Magnétostatique : Cours magnetostatique reformulation de l'expression du cham
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Introduction `a la magn ́etostatique
Conservation duflux magn ́etique et notion du potentiel vecteur
Reformulation de l’expression du champ magn ́etique
Soit un conducteur (C) travers ́e par une densit ́e volumique de
courant J. Il g ́en`ere dans l’espace qui l’entoure un champ
magn ́etique B qui s’ ́ecrit :
B =μ 04π �P∈C J (P)∧PM PM3 dτ (P)
L’int ́egrale dans l’expression de B porte sur les points P alors on
peut r ́e ́ecrire cette expression sous la forme suivante :
B =μ 04π ∇M ∧� P∈C
J (P)PM dτ (P)
En appliquant l’op ́erateur div sur B on trouve :
div (B) = div� rot� μ0 4π� P∈C
J (P)PM dτ (P)�� = 0
Magn ́etostatique
Introduction `a la magn ́etostatique
Conservation duflux magn ́etique et notion du potentiel vecteur
Conservation duflux magn ́etique
La divergence du champ magn ́etique est nulle partout dans
l’espace. Consid ́erons un volume arbitraire V et appliquons le
th ́eor`eme de la divergence :��� V
div (B) dτ =�� Σ
B.ds = 0 = ̆
avecΣ est la peau du volume arbitraireV .
Propri ́et ́e
Leflux magn ́etique `a travers toute surface ferm ́ee est nulle. On dit
que le champ magn ́etique B est `aflux conservatif.
Magn ́etostatique
Introduction `a la magn ́etostatique
Conservation duflux magn ́etique et notion du potentiel vecteur
D ́efinition du potentiel magn ́etique
Le champ magn ́etique B est `aflux conservatif, Il s’en suit qu’il
d ́erive d’un champ potentiel vecteur A tel que :
B = rot A
Par identificationA est donn ́e par l’expression ci-dessous :
A =μ 04π ���
J (P)PM dτ (P)
Le vecteur A est appel ́e potentiel magn ́etique. La version locale du
th ́eor`eme d’Amp`ere devient :
rot rotA =μ0 J⇒∇ (∇.A)−∇2 A =μ0 J
Pour r ́esoudre cette ́equation, on impose au potentiel magn ́etique
une condition de jauge qui est dans notre cas la jauge de Coulomb
pour obtenir une ́equation semblable `a celle de Poisson :
divA = 0
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Introduction `a la magn ́etostatique
Conservation duflux magn ́etique et notion du potentiel vecteur
Propri ́et ́es du potentiel magn ́etique
Le potentiel magn ́etique est d ́efini, comme son homologue scalaire,
`a un vecteur pr`es. Soit A et A� deux potentiels magn ́etiques reli ́es
au mˆeme champ magn ́etique B :
B = rotA = rotA� ⇒ rot� A− A� �
= 0
la diff ́erence A− A� est ́egale `a un vecteur qui laisse le rotationnel
inchang ́e. Le vecteur qui v ́erifie cette propri ́et ́e est celui qui d ́erive
d’un potentiel scalaireΨ tel que A− A� =−gradΨ. Le potentiel
magn ́etique A� est aussi soumis `a la jauge de Coulomb ce qui
entraine :
ΔΨ = 0
Cette ́equation est analogue `a celle de Poisson.
Magn ́etostatique
Introduction `a la magn ́etostatique
Conservation duflux magn ́etique et notion du potentiel vecteur
Circulation du Potentiel magn ́etique etflux du champ magn ́etique
SoitΓ un contour ferm ́e sur le quel on va ́evaluer la circulation du
potentiel magn ́etique A :
C =� ΓA.dr Le th ́eor`eme de Stockes permet d’ ́ecrire :
C =�� SrotA.dS S est une surface quelconque qui s’appuit le contour ferm ́eΓ. Le
rotA n’est autre que le champ magn ́etique, il s’en suit que :
C =� Γ
A.dr =�� S
B.dS =Φ
La circulation du potentiel magn ́etique sur un contour ferm ́e n’est
autre que leflux du champ magn ́etique traversant toute surface
s’appuyant sur ce contour.
