Magnétostatique : Cours magnetostatique reformulation de l'expression du cham
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Introduction à la magnétostatique
La magnétostatique étudie les champs magnétiques produits par des courants électriques permanents. Elle repose sur des principes fondamentaux comme la conservation du flux magnétique et l'utilisation du potentiel vecteur.
Conservation du flux magnétique et notion du potentiel vecteur
Conservation du flux magnétique
La divergence du champ magnétique est nulle partout dans l'espace. Considérons un volume arbitraire V et appliquons le théorème de la divergence :
∫∫∫V div(B) dτ = ∮Σ B·ds = 0
où Σ est la surface fermée délimitant le volume arbitraire V.
Cette propriété signifie que le flux magnétique à travers toute surface fermée est nul. On dit alors que le champ magnétique B est à flux conservatif.
Définition du potentiel magnétique
Le champ magnétique B étant à flux conservatif, il dérive d'un potentiel vecteur A tel que :
B = rot(A)
Le potentiel vecteur A est donné par l'expression suivante :
A = (μ₀/4π) ∫∫∫C J(P)·PM dτ(P)
En appliquant l'opérateur divergence à B, on obtient :
div(B) = div(rot(μ₀/4π ∫∫∫C J(P)·PM dτ(P))) = 0
La version locale du théorème d'Ampère devient alors :
rot(rot(A)) = μ₀ J ⇒ ∇(∇·A) − ∇²A = μ₀ J
Pour résoudre cette équation, on impose au potentiel vecteur A une condition de jauge, ici la jauge de Coulomb :
div(A) = 0
Propriétés du potentiel magnétique
Le potentiel magnétique est défini à un vecteur près. Si A et A' sont deux potentiels magnétiques associés au même champ magnétique B, alors :
B = rot(A) = rot(A') ⇒ rot(A − A') = 0
La différence A − A' est égale à un vecteur dont le rotationnel est nul. Ce vecteur est le gradient d'un potentiel scalaire Ψ tel que :
A − A' = −grad(Ψ)
Le potentiel magnétique A' vérifie également la jauge de Coulomb, ce qui conduit à l'équation :
ΔΨ = 0
Cette équation est analogue à celle de Poisson.
Circulation du potentiel magnétique et flux du champ magnétique
Soit Γ un contour fermé sur lequel on évalue la circulation du potentiel magnétique A :
C = ∮Γ A·dr
Le théorème de Stokes permet d'écrire :
C = ∫∫S rot(A)·dS
où S est une surface quelconque s'appuyant sur le contour fermé Γ. Comme rot(A) = B, on obtient :
C = ∮Γ A·dr = ∫∫S B·dS = Φ
La circulation du potentiel magnétique sur un contour fermé est égale au flux du champ magnétique traversant toute surface s'appuyant sur ce contour.
Électrodynamique classique en régime stationnaire
Action du champ magnétique sur des particules chargées libres
Force de Lorentz
La force de Lorentz agit sur une charge q en mouvement à une vitesse v dans un champ électromagnétique composé d'un champ électrique E et d'un champ magnétique B. Cette force est donnée par :
F = q(E + v ∧ B)
Elle est la résultante de deux forces : une force électrostatique qE et une force magnétostatique q(v ∧ B).
Propriétés de la force magnétique
La force magnétique est proportionnelle à la quantité d'électricité en mouvement (qv) ainsi qu'à la vitesse de la charge (v).
Elle dépend également de la surface balayée par la vitesse en direction du champ magnétique.
Le sens de cette force est déterminé par la règle de la main droite.
Le produit vectoriel entre la vitesse et le champ magnétique empêche cette force de contribuer à l'énergie cinétique de la particule en mouvement.
Action du champ magnétique sur un circuit électrique
Formulation locale de la loi d'Ohm
Pour établir l'expression locale de la loi d'Ohm, on adopte un modèle simplifié du comportement des porteurs de charges dans un conducteur ohmique. Ce modèle repose sur les hypothèses suivantes :
Le comportement des charges mobiles dans un conducteur est assimilable à celui des atomes dans un gaz dilué.
Les frottements subis par les porteurs de charges lors de leur mobilité dans le conducteur sont de nature élastique.
On néglige le régime transitoire au profit du régime permanent.
En régime permanent, la vitesse moyenne vd des porteurs de charges est donnée par :
vd = (qτ/m)E
où μ = qτ/m est la mobilité des porteurs de charge dans le conducteur.
La densité de courant J dans un conducteur ohmique est définie par :
J = ρmvd = nqvd
En injectant l'expression de vd, on retrouve la loi locale d'Ohm :
J = nqμE = γE = −γgrad(V)
État électrique d'un conducteur traversé par un courant électrique
Dans un conducteur ohmique parcouru par un courant permanent, la densité de charge électrique dans un volume élémentaire est la somme des charges mobiles et fixes.
Le conducteur est régi par les trois équations suivantes :
∇·E = ρ/ε₀
∇·J + ∂ρ/∂t = 0
J = γE
La combinaison de ces équations permet d'établir l'équation différentielle suivante :
∂ρ/∂t + γ/ε₀ ρ = 0
La densité de charges mobiles est donnée par :
ρ(r,t) = ρ(r,0) exp(−γ/ε₀ t)
Dans un conducteur, le rapport γ/ε₀ est de l'ordre de 1019. En négligeant le régime transitoire, il est clair que ρ → 0 en régime stationnaire.
