Mécanique du point : Td 4 physique mecanique
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Exercice 01
Un projectile est lancé d’un point O au sol avec une vitesse initiale V qui fait avec le plan horizontal un angle θ, appelé angle de tir. Le champ de pesanteur est supposé uniforme et on néglige la résistance de l’air.
1. Montrer sans calcul que la trajectoire est parabolique et préciser son plan.
2. On souhaite atteindre un point A de coordonnées x et z. Établir l’équation du second degré en tgθ permettant de calculer l’angle de tir connaissant V₀, g, x et z.
3. Calculer numériquement θ pour V₀ = 600 m·s⁻¹, g = 10 m·s⁻², x = 10 km et z = 500 m.
4. Montrer que les points pouvant être atteints par le projectile se trouvent à l’intérieur d’une parabole (parabole de sécurité) et donner son équation pour V₀ fixé.
Exercice 02
Un plan incliné d’un angle α par rapport à l’horizontale est représenté sur la figure 2.a. Un chariot de masse m, mobile sans frottement sur des rails parallèles à la ligne de plus grande pente, a son centre de gravité G repéré par l’abscisse x, nulle à l’instant initial.
1. Le chariot est lancé vers le haut avec une vitesse initiale v₀. Déterminer la valeur de v₀ pour laquelle la vitesse s’annule au sommet A d’abscisse x = a.
2. La figure 2.b montre le même plan incliné équipé d’un ressort et d’un fil polie, exerçant une force F = -kx. Le chariot est lancé vers le haut avec une vitesse v₀′ et atteint un point B où sa vitesse s’annule avant de redescendre. Établir et intégrer l’équation différentielle du mouvement. Pour quelle valeur de v₀′ le point B coïncide-t-il avec le point A ?
3. La figure 2.c représente le plan incliné où le chariot est tiré vers le haut par un contrepoids M. À l’instant initial, x = 0 et la vitesse est nulle. Quelle doit être la masse M pour que le mouvement du chariot soit ascendant ? Calculer le temps nécessaire pour que l’abscisse de G atteigne la valeur a.
Exercice 03
Une tige verticale AD, entraînée par un moteur, peut tourner avec une vitesse angulaire ω. Une bille B de masse M = 0,3 kg est reliée par deux fils inextensibles de longueur l = 32 cm aux points A et C de AD, tels que AC = L = 40 cm.
1. Le système tourne à vitesse angulaire constante ω, les fils sont tendus. Sachant que la tension du fil AB est T₁ = 5,43 N, trouver la tension T₂ du fil BC et la vitesse angulaire ω.
2. Le système est initialement au repos. On augmente progressivement la vitesse angulaire ω.
a. Déterminer la valeur de ω pour laquelle la bille B décollera de l’axe AD, le fil AB étant seul tendu.
b. À partir de quelle valeur de ω le fil BC devient-il tendu ? (g = 9,86 m·s⁻²)
Exercice 04
Un ressort est fixé au plafond d’un ascenseur. À son extrémité inférieure, on accroche une masse m = 200 g. La raideur du ressort est k = 50 N·m⁻¹. L’ascenseur est en montée.
Calculer l’allongement du ressort au cours des trois phases du mouvement :
- Phase accélérée : accélération de 0,6 m·s⁻²
- Phase uniforme
- Phase retardée : accélération de 0,9 m·s⁻²
Exercice 05
Un cylindre OAB de longueur 2a tourne à vitesse angulaire ω constante autour d’un axe vertical passant par O. Une bille est initialement au repos dans le cylindre à une distance b (b < a) de O.
En supposant qu’il n’y a aucune force de frottement, déterminer la position et la vitesse de la bille à tout instant. Calculer le temps nécessaire pour que la bille sorte du tube.
FAQ
1. Comment démontrer qu’une trajectoire est parabolique sans calcul ?
La trajectoire est parabolique car elle résulte de la combinaison d’un mouvement uniforme horizontal et d’un mouvement uniformément accéléré vertical (chute libre sous gravité).
2. Qu’est-ce qu’une parabole de sécurité en balistique ?
La parabole de sécurité est l’enveloppe des trajectoires possibles pour un projectile lancé avec une vitesse initiale fixe. Elle représente la limite maximale des points atteignables.
3. Pourquoi la vitesse initiale est-elle cruciale dans les exercices de dynamique ?
La vitesse initiale détermine l’énergie cinétique du système et influence directement la portée, la hauteur maximale et le temps de vol dans les mouvements projectiles ou oscillatoires.