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Mécanique du point : Cours de mécanique du point pr.achegaf zineb mécanique de p

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Cours du Mécanique du point

Pr. ACHEGAF Zineb

Groupe facebook : Cours Mécanique1-20201 et

deux référentiels orthonormés directs enmouvements l’un par rapport à l’autre

Déterminer la relation liantà età I . Vecteur rotation instantanéet et:et2 Chapitre 3 : Changement de référentiel

, , ,

O i j k   1

1 11 1 ( , , , ) O i j k VM  1 VM  1 M   M   222 111 22 21 11 10dk d i

d ji jk dtdt dt      

   

   

      11 11, didj ijdt dt

  1 1dk kdt  ,  1111 ,di djij dtdt 

 

  11 dkk dt  1 11 111 1 11 11 100 d i kd j k

d i j

i j

i kj kdtdtdt        111111111111 0

djdidkdidjdkijikkj dtdtdtdtdtdt 

Pr. Achegaf Zineb

I . Vecteur rotation instantané

Remplaçantet paret Où

désigne le vecteur rotation instantané de

par rapport à

Remarque :

: un vecteur quelconque3 Chapitre 3 : Changement de référentiel11 ,di djdt dt 1dk dt 11,ij 1k  11 11 11 11 11 11 00 0i jj ij ii jj ij i   

                       

               

111111111111

000ikkikii kkik i 

  

 

               1 11 11 11 11 11 10 00 kj jk jk kj jk jk                           

               1          1  

  1  A1 1dA dAA dtdt       Pr. Achegaf Zineb

Démonstration

Montrer d’une façon générale que:

Avec :4 11 (

/ )dA dAA dtdt 

    11 11 11 A x i

y j

z k

    

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1= d x i

y j z k

d z k

d x i

d y jdA dtdt dtdt dt 

  

  

      i1 O1 i1 kO kj xy 1j 1x 1y A

Référentiel absolu11 1111 d x idx diix d tdt d t   

Chapitre 3 : Changement de référentiel11 1111 yjj jd dydy d tdtd t   1111 11zk kd dzdk z

d tdt d t   111111111111 =

jdxdydzdiddkdA ijkxyz dtdtdtdtd td td t  

Pr. Achegaf Zineb

Démonstration

Dans le cas où

, montrer que :, et Vecteur rotation du référentiel par rapport au référentiel. Pour calculer les dérivéeset , on exprime les vecteurset dans la base

Dans cette situation :5 1( / )k 

   1 11

(/ )di idt     1( / )

  1  Chapitre 3 : Changement de référentiel1 11

(/ )dj jdt     111 (

/ )dk kdt 

    ix y1 x1 y 1 ()kk1 ij 1j 11, didj dtdt 1 dkdt 11 ,ij 1

k ( , , ) i j k1 (

/ )k 

         1 1cos sinsin cosij ij jd didt dt         11 sincoscossin ijiji ddj dtdt    10 dkdk dtdt 

Pr. Achegaf Zineb

Démonstration

Soit :

Et 6

Chapitre 3 : Changement de référentiel 1 11 11 1di jk ii dt         11 11 11 11 dji jk kj jdt            11111 0(/ )dk kkk dt

            111 1111 111 1111 111 1111 (

/ )

d x idx ix i

d tdt d y jdy jy j

d tdt d z kdz kz k

d tdt             

     

     11 11 11 11 11 11 =j dxdy dzdi ddk dAi jk xy zdt dtdt dt

d t

d t

d t     Pr. Achegaf Zineb

Démonstration

En utilisant la propriété du produit vectoriel :

Conclusion :

Avec 7

Chapitre 3 : Changement de référentiel    1 11 11 11 11 11 11 11 =( / )dx dydz dAi jk d tdt dtdt xi yj zk    

              

u v uv u v            1 11 11 11 1 11 1 11 1 1= (

/ )x yz dxdy dzdA ij k

d tdt dtdt ij k                   111

1 11 11 11111 =idxdydz dA

ijkxy j z k

d tdtdtdt         11 =dA dAA d t

d t      111111 1= dxdydzdA ijk

d tdtdtdt 

Pr. Achegaf Zineb

I . Vecteur rotation instantané

Exemple :

:Repèreenmouvementderotationautourd’unaxe

:Repèrefixeet etet donc

Finalementet8 Chapitre 3 : Changement de référentiel1 11 1

, , ,

O i j k   Ok  

, , ,

O i j k   11,, i ij j 

  

  

  

   1?  