Effet Hall
Considérons un conducteur ohmique traversé par une densité de courant J et soumis à un champ magnétique extérieur Bext orthogonal à J. En régime permanent, les charges mobiles évoluent à une vitesse moyenne constante vd.
Le principe fondamental de la dynamique permet d'écrire :
vd = (qτ/me) (E + vd ∧ Bext)
La densité de courant J est alors donnée par :
J = γ(E + (1/nq) J ∧ Bext)
Le champ électrique de Hall EH est défini par :
EH = −RH J ∧ Bext
où RH = 1/nq est la constante de Hall.
Force de Laplace
Considérons un conducteur traversé par une densité de courant J et soumis à un champ magnétique extérieur Bext. Le champ de Hall EH induit une force électrostatique qui s'applique sur les charges fixes du réseau cristallin du conducteur, entraînant son déplacement ou sa déformation.
La force élémentaire de Laplace est donnée par :
dFL = dqEH = −dqRH J ∧ Bext dτ
Dans le conducteur, les charges fixes et mobiles sont en équilibre à cause de la neutralité électrique, ce qui permet d'écrire :
dq = ρf dτ = −ρm dτ = −(1/RH) dτ
La densité de la force de Laplace est définie par :
fL = dFL/dτ(P) = J(P) ∧ Bext
Résultante de Laplace
Pour différents types de conducteurs, la force de Laplace est exprimée comme suit :
Circuit filiforme : FL = ∫C Idl ∧ B
Nappe de courant : FL = ∫∫Σ Js ∧ B dS
Conducteur 3D : FL = ∫∫∫C J ∧ B dτ
Exemples
Pour un circuit filiforme rectangulaire de largeur b et de hauteur l situé à une distance a d'un fil conducteur parcouru par un courant I₁, la résultante de Laplace est donnée par :
FL = (μ₀/2π) (I₁I₂l/b) (1/b − 1/a) er
Expression du moment de la force de Laplace
Le moment élémentaire de Laplace agissant sur un point M d'un conducteur traversé par une densité de courant J et soumis à un champ magnétique extérieur Bext est défini par :
dM₀ = OM ∧ dFL = OM ∧ (J ∧ Bext) dτ
Le moment de Laplace total est obtenu par sommation sur tout le conducteur :
M₀ = ∫∫∫C OM ∧ (J ∧ Bext) dτ
Cas des courants surfaciques et filiformes
Pour un courant surfacique, le moment magnétique est donné par :
M₀ = ∫∫Σ OM ∧ (Js(M) ∧ Bext) dS(M)
Pour un courant filiforme, le moment de Laplace est :
M₀ = I ∫C OM ∧ (dOM ∧ Bext)
Action d'un champ magnétique uniforme sur une boucle de courant fermée
Pour une boucle de courant fermée d'intensité I soumise à un champ magnétique uniforme Bext, la résultante de Laplace est nulle (FL = 0), et le moment magnétique est donné par :
m = I ∫∫S dS = πIR² n
Le moment de Laplace est alors :
M₀ = πIR² n ∧ Bext
La boucle s'oriente pour établir un équilibre mécanique, ce qui implique que Bext soit parallèle à n.
Travail de la force de Laplace
Le travail élémentaire δ²W de la force de Laplace appliquée à un élément de courant Idl lors d'un déplacement élémentaire dr est donné par :
δ²W = dF·dr = Idl ∧ Bext ·dr = I dΦc
où dΦc = ∫∫Sc Bext ·dSc est la variation du flux magnétique.
Théorème de Maxwell
Le travail de la force de Laplace exercée sur un circuit filiforme fermé est égal au produit du courant électrique traversant ce circuit et de la différence des flux magnétiques à travers toute surface s'appuyant sur le contour entre l'état initial et final :
W = I(Φ₂ − Φ₁)
où Φ₂ est le flux de Bext à travers la surface S₂ à la position finale, et Φ₁ est le flux de Bext à travers la surface S₁ à la position initiale.
Énergie potentielle de la force de Laplace
Le travail de la force de Laplace ne dépendant que des positions initiale et finale, cette force est conservative. Elle dérive donc d'une énergie potentielle définie par :
dEp = −δW ⇒ dEp = −I dΦ ⇒ Ep = −IΦ + constante
En régime d'équilibre mécanique stable, le flux magnétique traversant le circuit est maximal. À l'inverse, en régime d'équilibre instable, le flux est minimal.
Expression de la résultante et du moment de Laplace en fonction du flux magnétique
Pour un circuit rigide soumis à un torseur d'efforts extérieurs {FL, M₀}, le travail est donné par :
δW = FL·vdt + M₀·Ωdt = I dΦ
Dans le cas d'un torseur glisseur (Ω = 0), on a :
FL = I grad(Φ)
Dans le cas d'un couple (FL = 0), on a :
M₀ = I dΦ/dθ
Exercices d'application
Exercice 1 : Calculer le flux magnétique traversant un circuit rectangulaire parcouru par un courant I₂ de largeur b et de hauteur l, situé à une distance a d'un fil conducteur parcouru par un courant I₁. En déduire la résultante de Laplace au point r = a.
Exercice 2 : Calculer le flux magnétique traversant un cerceau parcouru par un courant I₂ de largeur a, situé à une distance 2a d'un fil conducteur parcouru par un courant I₁. En déduire la résultante de Laplace exercée sur le cerceau.
Induction magnétique
Généralités
Dans la section précédente, nous avons étudié les effets mécaniques du champ magnétique sur un circuit électrique parcouru par un courant permanent I. Ces effets sont régis par l'équation générale :
Courant électrique + champ magnétique → action mécanique