Magnétostatique : Exercices induction electromagnetique
Télécharger PDFPage 1 sur 35
Prof. : Bendaoud Saâd CP − Sci. Ing., 2e année. Année universitaire : 2017-2018. Session d’Automne Problèmes et exercices résolus d’Électromagnétisme Induction électromagnétique
Exercice 1− Bobine plate de N spires entourant un solénoïde à courant variable. Un très long solénoïde, de rayon a, est constitué de n spires par unité de longueur. Le solénoïde est entouré d’une bobine plate de résistance R, formée de N spires circulaire de rayon r et de même axe que le solénoïde. 1. Le solénoïde est parcouru par un courant variable I(t), au cours du temps. Déterminer : a) Le champ électromoteur E
m induit au point M de la bobine plate, en fonction de n, a, r et dI(t)/dt, b) La f.é.m. induite aux bornes de la bobine plate, par deux méthodes différentes. c) Que devient cette f.é.m. si la bobine est extérieure au solénoïde sans l’entourant ? 2. Le solénoïde est parcouru par un courant continu d’intensité I1 . Ce courant est brusquement annulé ; déterminer la quantité d’électricité induite qui a traversé la bobine plate qui entoure le solénoïde, dans les deux cas suivants : a) les axes de la bobine et du solénoïde sont parallèles, b) les axes de la bobine et du solénoïde forment un angle θ quelconque.
Exercice 1− Solution 1. a) Le potentiel vecteur A(M, t) qui règne à l’extérieur du solénoïde illimité au point M, à l’instant t, est obtenu en écrivant que la circulation de A(M, t) le long d’une spire de la bobine plate matérialisant un contour C est égale au flux magnétique du champ B(M, t) à travers cette spire, soit : ∫∫→→ =∫ →→s dSn).t,M(Bc d).t,M(Al
(1) S est la surface ouverte s’appuyant sur le contour C. Page 2 sur 35
Prof. : Bendaoud Saâd Calcul du 1
er terme de l’équation (1) : Le système de coordonnées le plus approprié pour ce problème est le système de coordonnées cylindriques : (ρ, φ, z). On suppose que l’axe du solénoïde et orienté suivant l’axe Oz. L’étude des symétries montre que le plan coupant le solénoïde et passant par l’axe Oz et le point M est un plan d’antisymétrie, il s’ensuit que la densité de flux magnétique B(M, t) qui est un pseudo-vecteur appartenant à ce plan d’antisymétrie est orienté parallèlement à l’axe Oz tandis que le potentiel vecteur A(M, t) qui est un vecteur vrai est y perpendiculaire ; donc le champ magnétique est suivant l’axe Oz et le potentiel vecteur A(M, t) est ortho-radial c’est-à-dire φ→ =→ u)t,M(A)t,M(A
(2) oùφ →
u est le vecteur unitaire orthoradial. L’élément →
ld du contour C est : φφ φ→ =→ =→ urduddll Il vient : r2).t,M(A2 0
rd)t,M(Ac ud.u)t,M(Ac d).t,M(Aπ πφ φφ= ∫= ∫→→ =∫ →→ll Calcul du 2e terme de l’équation (1) : La densité du flux magnétique B(M, t) créée par le solénoïde est uniforme à l’intérieur du solénoïde et nulle à l’extérieur. Le champ vectoriel magnétique à l’intérieur du solénoïde est : zu)t(I.n o)t,M(B →= →
μ L’élément infinitésimal de surface ds de la surface s traversée par le flux magnétique est sous forme du disque s’appuyant sur une spire quelconque de la bobine plate. Cette surface est définie de la manière suivante : φρρdd.z uds. zudSn →= →= →
Page 3 sur 35
Prof. : Bendaoud Saâd Dès lors, le flux magnétique est : ∫∫= ∫∫= ∫∫→→ =∫∫ →→= πφρρμ φρρφρρμφ 20 dr 0d)t(I.n os dds dd.z u.z u)t(I.no s
dsn).t,M(B
Or, comme ≤= →≤≤≠ →ρ ρ
apour0)t,M(B
a0pour0)t,M(B Alors 2a)t(I.n o2 0d a0 d)t(I.no πμπ φρρμφ= ∫∫= La substitution des deux termes calculés dans l’équation (1) permet d’obtenir la forme explicite de (2) du potentiel vecteur. Soit : φμ →= →u)t(I r22 a.no )t,M(A
