Mécanique du point : Cours mecanique du point chapitre 2 cinematique du point ma
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Télécharger pack1 Année universitaire 2013-2014 CC oo uu rr ss MM éé cc aa nn ii qq uu ee dd uu pp oo ii nn tt // CC hh aa pp ii tt rr ee II II CC ii nn éé mm aa tt ii qq uu ee dd uu pp oo ii nn tt mm aa tt éé rr ii ee ll PP rr .. AA dd ee ll BB oo uu aa jj aa jj ROYAUME DU MAROC UNIVERSITE ABDELMALEK ESSAADI Tanger 2 Table des matières Chapitre 2 : Cinématique du point matériel ............................................................................................ 3 I. Introduction ................................................................................................................................. 3 II. Généralité .................................................................................................................................... 3 2.1. Point matériel ...................................................................................................................... 3 2.2. Repère d’espace. ................................................................................................................. 3 2.3. Référentiel ........................................................................................................................... 3 2.4. Trajectoire ........................................................................................................................... 5 III. Vitesse d’un point matériel ..................................................................................................... 5 3.1. Définition de la vitesse d’un point ....................................................................................... 5 3.2. Expression de la vitesse en coordonnées cartésienne ........................................................ 5 3.3. Vitesse en coordonnées polaires ou cylindriques ............................................................... 5 3.4. Vitesse dans la base de Frenet ............................................................................................ 7 IV. Accélération d’un point matériel ............................................................................................ 8 4.1. Définition ............................................................................................................................. 8 4.2. Expression de l’accélération en coordonnées cartésienne. ............................................... 9 4.3. Expression de l’accélération en coordonnées polaires ou cylindriques.............................. 9 4.3.1. Coordonnées polaires ...................................................................................................... 9 4.3.2. Coordonnées cylindriques ............................................................................................... 9 4.4. Expression de l’accélération dans la base de Frenet ........................................................... 9 V.
Récapitulatif .............................................................................................................................. 11 VI. Exemples de Mouvements .................................................................................................... 12 6.1. Mouvements rectilignes .................................................................................................... 12 6.2. Mouvement circulaire uniforme ....................................................................................... 14 6.3. Le mouvement hélicoïdal .................................................................................................. 15 6.4. Le mouvement parabolique .............................................................................................. 15 3 Chapitre 2 : Cinématique du point matériel I. Introduction La cinématique est l’étude du mouvement d’un corps (point matériel par exemple) sans tenir compte des efforts qui ont produit ce mouvement. II. Généralité 2.1. Point matériel Un point matériel est un corps dont les dimensions sont négligeables lorsqu’on décrit son mouvement. Sa position est définie par ses coordonnées cartésiennes (x,y,z), cylindrique (ρ,θ,z), sphérique (r, θ,φ), curviligne s(t). Son mouvement est déterminé quand on connait ses coordonnées à chaque instant. 2.2. Repère d’espace. On appelle repère d’espace R un ensemble de points dont les distances mutuels sont invariables au cours du temps. On caractérise généralement un tel repère d’espace par un point d’espace O, choisi conventionnellement comme origine du repère, et une base orthonormée (O; u , u , u ). On note alors R(O; u , u , u ) ou plus brièvement R(Oxyz). 2.3. Référentiel Un référentiel est un système d’axe de coordonnées lié à un observateur muni d’une horloge pour mesurer le temps. On le note R(O,x,y,z, t). L’ensemble d’un repère d’espace et d’un repère de temps constitue un référentiel. Remarque : 1- En mécanique classique (v << c ou c est la vitesse de la lumière dans le vide c = 3 10
8 m/s) , vu que le temps est le même dans tous les référentiels : on dit que le temps est absolue , on fait une confusion entre un référentiel et un repère d’espace : R(O,x,y,z, t)= R(O,x,y,z) 2- La description d’un mouvement dépend du référentiel dans lequel on décrit ce mouvement. 3- Un référentiel peut être caractérisé par son nom. Par exemple, il est fréquent d’utiliser pour des observations faites à la surface de la Terre, le référentiel terrestre. Il est clair alors que l’étude se fera par rapport à la terre ou par rapport à tout ce qui est fixe sur terre. On distingue plus particulièrement, les référentiels : terrestre, Copernic, géocentrique. a- Référentiel de Copernic
– origine : centre du Système Solaire (voisin du centre d’inertie du Soleil) ; – axes dirigés vers les étoiles situées dans des directions fixes par rapport au Soleil – propriété : supposé galiléen b- Le référentiel géocentrique – origine : centre de la Terre ; – axes dirigés parallèlement à ceux du référentiel de Copernic. Figure 1 • Référentiels de Copernic et géocentrique. Il faut noter que les axes du référentiel géocentrique restent parallèles à ceux du référentiel de Copernic. 4 c- Le référentiel terrestre
– origine : point de la surface de la Terre ; – axes fixes par rapport à la Terre. Au lieu de caractériser un référentiel par son nom, on convient souvent de le représenter par le symbole R associé à un repère d’espace et de temps. La notation suivante est d’usage courant : référentiel R (O, x, y, z, t). Pour une étude plus précise du mouvement d’un point mobile dans un référentiel R on est amené à définir sa position mais aussi des grandeurs vectorielles comme le vecteur vitesse ou accélération de ce point. Il faudra donc faire un choix de système de coordonnées (voir chapitre I : rappel des outils mathématiques) et utiliser la base correspondante : Il est important de noter que suivant le choix effectué, la base utilisée, comme outil mathématique, peut être fixe ou mobile dans le référentiel donné. Ceci a des conséquences importantes lorsqu’il s’agit de dériver des vecteurs. Pour éviter toute erreur ou confusion, on notera, à chaque fois qu’une étude est entreprise, le choix de la base en précisant si elle est fixe ou pas. L’association de l’origine d’un repère d’espace, des axes du repère d’espace et de la chronologie définit le référentiel d’étude. On notera ensuite la base de projections utilisée en précisant si elle est fixe ou pas dans le référentiel. On notera donc un référentiel d’étude sous la forme présentée sur la figure 2. Figure 2 : Référentiel d’étude. Un référentiel peut être défini par un de ses repères d’espace muni d’une origine, de trois axes et d’une chronologie : R(O, x, y, z, t) Pour une étude plus précise, on notera, à la suite, la base utilisée en précisant si elle est fixe ou pas : R(O, x, y, z, t) avec (base fixe ou mobile) Si un référentiel est défini par un de ses repères, on prendra soin de noter : • l’origine : O; • les axes du référentiel : x, y, z ; • le temps : t. On précisera ensuite, lorsque l’étude le nécessite, la base de projections dont on indiquera si elle est fixe ou non dans R. • (x, y, z) en coordonnées cartésiennes avec la base (u , u , u ) qui est une base dont les vecteurs sont fixes dans le repère. • (ρ,θ,z) en coordonnées cylindriques avec la bas (u , u
, u ).qui est une base dont les deux premiers vecteurs voient leur direction varier au cours du temps. • (r, θ φ) en coordonnées sphériques avec la base mobile (u
, u
, u
) base mobile 5 2.4. Trajectoire Soit M un point en mouvement dans un référentiel R (O, x, y, z). Lorsque le temps varie le point M décrit un lieu géométrique appelé trajectoire et noté (C). III. Vitesse d’un point matériel 3.1. Définition de la vitesse d’un point Soit un point M mobile dans un référentiel R(O,x,y,z) avec (u , u , u ) fixe. Figure 3 : Mouvement d’un point M dans le référentiel R. On appelle vitesse du point M par rapport à R la dérivée du vecteur position OM
du point M par rapport au temps, soit : / =
Cette définition est la seule qui reste toujours valable quel que soit le problème considéré. D’un point de vue pratique, le calcul du vecteur vitesse se fait en considérant le déplacement élémentaire M′M du point M entre les instants t et t + d t, qui n’est rien d’autre que le vecteur : =
− = ′
3.2. Expression de la vitesse en coordonnées cartésienne Lorsque le repère dans lequel le mouvement est étudié est cartésien, la position du point M s’écrit :
= + + ! Les vecteurs (u , u , u ) sont constants et la dérivée de la position conduit à : / = =
" + + # = + + L’écriture précédente peut être condensée en utilisant les variables surmontées d’un point pour décrire la dérivation temporelle. On écrit alors la vitesse de la façon suivante : / = $ + $ + $
3.3. Vitesse en coordonnées polaires ou cylindriques On appelle coordonnées cylindriques des coordonnées relatives à une base tournante (uρ , u
, u ), autour de l’axe z dans le référentiel R. Les coordonnées sont dites cylindriques si elles font intervenir une coordonnée z en dehors du plan (O, x, y) et polaires dans le cas contraire. 6 Figure 4 : Système de cordonnées cylindriques (a) et polaires (b). En général, la base (u , u
, u ), est représentée au point M considéré mais elle peut tout aussi bien être placée en O. Coordonnées polaires
Si le point M se déplace dans le plan x O y (figure5.b), il peut être repéré par ses coordonnées polaires ρ = OM et la position angulaire θ avec ' = ( , *+ Dans la base mobile (u , u
, u ), la position du point M est alors définie par le vecteur : = ρu Il est impératif de remarquer que la base (u , u
, u ), est une base orthonormée et que les vecteursu
, u
, u sont des vecteurs mobiles et donc variables dans le temps, contrairement aux vecteurs u , u , u qui eux sont fixes. En appliquant la définition de la vitesse, il est possible d’exprimer le vecteur vitesse du point M dans la base mobile, soit : / = = "ρu # =ρ
+ ρ Le calcul de la vitesse peut se faire en utilisant le théorème du vecteur unitaire tournant qui impose que : = ' = '$ /
= ρ$ + ρ'$ , Coordonnées cylindriques En coordonnées cylindriques (figure 1.6a), il suffit de rajouter la troisième composante suivant l’axe Oz : = ρu + zu L’expression du vecteur vitesse est alors obtenue en ajoutant la composante suivant u ; / = ρ$ + ρ'$ , + z$ Rappel : Dérivation d’un vecteur unitaire tournant 7 Considérons le schéma de la figure A1.16. Le repère O, x, y est muni des bases orthonormées(., /), base du système de coordonnées cartésiennes, fixe par rapport aux axes x, y et base du système de coordonnées polaires (1 , , ) mobile par rapport à ces axes. Les vecteurs . 2 / sont constants mais les vecteurs unitaires
1 et
, ne le sont pas car ils peuvent tourner autour de la normale au plan. Leur direction varie donc au cours du temps et les deux vecteurs
1 et
, sont appelés des vecteurs tournants. Nous allons voir comment dériver ces vecteurs non constants dans le temps. Exprimons les dans la base (., /). = 345' . + 567' / , = −567' . + 345' / Il est immédiat de constater que les vecteurs dépendent du temps par l’intermédiaire de θ
(t). La dérivation temporelle de ces vecteurs s’écrit en utilisant la notation différentielle : Figure 5. Représentation des vecteurs tournants dans le repère (O,x,y). Il est immédiat de constater que les vecteurs dépendent du temps par l’intermédiaire de θ
(t). La dérivation temporelle de ces vecteurs s’écrit en utilisant la notation différentielle : = (
−567'. + 345'/) ' = '$ , , = (
−345' . − ρ567' /) ' = −'$ Nous pouvons donc énoncer ce résultat en tant que théorème, que par la suite nous retiendrons sous l’appellation du théorème de la dérivée du vecteur unitaire tournant. 3.4. Vitesse dans la base de Frenet Il est également possible de déterminer la vitesse du point M dans le référentiel R en utilisant une nouvelle base appelée base de Frenet. La base de Frenet est une base locale qui se déplace avec le point M. Elle est utilisée lorsque le mouvement du point M est curviligne. Elle fait intervenir le cercle osculateur à la trajectoire du point M, c’est-à-dire le cercle qui est tangent localement à la trajectoire du point M. L’un des vecteurs de base est tangent à la trajectoire et est orienté dans le sens positif donné à la trajectoire, l’autre vecteur est dirigé selon le rayon de courbure de la trajectoire, vers le centre du cercle osculateur
. Théorème de la dérivée du vecteur unitaire tournant La dérivée par rapport au temps d’un vecteur unitaire tournant est égale au vecteur unitaire tournant qui, lui, est directement orthogonal multiplié par la vitesse angulaire de la rotation de la base tournante. 8 Figure 6 • Abscisse curviligne et base de Frenet. La vitesse du point M est par définition : / = = 5 5 avec 5 =Ω 8
9 (mesure algébrique sur la courbe de la distance Ω
M). Lorsque l’on fait varier de façon élémentaire la position du point M en décrivant la trajectoire, l’abscisse curviligne du point M passe de s à s + d s entre l’instant t et l’instant t + d t. Le déplacement élémentaire du point M s’écrit donc : Figure 7 : Présentation du déplacement élémentaire sur la trajectoire curviligne.
