Magnétostatique : Cours approximation des regimes quasi stationnaires
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En général, le champ électromagnétique mesuré en un point M à l'instant t est généré par des termes sources situés au point P. Ce champ se propage dans le vide ou dans un conducteur de P à M avec une vitesse c = 1 / √(ε₀μ₀). Le temps de propagation est donné par la relation suivante : tₚ = PM / c. Il n'y a pas de simultanéité des événements entre sources et position d'observation.
Définition
L'approximation des régimes quasi-stationnaires est l'étude des phénomènes électromagnétiques dans la limite où les temps de propagation peuvent être négligés. Soit T une durée caractéristique des variations temporelles des sources, alors l'ARQS se formule de la façon suivante : tₚ ≪ T ⇒ PM / c ≪ T ⇒ PM ≪ cT.
L'ARQS permet de rétablir la simultanéité entre sources et points d'observation et, par conséquent, de négliger les régimes transitoires.
Équations locales dans l'ARQS
Dans le cadre de l'ARQS, on établit l'approximation suivante : ∇ × E = 0 (équation locale du magnétisme dans l'ARQS).
Les équations de Maxwell dans l'ARQS s'écrivent comme suit : div E = ρ / ε₀ (équation de Gauss) div B = 0 (équation du flux) rot B = μ₀ J (équation d'Ampère).
Induction de Neumann et champ électromoteur Eₘ
Équation de Maxwell-Faraday
En absence d'une force électromotrice extérieure, une boucle conductrice C est à potentiel nul : ∇ × E = 0 ⇒ ∮C E · dl = VA − VB = e = 0 V.
Lorsqu'on place cette boucle dans un champ magnétique temporellement variable, une force électromotrice (f.e.m) apparaît : e(t) = ∮C E · dl = − dΦB / dt = − d/dt (∫∫Σ B · dS) = − ∫∫Σ ∂B / ∂t · dS.
Sachant que la surface Σ est arbitraire, on déduit l'équation locale de Maxwell-Faraday : ∇ × E = − ∂B / ∂t.
Champ de Von Neumann
Reprenons l'équation de Maxwell-Faraday qu'on vient d'établir et écrivons le champ magnétique en fonction du champ potentiel magnétique : ∇ × E = − ∂ / ∂t (∇ × A) ⇒ ∇ × E + ∂A / ∂t = 0.
L'expression E + ∂A / ∂t dérive d'un champ potentiel scalaire tel que : E + ∂A / ∂t = − ∇V ⇒ E = − ∇V − ∂A / ∂t.
Il est clair qu'en régime permanent, le potentiel scalaire V n'est autre que le potentiel électrostatique étudié en première année. La grandeur Eₘ = − ∂A / ∂t est appelée champ électromoteur de Von Neumann.
Ambigüité sur V et A
Le potentiel vecteur magnétique est toujours défini à un gradient près : A = A' + ∇Φ.
Ceci mène à : E = − ∇V' + ∂Φ / ∂t − ∂A' / ∂t.
En posant V' = V + ∂Φ / ∂t, on trouve : E = − ∇V' − ∂A' / ∂t.
On voit bien la difficulté du choix des potentiels scalaires et vectoriels. Toutefois, l'ARQS permet de contourner cette difficulté en déterminant A et V en résolvant séparément ces deux équations aux dérivées partielles (E.D.P) : ∇²A = −μ₀ J et ∇²V = −ρ / ε₀.
Induction de Lorentz
Conducteur en mouvement dans un champ magnétique uniforme
Considérons un conducteur ohmique animé d'un mouvement à la vitesse v dans une région où règne un champ magnétique uniforme B. Les électrons du conducteur seront alors soumis à la composante magnétique de la force de Lorentz, et la différence de potentiel (d.d.p) entre les points M et N deviendra : VN − VM = ∫M→N (v × B) · dl = ∫M→N (v × B) dl.
En circuit ouvert, la force magnétique déplace les électrons dans le conducteur et les pousse à s'accumuler en N, donnant naissance à une charge positive en M. Une fois l'équilibre des forces est atteint, une différence de d.d.p apparaît entre M et N. La force électromotrice est alors définie comme étant la variation temporelle du flux coupé : e(t) = VN − VM = − δΦB / δt = − dΦB / dt.
Relation entre flux coupé et flux magnétique
Soit C un circuit filiforme fermé en déplacement dans un champ magnétique permanent B. Le flux magnétique qui traverse la surface Σ qui s'appuie sur le contour C est donné par l'expression suivante : Φ = ∫∫Σ B · dS.
