Magnétostatique : Cours approximation des regimes quasi stationnaires
Télécharger PDFMagn ́etostatique
Induction Magn ́etique
Approximation des r ́egimes quasi-stationnaires (ARQS)
Approximation des r ́egimes quasi-stationnaires (ARQS)
En g ́en ́eral le champ ́electromagn ́etique mesur ́e en un point M `a l’instant t est
g ́en ́er ́e par des termes sources situ ́es au point P. Ce champ se propage dans le
vide ou dans un conducteur de P `a M avec une vitesse c =1 √ε 0μ 0
. Le temps de
propagation est donn ́e par la relation suivante tp =PM c. abscence des simultan ́eit ́es des ́ev ́enements entre sources et position
d’observation.
D ́efinition
L’approximation des r ́egimes quasi-stationnaires est l’ ́etude des ph ́enom`enes ́electromagn ́etique dans la limite o`u les temps de propagation peuvent ˆetre
n ́eglig ́es. Soit T une dur ́ee caract ́eristique des variations temporelles des sources
alors l’ARQS se formule de la fa ̧con suivante :t P
� T⇒PM c
� T⇒ PM� cT
L’ARQS permet de r ́etablir la simultan ́eit ́ee entre sources et points
d’observation et par cons ́equent de n ́egliger les r ́egimes transitoires.
Magn ́etostatique
Induction Magn ́etique
Approximation des r ́egimes quasi-stationnaires (ARQS) ́
Equations locales dans l’ARQS
Dans le cadre de l’ARQS, on ́etablit l’approximation suivante :�rotB�� �� �� 1c 2∂E ∂t� �� � ́
Equation local du magn ́etisme dans le cadre de l’ARQS :
divE =ρ ε0 divB = 0 ́equation de Gauss ́equation duflux
rotB =μ0 J ́equation d’Amp`ere
Magn ́etostatique
Induction Magn ́etique
Induction de Newmann et champ ́electromoteur E
m ́
Equation de Maxwell-Faraday
En abscence d’une force ́electromotrice ext ́erieure une boucle conductrice
C est `a potentiel nul :
rotE = 0⇒� C
Edl = VA − VB = e = 0V
Lorsqu’on met cette boucle dans un champ magn ́etique temporellement
variable, une f.e.m apparait :
e(t) =� C
E.dl =�� Σ
rotEdS�=0
e (t) =−dΦ dt=− ddt ��Σ BdS =−�� Σ∂B ∂tdS Sachant que la surfaceΣ est arbitraire alors on d ́eduit l’ ́equation locale
de Maxwell-Faraday :
rotE =−∂B ∂t
Magn ́etostatique
Induction Magn ́etique
Induction de Newmann et champ ́electromoteur Em Champ de Von Neumann
Reprennons l’ ́equation de Maxwell-Faraday qu’on vient d’ ́etablir et ́ecrivons le
champ magn ́etique en fonction du champ potentiel magn ́etique :
rotE =−∂ ∂t
(rotA) =−rot� ∂A∂t �rot �
E +∂A ∂t� = 0
L’expression E +∂A ∂t
d ́erive d’un champ potentiel scalaire tel que :
E +∂A ∂t
=−∇V⇒ E =−∇V−∂A ∂t
Il est claire qu’en r ́egime permanent, le potentiel scalaire V n’est autre que le
potentiel ́electrostatique ́etudi ́e en 1 ́ere
ann ́ee. La grandeur Em =−∂A ∂test appel ́e champ ́electromoteur de Von Neumann.
Magn ́etostatique
Induction Magn ́etique
Induction de Newmann et champ ́electromoteur Em Ambiguit ́e surV et A
Le potentiel vecteur magn ́etique est toujours d ́efini `a un gradient pr ́es :
A = A� +∇Φ
Ceci m`ene `a :
E =−∇� V +∂Φ ∂t� −∂A �∂t En posant V� = V +∂Φ ∂t
on trouve :
E =−∇V� −∂A �∂t On voit bien la difficult ́e du choix des potentiels scalaires et vectoriels.