= ′
= 52: ce qui permet d’écrire que la vitesse dans la base de Frenet est : / =5 2 :
= 5$2: Remarque. Le vecteur unitaire tangent à la trajectoire peut être déterminé analytiquement à partir de l’équation ci-dessus : 2t = 5
IV. Accélération d’un point matériel 4.1. Définition On appelle accélération d’un point matériel M par rapport à un référentiel R la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps, soit : </ = / = =
> = ? ?
9 L’accélération est aussi la dérivée seconde de la position par rapport au temps. 4.2. Expression de l’accélération en coordonnées cartésienne. Considérons une base orthonormée cartésienne (u , u , u ) du référentiel R servant à définir la position du point M. L’accélération du point M dans cette base s’écrit, puisque les vecteurs de base u , u , u sont constants : </ = / = =
> = ? ?=@
+ @ + @
Avec la notation : @ = 2 2 4.3. Expression de l’accélération en coordonnées polaires ou cylindriques 4.3.1. Coordonnées polaires Si l’on utilise comme base de référence du référentiel la base polaire (uρ , uθ ) qui est une base qui tourne avec la position du point M dans le plan (xOy), nous avons montré que la vitesse dans cette base s’écrit : / = ρ$ + ρ'$ , L’accélération du point M par rapport au référentiel R s’exprime dans cette base par : </ = / =
"ρ$ + ρ'$ , # = ρ@ + ρ$d dt + ρ$'$ , + ρ'@ , + ρ'$ d, dt
En utilisant le théorème du vecteur unitaire tournant, il vient : </ = "ρ@ − ρ'$ ?#
+ "2ρ$'$ + ρ'@ #, L’accélération du point M dans cette base a deux composantes : une composante radiale (suivant u ) et une composante orthoradiale (suivant u
). En coordonnées polaires, le vecteur accélération s’écrit : </ = "ρ@ − ρ'$ ?#
+ "2ρ$'$ + ρ'@ #, Figure 8 : Vecteurs vitesse et accélération en coordonnées polaires 4.3.2. Coordonnées cylindriques En coordonnées cylindriques, il suffit de rajouter la troisième composante suivant l’axe Oz : L’expression du vecteur accélération est obtenue en ajoutant la composante @ suivant ! </ = "ρ@ − ρ'$ ?#
+ "2ρ$'$ + ρ'@ #, + @! 4.4. Expression de l’accélération dans la base de Frenet L’accélération du point M peut également s’exprimer dans la base de Frenet. Dans cette base, la vitesse s’écrit : / =5 2 t
10 ce qui entraîne pour l’accélération : </ = 5@2: + 5$2 : À un instant t, au point M de la trajectoire, le vecteur de base fait un angle α avec la direction de l’axe des x. À l’instant t + d t, ce vecteur tourne d’un angle d α (figure 9). Figure 9 : Base de Frenet et déplacement élémentaire. La dérivée, par rapport au temps, de ce vecteur unitaire est donc donnée par : 2:
= C$2D De plus on a, avec R = rayon du cercle osculateur : 5 = EC = FC Soit C = C$ =1 F5 = 1F 5$ On obtient donc : 5$2 t
= 5$C$ 2 n= 5$? F$ 2 n= /F 2F 2 n
Ce qui conduit </ = 5@2: + /? F2 D
On défini le terme <I =J KL JIK 2I est l’accélération tangentiel . Et le terme <M =N K 2M
est l’accélération normale . O = OP
+ OQ 2 M 2I <I <M 11 Remarques • <, <I , <M se trouve dans le même plan (plan osculateur) • On pourra vérifier que ce résultat est toujours vrai quelle que soit la concavité de la trajectoire. • La composante normale étant toujours positive, le vecteur accélération est toujours tourné vers la concavité de la trajectoire au point considéré. Rayon de courbure On chaque point M de la trajectoire on peut définir un cercle de rayon Rc dépendant du temps est appelé rayon de courbure Rc = Rc (t) (RP
, RQ ) est la base de Frenet. Soit S = RP ⋀ RQ , (RP
, RQ
, S
), est une base orthonormée directe appelé aussi base de Frenet. Calcul de rayon de courbure ∧ < = ∧ (JV JI 2I +V K W2 M
