciter, pour chacune des grandeurs utilisées cette équation, l'unité qui lui correspond dans le système international. 2) On rappelle la relation de Mayer C- C, nR. Donner les expressions de C, et C, en fonction de n, R et y. 3) Sachant qu'une des équations des adiabatiques réversibles s'écrit PV Cte, établir le deux autres relatives aux couples des variables (T, V) et (T, P). Ces relations sont appelé relations de Laplace. 4) La forme différentielle suivante est une différentielle totale dG- VdP - SdT a) Quelles sont les variables indépendantes choisies pour exprimer la fonction G? b) Identifier les dérivées partielles de la fonction G. 5) Pour un gaz parfait subissant une transformation infinitésimale réversible, montrer q dU-d(PV)/(y-1), dH-y d(PV)/(y-1) et 8w nRTdP/P-nRdT où U, H et W sont respectivement l'énergie interne, l'enthalpie et PARTIE -II-: A propos des cycles thermiques On se propose d'étudier le fonctionnement d'un moteur thermique dans lequel un flui assimilé à un gaz parfait décrit un cycle constitué des transformations réversibles su Une compression adiabatique de l'état E₁ (P1, Vi, T1) vers l'état Ez (P2. V2. T2) Un échauffement isobare de l'état Ez vers l'état E (P3, Vs. T3) Une détente adiabatique de l'état E, vers l'état E4 (P4. V4. T4) Un refroidissement isochore de l'état E4 vers l'état E On désigne par y C/C,, que l'on supposera constant, le rapport des capacités thermiques à pression constante C et à volume constant C, 1) Donner l'allure du cycle en diagramme de Clapeyron (P en fonction de V). On précisera états (E, E₂ E, E4) et on indiquera le sens du parcours du cyclé. 2) Soit Q, la quantité de chaleur échangée, par une mole de fluide, pendant la transformatio E. Es. Exprimer Q, en fonction de C, T2. T3. Préciser le signe de cette grandeur. Dans qu sens s'effectue l'échange thermique ? 3) Soit Q, la quantité de chaleur échangée, par une mole de fluide, pendant la transformat E4. E₁. Exprimer Qi en fonction de Cy. T T Préciser le signe de cette grandeur. Dans q sens s'effectue l'échange thermique ? 4) On note W le travail total échangé au cours du cycle -Enoncer le premier principe de la thermodynamique pour un cycle. -En déduire l'expression de W en fonction des quantités de chaleur Q, et Q2 5) Rappeler la définition du rendement n d'un cycle moteur. Donner l'expression du rendement n de ce cycle: D'abord en fonction des quantités de chaleur Qjet Q2 -Puis en fonction de T1, T2. T3, T4 et y. 6) On introduit les paramètres (rapports volumétriques) suivants: a V/V₂ et bV4/V3. -Exprimer les températures T21, T₁ en fonction de la température T₁ et des paramèn adimensionnels à choisir parmi a, b et y - En déduire l'expression du rendement n en fonction uniquement de a, b et y. Quelle est le rendement nc d'un cycle de Carnot qui fonctionnerait entre les mêmes températures extrêmes Ti et T3 que le cycle théorique du problème. On exprimera cet grandeur en fonction de T₁ et T3 puis en en en fonction de a, b et y. - Applications numériques: Calculer n et nc pour a=9, b3 et y 1.4. Commenter