Toutefois, l’ARQS permet de contourner cette difficult ́e du fait qu’on peut
d ́eterminer A et V en r ́esolvant s ́eparemment ces deux E.D.P :∇ 2
A =−μ0 J
etΔV =−ρ ε0 Magn ́etostatique
Induction Magn ́etique
Induction de Lorentz
Conducteur en mouvement dans un champ magn ́etique uniforme
Consid ́erons un conducteur ohmique anim ́e d’un mouvement `a la vitesse
v dans une r ́egion o`u r ́egne un champ magn ́etique uniforme B. Les ́electrons du conducteur seront alors soumis `a la composante magn ́etique
de la force de Lorentz et la d.d.p entre les points M et N deviendra :V N
− VM =N �M v∧ B.dl =N �M v∧ BdlV N
− VM =−N �M drdt ∧ dlB =−N �M δ2 Φc dt=− δΦc dt
En circuit ouvert, la force magn ́etique d ́eplace les ́electrons dans le
conducteur et les poussent `a s’accumuler en N donnant naissance `a une
charge positive en M. Une fois l’ ́equilibre des forces est atteint une
diff ́erence d.d.p apparait entre M et N. La force ́electromotrice est d ́efini
alors comme ́etant la variation temporelle duflux coup ́e :
e (t) = VN − VM =−δΦ cdt Magn ́etostatique
Induction Magn ́etique
Induction de Lorentz
Relation entreflux coup ́e etflux magn ́etique
SoitC un circuitfiliforme ferm ́e en d ́eplacement dans un champ
magn ́etique permanent B. Leflux magn ́etique qui traverse la surfaceΣ
qui s’appuie sur le contourC est donn ́e par l’expression suivante :
Φ =�� ΣBds Consid ́erons un d ́eplacement infin ́et ́esimal vδt du contourC. Par
connexit ́e, la surface d ́elimit ́ee par le contourC et la surface balay ́e Sc sont orient ́ees dans le mˆeme sens cel`a permet d’ ́ecrire :
Φ (t + dt) =Φ(t) +δΦc dΦ =δΦc En cons ́equence la force ́electromotrice dans l’induction de Lorentz
s’exprime aussi en fonction de la variation temporelle duflux magn ́etique :
e (t) =−dΦ dt
Magn ́etostatique
Induction Magn ́etique
Induction de Lorentz
Changement de r ́ef ́erentiel et induction magn ́etique
SoitR le r ́ef ́erentiel du laboratoir dans lequel s’effectue le mouvement
rectiligne uniforme d’un circuit r ́egide `a la vitesse v. Dans ce rep`ere,
l’induction est due principalement `a la force magn ́etique qv∧ B. Par
contre, dans le r ́ef ́erentielR� li ́e au circuit r ́egide, l’induction est de type
Von Newmann. En d’autres termes, elle est due `a la circulation du champ ́electromoteur E� produit par la variation du champ magn ́etique. Le
probl`eme est de d ́eterminer la relation entre E� dansR� et le champ
magn ́etique B dansR. Une r ́eponse rigoureuse `a ce probl`eme necessite
l’utilisation de la th ́eorie de la relativit ́e d’Einstein, toutefois pour des
faibles vitesses de translation il est possible de se passer du formalisme de
la relativit ́e et d’utiliser les formules de changement de r ́eferentiels
galil ́eens. La force exerc ́e sur les porteurs de charges est la mˆeme quelque
soit le rep`ere d’observation, il est de mˆeme pour la densit ́e de courant
dans le conducteur. Les observateurs deR et deR� obtienderons le
mˆeme r ́esultat de mesure de e ou de J si l’ ́egalit ́e suivante est v ́erifi ́ee :E �
� ve ∧ B
Magn ́etostatique
Induction Magn ́etique
Induction de Lorentz
Changement de r ́ef ́erentiel et induction magn ́etique
Cette relation garanti l’ ́egalit ́e de la force de Lorentz dans les deux
r ́ef ́erentiels. Plus g ́en ́eralement cette ́egalit ́e en plus de la loi de
composition des vitesses conduit `a :E �
= E + ve ∧ Bet B = B� Ce r ́esultat montre que seul le champ ́electromagn ́etique (E, B) a une
importance physique. La distinction entre le champ magn ́etique et ́electrique d ́epend du r ́eferentiel galil ́een utilis ́e.
