Mécanique du point : Td mecanique du point materiel mécanique de point
Télécharger PDFObtenir le pack complet des cours, TDs, examens sur Mécanique du point!
Vous souhaitez maîtriser Mécanique du point ? Ne cherchez plus, nous avons le pack bien choisi pour vous.
Accédez à une collection complète des supports de cours, des travaux dirigés (TD) corrigés, examens...
Télécharger packUniversit ́e Cadi AyyadAnn ́ee Universitaire 2014/2015
Facult ́e des Sciences
Semlalia-Marrakech
D ́epartement de Physique
Module de M ́ecanique du Point Mat ́eriel
S ́erie N◦ 4
Fili`eres SMP/SMC/SMA
Exercice 1
Th ́eor`eme de l’ ́energie m ́ecanique
SoitMun v ́ehicule que l’on consid`ere, comme un point mat ́eriel,situ ́e `a l’int ́erieur de la Terre `a une distance
rde son centre.Msubit l’attraction gravitationnelle de la masse de la sph`ere de rayonrconcentr ́ee enO.
On consid`ere que la forme de la Terre est sph ́erique et que samasse volumique est constante. On note le
rayon de la Terre parRT .g0 est l’acc ́el ́eration de la p ́esanteur `a la surface de la Terre.
1. Montrer que l’attraction gravitationnelle peut se mettre sous laforme ~F=−mg 0r RT ~er .o`u~e r
est le vecteur radial de la base sph ́erique. En d ́eduire l’ ́ener-
gie potentielleEp dont d ́erive~ F. On prendEp (r= 0) = 0.
Soit un tunnel rectiligneABne traversant pasOet muni de
l’axeHX, voir figure ci-contre. On noteOH=d. Un v ́ehicule
assimil ́e `a un point mat ́eriel de massemglisse sans frottement
dans le tunnel. Il part du pointAde la surface terrestre sans vi-
tesse intiale. On rep`ere la position du v ́ehicule dans le tunnel par−−→ OM=−−→ OH+−−→ HM=d~ k0 +~x.X ABO HMd r R
2. Calculer la vitesse du v ́ehicule. En d ́eduire son ́energie cin ́etique.
3. Calculer l’ ́energie m ́ecaniqueEm et montrer qu’elle est constante. Quelle est sa valeur ?
4. Calculer la vitesse maximale du v ́ehicule ?
5. En utilisant le th ́eor`eme de l’ ́energie m ́ecanique, ́etablir l’ ́equation diff ́erentielle. R ́esoudre l’ ́equation
et montrer que l’ ́equation horaire est donn ́ee par
x(t) =√ R2 T−d 2cos √( ω2 +g 0R T) t.
Mouvement dans un champ de force centrale
Exercice 2
Orbite g ́eostationnaire
On rappelle qu’une orbite g ́eostationnaire est celle d’un satellite restant toujours `a la verticale d’un
mˆeme point du globe terrestre.
On note parSle satellite que l’on consid`ere comme un point mat ́eriel. La p ́eriode de rotation de la Terre
estT= 86164s, son rayonRT ≃6.4×103 kmet sa masseMT ≃6×1024 kg. La constante gravitationnelle
estG≃6.7×10−11 S.I..
1. Calculer la vitesse angulaire Ωg d’un satellite sur l’orbite g ́eostationnaire. