Magnétostatique : Td 2 electromagnetisme
Télécharger PDFSérie 2 des travaux dirigés en Modulation Analogique & Numérique
Pr. H. BELKEBIR
Département GEI
Filière GTR II
December 2, 2017
Exercice 1 : Champ dans un tore
On considère un ensemble formé de N spires enroulées autour d’un tore, dans lesquelles circule un courant I.
1. Quel est le champ magnétique à l’intérieur du tore ?
2. Montrer qu’à l’extérieur du tore, le champ magnétique est nul.
Exercice 2 : Calcul d’une densité volumique de courant
Un cylindre de hauteur infinie et de rayon R est parcouru par un courant I suivant son axe (Oz). Ce courant n’est pas réparti uniformément dans le cylindre ; la densité volumique de courant J est parallèle à l’axe du cylindre et ne dépend que de la distance r à cet axe (J = J(r)e_z).
1. Décrire les lignes du champ magnétique B créé par ce courant.
2. Déterminer J(r) pour que la norme de B soit constante et égale à B₀ à l’intérieur du cylindre. Calculer alors I.
Exercice 3 : Deux fils rectilignes parcourus par des courants opposés
On considère deux fils rectilignes de longueur infinie, distants de a, parcourus respectivement par un courant I et –I.
1. Calculer le champ magnétique B en M.
2. Montrer que la norme de B ne dépend que de I, a, r₁ = OM et r₂ = O'M.
3. Tracer qualitativement les lignes de champ de B.
Exercice 4 : Le rail de Laplace
Un circuit est constitué par deux rails métalliques, parallèles, horizontaux, sans résistance, et dont l’écartement est l. Les rails sont reliés, à l’une de leur extrémité, par une résistance R. Une barre métallique, sans résistance, de masse m, peut glisser sans frottement sur les rails. Le tout est plongé dans un champ magnétique vertical et uniforme B.
À t = 0, la barre est en x = 0, elle a une vitesse v₀e_x, puis elle est abandonnée à elle-même.
1. Expliquer pourquoi un courant induit I(t) apparaît (sans le calculer). Indiquer le sens de ce courant sur un petit croquis.
2. Donner l’expression de I(t) en fonction des données du problème et de la vitesse instantanée v(t) de la barre.
3. Trouver et donner la solution de l’équation différentielle satisfaite par v(t). En déduire la position de la barre x(t). Que devient finalement l’énergie cinétique initiale de la barre ?
Exercice 5 : Induction dans un cerceau tournant
Une bobine d’axe vertical crée un champ magnétique uniforme et constant B, au voisinage de son extrémité supérieure. On fait tourner dans ce champ un cerceau de diamètre d autour de son axe horizontal à vitesse constante.
Sur ce cerceau sont enroulées N spires de fil de résistance négligeable, auquel est branchée une ampoule de résistance R.
1. Expliquer ce qui se passe (et pourquoi) si le cerceau tourne assez vite. Comment s’appelle le phénomène mis en évidence ?
2. On appelle P la puissance minimale qu’il faut fournir à l’ampoule pour qu’elle s’allume. À quelle fréquence f faut-il faire tourner le cerceau pour observer le phénomène décrit en (1) ?
Données numériques : N = 10, B = 0,1 T, P = 3 W, R = 12 Ω, d = 1 m.
Exercice 6 : Induction de Neumann
Une spire conductrice indéformable de rayon a et de résistance R est plongée dans un champ magnétique variable B = B₀cos(ωt)e_x – B₁sin(ωt)e_z. La spire est horizontale (dans le plan Oxy) et immobile.
1. Calculer le flux de champ magnétique à travers la spire à l’instant t.
2. Calculer le courant induit dans la spire I(t).
3. Calculer le champ magnétique induit en un point de l’axe de la spire.
Exercice 7 : Induction dans un carré au voisinage d’un fil
Un carré conducteur indéformable, de côté a, est posé sur une table horizontale, à côté d’un fil infini parcouru par un courant I. Le fil est parallèle à un côté du carré.
1. Calculer le flux de B à travers le carré.
2. On déplace le carré sur la table avec une vitesse constante v de deux façons différentes :
(a) v est parallèle au fil ;
(b) v est perpendiculaire au fil et s’éloigne du fil.