Considérons un déplacement infinitésimal vδt du contour C. Par connexité, la surface délimitée par le contour C et la surface balayée Sc sont orientées dans le même sens, ce qui permet d'écrire : Φ(t + dt) = Φ(t) + δΦc ⇒ dΦ = δΦc.
En conséquence, la force électromotrice dans l'induction de Lorentz s'exprime aussi en fonction de la variation temporelle du flux magnétique : e(t) = − dΦ / dt.
Changement de référentiel et induction magnétique
Soit R le référentiel du laboratoire dans lequel s'effectue le mouvement rectiligne uniforme d'un circuit rigide à la vitesse v. Dans ce repère, l'induction est due principalement à la force magnétique qv × B. Par contre, dans le référentiel R' lié au circuit rigide, l'induction est de type Von Neumann. En d'autres termes, elle est due à la circulation du champ électromoteur E' produit par la variation du champ magnétique. Le problème est de déterminer la relation entre E' dans R' et le champ magnétique B dans R.
Une réponse rigoureuse à ce problème nécessite l'utilisation de la théorie de la relativité d'Einstein. Toutefois, pour des faibles vitesses de translation, il est possible de se passer du formalisme de la relativité et d'utiliser les formules de changement de référentiels galiléens.
La force exercée sur les porteurs de charges est la même, quelque soit le repère d'observation. Il en est de même pour la densité de courant dans le conducteur. Les observateurs de R et de R' obtiendront le même résultat de mesure de e ou de J si l'égalité suivante est vérifiée : E' = E + v × B.
Ce résultat montre que seul le champ électromagnétique (E, B) a une importance physique. La distinction entre le champ magnétique et électrique dépend du référentiel galiléen utilisé.
Généralisation de l'expression de la f.e.m
En général, l'induction pourra être causée à la fois par le déplacement du circuit filiforme dans un champ magnétique temporellement variable et par la variation locale du champ magnétique. On utilise la forme générale établie par Faraday : e(t) = − dΦ / dt.
Tout en prenant en compte que la dérivée temporelle inclut la variation locale du champ magnétique, telle que : − ∂Φ / ∂t = − ∫∫Σ ∂B / ∂t · dS, et la dérivée convective du flux ou flux coupé due au déplacement du circuit : − δΦc / δt = − ∫Γ (v × dl) · B.
Exemples d'induction
Boucle conductrice en mouvement dans un solénoïde infini
Le flux magnétique à travers la boucle s'écrit comme suit : Φ = ∫∫Σ B · dS = ∮C A · dl.
Le fait que B est nul à l'extérieur du solénoïde implique que le champ potentiel magnétique est uniforme à l'extérieur et dirigé suivant eθ : Aθ = μ₀ n a² / (2r) I.
L'expression du champ électromoteur est donnée par : Eθ = − μ₀ n a² / (2r) dI / dt eθ.
Bobine à nombre de spires variable
Considérons une bobine à spires rapprochées dans un champ B uniforme. Le circuit est fermé par l'intermédiaire d'un curseur mobile. En déplaçant ce dernier, le nombre de spires relié au circuit change, et par conséquent le flux aussi. Expérimentalement, on n'observe aucun courant induit dans le circuit électrique : − ∂A / ∂t = 0 et v × B = 0 ⇒ e(t) = 0.
Roue de Barlow
Soit un disque conducteur tournant à la vitesse ω dans un champ magnétique B uniforme et permanent. L'expression de la force électromotrice induite est : e = B ω r² / 2.
Circuits filiformes et coefficients d'induction
Coefficient d'induction mutuelle pour deux circuits
Soit deux circuits filiformes C₁ et C₂ parcourus respectivement par les courants I₁ et I₂. Ces deux circuits produisent des champs magnétiques B₁ et B₂. Soit le flux magnétique envoyé du circuit C₁ dans C₂ : Φ₁→₂ = ∫∫Σ₂ B₁ · dS₂ = ∮C₂ A₁ · dl₂ = μ₀ I₁ / (4π) ∮C₂ ∮C₁ dl₁ · dl₂ / r₁₂.
En posant M₂₁ = μ₀ / (4π) ∮C₂ ∮C₁ dl₂ · dl₁ / r₂₁, on trouve : Φ₁→₂ = M₂₁ I₁.
De la même manière, on peut définir le coefficient d'induction dû au flux produit par C₂ dans C₁ : Φ₂→₁ = M₁₂ I₂.