Magn ́etostatique
Induction Magn ́etique
Induction de Lorentz
G ́en ́eralisation de l’expression de laf.e.m
En g ́en ́eral l’induction pourra ˆetre caus ́e `a la fois par le d ́eplacement du
circuitfiliforme dans un champ magn ́etique temporellement variable ce
qui nous contrains `a consid ́erer les deux types d’induction :e MN= N� ME m
dl =N �M �
v∧ B−∂A ∂t� dl
En g ́en ́eral, on utilise la forme g ́en ́erale ́etablie par Faraday :
e(t) =−dΦ dt
Tout en prenant en compte que la d ́eriv ́e temporelle inclut la variation
local du champ magn ́etique telle que :− ∂Φ∂t =−�� Σ∂B ∂tdS et la d ́eriv ́e convective duflux ouflux coup ́e du au d ́eplacement du
circuit :− δΦc δt=− �Γ (v∧ dl) B
Magn ́etostatique
Induction Magn ́etique
Induction de Lorentz
Exemples d’induction
Boucle conductrice enla ̧cant un Sol ́eno ̈
ıde infini
Leflux magn ́etique `a travers la boucle s’ ́ecrit comme suit :
Φ =�� Σ
B.dS =� CAdl Le fait que B est nul `a l’ext ́erieur du sol ́eno ̈
ıde implique que le
champ potentiel magn ́etique est uniforme `a l’ext ́erieur et dirig ́e
suivant eθ :A θ= μ0 na2 2rI L’expression du champ ́electromoteur est donn ́ee par :E θ=− μ0 na2 2rdI dte θ
Magn ́etostatique
Induction Magn ́etique
Induction de Lorentz
Exemples d’induction
Bobine `a nombre de spires variable
Consid ́erons une bobine `a spires rapproch ́ees dans un champ B
uniforme. Le circuit est ferm ́e par l’interm ́ediaire d’un curseur
mobile. En d ́epla ̧cant ce dernier le nombre de spires reli ́e au circuit
change et par cons ́equent leflux aussi. Exp ́erimentalement, on
n’observe aucun courant induit dans le circuit ́electrique. :− ∂A∂t = 0et� ve ∧ B = 0⇒ e(t) = 0
Magn ́etostatique
Induction Magn ́etique
Induction de Lorentz
Exemples d’induction
Roue de Barlow
Soit un disque conducteur tournant `a la vitesseω dans un champ
magn ́etique B uniforme et permanent.
Figure –Roue de Barlow
L’expression de la force ́electromotrice induite est : e = Bωr 22 Magn ́etostatique
Induction Magn ́etique
Circuitsfiliformes et coefficients d’induction
Coefficient d’induction mutuelle pour deux circuits
Soit deux circuitsfiliformesC1 etC2 parcourus respectivement par les
courants I1 et I2 . Ces deux circuits produisent des champ magn ́etiquesB 1
et B2 . Soit leflux magn ́etique envoy ́e du circuitC1 dansC2 :Φ 1→2= ��Σ 2B 1dS 2= �C 2A 1dl 2= μ0 I1 4π� C2 �C 1dl 1dl 2r 12
En posantM 21= μ0 4π� C2 �C 1dl 2dl 1r 21
On trouve :Φ 1→2
= M21 I1 De la mˆeme mani`ere on peut d ́efinir le coefficient d’induction du auflux
produit parC2 dansC1 :Φ 2→1
= M12 I2 Les coefficients Mij sont appel ́es coefficient d’induction mutuelle ou
encore inductance mutuelle. Ce sont des coefficients sym ́etriques.
Magn ́etostatique
Induction Magn ́etique
Circuitsfiliformes et coefficients d’induction
Coefficient d’induction mutuelle pour N circuits et induction propre
Dans le cas de N circuits en interaction ́electromagn ́etique, les
coeficiients d’induction mutuelle se d ́efinissent de la mˆeme mani`ere :Φ �i =� j�=iΦ j→i= �j�=i Mij Ij avec Mij est l’inductance mutuelle entre les circuitsCi etCj . Dans le cas
ou le circuit ́electrique est sous l’influence duflux magn ́etique produit par
son propre champ alors dans ce cas on parle d’auto-induction telle queΦ ii
= Li Ii avec Li est l’inductance propre du circuit, c’est une grandeur
positif et elle s’exprime en Henry.