3. Indiquer dans les deux cas le sens du courant induit dans le circuit.
Exercice 8 : Inductance d’une bobine
Calculer l’inductance L d’un solénoïde très long constitué de N spires et de longueur l. On négligera les effets de bords pour le calcul du champ magnétique.
Exercice 9 : Champ magnétique et inductance d’un tore
On considère N spires (N ≫ 1) d’un fil conducteur, enroulées régulièrement autour d’un tore de section rectangulaire (hauteur = a, largeur = b) et de rayon interne r₁. Un courant permanent I circule dans ce fil.
1. Quels sont les plans de symétrie du système ? Tracer quelques lignes de champ du champ magnétique B créé par I.
2. Déterminer B dans tout l’espace.
3. En déduire l’inductance L (coefficient d’auto-induction) de cette bobine torique.
Formulaire : Calcul vectoriel et coordonnées
Coordonnées cartésiennes (x, y, z)
grad V = ∂V/∂x e_x + ∂V/∂y e_y + ∂V/∂z e_z
div A = ∂A_x/∂x + ∂A_y/∂y + ∂A_z/∂z
rot A = (∂A_z/∂y – ∂A_y/∂z) e_x + (∂A_x/∂z – ∂A_z/∂x) e_y + (∂A_y/∂x – ∂A_x/∂y) e_z
∆V = ∂²V/∂x² + ∂²V/∂y² + ∂²V/∂z²
Coordonnées cylindriques (ρ, φ, z)
grad V = ∂V/∂ρ e_ρ + (1/ρ) ∂V/∂φ e_φ + ∂V/∂z e_z
div A = (1/ρ) ∂(ρA_ρ)/∂ρ + (1/ρ) ∂A_φ/∂φ + ∂A_z/∂z
rot A = (1/ρ) (∂A_z/∂φ – ∂A_φ/∂z) e_ρ + (∂A_ρ/∂z – ∂A_z/∂ρ) e_φ + (1/ρ) (∂(ρA_φ)/∂ρ – ∂A_ρ/∂φ) e_z
∆V = (1/ρ) ∂(ρ ∂V/∂ρ)/∂ρ + (1/ρ²) ∂²V/∂φ² + ∂²V/∂z²
Coordonnées sphériques (r, θ, φ)
grad V = ∂V/∂r e_r + (1/r) ∂V/∂θ e_θ + (1/r sinθ) ∂V/∂φ e_φ
div A = (1/r²) ∂(r²A_r)/∂r + (1/r sinθ) ∂(sinθ A_θ)/∂θ + (1/r sinθ) ∂A_φ/∂φ
rot A = (1/r sinθ) (∂(sinθ A_φ)/∂θ – ∂A_θ/∂φ) e_r + (1/r) (∂(r A_φ)/∂φ – ∂A_r/∂φ) e_θ + (1/r) (∂(r A_θ)/∂r – ∂A_r/∂θ) e_φ
∆V = (1/r²) ∂(r² ∂V/∂r)/∂r + (1/r² sinθ) ∂(sinθ ∂V/∂θ)/∂θ + (1/r² sin²θ) ∂²V/∂φ²
Théorèmes utiles
Théorème d’Ostrogradsky–Green : Pour une surface fermée S délimitant un volume τ, on a ∮_S A · dS = ∭_τ (div A) dτ.
Théorème de Stokes–Ampère : Pour une courbe fermée C bordant une surface S, on a ∮_C A · dl = ∮_S (rot A) · dS.
Foire aux questions (FAQ)
1. Comment calculer le champ magnétique dans un tore ?
Le champ magnétique à l’intérieur d’un tore est donné par la loi d’Ampère. Pour un tore de rayon interne r₁ et externe r₂, avec N spires parcourues par un courant I, le champ B à l’intérieur est constant et dirigé selon l’axe du tore.
2. Qu’est-ce que l’induction de Neumann ?
L’induction de Neumann fait référence à l’induction électromagnétique dans une spire conductrice soumise à un champ magnétique variable. Le courant induit dépend de la variation du flux magnétique à travers la spire.
3. Pourquoi la barre du rail de Laplace ralentit-elle ?
La barre ralentit en raison de la force de Laplace, qui s’oppose au mouvement de la barre. Cette force est due au courant induit dans la barre, généré par le changement de flux magnétique, et provoque une dissipation d’énergie sous forme de chaleur dans la résistance R.