Les coefficients Mᵢⱼ sont appelés coefficients d'induction mutuelle ou encore inductance mutuelle. Ce sont des coefficients symétriques.
Coefficient d'induction mutuelle pour N circuits et induction propre
Dans le cas de N circuits en interaction électromagnétique, les coefficients d'induction mutuelle se définissent de la même manière : Φᵢ = Σj≠i Φj→i = Σj≠i Mᵢⱼ Iⱼ.
Dans le cas où le circuit électrique est sous l'influence du flux magnétique produit par son propre champ, on parle d'auto-induction telle que : Φᵢᵢ = Lᵢ Iᵢ.
Lᵢ est l'inductance propre du circuit, c'est une grandeur positive et elle s'exprime en Henry.
Matrice d'inductances
Pour un système à N circuits, le flux total qui traverse le circuit Cᵢ est donné par : Φᵢ = Lᵢ Iᵢ + Σj≠i Mᵢⱼ Iⱼ = Σj Mᵢⱼ Iⱼ.
Les Mᵢⱼ forment les coefficients de la matrice d'inductance du système.
Exemple : Inductance propre d'une bobine torique
Soit une bobine torique de section rectangulaire parcourue par un courant permanent I. En prenant en compte les considérations d'invariance et de symétrie, il est facile de montrer que le champ magnétique à l'intérieur de la bobine torique est dirigé suivant eθ. En appliquant le théorème d'Ampère, on trouve : Bint = μ₀ N I / (2πρ) eθ.
Le flux magnétique qui traverse une spire rectangulaire est égal à : Φ = ∫∫Σ Bint · dS = μ₀ N I / (2π) c ln(b/a) ρ.
Pour N spires, on aura : ΦT = μ₀ N² I / (2π) c ln(b/a).
L'inductance propre de la bobine torique s'obtient par le quotient : L = ΦT / I = N² μ₀ / (2π) c ln(b/a).
Auto-induction et circuits couplés
Auto-induction
Considérons un circuit électrique traversé par un flux magnétique variable. Une f.e.m apparaît dans le circuit électrique et s'écrit sous la forme : e(t) = − dΦ / dt.
Sachant que Φ = L I, la force électromotrice s'exprime sous la forme suivante : e(t) = − L dI / dt.
La f.e.m d'auto-induction ou encore de self-induction s'oppose toujours à la variation du courant électrique et lui impose une certaine inertie. L'auto-induction joue un rôle très important en électrocinétique et en électronique.
Exemple de l'importance de l'auto-induction
Étudions un circuit composé d'un générateur à force électromotrice E, d'un dipôle ohmique R, d'une bobine d'inductance L et d'un interrupteur K. Le courant électrique qui va circuler dans le circuit lorsque K est fermé est donné par : i(t) = (E / R) (1 − exp(−R/L t)).
À la limite, quand t → ∞, i = E / R.
Quand on ouvre l'interrupteur K à nouveau, le courant décroît rapidement, induisant une force électromotrice aux bornes de la bobine. Du fait que le circuit est ouvert, une décharge électrique peut se produire à cause de la grande différence de potentielle qui s'établit aux bornes de l'interrupteur.
Pour lutter contre ce phénomène néfaste pour les interrupteurs, on place en parallèle de ces derniers un condensateur pour absorber les charges lors de l'ouverture du circuit.
Système de circuits couplés
Soit un système de circuits électriques en interaction électromagnétique. Toute variation de courant dans le circuit Cᵢ induit une variation de flux dans chaque circuit du système, ce qui mène à l'apparition d'une f.e.m d'induction due aux couplages des circuits. L'expression de cette force électromotrice s'écrit : eᵢ = − dΦᵢ / dt = − Σj Mᵢⱼ dIⱼ / dt.
Soit Eᵢ la somme des autres forces électromotrices du circuit Cᵢ et Rᵢ la résistance totale des conducteurs ohmiques composant le circuit. Nous obtenons alors N équations couplées qui régissent le comportement des circuits couplés : Eᵢ − Σj Mᵢⱼ dIⱼ / dt − Rᵢ Iᵢ = 0.
Si en plus les circuits sont mobiles, alors il faut ajouter les f.e.m induites par le déplacement dans les expressions des Mᵢⱼ avec i ≠ j.
Exemple : Principe du transformateur
Un transformateur est un système composé de deux solénoïdes ou toroïdes couplés, l'un est appelé primaire et comporte n₁ spires, et l'autre est le secondaire avec n₂ spires. Pour simplifier le problème, nous allons considérer que le même flux magnétique traverse les spires du primaire et du secondaire.