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Magnétostatique : Exercices induction electromagnetique

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Exercice 1 : Bobine plate entourant un solénoïde à courant variable

Un très long solénoïde, de rayon a, est constitué de n spires par unité de longueur. Le solénoïde est entouré d’une bobine plate de résistance R, formée de N spires circulaires de rayon r et de même axe que le solénoïde.

1. Détermination du champ électromoteur et de la f.é.m. induite

a) Le champ électromoteur E_m induit au point M de la bobine plate, en fonction de n, a, r et dI(t)/dt, est donné par :

E_m(M, t) = −(dI(t)/dt) μ₀ n r² / (2 a) u_φ, où u_φ est le vecteur unitaire orthoradial.

b) La force électromotrice (f.é.m.) induite aux bornes de la bobine plate peut être déterminée par deux méthodes :

Première méthode : La f.é.m. induite est égale à la circulation du champ électromoteur E_m le long d’une spire de la bobine plate. On obtient :

ε(t) = − π μ₀ n r² N dI(t)/dt.
Deuxième méthode : D’après la loi de Faraday, la f.é.m. induite est donnée par :

ε(t) = − dΦ_B/dt, où Φ_B = π μ₀ n I(t) N r² est le flux magnétique traversant la bobine plate. On retrouve la même expression :

ε(t) = − π μ₀ n r² N dI(t)/dt.

c) Si la bobine plate est extérieure au solénoïde sans l’entourer, la f.é.m. induite est nulle, car le champ magnétique B est nul en tout point extérieur au solénoïde. Ainsi, ε(t) = 0.

2. Quantité d’électricité induite lors de l’annulation brutale du courant

Le solénoïde est parcouru par un courant continu d’intensité I₁, qui est brusquement annulé. La quantité d’électricité induite traversant la bobine plate est déterminée dans deux cas :

Cas a) : Les axes de la bobine plate et du solénoïde sont parallèles. La quantité d’électricité induite est donnée par :

q = I₁ N π μ₀ n r² / R.
Cas b) : Les axes de la bobine plate et du solénoïde forment un angle θ quelconque. La quantité d’électricité induite reste inchangée et est donnée par la même expression :

q = I₁ N π μ₀ n r² / R.

FAQ

Qu’est-ce que le champ électromoteur induit ?

Le champ électromoteur induit est un champ électrique généré par la variation d’un champ magnétique. Il est responsable de la production de courants électriques dans des conducteurs placés dans ce champ.

Comment la loi de Faraday est-elle appliquée pour calculer la f.é.m. induite ?

La loi de Faraday stipule que la f.é.m. induite est égale à la variation du flux magnétique traversant une surface par rapport au temps, avec un signe négatif. Cela signifie que ε = − dΦ_B/dt.

Pourquoi la quantité d’électricité induite est-elle la même dans les deux cas de l’exercice 2 ?

La quantité d’électricité induite dépend uniquement de la variation du flux magnétique traversant la bobine plate. Dans les deux cas, cette variation est identique, car le flux initial est le même et le flux final est nul.