   11 cossin ,sin cosi i

j ji j  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   1 kk 1111 sincos ,cos sindi dji jj ij idt dt

    

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     1 0dk dkdtdt  1111 ,didj ijdtdt    11 dkk dt 

  1          11 11, didj k ik jdt dt  

  11 dkkk dt  11kk  

    

Pr. Achegaf Zineb

Chapitre 3 : Changement de référentiel

II. Composition des vitesses

: Repère absolu (fixe)

:Repèrerelatif(mobil)

M:Pointmatérieldel’espace9 Référentiel absolu

Référentiel relatifOM xi

yj zk  1 1 1

1 1

1 1

O M

x i

y j

z k

  i 1O 1i 1k MO kj xy 1j 1x 1y , , ,

O i j k   1

1 11 1

, , ,

O i j k   Pr. Achegaf Zineb

II. Composition des vitesses

La Composition du vecteur position:

L’expressionduvecteurvitesseestdonnéepar:(1) D’une façon générale :

: vecteur quelconqueDonc 1011 OM OO O M 111 1

1 1OM ai bj ck

x i

y j

z k   

  

  

       

Chapitre 3 : Changement de référentiel1111 dOO dO MdOO dO MdOM VM

dtdtdtdt  

  1 1( / )dA dAA dtdt 

    A11 111 dOO

dO M

V M

O Mdt dt             1111

V MV OV MO M   

      

Pr. Achegaf Zineb

II. Composition des vitesses

On note :

: Vitesse absolue de M (vitesse du point M dans) : Vitesse relative de M (vitesse par rapport au repère relatif) : vitesse d’entraînement de M dedans . C’est la vitesse qu’aurait le point M dans

s’il était fixe par rapport à

Conclusion :

Ce résultat constitue la loi de composition des vitesses.11 Chapitre 3 : Changement de référentiel 1   11 1r dO M

V M

V Mdt    1 11 1( / )e V MV V O

O M     

    1  1 are V MV MV M         adOM V M

V Mdt  

Pr. Achegaf Zineb

II. Composition des vitesses

Remarques À l’instant t on a

et ( N un point fixe dans

qui coïncide avec M )

Le vecteur vitesse absolue de N à cet instant t :

Et le vecteur vitesse absolue de M à cet instant t :

Àl’instantt:

en mouvement de translation par rapport à

(les trois axes de

gardent une

orientation fixe par rapport à

) 12

Chapitre 3 : Changement de référentiel

ON OM 1 11

0V NV M    1 11 11 11 V N

V O

V N

O N V O

O N                  

 

 

     

    1111111 V MV OV MO M V OO M 

        

        1 11 11 11 e

V N

V O

O N V O

O M V        

     

      1e VV N  1  1 11 0e V M

V O             

Pr. Achegaf Zineb

Chapitre 3 : Changement de référentiel

III. Composition des accélérations

Le vecteur accélération du point M :(1) 

D’une façon générale on a : (2) (Terme 1)13 rea re d V M

V M

dV M

dV M

dV M

dV MM dtdt dtdt dt                        

      1r dV M

dV Mdt dt        11 (/ )dAdA Adtdt     

1 11111 rr dV MdV M

V MMV Mdtdt      

     111111 e

d V OO MdO M

dV O

dV M

dtdtdtdt     



         Pr. Achegaf Zineb

Chapitre 3 : Changement de référentiel

III. Composition des accélérations

Pour le terme 1 en utilisant la dérivée par rapport au temps du produit vectoriel :

D’une façon générale on a : 141 1( / )dA dAA dtdt 

          d u t

v t

du t

dv t

v t

u tdt dtdt   

       11 11 1e dV Md dO MO O Mdt dtdt      

 

      11 11 11 11 e

dV Md dO MO O M

O Mdt dtdt                 

   

 

    

       111 111 111 eM ddV O

O Mdt dt

dO MOM dt           

   

  

   

        Pr. Achegaf Zineb

Chapitre 3 : Changement de référentiel

III. Composition des accélérations(3) En remplaçant (2) et (3) dans (1) :

On note :

: accélération absolue (L’accélération du point M dans

) : accélération relative du point M par rapport au référentiel 15  1 1111 11e rM ddV O

O Mdt dt

V M

O M              

   

  

   

       1 11 11 11 12 rd MM O

O Mdt O M

V M                             

 

  

       

    a dV MMM dt         

  11 1r dV MMM dt        1 

Pr. Achegaf Zineb

Chapitre 3 : Changement de référentiel

III. Composition des accélérations

On note :

Accélération d’entraînement de dans: C’est l’accélération qu’aurait le point M dans

s’il était fixe par rapport à

Accélération de Coriolis :

Conclusion

Ce résultat constitue la loi de composition des accélérations16 11 11 11 ed MO O M

O Mdt               

    

         1 1  12 cr

MV M         a re cM MM M                Pr. Achegaf Zineb

Chapitre 3 : Changement de référentiel

III. Composition des accélérations

Remarques :

À l’instant t on aet Le vecteur accélération absolue de N à cet instant t :

Et le vecteur accélération absolue de M à cet instant t :17 ON OM11 0V NV M      1 eN  

  110 NM       

 

 1 11 11 11 12 rd NN O

O Ndt O N

V N              

         

  

  

 

 

  

       

    1 11 11 11 12 rd MM O

O Mdt O M

V M                           

 

 

  

       

    

Pr. Achegaf Zineb

Chapitre 3 : Changement de référentiel

III. Composition des accélérations

Remarques :

À l’instant t :( )

en mouvement de translation par rapport àet Si

(translation uniforme), on a :18         11 11 11 11 11 11 dN O

O N

O Ndt dO O M

O MM edt           

 

 

                      1    110 eMO        1 0c ar aM MM O               e e

dV MM dt     1

V OCte   1100 aear

OOMMM

     

   

 

    1 eer MdV M

V Mdt               Pr. Achegaf Zineb

Chapitre 3 : Changement de référentiel

IV.Application

(repèrerelatif)enmouvementparrapportaurepèrefixe

(repèreabsolu).

M:pointmatérielsedéplacesurl’axe

le vecteur position de M par rapport au repère: ;1 er

cas :

est en mouvement de translation par rapport à: ettout point fixe dans

, son vecteur vitesse par rapport à conserve sa direction.

Les trois axes de

gardent leurs orientations au cours du mouvementSi (puisque

est le seul point connu et fixe dans

) : la translation est uniforme19 11 11 1

, , ,

O i j k   , , ,

O i j k   11Oi   1  111 O M

x t i 11 0yz 1  10  

   1  1 1

V Octe  1 O1 

Pr. Achegaf Zineb

Chapitre 3 : Changement de référentiel

IV.Application1 er

cas:estenmouvementdetranslationparrapportà:

Par exemple:

direction de la translation tel queet (

est une constante), et

On peut calculer les vecteurs vitesse et accélération du point matériel Mpar rapport

au repère par les deux méthodes suivantes : 201 j1 jj 110 V OV j  0 V 1 0

V OV cte   1 ii 1 kk 1  

Pr. Achegaf Zineb

Chapitre 3 : Changement de référentiel

IV.Application1 er

cas:estenmouvementdetranslationparrapportà:1 ère

méthode:compositiondumouvement

-Vitesse relative :

-Vitesse d’entraînement :

-Accélération relative :21 1 1 11 r

dO M

V M

V Mdt       

  1111 11 11 11 r

d x idx di

V Mi x

x idt dtdt       

1110 110 1

1 10 1100 eare V MV OO M V jO M V j

V MV MV MV Mx i V j

x i V j               

       11 111 1111 1111 r

d x i

dV Mdxdi MMi

xx i

dtdtdtdt          Pr. Achegaf Zineb

Chapitre 3 : Changement de référentiel

IV.Application1 er

cas:estenmouvementdetranslationparrapportà:1 ère

méthode:compositiondumouvement

-Accélérationd’entraînement:

-AccélérationdeCoriolis:22 1 1 11 11 10 ed MO O M

O Mdt               

    

         01 11 10 01 0,0 d V j

dV Odj djO VV dtdt dtdt                       200 1rr MV MV Mc         

     

1 11arec

MMMMMx i

x i        

  