Matrice d’inductances
Pour un syst`eme `a N circuits, leflux total qui traverse le circuitCi est
donn ́e par :Φ i
= Li Ii +� j�=iM ijI j= �j Mij Ij Les Mij forment les coefficients de la matrice d’inductance du syst`eme.
Magn ́etostatique
Induction Magn ́etique
Circuitsfiliformes et coefficients d’induction
Exemple : Inductance propre d’une bobine torique
Soit une bobine torique de section rectangulaire parcourue par un courant
permanant I. En prenons en compte les consid ́erations d’invariance et de
sym ́etrie il est facile de montrer que le champ magn ́etique `a l’int ́erieur de
la bobine torique est dirig ́e suivant eθ . En appliquant le th ́eor`eme
d’Amp`ere, on trouve :B int= μ0 NI2πρ eθ Leflux magn ́etique qui traverse une spire rectangulaire est ́egale `a :
Φ =�� ΣB int
dS =μ 0NI 2πc b� adρ ρ
Pour N spires on aurra :Φ T= μ0 N2 2π
Ic lnb a
L’inductance propre de la bobine torique s’obtient par le quotient :
L =Φ TI =N 2μ 02π c lnb a
Magn ́etostatique
Induction Magn ́etique
Auto-induction et circuits coupl ́es :
Auto-induction
Consid ́erons un circuit ́electrique travers ́e par unflux magn ́etique variable.
Une f.e.m apparait dans le circuit ́electrique et s’ ́ecrit sous la forme :
e (t) =−dΦ dt
Sachant que :
Φ = LI
La force ́electromotrice s’exprime sous la forme suivante :
e (t) =−LdI dt
avec e (t) est la force ́electromotrice d’auto-induction ou encore de
self-induction. Elle s’oppose toujours `a la variation du courant ́electrique
et lui impose une certaine inertie. L’auto-induction joue un rˆole tr`es
important en ́electrocin ́etique et en ́electronique.
Magn ́etostatique
Induction Magn ́etique
Auto-induction et circuits coupl ́es :
Exemple de l’importance de l’auto-induction ́
Etudions un circuit compos ́e d’un g ́en ́erateur `a force ́electromotrice E,
d’un dipole ohmique R, d’une bobine d’inductance Let d’un interupteur
K. Le courant ́electrique qui va circuler dans le circuit lorsque K est
ferm ́e est donn ́e par :
i (t) =E R� 1− exp� −R Lt ��
→ i =E R
quand t→∞
Quand on ouvre l’interupteur K `a nouveau, le courant d ́ecroit rapidement
induisant une force ́electromotrice au borne de la bobine et du fait que le
circuit est ouvert une d ́echarge ́electrique peut se produire `a cause de la
grande diff ́erence de potentielle qui s’ ́etablit aux bornes de l’interupteur.
Pour lutter contre ce ph ́enom`ene n ́efaste pour les interupteurs, on place
en parall`ele de ces derniers un condenstaeur pour absorb ́e les charges lors
de l’ouverture du circuit.
Magn ́etostatique
Induction Magn ́etique
Auto-induction et circuits coupl ́es :
Syst`eme de circuits coupl ́es
Soit un syst`eme de circuits ́electrique en interaction ́electromagn ́etique.
Toute variation de courant dans le circuitCi induit une variation deflux
dans chaque circuits du syst`eme. ceci m`ene `a l’apparition d’une f.e.m
d’induction due aux couplages des circuits. L’expression de cette force ́electromotrice s’ ́ecrit :e i=− dΦi dt=− �j Mij dIj dt
Soit Ei la somme des autres forces ́electromotrice du circuitCi et Ri la
r ́esistance totale des conducteurs ohmiques composant le circuit. Nous
obtenons alors N ́equations coupl ́ees qui r ́egissent le comportement des
circuits coupl ́es :E i− �j Mij dIj dt
− Ri Ii = 0
Si en plus les circuits sont mobiles, alors il faut ajouter les f.e.m induites
par le d ́eplacement dans les expressions des Mij avec i�= j.
