Magnétostatique : Td 2 electromagnetisme
Télécharger PDFSérie 2 des travaux dirigés
Pr. H. BELKEBIR
Département GEI
Filière GTR II
Modulation Analogique & numérique
December 2, 2017
Exercice 1Champ dans un tore
On considère un ensemble formé de N spires enroulées autour d’un tore,
dans lesquelles circule un courant I.
1. Quel est le champ magnétique à l’intérieur du tore ?
2. Montrer qu’à l’extérieur du tore, le champ magnétique est nul.
Exercice 2Calcul d’une densité volumique decourant Un cylindre de hauteur infinie et de rayon R est parcouru par un courant
I suivant son axe (Oz). Ce courant n’est pas réparti uniformément dans le
cylindre ; la densité volumiqueJde courant est parallèle à l’axe du cylindre
et ne dépend que de la distance r à cet axeJ=I(r)ez .
1. Décrire les lignes du champ magnétique B créé par ce courant;
2. DéterminerJ(r)pour que la norme deBsoit constante et égale àB0 à l’intérieur du cylindre. Calculer alors I.
Exercice 3On considère deux fils rectilignes de longueur infinie, distant de a, parcourus
respectivement par un courantIet−I. Calculer le champ magnétiqueBenM. 1. Montrer que la norme deBne dépend que de I, a,r1 = 01 Metr 2=O 2M. 2. Tracer qualitativement les lignes de champ deB.1 USMBAENSAF
Exercice 4Le rail de Laplace
Un circuit est constitué par deux rails métalliques, parallèles, horizontaux,
sans résistance, et dont l’écartement estl. Les rails sont reliés, à l’une de
leur extrémité, par une résistanceR. Une barre métallique, sans résistance,
de masse m, peut glisser sans frottement sur les rails. Le tout est plongé
dans un champ magnétique vertical et uniformeB. À t = 0, la barre est en
x = 0, elle a une vitessev0 ex , puis elle est abandonnée à elle-même.
1. Il apparait un courant induitI(t). Expliquez pourquoi (sans le cal-
culer). Indiquez le sens de ce courant sur un petit croquis;
2. Donnez l’expression deI(t)en fonction de données du problème et de
la vitesse instantanée v(t) de la barre.
3. Trouvez et donnez la solution de l’équation différentielle satisfaite par
v(t). En déduire la position de la barrex(t). Que devient, finalement,
l’énergie cinétique initiale de la barre.
Exercice 5Une bobine d’axe vertical crée un champ magnétique uniforme et constant
B, au voisinage de son extrémité supérieure. On fait tourner dans ce champ
un cerceau de diamètredautour de son axe horizontal à vitesse constante.
Sur ce cerceau sont enroulées N spires de fil de résistance négligeable sur
lequel est branchée une ampoule de résistance R.
1. Expliquer ce qui se passe (et pourquoi) si le cerceau tourne assez vite.
Comment s’appelle le phénomène mis en évidence ?
2. On appelle P la puissance minimale qu’il faut fournir à l’ampoule pour
qu’elle s’allume. A quelle fréquence f faut-il faire tourner le cerceau
pour voir le phénomène décrit en (1). A.N.: N = 10, B = 0.1T, P =
3W, R = 12Ω, d = 1m
Exercice 6Induction de Neumann
Une spire conductrice indéformable de rayon a et de résistance R est plongée
dans un champ magnétique variableB=B 0
cos(ωt)ex −B1 sin(ωt)ez La spire est horizontale (dans le plan Oxy) et immobile.
1. Calculer le flux de champ magnétique à travers la spire à l’instant t.
2. Calculer le courant induit dans la spire I(t).
3. Calculer le champ magnétique induit en un point de l’axe de la spire.
H. Belkebir2GTR II
USMBAENSAF
Exercice 7Induction dans un carré au voisinage
d’un fil parcouru par un courant
Un carré conducteur indéformable, de côté a, est posé sur une table hori-
zontale, à côté d’un fil infini parcouru par un courant I. Le fil est parallèle
à un côté du carré.
1. Calculer le flux deBà travers le carré.
2. On déplace le carré sur la table avec une vitesse constantevde deux
façons différentes:
(a)vest parallèle au fil ;
(b)vest perpendiculaire au fil et s’éloigne du fil.
3. Indiquer dans les deux cas le sens du courant induit dans le circuit.
Exercice 8Inductance d’une bobine
Calculer l’inductance L d’un solénoïde très long constitué de N spires et
de longueur l. On négligera les effets de bords pour le calcul du champ
magnétique.
Exercice 9On considère N spires (N 1) d’un fil conducteur, enroulées régulièrement
autour d’un tore de section rectangulaire (hauteur=a , largeur=b) et de
rayon interner1 . Un courant permanent I circule dans ce fil.