(3) Le champ électromoteur E
m induit au point M, à l’instant t, est obtenu en substituant l’expression (3) du potentiel vecteur A(M, t) dans l’équation de Neumann. t)t,M(A mE ∂→ ∂−= →⇒ φμ →−= →u dt)t(dI r22 a.no mE où 1m.H 7104 o−− ×=πμ : la perméabilité magnétique du vide. b) 1
re méthode : la f.é.m. induite aux bornes de la bobine plate est égale à la circulation du champ électromoteur E
m de nature magnétique le long d’une spire de la bobine plate matérialisant le contour C, soit : Page 4 sur 35
Prof. : Bendaoud Saâd ∫= ∫→→ =∫ →→= cd).t,M( mEN c
ud.u)t,M(m ENc d).t,M(m EN)t(l ll φφε Soit : ∫−= ∫−= πφμ πφμε 20 ddt )t(dI2 2a.n oN 20 )rd).(dt )t(dIr2 2a.n o(N)t( Donc, dt)t(dI 2a.Nn o)t( πμε−=
c.q.f.d. 2
e méthode : d’après la loi de Faraday, la f.é.m. induite dans la bobine plate estdt )t(d)t( φε −=
, où le flux qui traverse la bobine plate est 2a).t(nI o.N s
dsn).t,M(BN)t(πμ φ= ∫∫→→ =
(4) On retrouve bien la f.é.m. induite dt)t(dI 2a.Nn odt )t(d)t(πμ φε −=−=
c) Si la bobine plate n’entoure pas le solénoïde, puisque la densité de flux magnétique B(M, t) est nulle en tout point extérieur au solénoïde illimité, le flux magnétique qui traverse la bobine plate est nul : 0s dsn).t,M(BN)t(=∫∫ →→
=φ et donc 0dt )t(d)t(=−= φ
ε , d’où 0)t(=ε Page 5 sur 35
Prof. : Bendaoud Saâd Remarque : Ce dernier résultat montre que dans le cas où la bobine n’entoure pas le solénoïde, puisque la densité du flux magnétique B(M, t)=0 en tout point M de l’espace à l’extérieur du solénoïde, alors →= ∂→ ∂0 t
)t,M(B et donc il est inutile de parler de la circulation du champ électromoteur de nature magnétique le long d’une spire de la bobine plate puisque d’après l’équation de Maxwell-Faraday (→ =∂ →∂ =→ ∧→ ∇0t )t,M(B
E ), ce champ n’existe pas. 2. a) Les axes de la bobine plate et du solénoïde sont parallèles. Le flux magnétique à travers la surface délimitée par la bobine plate varie d’après (4) depuis la valeur initiale 2a. 1nI o.N 1
πμφ= jusqu’à la valeur finale 02 =φ. Cette variation de flux provoque dans la bobine plate, d’après la loi de Faraday dt)t(d )t(φ ε−= , un courant induit )t(Ridt )t(d)t(=−= φε C’est la loi d’Ohm. En isolant le courant induit, on a : dt)t(d R1 R)t( )t(iφε −==
La quantité d’électricité induite dans la bobine plate est donc R21 21 )t(dR 1dt)t(iq φφφ φφ −= ∫−= ∫= (5) ou bien d’après (4), R1 I2 nNao qπμ = Remarque : Ce résultat est valable aussi bien si les axes de la bobine plate et du solénoïde sont confondus ou s’ils sont parallèles, car le flux initial 1
φ et le flux final 2
φ ont la même valeur dans les deux cas et q ne dépend que de la variation du flux )21 (φφ− , d’après (5). Page 6 sur 35
Prof. : Bendaoud Saâd b) Si les axes de la bobine plate et du solénoïde forment un angle θ quelconque, le flux dans la bobine plate varie depuis la valeur initiale 21o a.nI.N1 πμφ= c'est le même flux quel que soit l’angle θ jusqu’à la valeur finale 02 =φ lorsque le courant dans le solénoïde varie de la valeur 1
I à la valeur zéro. Donc, d’après (5), la quantité d’électricité induite n’est pas modifiée : R1 I2 nNao qπμ =
Exercice 2− Spire immobile dans un champ magnétique variable Considérons une spire circulaire, de rayon a, de résistance R, immobile dans un champ magnétique uniforme variable sinusoïdalement au cours du temps avec une fréquence angulaire est ω=2πf=2π/T où f est la fréquence temporelle et T la période temporelle du champ magnétique (voir figure).