Magn ́etostatique
Induction Magn ́etique
Auto-induction et circuits coupl ́es :
Exemple : Principe du transformateur
Un transformateur est un syst`eme compos ́e de deux sol ́enoides ou
toroides coupl ́es, l’un est appel ́e primaire et comportant n1 spires et
l’autre est le secondaire avec n2 spires. Pour simplifier le probl`eme, nous
allons consid ́erer que le mˆemeflux magn ́etique traverse les spires du
primaire et du secondaire. soitΦ1 = n1 φ leflux qui traverse le primaire etsoitΦ 2
= n2 φ leflux qui traverse le secondaire. Appliquons une f.e.m
variable au primaire : e1 . Si R1 est la r ́esistance du circuit du primaire :e 1− dΦ1 dt
− RI1 = 0
Une f.e.m e2 induite apparait dans le circuit du secondaire tel que :e 2=− dΦ2 dt=−n 2dφ dt
En combinant les deux ́equations et en consid ́erant la r ́esistance du
circuit du primaire tr`es faible, on aboutit `a l’expression du rapport de
transformation :e 2e 1=− n2 n1 Magn ́etostatique
Induction Magn ́etique
Auto-induction et circuits coupl ́es :
Quantit ́e d’ ́electricit ́e d ́eplac ́e dans un circuit
Soit un circuit ind ́eformable dans un champ magn ́etique B.` A l’instant
initial t1 supposons que notre circuit est immobile, le courant i1 qui le
traverse est nul. Ult ́erieurement, leflux magn ́etique qui traverse le circuit
vari par d ́eplacement du circuit ou par variation du champ magn ́etique ou
les deux. `a l’instantfinal t2 le circuit est `a nouveau immobile, le couranti 2
qui le traverse est `a nouveau nul. La quantit ́e d’ ́electricit ́eQ qui a
travers ́e une section droite du circuit entre les instants t1 et t2 peut ˆetre
calcul ́e `a partir de :− dΦdt − Ldi dt
= Ri
Q =t 2� t1 idt =−L Rt 2� t1 di−1 Rt 2� t1 dΦ
Q =−ΔΦ R
C’est la relation de base desfluxm`etres.
Magn ́etostatique
Induction Magn ́etique
Applications, machines touranantes g ́en ́eratrices
Alternateurs
Soit une bobine `a N spires de surface S et qui tourne `a une vitesse
angulaire uniformeω dans un champ magn ́etique uniforme B autour de
l’un de ces diam`etres perpendiculaire `a B. Leflux magn ́etique `a l’instant
t `a travers la bobine est donn ́e par :
Φ = N BS = NBS cos (ωt +φ)
Le variation duflux dans la bobine entraine l’existance d’une f.e.m dont
l’expression est donn ́ee par :
e (t) = NBS sin (ωt +φ)
Un tel syst`eme constitue ce qu’on appelle un alternateur `a induit mobile.
Parfois il est plus d ́esirable d’utiliser des induitsfixes et des aimants ou ́electroaimant tournants, dans ce cas on parle d’alternateur `a induitfixe.
Les alternateurs de puissance ont un bobinage enroul ́e sur une carcasse
de fer doux pour canaliser le champ magn ́etique. L’inducteur est une
bobine `a noyau de fer parcourue par un courant continue et qui tourne `a
une vitesse constante.
Magn ́etostatique
Induction Magn ́etique
Applications, machines touranantes g ́en ́eratricesDynamos Une spire tournante dans un champ magn ́etique uniforme est si ́ege d’une
f.e.m sinuso ̈
ıdale. Pour contraindre la force ́electromotrice `a ne pas
pr ́esenter des alternances de signe oppos ́e, on doit r ́ealiser des
commutations, en parfaite synchronisme avec la rotation, `a chaque fois
que la f.e.m s’annule. C’est le rˆole du collecteur.
