Magnétostatique : Exercices magnetostatique revisions pc
Télécharger PDFI) Vecteur densité volumique de courant, loi d’Ohm locale, effet Hall et force de Laplace
1 – Vecteur densité volumique et intensité
On considère un ensemble de particules de charge q, de densité particulaire n et ayant un mouvement d’ensemble à la vitesse v. On notera dans la suite : qnm = ρ, la densité de charges mobiles (exprimée en C.m⁻³).
Comment définir l’intensité qui traverse une surface dS quelconque ?
La quantité de charges électriques dq qui traverse la surface élémentaire dS pendant l’intervalle de temps dt est : dq = qv · dS · n · dt · cos(θ).
Or, v · dS = v · dS · cos(θ), d’où : dq = ρv · dS · dt.
On définit alors le vecteur densité de courant : j = ρv.
L’intensité i : i = ∫∫(j · dS) s’interprète comme le flux du vecteur densité de courant à travers la surface dS orientée. L’intensité qui traverse une surface finie (S) sera alors : i = ∫∫(j · dS).
2 – Modèle classique de la conduction dans un métal
La conduction dans un métal repose sur le mouvement des électrons libres sous l’effet d’un champ électrique. Pour les électrolytes, on peut évoquer le suivi d’une cinétique de saponification par conductimétrie, où les ions mobiles transportent le courant.
3 – Effet Hall
L’effet Hall correspond à l’apparition d’une différence de potentiel transversale (tension de Hall) dans un conducteur parcouru par un courant et placé dans un champ magnétique. Ce phénomène est lié à la force de Lorentz exercée sur les porteurs de charge.
4 – Force de Laplace, expression volumique
L’équivalence entre les expressions est : Idl ⇔ τ = j · dS.
II) Révisions de magnétostatique de 1ère année
1 – Loi de Biot et Savart
La loi de Biot et Savart permet de calculer le champ magnétique créé par un courant. Pour des courants filiformes, elle s’écrit sous forme intégrale, tandis que pour des courants non filiformes, on exploite les symétries et invariances du problème.
2 – Flux de B et circulation de B (théorème d’Ampère)
Le champ magnétique est à flux conservatif, ce qui signifie que le flux du champ magnétique à travers une surface fermée est nul. En utilisant le théorème de Green-Ostrogradsky, on obtient : ∮∮(B · dS) = 0, soit ∫∫(div B) dV = 0.
Cela découle de l’absence de monopôles magnétiques. Le théorème de Stokes, admis, généralise cette propriété pour un contour fermé (C) et une surface (S) s’appuyant sur (C). Il s’écrit : ∮(A · dr) = ∫∫(rot A · dS), où le vecteur normal est orienté selon la règle du tire-bouchon.
3 – Exemples d’utilisation du théorème d’Ampère
Le théorème d’Ampère simplifie les calculs de champ magnétique pour des configurations symétriques comme le cylindre infini, le ruban épais, le tore ou le solénoïde infini. Il permet aussi d’étudier le champ magnétique à l’intérieur d’un Tokamak.
4 – Relations de passage pour le champ magnétique
La composante normale du champ magnétique est toujours continue à la traversée d’une surface. La composante tangentielle présente une discontinuité égale à μ₀ jₛ, où jₛ est la densité de courant surfacique.
5 – Potentiel vecteur
On admet l’équivalence : Arot = B et B = rot A. Formellement, on peut écrire : div A = 0 et rot B = 0.
L’équation de Poisson, obtenue en projetant sur les axes cartésiens, est : ∆A = -μ₀ j. La solution pour une répartition volumique est : A = (μ₀/4π) ∫(j · dV)/r.
Pour une répartition filiforme, on utilise l’équivalence Idl ⇔ τ : A = (μ₀ I/4π) ∮(dl/r).
III) Dipôle magnétique
1 – Définitions et analogie avec le dipôle électrostatique
Un dipôle magnétique est un système qui, vu de loin, se comporte comme un aimant. On peut citer des exemples comme un aimant, une spire circulaire ou un électron gravitant autour d’un noyau.
2 – Champ magnétique et potentiel vecteur créés par un dipôle magnétique
Le champ magnétique et le potentiel vecteur d’un dipôle magnétique peuvent être déterminés par analogie avec ceux d’une spire circulaire, en étudiant les expressions sur son axe et en un point éloigné.
3 – Moment magnétique d’un circuit filiforme fermé plan
Le moment magnétique d’un circuit filiforme plan est donné par : m = I · S, où I est l’intensité du courant et S la surface du circuit.
4 – Action d’un champ magnétique extérieur sur un dipôle magnétique
L’énergie potentielle d’un dipôle magnétique dans un champ extérieur est : U = -m · B. La force exercée sur un dipôle est : F = ∇(m · B).
5 – Moment magnétique d’une boule chargée
Pour une boule chargée en rotation, le moment magnétique est : m = (1/6) Q · ω · R², où Q est la charge totale, ω la vitesse angulaire et R le rayon de la boule.
FAQ
Qu’est-ce que le vecteur densité de courant ?
Le vecteur densité de courant j représente le courant électrique par unité de surface. Il est défini par j = ρv, où ρ est la densité volumique de charge et v la vitesse des porteurs de charge.
Comment s’applique le théorème d’Ampère pour calculer un champ magnétique ?
Le théorème d’Ampère permet de calculer le champ magnétique en exploitant les symétries du problème. Il relie la circulation du champ magnétique à travers un contour fermé à la densité de courant qui traverse la surface délimitée par ce contour.
Quelle est la différence entre un dipôle électrique et un dipôle magnétique ?
Un dipôle électrique est généré par deux charges opposées, tandis qu’un dipôle magnétique est associé à une boucle de courant ou à un aimant. Leurs champs respectifs divergent ou tournent selon des lois différentes, mais ils suivent des analogies mathématiques similaires.