Magn ́etostatique ́
Electrodynamique classique en r ́egime stationnaire
Action du champ magn ́etique sur des particules charg ́es libres
Force de Lorentz
D ́efinition
L’ ́electrodynamique est une branche de la physique qui s’int ́eresse `a
l’ ́etude des actions dynamiques entre corps charg ́es.
Force de Lorentz
Consid ́erons une charge d’ ́epreuve non-relativiste q qui ́evolue `a une
vitesse v par rapport `a un rep ́ere galil ́een et soumise `a l’action simultan ́e
d’un champ ́electrostatique E et d’un champ magn ́etostatique B. Cette
particule est sujette `a tout instant `a l’action d’une force ́electromagn ́etique dont l’expression est donn ́ee par :
F = q (E + v∧ B)
Cette force est la r ́esultante de deux forces, la premi`ere est de nature ́electrostatique d ́efinit par qE et la deuxi`eme est de nature
magn ́etostatique represent ́e par le terme qv∧ B.
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Electrodynamique classique en r ́egime stationnaire
Action du champ magn ́etique sur des particules charg ́es libres
Propri ́et ́es de la force magn ́etique
La force magn ́etique est proportionnelle `a la quantit ́e
d’ ́electricit ́e en mouvement ainsi que la vitesse de mobilit ́e de
la charge.
La force magn ́etique est aussi proportionnelle `a la surface
balay ́e par la vitesse en direction du champ magn ́etique
Le sens de la force magn ́etique est determin ́e en utilisant la
r ́egle de la main droite.
Le fait que cette force est le r ́esultat du produit vectorielle
entre la vitesse et le champ magn ́etique empˆeche cette
derni`ere de contribuer `a l’ ́energie cin ́etique de la particule qui
se d ́eplace.
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Electrodynamique classique en r ́egime stationnaire
Action du champ magn ́etique sur un circuit ́electrique
Formulation locale de la loi d’Ohm
Pour ́etablir l’expression locale de la loi d’Ohm, on va adopter un mod`ele
tr`es simplifi ́e du comportement des porteurs de charges dans un
conducteur ohmique. Notre mod`ele va se baser sur les hypoth`eses
suivante :
Le comportement des charges mobiles dans un conducteur est
assimilable au comportement des atomes dans un gaz dilu ́e.
Les frottements experiment ́es par les porteurs de charges lors de leur
mobilit ́e dansC est de nature ́elastique.
Le comportement en r ́egime transitoire sera n ́eglig ́e en faveur du
r ́egime permannent.
En assumant ceci et en supposant le conducteur ohmique soumis `a un
champ ́electrique uniforme, le principe fondamental de la dynamique
appliqu ́e au mouvement d’un porteur de charge dans un conducteur
permet d’ ́ecrire :
d pdt = qE−m eτ v =⇒
d vdt =−1 τ
v +q mE Magn ́etostatique ́
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Action du champ magn ́etique sur un circuit ́electrique
Formulation locale de la loi d’Ohm
L’E.D.O qu’on vient d’ ́etablir admet pour solution :
v =qτ m� 1− exp� −t τ�� E
En r ́egime permanent on aura :
v =qτ m
E =μE
avecμ est la mobilit ́e des porteurs de charge dans le conducteur
consid ́er ́e.
Par d ́efinition, la densit ́e de courant dans un conducteur ohmique
est donn ́ee par J =ρm v = nqv. En injectant dans cette formule
l’expression de v, on retrouve la loi locale d’Ohm :
J = nqμE =γE =−γgradV
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Action du champ magn ́etique sur un circuit ́electrique ́
état ́electrique d’un conducteur travers ́e par un courant ́electrique
Soit (C)un conducteur ́electrique ohmique parcourue par un courant
permanent :
La densit ́e de charge ́electrique dans un volume ́el ́ementaire du
conducteur est la somme des charges mobiles etfixes.