Pour enlever l’ondulation dans la f.e.m on utilise des induits comportants
un nombre important (n = 2k)de conducteurs r ́eguli`erement espac ́es et
convenablement reli ́e entre eux avec un collecteur `a k lames distinctes.
On obtient une force ́electromotrice quasi-constante dont l’expression
rapproch ́e est :
e = nNΦ0 N est le nombre de tour par seconde, n le nombre de conducteurs actifsetΦ 0
est leflux maximal `a travers une spire. Le champ magn ́etique
externe est produit par un circuit auxilli`ere : l’inducteurfixe ; il peut ˆetre
aliment ́e soit par un g ́en ́erateur externe soit par une fraction d ́eriv ́e du
courant produit (dynamo `a excitation parall`ele) ; Soit encore, et c’est le
cas le plus rare, en configuration s ́erie.
Magn ́etostatique
Induction Magn ́etique
Applications, machines touranantes g ́en ́eratrices
Courants de Foucault
Dans un conducteurfiliforme la trajectoire du courant induit est
g ́eom`etriquement bien d ́efini. Dans un conducteur volumique, les
courants induits circulent dans la masse du conducteur. On les appelle
courants de Foucault. L’ ́energie qu’ils transportent est dissip ́e sous forme
de chaleur par effet de Joule. En g ́en ́eral c’est un ph ́enom`ene parasite
qu’on cherche `a cerner. C’est pour cette raison que les noyaux de fer
doux des transformateurs emploient des toles feuillet ́ees. Les
discontinuit ́es introduites dans la masse augmentent la r ́esistance et par
cons ́equent diminuent l’importance des courants de Foucault.
Dans d’autres domaines, les courants de Foucault sont utilis ́e pour
chauffer commod ́ement les m ́etaux ou les corps non conducteur plac ́e
dans un creuset m ́etalique. C’est le chauffage par induction ; la partie
m ́etallique qui chauffe est alorsfixe et joue le rˆole du secondaire d’un
transformateur. Un conducteur mobile est soumis `a la force de laplace du
fait de l’existance de ces courants. cette force est appliqu ́ee dans la
direction oppos ́e du mouvement. elle joue le rˆole de frein ́electromagn ́etique propri ́et ́e qui est fortement exploit ́e pour r ́ealiser le
freinnage des grands v ́ehicules automobiles.
Magn ́etostatique
Induction Magn ́etique
Applications, machines touranantes g ́en ́eratrices
Densit ́e des courants de Foucault
Soit un conducteurC de forme cylindrique de rayon a et de hauteur h.C
est plong ́e dans un champ magn ́etique uniforme et sinuso ̈
ıdale tel que B
est dirig ́e suivant l’axe deC. Le champ ́electromoteur est de type Von
Neumann ; il est donn ́e par :E m=− ∂A∂t Soit M un point deC. Le plan qui passe par M et contient l’axe (oz) est
un plan de d’anti-sym ́etrie de A. Ceci m`ene `a consid ́erer que Aest dirig ́e
suivant eθ . Sachant que :
Φ =� Γ
Adl = Bm πr2 cos (ωt)
ceci permet d’obtenir :E m= ωBm r2 sin (ωt) eθ Calculons la densit ́e de courant dansC
J =γEm =γωr 2B m
sin (ωt) eθ Magn ́etostatique
Induction Magn ́etique
Applications, machines touranantes g ́en ́eratrices
Puissance dissip ́ee
La puissance ́electrique dissip ́ee est donn ́ee par :
P =��� JEdτ =1 γ��� J2 dτ =� γω2 B2 m4 �sin 2(ωt) ���r 3drdθdz P =� γπha4 8� ω2 B2 msin 2(ωt) La puissance moyenne s’obtient en int ́egrant la puissance sur une p ́eriode
temporelle :
�P� =� γπha4 16� ω2 B2 m
La densit ́e de puissance est donn ́ee par :
p =�P� πa2 h= �γa 216 �ω 2B 2m en W/m3 Pour minimiser les pertes de dissipation on r ́eduit la section du
conducteur tel que :p �= pn pour b =a n
Magn ́etostatique
Induction Magn ́etique
Effet de peau
Courant dans un conducteur
Consid ́erons un conducteur ohmique en pr ́esence d’un champ magn ́etique
variable dans le temps. Dans le cadre de l’ARQS, le conducteur est r ́egie
par les ́equations suivantes :
rotE =−∂B ∂t
,rotB =μ0 J
etJ =γE
Essayon de d ́ecoupler ces trois ́equations :
rotrotE =∇ (divE)−∇2 E =−μ0 ∂J∂t Sachant que le conducteur est neutre ́electriquement ceci m`ene `a
divE = 0 et∇2 E =1 γ∇ 2
J. On aboutis alors `a l’ ́equation aux d ́eriv ́es
partielle qui r ́egie le comportement du courant dans le conducteur
ohmique :∇ 2J−μ 0γ ∂J∂t = 0
Cette ́equation se r ́esolve en consid ́erons les conditions initiales et les
conditions aux limites telles que :
J (t = 0) = 0 et J.n = 0
Magn ́etostatique
Induction Magn ́etique
Effet de peauExemple Consid ́erons un champ magn ́etique `a variation harmonique dans le temps.