) = VX W Y FZ = [‖ ∧ <‖ Remarque : • <I =( <. 2I ) . 2I • <M =( <. 2M ) . 2M =V K W2 M= ‖V ∧^ ‖ V 2M V. Récapitulatif Nous présentons dans le tableau suivant le récapitulatif des expressions que nous avons introduites précédemment. Remarque. Il est également possible de définir, à partir de la position angulaire d’un point M se déplaçant dans le plan O, x, y, le vecteur vitesse angulaire _= '
$
! et le vecteur accélération angulaire J` JI = ' @ ! . Ces vecteurs sont perpendiculaires au plan dans lequel se fait le mouvement de M. 12 Le signe de ̇'
$ (et donc le sens du vecteur _) permet de savoir dans quel sens le système tourne en appliquant la règle habituelle du tire-bouchon. La figure 11 illustre ce propos ; le point M tourne dans le sens trigonométrique et le tire bouchon qui tourne dans ce sens se déplace dans le sens des z > 0. Le vecteur vitesse angulaire est donc orienté dans le même sens que ! . Figure 11 • L’angle a croît au cours du temps donc la valeur algébrique de la vitesse angulaire est positive et le vecteur vitesse angulaire est dirigé dans le sens des z positifs. VI. Exemples de Mouvements 6.1. Mouvements rectilignes 6.1.1. Le mouvement rectiligne uniforme Un mouvement d’un point matériel est dit rectiligne uniforme si le point matériel se déplace à vecteur vitesse constant. Mouvement rectiligne uniforme ⟺ c = dPR Figure 12 • Mouvement rectiligne uniforme ; le point M se déplace sur une droite à vitesse constante. Le vecteur vitesse étant constant, le mouvement est rectiligne car la vitesse est tangente à la trajectoire. La droite sur laquelle le point se déplace est assimilée à l’axe des x. L’équation différentielle du mouvement s’écrit alors : c = e$ f e
= gf e
⟹ e$ = g ce qui conduit à l’équation horaire suivante : ( ) = 3 + i a) Le mouvement uniformément varié Un mouvement est dit rectiligne uniformément varié si le vecteur accélération est constant et la trajectoire rectiligne
. Mouvement rectiligne uniforme varié ⟺ O
= dPR
et trajectoire rectiligne Si le mouvement est rectiligne, il est commode de se fixer comme axe du mouvement l’axe des x. On aura donc : 13 Par intégration de cette équation nous obtenons la vitesse du point M : ce qui, par une nouvelle intégration, conduit à l’équation horaire du mouvement :
Les constantes B et D qui sont apparues dans les deux intégrations successives, sont déterminées par les conditions initiales du mouvement du point M. Ainsi, si le point M a une vitesse nulle et est en x = x
o à t = 0, les constantes B et D deviennent B = 0 et D = x
o et l’équation horaire du mouvement s’écrit alors : Remarques. Le mouvement est uniformément accéléré si la norme du vecteur vitesse est une fonction croissante de t, soit v
2 fonction croissante. La dérivée de v
2 doit donc être positive. La condition sera : L’étude du signe du produit de la vitesse par l’accélération permettra de préciser si le mouvement est accéléré Avoir un vecteur accélération constant ne suffit pas pour dire que le mouvement est rectiligne. Il faut aussi que le vecteur vitesse ait la même direction que le vecteur accélération. Dans le cas contraire, on obtient un mouvement parabolique qui est traité à la fin de ce chapitre. b) Mouvement rectiligne sinusoïdal
Le mouvement d’un point M est dit rectiligne sinusoïdal si, se produisant sur un axe Ox, l’abscisse x du point M s’écrit : x = X
m cos(ωt + φ
) Le terme ωt + φ est appelé phase à l’instant t avec ω la phase à l’origine des dates (t = 0). Le terme X
m correspond à l’amplitude du mouvement, x variant sinusoïdalement de −X
m à Xm comme le montre la figure. La vitesse a pour expression : Figure 13 Représentation du mouvement sinusoïdal dans le temps. La vite