z ( )→ =→ zutcos oBBω yx spire Questions : 1) Calculer le flux magnétique instantané à travers la surface délimitée par la spire. Indication : On utilisera la notion du flux sortant. 2) En déduire la force électromotrice instantanée, f.é.m., induite dans la spire. Indication : On utilisera la loi d’induction électromagnétique. 3) En déduire le courant instantané, i(t), induit à l’intérieur de la spire. 4) Calculer le taux de variation du flux magnétique,( )dttdφ , à l’instant t=T/8? 5) Déterminer à l’aide de la loi de Lenz, à l’instant t=T/8, le sens de la densité du champ magnétique induit par rapport à celui de la densité de flux magnétique inducteur. 6) Indiquer le sens du courant, i(t), induit dans le volume de la spire à t=T/8. Expliquer comment il faut faire. Page 7 sur 35
Prof. : Bendaoud Saâd La grandeur de la densité de flux magnétique induite au centre d’une boucle parcouru par un courant induit i(t) par la f.é.m. induite est ( )( )tia2 otB μ= Le champ induit dans l’espace par la spire n’est pas uniforme mais tout de même, nous allons supposer qu’il est uniforme pour les deux questions suivantes. 7) Calculer le flux ( )tφ et le flux ( )tinduit φ à t=T/8. Conclure. 8) En ce qui concerne la loi de Lenz, expliquer, le calcul à l’appui, comment le courant instantané induit, i(t), s’oppose toujours au taux d’accroissement instantané,( )dttdφ du flux magnétique.
Exercice 2− Solution 1) Le flux magnétique à travers la surface délimitée par la spire dû à la variation de la densité de flux magnétique B est : ()() ()( )tcos2 a0 B2 0d a0 rdrtcoso B
rdrddsavecetS dSz uz utcoso BS dSz uz utcoso BdSn SB ωππ θωθω ωφ =∫∫ == ∫∫→ •→ =∫∫ →• →= →• ∫∫→ =
Donc, le flux magnétique est : () tcos2 ao Bωπφ= 2) La loi de Faraday donne la f.é.m. induite dans la spire. ( )()tsin 2a oB dtd tωωπφ ε=−= 3) L’intensité i(t) du courant induit dans la spire. ( )
( )r tti ε= Page 8 sur 35
Prof. : Bendaoud Saâd ()() = =t T2 sino itsin oiti π
ω où R2 ao Bo iωπ =. 4) Taux de variation du flux magnétique à l’instant t=T/8. Par définition ; ( )( ) −= =−=t T2 sin2 ao BT 2
avectsin2 ao Bdt tdπ ωππ ωωωπφ A t=T/8, on a : −= −= 4sin 2a oB 8T T2 sin2 ao B8/T dtd πωπ πωπ φ⇒ ωπφ 2a oB 22 8/Tdt d−= 5) A t=T/8, on a : dtdφ < 0 . Or, comme le temps s’écoule, dt
>0 et c’est donc la variation infinitésimale φd qui est négative. Par conséquence, le flux magnétique inducteur ()
tφdécroit au voisinage de l’instant t=T/8. La loi de Lenz stipule que le flux induit s’oppose toujours à la décroissance du flux inducteur. Donc, le flux induit est nécessairement positif. Par conséquence, le champ induitB → et le champ →B inducteur ont le même sens. Il reste maintenant à déterminer ce sens. A t=T/8, on a : A t=T/8, induitB → et →