Pr. Achegaf Zineb

Chapitre 3 : Changement de référentiel

IV.Application1 er

cas:estenmouvementdetranslationparrapportà:2 ème

méthode:directement23 1 11 OM OO O M 111111 1dOO dO MdO MdOM V MV OO M

dtdtdtdt   

       10       11 111 0 11 1

0 1

1 111 d x idx di

V M

V O

V ji x

V j

x idt dtdt      

 

  

  1 10 110

V Mx i V j

x i V j      1 01 01 10 1

d x i V j

d x i

d V j

dV MM dtdt dtdt dxdj dii xV x idt dtdt                  

        

1 11

Mx i

x i    

Pr. Achegaf Zineb

Chapitre 3 : Changement de référentiel

IV.Application2 ème

cas:estenmouvementderotationparrapportà:

enmouvementderotationautourdel’axeet et24 1 1 Ok   11 1, ,, i ij j

k k 

  

  

  

     1 ?

       11 cossin ,sin cosi i

j ji j    1 kk 11 1

sincos,0didk dkijj dtdtdt

       11 cossindj ijidt     11 11, didj k ik jdt dt  

  11 dkkk dt  11kk  

    

Pr. Achegaf Zineb

Chapitre 3 : Changement de référentiel

IV.Application2 ème

cas:estenmouvementderotationparrapportà:

LesvecteursvitesseetaccélérationdeM,parrapportàpar2méthodes:1 ère

méthode : composition du mouvement

-Vitesse relative :

-Vitesse d’entraînement :25 1  11 1r dO M

V M

V Mdt       

  1111 111 111 r

d x idxdi V Mi

xx idtdtdt    

  11 1

1 11 1 1

1 10 e

V M

V O

O Mk x ik x i

x j              

     

1 11 1are

V MV MV MV Mx ix j      

  

Pr. Achegaf Zineb

Chapitre 3 : Changement de référentiel

IV.Application2 ème

cas:estenmouvementderotationparrapportà:1 ère

méthode:compositiondumouvement

-Accélération relative :

-Accélération d’entraînement :

-Accélération de Coriolis :26 1 11 111 1111 1111 r

d x i

dV Mdxdi MMi

xx i

dtdtdtdt          11 11 11 ed MO O M

O Mdt               

    

         2

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 10 k

x ik k

x i

x jk x j

x j

x i       

      

  

11 11 1222 crMMk x ix j           

2 11 11112 arec

MMMMMxx ixx j        

Pr. Achegaf Zineb

Chapitre 3 : Changement de référentiel

IV.Application2 ème

cas:estenmouvementderotationparrapportà:2 ème

méthode : directement27 1 11 OM OO O M 111 11 11 1 111 0

d x idOO dO M

dO MdOM V M

O Mk x idt dtdt dtdt            

 

         1 1

1 1

V M

x i

x j 

  

1 1

1 1

1 1

1 1

d x i

x j

d x id x j

dV MM dtdt dtdt                        11111 11111

dxdidxdjd ixxjj x

dtdtdtdtdt   22

1 111111 1111 1111111

2x ix jx jx jx i

x ixj xj xi  

      2111111 2Mx xixxj      

   Pr. Achegaf Zineb

IV.Application2 ème

cas:estenmouvementderotationparrapportà:

Exercice:

CalculerdanscecaslesvecteursdelabasedeFrenet,lesaccélérations

normaleettangentielleetlerayondecourbure.28 Chapitre 3 : Changement de référentiel1  ,,nb   n t 

Pr. Achegaf Zineb

Exercices d’application:

1)Vecteur position du point M par rapport àet ?

2)Vecteur vitesse du point M par rapport àet ?

3)Vecteur accélération du point M par rapport àet ?O y 1x 1y 1, OOM 1, zzx A 29

Chapitre 3 : Changement de référentiel  1 1 1 Pr. Achegaf Zineb

Exercices d’application:

1)Vecteur position du point M par rapport àet ?

2)Vecteur vitesse du point M par rapport àet ?

3)Vecteur accélération du point M par rapport àet ?30 Chapitre 3 : Changement de référentiel  1 1 1 Px y1 x1 yO 1O PM z Pr. Achegaf Zineb

Exercices d’application:

1)Vecteur position du point M par rapport àet ?

2)Vecteur vitesse du point M par rapport àet ?

3)Vecteur accélération du point M par rapport àet ?31 Chapitre 3 : Changement de référentiel  1 1 1 A re e zx y' x

'zz' y' x' y Pr. Achegaf Zineb