Le conducteur est gouvern ́e par les trois ́equation ci-dessous :
∇.E =ρ ε0 ;∇.J +∂ρ ∂t
= 0;J =γE
La combinaison de ces trois ́equation permet d’ ́etablir l’E.D.O
ci-dessous :∂ρ ∂t+ γε 0
ρ = 0
La densit ́e de charges mobiles a pour expression :
ρ (r,t) =ρ (r, 0) exp� −γ ε0 t� Dans le cas d’un conducteur, le rapportγ ε0 est de l’ordre de 1019 . Si
on n ́eglige le r ́egime transitoir, alors il est claire queρ→ 0 dans le
r ́egime stationnaire.
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Action du champ magn ́etique sur un circuit ́electrique
Effet Hall
Consid ́erons un conducteur ohmiqueC travers ́e par une densit ́e de
courant J et soumis `a l’action d’un champ magn ́etique ext ́erieurB ext
orthogonal `a J. Appliquons le principe fondamentale de la
dynamique pour analyser le mouvement d’une seule particule de
charge q :
d pdt =� Fext ⇒me d vdt =q (E + v∧ Bext )−m eτ v
En r ́egime permanent les charges mobiles ́evoluent dansC `a une
vitesse moyenne vd constante ce qui permet d’ ́ecrire :v d= qτm e
(E + vd ∧ Bext )⇒ J =γ� E +1 nq
J∧ Bext �
⇒ E =J γ− 1nq J∧ Bext Le deuxi`eme terme s’identifie `a un champ ́electrique qui s’ajoute au
champ ́electrique de d ́erive. C’est le champ de Hall qu’on d ́efinit
par :E H=−R H
J∧ Bext avec RH =1 nq
est la constante de Hall.
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Action du champ magn ́etique sur un circuit ́electrique
Force de Laplace
Consid ́erons un conducteur(C)travers ́e par une densit ́e de courant J et
soumis `a l’action d’un champ magn ́etique ext ́erieur Bext , l’apparition du
champ de Hall EH va induire une force ́electrostatique qui va s’appliquer
sur les chargesfixes du r ́eseau cristallin du conducteurC menant ainsi `a
son d ́eplacement ou sa d ́eformation :
d FL = dqEH =−dq RH J∧ Bext dτ
Dans le conducteurC, les charges ́electriquesfixes et mobiles sont en ́equilibre `a cause de la neutralit ́e ́electrique du conducteur ce qui permet
d’ ́ecrire :
dq =ρf dτ =−ρm dτ =−1 RH dτ
On d ́efinit alors la densit ́e de la force de laplace par l’expression
ci-dessous :f L= dFdτ (P) = J (P)∧ Bext Magn ́etostatique ́
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R ́esultante de Laplace
Circuitfiliforme : Jdτ�−→ IdlF L= �P∈C Idl∧ B
Nappe de courant : Jdτ�−→ Js .dSF L= ��P∈Σ Js ∧ B dS
Conducteur 3DF L= ���P∈C J∧ B dτ
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Action du champ magn ́etique sur un circuit ́electrique
Exemples
R ́esultante de la force de Laplace
Soit un circuitfiliforme de forme rectangulaire de largeur b et de
hauteur l situ ́e `a une distance de a d’unfil conducteur infiniment
long et travers ́e par un courant permanent I1 . Dans le circuit ́electrique circule un courant permanent I2 dans le sens horaire.