B sont orientés dans le sens du vecteur unitaire→ +z u
, comme ça, le flux magnétique induit (appelé également flux propre) φp , s’additionne instantanément au flux inducteur φa . Le flux propre d’auto-induction φ
p vient à la rescousse du flux inducteur φ
a afin de l’empêcher de décroitre instantanément, le tout en conformité avec la loi de Lenz. A chaque instant, on a : φ(t)=) φa (t)+ φp (t) Le flux propre φa (t) d’auto-induction s’ajoute au flux inducteur φa (t). () →= → = ==→ =→ zu oB 22 zu 8T T2 coso BT 2f2avec zutcos oBB ππ πωω
Page 9 sur 35
Prof. : Bendaoud Saâd 6) La 2
e règle de la main droite pour les bobines indique le sens du courant, i(t), induit dans la spire à t=T/8. 2
e règle de la main droite : Le pouce indique le sens de induitB → et ta courbures des doigts indique le sens du courant induit (voir schéma). 2
e règle de la main droite A t=T/8, la sens de →= →z uo B2 2B ≡ Sens deinduit B→ .z yx i(t) 7) Calcul des flux ( )ta φ et ( )tp φ. Le flux magnétique inducteur ( )ta φ à t=T/8 : ()()2 ao B2 28 TT 2cos 2a oB T2 avectcos2 ao B8/Ta ππ ππ ωωπφ= === Donc, à l’instant t=T/8, ()2 a0 B2 22/T aπφ= Le flux magnétique induit ( )tp φ à t=T/8 : Page 10 sur 35
Prof. : Bendaoud Saâd ( )
( )() ()() === ∫∫= ∫∫∫∫= ∫∫= ∫∫= ∫∫= =→ •→ ∫∫→ •→ =→ •∫∫ →= 8T T2 sinr 4a 2o Ba2 otsin r4 a2 oB a2o 2a 20 da 0rdr sdS:aon sdStsin r2 ao Ba2 os dStsinr 2a oB a2o sdSti a2o sdS induitB 1z uz uavecs dSz uz uinduit BdSn sinduit Btinduit πωπ μω ωπμ ππ θωωπ μω ωπμμ φ
Le flux magnétique induit (propre) ( )tp φ à t=T/8: r4 a2 oB a2o 22 induitωπ μφ =
A t=T/8,a φ
> 0, de même,p φ> 0 , donca φ etp φ ont le même signe. Ils s’additionnent instantanément, au voisinage de t=T/8 conformément à la loi de Lenz. ( )( )( ) += +=r a2 o1 2a oB 22 tp ta tω μπ φφφ
Comme on voit, à l’instant t=T/8, le flux magnétique inducteur est augmenté d’une quantité égale à ra 2o ωπμ par le flux induit, le tout en conformité avec la loi de Lenz. 8) Le courant instantané i(t) d’induction électromagnétique dans la spire est : ( )() tsino itiω= où R2 ao Bo iωπ =. Page 11 sur 35
Prof. : Bendaoud Saâd Que l’on peut réécrire sous forme ( ) +−= 2tcos oiti πω Le taux de variation de flux magnétique ( )() ++=−=2 tcos2 ao Btsin2 ao Bdt tdπ ωωπωωπφ A chaque instant, i(t) induit est en phase avec ( )
dttdφ mais de signe contraire, donc ils sont en opposition de phase. La loi de Faraday ( )
( )
( )tRidt tdt =−=φ ε
Le courant i(t) d’induction électromagnétique s’oppose, à chaque instant t, au taux d’accroissement du flux, dtdφ
, le tout en accord avec la loi de Lenz. Et on retrouve les résultats de la question précédente.