1. Quels sont les plans de symétrie du système ? Tracer quelques lignes
de champs du champ magnétiqueBcréé par I.
2. DéterminerBdans tout l’espace.
3. En déduire l’inductance L (coefficient d’auto-induction) de cette bobine
torique.
H. Belkebir3GTR II
COORDONNEES CARTESIENNES () zyx,, COORDONNEES CYLINDRIQUES () z,, φρ
COORDONNEES SPHERIQUES () φθ,, r∞ +≤ ≤∞ −x , ∞+ ≤≤ ∞− y
, ∞+ ≤≤ ∞− z
0 ≥ρ , πφ 20 ≤≤ , ∞+ ≤≤ ∞− z
0 ≥r , πθ 0≤ ≤
, πφ 20 ≤≤ xy zO M
x ey e
z e=++ �
���� ��� ��� ���z OMe z eρ ρ=+ �
���� ��� ���r OM
r e= �
���� ��
' dd dd xy zM Ml x e
y e
z e==++ �
����� ��� ��� ��� ���
' dd dd zM Ml ee z eρφ ρρφ==++ �
����� ��� ���
��� ���
' dd dsin dr MM l
r er er eθ φθθφ ==++� ����� ��� ����� ���zyxV d d dd= zV
d d ddφ ρρ =2 d
d sin dd Vr rθ θφ =
x z O xe ye ze M K H x y z O θe φe re M K H φθ z y x O ρe φe ze M
K H φρ z y x z O xe ye ze K d
x dz dy M y x O ρe φe ze M K φρ z M' d
z φd ρd φρ d
y x O re �� φe eθ ��� M φ
z M' d
r φd dr θsin dr θφ θd θr 24
Physique des ondes – premier semestre
Formulaire
Calcul vectoriel
# »rot #» gradV=! 0# »grad(V 1V 2)=V 1# »gradV 2+V 2# »gradV 1div # »rot #»
A= 0
# »rot(V #»A)=V # »rot #»
A +# »
gradV ∧#» Adiv #» gradV= ∆Vdiv(V #»
A)=V div#» A +# »gradV· #»A # »rot # »rot #»A= #» grad div#» A−∆#» Adiv( #»A 1∧ #»A 2) =#» A2 ·
# »rot #»A 1− #»A 1· # »rot #»A 2
Coordonnées cartésiennes# »
gradV =∂V ∂x#» ux +∂V ∂y#» uy +∂V ∂z#» uz div#» A =∂A x∂x +∂A y∂y +∂A z∂z # »rot #»
A =! ∂Az ∂y− ∂Ay ∂z" #»u x+ !∂A x∂z −∂A z∂x "#» uy +! ∂Ay ∂x− ∂Ax ∂y" #»u z
∆V =∂ 2V ∂x2 +∂ 2V ∂y2 +∂ 2V ∂z2 Coordonnées cylindriquesθ θθ #» gradV =∂V ∂r#» ur +1 r∂V ∂θ#» uθ +∂V ∂z#» uz div#» A =1 r∂rA r∂r +1 r∂A θ∂θ +∂A z∂z # »rot #»
A =! 1r ∂Az ∂θ− ∂Aθ ∂z" #»u r+ !∂A r∂z −∂A z∂r "#» uθ +1 r! ∂rAθ ∂r− ∂Ar ∂θ" #»u z
∆V =1 r∂ ∂r! r∂V ∂r" +1 r2 ∂2 V∂θ 2+ ∂2 V∂z 2
Coordonnées sphériquesφ φφ θθ #» gradV =∂V ∂r#» ur +1 r∂V ∂θ#» uθ +1 r sinθ∂V ∂φ#» uφ div#» A =1 r2 ∂r2 Ar ∂r+ 1
r sinθ
∂ sinθAθ ∂θ+ 1
r sinθ∂A φ∂φ # »rot #»
A =1 r sinθ! ∂ sinθAφ ∂θ− ∂Aθ ∂φ" #»u r+... ... +1 r! 1sinθ ∂Ar ∂φ− ∂rAφ ∂r" #»u θ+ 1r !∂rA θ∂r −∂A r∂θ "#» uφ ∆V =1 r∂ 2rV ∂r2 +1 r2 sinθ∂ ∂θ! sinθ∂V ∂θ" +1 r2 sin2 θ∂ 2V ∂φ2 Théorèmes
Théorèmed’Ostrogradsky–Green:
S étant une surface fermée, τ le volume intérieur àS,ˆ (S)#» A·! dS =ˆ (τ)(div #»A)dτ ThéorèmedeStokes–Ampère:
C étant une courbe fermée bordant une surfaceS, ̨(C) #»A· !
dl =ˆ (S)( # »rot #»A)· !dS 25
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