L’expression de la r ́esultante des force de Laplace qui s’applique `a
ce circuit est donn ́ee par l’expression ci-dessous :F L= μ0 2πI 1I 2l �1 b− 1a �e r
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Expression du moment de la force de laplace
Consid ́erons un ́el ́ement de volume dτ d’un conducteurC travers ́e
par une densit ́e de courant J et soumis aux lignes d’un champ
magn ́etique ext ́erieur Bext . On d ́efinit le moment ́elementaire de
Laplace qui agit sur le point M centre de dτ par rapport au point
O la grandeur vectorielle ci-dessous :dM 0
= OM∧ dFL = OM∧ (J∧ Bext )dτ
Moment de Laplace
Il s’obtient par sommation sur tout les points du conducteurCM 0= ���M∈C OM∧ (J∧ Bext )dτ
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Action du champ magn ́etique sur un circuit ́electrique
Cas des courants surfaciques etfiliformes
Densit ́e de courant surfaciqueM O= ��M∈Σ OM∧ (Js (M)∧ Bext ) dS (M)
CourantfiliformeM O
= I� M∈C
OM∧ (dOM∧ Bext )
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Action du champ magn ́etique sur un circuit ́electrique
Action d’un champ magn ́etique uniforme sur une boucle de courant
ferm ́ee
Formule de Kelvin
SoitC un contour ferm ́e quelconque, `a partir du th ́eor`eme de Stockes on
peut ́etablir la formule de Kelvin ci desoous :� C
f dr =�� Σds∧∇f Moment de Laplace
Soit une boucle ferm ́ee d’intensit ́e de courant I et soumis `a l’action d’un
champ magn ́etique uniforme Bext qu’on r ́esume dans le tableau
ci-dessous :
R ́esultante de LaplaceMoment magn ́etiqueMoment de LaplaceF L
= 0m = ISM0 = m∧ Bext Magn ́etostatique ́
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Action du champ magn ́etique sur un circuit ́electriqueExemple Action d’un champ magn ́etique uniforme sur une spire cerculaire
Soit une spire conductrice de rayon R parcourue par un courant
permanent I et soumise `a un champ magn ́etique uniforme Bext . La
r ́esultante de Laplace pour une boucle de courant est nulle (FL = 0),
calculons alors le moment du couple de Laplace qui agit sur la spire :
Calculons le moment magn ́etique de la spire :
m = I�� Σ
dS =πIR2 n
Le Moment de Laplace se calcule alors directement :M O=πIR 2
n∧ Bext Lorsque le champ est appliqu ́e la spire s’oriente de telle fa ̧con `a
favoriser l’ ́etablissement de l’ ́equilibre m ́ecanique :� Fext = 0et� MO = 0 =⇒ Bext � n
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Travail de la force de Laplace
SoitC une bouclefiliforme de courant I soumis `a l’action d’un
champ magn ́etique ext ́erieur Bext . ́
Evaluons le travail ́el ́ementaireδ 2
W de la force de Laplace appliqu ́ee `a l’ ́element de courant Id� et
du moment de Laplace lors d’un d ́eplacement ́elementaire dr :δ 2
W = dF.dr = Id�∧ Bext .dr = Idr∧ d�.Bext dr∧ d� repr ́esente la surface dSc balay ́ee (ou coup ́ee) par l’ ́el ́ement
de courant Id�lors de son d ́eplacement ́elementaire dr :δ 2
W = IdSc .Bext = Iδ2 Φc Le travail de la r ́esultante de Laplace lors du d ́eplacement ́elementaire dr est ́egale `a :
δW = IδΦc avecδΦc =�� Sc Bext .dSc .
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Th ́eor`eme de Maxwell
Th ́eor`eme
Le travail de la force de Laplace qui s’exerce sur un circuitfiliforme
ferm ́e est ́egale au produit du courant ́electrique qui traverse ce
circuit `a la diff ́erence desflux magn ́etiques `a travers toute surface
s’appuyant sur le contourC entre l’ ́état initial est l’ ́etatfinal :
W = I (Φ2 −Φ1 )
avec :Φ 2
est leflux de Bext `a travers la surface arbitraire S2 qui
s’appuie surC `a la positionfinale.Φ 1
est leflux de Bext `a travers la surface arbitraire S1 qui
s’appuie surC `a la position initiale.
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Energie potentielle de la force de Laplace
Le travail de la force de Laplace ne d ́epend que de la positionfinale
et intiale. En d’autres termes, la force de Laplace est `a travail
conservatif ce qui implique qu’elle d ́erive d’une ́energie potentiel
qu’on d ́efinit par :dE p=−δW ⇒ dEP =−IdΦ =−d (IΦ)E p
=−IΦ + cte
R ́egle duflux maximal
Lorsque le circuit ́electrique est en ́equilibre m ́ecanique stable, son ́energie potentiel est minimal et leflux du champ magn ́etique qui le
traverse ne peut ˆetre que maximale. Par contre lorsque l’ ́energie
potentielle atteint un maxima local alors l’ ́equilibre est instable et
leflux magn ́etique est minimal.