Exercice 3− Induction magnétique dans un cadre. 1. Induction de Neumann - Cadre fixé dans un champ variable. Deux longs conducteurs filiformes rectilignes parallèles 1 et 2 sont parcourus, à chaque instant t, par un même courant variable I(t) dans des sens opposés.M bN aQ Pr 1r 2I I Un cadre rectangulaire filiforme MNPQ, de côtés MQ = a et NM = b, est fixé dans le plan des conducteurs 1 et 2, le côté inférieur QP étant à la distance 1
r de 1 et à la distance 2
r de 2. On désigne u
z le vecteur unitaire dans la direction du courant du fil 1. Calculer la f.é.m. instantanée induite ( )
te dans le cadre MNPQ en fonction de a, b, 1
r, 2
r et dI/dt et déterminer le sens du courant induit a) à partir de la loi de Faraday. Page 12 sur 35
Prof. : Bendaoud Saâd b) à partir de la circulation du champ électromoteur le long du cadre. 2. Induction de Lorentz - Cadre mobile dans un champ permanent Les fils sont maintenant parcourus par un même courant constant o
I dans des sens opposés. A partir de l’instant t=0, le cadre rectangulaire s’éloigne des conducteurs avec une vitesse v
constante, en restant dans le plan des fils. Calculer la f.é.m. induite ( )
te dans le cadre, à l’instant t.
Exercice 3− Solution 1. Induction de Neumann. a) Le flux élémentaire sortant de la bande hachurée de surface bdxdS= est : dSn.Bd→→ =φB=B 1+B 2 avec B1 = B1 u
y et B2 = − B2 u
y où ( )xr tI. 2B 1o 1+ =π μ
et ( )xr tI. 2B 2o 2+ =π μ. Il vient : ()Sdn. yu 2B 1B dSn.Bd→→ −=→→ =φ
On a : 1
B >2 B donc ()2 B1 B− u
y > 0. Pour que le flux magnétique soit un flux sortant c’est-à-dire positif, il faut que la normale n à la surface dS soit orientée dans le même sens que le vecteur unitaire uy .
Il vient : ()() bdx.2 B1 BdS yu. yu 2B 1Bd −=→→ −=φ Le flux magnétique qui traverse le cadre MNPQ à l’instant t est : Page 13 sur 35
Prof. : Bendaoud Saâd ()
( )
( ) ∫ +− ∫+ =∫ +− += ∫−= ∫= a0 x2 rdx a0 x1 rdx 2tbI oa 0bdx. x2 r1 2o x1 rtI .2 oa 0bdx. 2B 1B dtπ μπ μπ μφφ Donc
( )
( )a 0x 2r x1 rln 2tbI ot ++ =π μφ Soit ( )
( )( ) + += − + += a2 ra 1r .1 r2 rln 2tbI o2 r1 rln a2 ra 1r ln2 tbIo tπ μπ μφ ou bien ( )( ) + += 2r a1 1r a1 lntI.2 bo tπ μ
φ > 0
(1) Le flux inducteur est positif (( )tφ > 0), donc il s’agit bien d’un flux sortant. D’après la loi de Faraday, la f.é.m. induite dans le cadre ; à l’instant t, est ( )
( )dt tdte φ−= Soit
( )
( ) + +−= 2r a1 1r a1 lndt tdI. 2b ote π
μ < 0 Application (mentale) de la loi de Lenz : Si au voisinage de l’instant t, le courant I(t) croit instantanément, alors le flux magnétique croit lui aussi. Dans ce cas, la loi de Lenz stipule que la f.é.m. induite dans le cadre induit un courant i(t) qui à son tour induit un flux magnétique qui s’oppose au Page 14 sur 35
Prof. : Bendaoud Saâd taux d’accroissement du flux inducteur ; par conséquence, il faut que le courant induit i(t) circule dans le sens MNPQ dans le cadre pour que le champ induit Binduit = − Binduit uy s’oppose au champ inducteur B
inducteur
= (B1 − B2 ) uy de façon telle que le flux induit soit un flux entrant et donc négatif. Le champ Binduit = − Binduit u
y est orienté de l’avant vers l’arrière du plan contenant le cadre et les conducteurs filiformes. Dans ces conditions, le flux induit s’oppose instantanément à l’accroissance au flux inducteur. On a : φ(t)=) φ
inducteur