Consid ́erons aussi que la densit ́e de courant varie en fonction de z et
qu’elle est dirig ́e suivant ex . Introduisons ces informations dans l’e.d.p on
trouve :d 2J dz2 + iμ0 ωγJ = 0Posantκ 2
= iμ0 ωγ, la solution g ́en ́erale de cette ́equation s’ ́ecrit :
J = J0 exp (iκz)
avecκ = (1 + i)� μ0 ωγ2 . Posantδ−1 =� μ0 ωγ2 la solution r ́eelle s’ ́ecrira
alors :
J = J0 exp� −z δ� cos� zδ −ωt� Le terme exp� −z δ� repr ́esente l’att ́enuation exponentielle du courant dans
la direction des z croissants `a partir de la surface du conducteur, c’est
l’effet de la peau.δ est la profondeur de p ́en ́etration, elle varie avec la
fr ́equence, elle est d’autant plus importante que la fr ́equence est basse.
Magn ́etostatique
Induction Magn ́etique ́
Energie magn ́etique :
Circuitfiliforme, r ́egide et immobileI
Soit un circuit compos ́e d’un g ́en ́erateur de f.e.m e0 , d’un
interupteur K, d’une r ́esistance R et d’une bobine d’inductance
propre L. Lorsqu’on ferme l’interupteur, un courant i circule dans
le circuit. Son ́evolution est r ́egie par l’ ́equation :e 0
− Ri− Ldi dt
= 0
Multiplions cette EDO par idt :e 0
idt = Ri2 dt + Lidie 0
idt est le travail fournie par le g ́en ́erateur pendant le temps
dt .
Magn ́etostatique
Induction Magn ́etique ́
Energie magn ́etique :
Circuitfiliforme, r ́egide et immobileIIRi 2
dt repr ́esente l’ ́energie chalorifique dissip ́ee par effet de
Joule pendant le temps dt.
Lidi repr ́esente alors l’ ́energie absorb ́ee par la bobine pour
faire passer le courant, contre la volont ́e de la f.e.m
dauto-induction, dans le circuit pendant le temps dt.
Si i(t).passe de 0 `a I pendant le temps t alors l’ ́energie magn ́etiqueU m
emmagazin ́ee dans la bobine est donn ́ee par :U m= I� 0
Lidi =LI 22 Magn ́etostatique
Induction Magn ́etique ́
Energie magn ́etique :
Circuitfiliforme, r ́egide et immobileIII
Sachant queΦ = LI, l’ ́energie magn ́etique peut prendre aussi la
forme suivante :U m= 12 ΦI
Magn ́etostatique
Induction Magn ́etique ́
Energie magn ́etique :
Cas de deux circuits r ́egides coupl ́es et immobilesI
Soient deux circuits coupl ́esC1 etC2 parcourus par les intensit ́es i1 et i2 d’inductances propres L1 et L2 et d’inductance mutuelle M.
Lorsque les courants i1 et i2 varient dans le temps, des f.e.m
d’induction apparaissent dansC1 etC2 . Effectuon