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Expression de la r ́esultante et du moment de Laplace enfonction
duflux magn ́etique
SoitC un circuit r ́egide soumis `a l’action du torseur des efforts
ext ́erieurs{FL ,MO }. Le travail engendr ́e par ce torseur s’ ́ecrit :
δW = FL .vdt +M0 .Ωdt = IdΦ
Cas d’un torseur glisseur,Ω = 0F L
= IgradΦ
Cas d’un couple, FL = 0 or FL ⊥vM O
= IdΦ dθ
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Action du champ magn ́etique sur un circuit ́electrique
Exercices d’application
Exercice 1Calculer leflux magn ́etique qui traverse un circuit rectangulaire
parcourue par un courant I2 de largeur b et de hauteur� situ ́e `a
une distance a d’un conducteur infiniment long parcourue par un
courant I1 . En d ́eduire la r ́esultante de Laplace au point r = a.
Exercice 2Calculer leflux magn ́etique qui traverse un cerceau parcourue par
une courant I2 de largeur a situ ́e `a une distance 2a d’un
conducteur infiniment long parcourue par un courant I1 . En d ́eduire
la r ́esultante de Laplace qui s’exerce sur le cerceau tout entier.
Magn ́etostatique
Induction Magn ́etique
G ́en ́eralit ́es
Dans la section pr ́ecedente nous avons montrer les effets m ́ecaniques du
champ magn ́etique sur un circuit ́electrique travers ́e par un courant
permanent I. Ces effets sont r ́egis par l’ ́equation g ́en ́erale :
Courant ́electrique + champ magn ́etique→ action m ́ecanique
La question qui se pose : est-ce qu’on pourrais produire de l’ ́electricit ́e
dans un cricuit ́electrique en dotant ce dernier d’un mouvement dans un
champ magn ́etique. En d’autres termes on cherche `a inverser les effets de
l’ ́equation ci-dessus selon l’ ́equation g ́en ́erale ci-dessous :
Action m ́ecanique + champ magn ́etique→ courant ́electrique
Ce chapitre essaie de r ́epondre `a cette question et d’ ́etudier ses
cons ́equences.
Magn ́etostatique
Induction Magn ́etique
Courant ́electrique dans un conducteur ohmique
En g ́en ́eral, le courant ́electrique est du au d ́eplacement des charges ́electriques dans un mat ́eriau conducteur. Soit Pq la densit ́e de puissance
m ́ecanique n ́ecessaire pour d ́eplacer une charge q `a la vitesse v dans le
conducteur ohmiqueC. La puissance m ́ecanique totale pour d ́eplacer tous
les n charges du conducteur `a la vitesse moyenne v est donn ́e par :
P =��� nPq dτ =��� nF.vdτ =� CF.dl q�� nqvdS
P =� CFdl q�� J.dS = I� CF.dl q
⇒e =P I= �C Fdlq e est la force ́electromotrice, c’est une quantit ́e d’ ́energie qu’il faut
fournir `a une charge pour l’animer `a une vitesse moyenne v. En absence
du champ magn ́etique, la force qui s’applique sur les charges du
conducteur ohmique est la force de coulomb. Cette derni`ere est `a
circulation nulle sur un contour ferm ́e. Il s’en suit que la chute de tension
aux bornes du conducteurC n’est due qu’`a la r ́esistivit ́e de ce dernier :V B−V A=−R ABI Magn ́etostatique
Induction Magn ́etique
Exp ́erience 1 de Faraday sur l’induction
Induction de Lorentz
Soit un conducteurfiliforme reli ́e `a un galvanom`etre et anim ́ee
d’un mouvement rectiligne `a une vitesse v dans une r ́egion o`u
r`egne un champ magn ́etique uniforme B. Faraday a observ ́e les
faits suivants :
L’apparition d’un courant induit dans le conducteurfiliforme.
L’intensit ́e du courant d ́epend de la vitesse v.