(t)+ φinduit (t) A chaque instant t, le flux propre φinduit (t) d’auto-induction est retranché du flux inducteur φ
inducteur
(t). Mais si à un instant t quelconque, le courant I(t) décroit, alors le flux magnétique décroit lui aussi à cet instant. Dans ce cas, la loi de Lenz stipule que le courant induit i(t) par la f.é.m. dans le cadre va normalement induire un flux magnétique qui s’oppose à la décroissance instantanée du flux inducteur, et par conséquence il faut que le courant induit i(t) circule dans le sens NMQP dans le cadre pour que le champ induit Binduit = Binduit u
y s’oriente dans le même sens que celui du champ inducteur B
inducteur
= (B1 − B2 ) u
y de façon à ce que le flux induit soit un flux sortant et donc positif . Le champ induit Binduit = Binduit u
y est orienté de l’arrière vers l’avant du plan contenant la cadre et les deux fils. Comme ça, le flux induit dû à l’auto-induction et le flux inducteur décroissant sont tous deux des flux sortants c’est-à-dire positifs, et donc s’additionnent à chaque instant t : le flux induit φ
induit vient à la rescousse du flux inducteur φ
inducteur en décroissance et ce pour l’empêcher de décroitre (c’est une sorte de résistance magnétique). Application de loi de Lenz par la méthode des trois (03) règles. 1
re Règle : Il faut que le flux apparaissant dans la loi de Faraday ( )
( )dt tdte φ
−= soit un flux sortant c’est-à-dire positif. Or, du moment que B
inducteur
= (B1 − B2 ) u
y > 0 et n= uy , alors le flux magnétique est en effet un flux sortant et donc il est positif. 2
e Règle : Application de la 2
e règle de la main droite pour les bobines. Cette fois-ci, le pouce de la main droite indique le sens du vecteur unitaire n= u
y et la courbure des doigts indique le sens positif arbitraire provisoire du courant induit i(t) et dans le sens NMQP dans le cadre. 3
e Règle de confirmation. Si ( )
( )
dttdteφ−= > 0 alors confirmation : le sens positif choisi est le sens réel du courant induit i(t) dans le cadre. Page 15 sur 35
Prof. : Bendaoud Saâd Sinon, si ()() dttdteφ−= < 0 alors le sens positif choisi n’est pas le bon le sens du courant induit i(t) dans le cadre c’est-à-dire le sens choisi est celui du mouvement des électrons. Il faut donc inverser le sens dans le circuit pour que le courant circule dans le sens contraire au sens des électrons. Dans ce cas, I(t) croit, donc dI(t)/dt > 0. Donc, ( )
( ) + +−= 2r a1 1r a1 lndt tdI. 2b ote π
μ < 0 Puisque e(t) < 0, le sens positif provisoire NMQP du courant induit i(t) que nous nous sommes fixés à l’étape 2 est celui des électrons et non pas du courant qui par convention, dans le sens contraire au mouvement des électrons. Donc, le sens du courant induit i(t) est nécessairement dans le sens MNPQ. Ce qui est en accord avec le sens obtenu par application mental de la loi de Lenz. Maintenant, il faut corriger le signe de la force électromotrice f.é.m. pour qu’il soit conforme avec la loi d’Ohm ( )( )
tRite= > 0. La f.é.m. réelle qui apparait dans le cadre, de signe positif, est donc : ( )
( ) + ++= 2r a1 1r a1 lndt tdI. 2b ote πμ > 0
(2) b) Le potentiel vecteur est un vecteur vrai. On rappelle que le potentiel vecteur créé en une position quelconque, à la distance r d’un fil rectiligne de longueur L illimité parcouru par un courant I(t), est parallèle au courant et de grandeur : zu rL ln.2 Io A→ =→ πμ Ici, L est la longueur d’un fil infini. On en déduit le potentiel vecteur résultant créé en une position quelconque de l’espace, à l’instant t, par la superposition des deux fils : − En tout point du côté horizontal supérieur MN, on a : Potentiel vecteur →1 A créé par le fil 1 : zu a1 rL ln.2 Io 1A → + =→ πμ Page 16 sur 35
Prof. : Bendaoud Saâd Potentiel vecteur →2 A créé par le fil 2 : zu a2 rL ln.2 Io 2A →+ −=→ πμ Potentiel vecteur créé par la superposition des deux fils 1 et 2 : zu a2 rL lna 1r Lln. 2I oz ua 2r Lln. 2I oz ua 1r Lln. 2I oA → + −+ =→ +− → + =→ πμ πμ πμ D’où, ( )z ua 1r a2 rln. 2tI oA → + += →π μ
En suivant un raisonnement analogue, le potentiel vecteur résultant en tout point du côté horizontal inférieur PQ, on a : ( )z u1 r2 rln. 2tI oA → = →π μ
Le champ électromoteur en tout point de l’espace, à l’instant t, est donné par l’équation de Neumann : tA E∂ →∂ −=→ Soit : ( )
( ) → −= ∂→ ∂−= →→ ++ −=∂ →∂ −=→ )4(PQsurz u1 r2 rln. dttdI .2 ot AE )3(MNsurz ua 1r a2 rln. dttdI .2 ot AE πμ πμ La force électromotrice induite dans le cadre MNPQ est, par définition, égale à la circulation du champ électromoteur le long du contour matériel qui est, ici, le cadre. Soit : ( )∫ →• →= cdEt lε Ici, le contour C c’est le cadre lui-même. Page 17 sur 35
Prof. : Bendaoud Saâd ( )43421 lll 43421l ll→ ⊥→ =∫ →• →+ ∫→ •→ +→ ⊥→ =∫ →• →+ ∫→ •→ =dEcar0 MQ dEQ PdE dEcar0P NdE NM dEtε
Et d’après (3) et (4), ( )
( )( )
( )
( ) − ++ −= ∫ −∫ ++ −=∫ →• →− ∫→ •→ ++ −=∫ →• →+ ∫→ •→ = 1 r2 rln a1 ra 2r lndt tdI. 2b oP Qdz 1r 2r lnN Mdz. a1 ra 2r lndt tdI. 2o QP zudz zu 1r 2r ln.dt tdI. 2o NM zudz zu a1 ra 2r ln.dt tdI. 2o QP dEN MdEt πμ πμ πμ πμ εll ou bien ( )
( ) + +−= 2r 1r .a 1r a2 rln. dttdI .2 bo tπ με Ou encore ( )
( ) + +−= 1r a1 2r a1 lndt tdI. 2b ot πμ ε > 0
(5) On retrouve ainsi l’expression (2). Remarque : La f.é.m. est donnée par la loi d’induction électromagnétique (loi de Faraday): ( )
( )dt tdt φε −=
D’après l’expression (5), le flux magnétique est : ( )
( ) + +−= 1r a1 2r a1 ln.2 tbIo t' πμ φ
< 0 Page 18 sur 35
Prof. : Bendaoud Saâd Ici, ( )t '
φ < 0 parce que l’application de l’équation de Neumann a conduit à un flux entrant qui est d’office un flux négatif. Ici, le signe du flux entrant est contraire au signe du flux sortant employé dans la question 1. a). Pour s’en apercevoir, il suffit de poser ( )( )t '
tφφ−= pour que les résultats des deux questions 1.a) et 1.b) coïncident parfaitement. Sinon, il faut refaire la question 1. a) mais avec la notion du flux entrant à la place du flux sortant c’est-à-dire avec n=
− u
y à la place de n= uy . Application de loi de Lenz par la méthode des trois règles. 1
re Règle : le flux magnétique ( )t '
φ qui apparait dans la loi de Faraday ( )
( )dt t' dt φε −= , est, dans le question 1.b, un flux entrant c’est-à-dire négatif, alors le sens du vecteur normal unitaire n de la surface délimitée par le cadre est : n=
− uy . Donc n=− u
y est dirigé de l’avant vers l’arrière du plan de la figure. 2
e Règle : la 2
e règle de la main droite des bobines avec le pouce indique n=− u
y et la courbure des doigts fixe le sens positif ⊕ à choisir et qui fixe le sens provisoire du courant induit. Le sens du courant induit circule présentement de MNPQ dans le cadre. 3
e Règle de confirmation. Si ( )
( )
dttdtφε−= > 0 alors confirmation : le sens positif choisi est le sens réel du courant i