Le sens du courant d ́epend de l’orientation des lignes du
champ magn ́etique par rapport `a la direction du mouvement.
L’apparition d’un courant dans le conducteur r ́ev`ele l’existence
d’une force ́electromotrice induite qui est responsable du
d ́eplacement des porteurs de charges.
Magn ́etostatique
Induction Magn ́etique
Exp ́erience 2 de Faraday sur l’induction
Induction de Neumann
Soit un circuitfiliforme immobile et soit un aimant permanent
qu’on approche et on ́eloigne de notre circuitfiliforme. On observe
alors l’apparition d’un courant ́electrique induit dans le circuit avec
les propri ́et ́es ci-dessous :
La d ́eviation de l’aiguille du galvanom`etre `a l’approche de
l’aimant permanent du circuitfiliforme.
L’intensit ́e du courant induit est proportionnelle `a la vitesse de
d ́eplacement de l’aimant permanent.
Le sens du courant induit est impos ́e par la direction du
champ de compensation.
L’existence d’un courant induit dans la boucle conductrice
r ́ev`ele aussi l’existence d’une force ́electromotrice induite
responsable du d ́eplacement des charges.
Magn ́etostatique
Induction Magn ́etique
Loi de Faraday pour l’induction
En se basant sur ces observations, Faraday a compris qu’une f.e.m
est induite dans un circuitfiliforme lorsqu’il y a variation dans le
temps des lignes du champ magn ́etique qui traversent la surface
d ́elimit ́ee par le circuit. Il en d ́eduit alors sa fameuse loi pour
l’induction qu’il ́etablit sous la forme suivante :
e(t) =−dΦ dt
e(t) est la force ́electromotrice induite, elle s’exprime en V . Elle
repr ́esente la quantit ́e d’ ́energie n ́ecessaire pour d ́eplacer une charge ́el ́ementaire le long du contour du circuit consid ́er ́e `a la vitesse v.
Magn ́etostatique
Induction Magn ́etique
Sens du courant induit
Le sens du courant induit ob ́eit `a la loi de Lenz qui s’ ́enonce comme suit :
Loi de Lenz
L’induction produit des effets qui s’opposent aux causes qui lui ont donn ́e
naissance
La Loi de Lenz permet d’expliquer l’existence du signe− dans la loi de
Faraday.
Si on approche un circuit du pˆole nord d’un aimant permanent, leflux
magn ́etique augmente, une f.e.m induite n ́egative apparait dans le circuit
entrainant un courant induit n ́egatif aussi qui va g ́en ́erer un champ
magn ́etique de sens oppos ́e `a celui de l’aimant permanent. Il s’en suit
deux cons ́equences :
L’augmentation duflux dans le circuit est affaiblie.
L’apparition d’une force de Laplace FL = I∇Φ qui va repousser
l’aimant en approche.
Magn ́etostatique
Induction Magn ́etique
Approximation des r ́egimes quasi-stationnaires (ARQS)
R ́egime stationnaire
Les ́equations de la magn ́etostatique ont ́et ́e ́etablies jusqu’`a
maintenant dans un cadre stationnaire� ∂∂t ≡ 0� : ́
Equation de continuit ́e :
divJ = 0 ́
Equation d’Amp`ere :
rotB =μ0 J ́
Equation de la conservation duflux :
divB = 0
Magn ́etostatique
Induction Magn ́etique
Approximation des r ́egimes quasi-stationnaires (ARQS)
R ́egime non-stationnaire
L’ ́equation de conservation de la charge devient :
divJ +∂ρ ∂t
= 0
En utilisant l’ ́equation de Gauss on trouve que :
div (ε0 E) =ρ⇒ divJ + div� ε0 ∂E∂t �
= 0
L’ ́equation de continuit ́e se trouve modifi ́e par l’ajout d’un courant de
d ́eplacement ́electrique caus ́e par la variation temporelle du champ ́electrique :div �
J +ε0 ∂E∂t �
= 0
L’ ́equation d’Amp`ere devient :
rotB =μ0 J +1 c2 ∂E
∂t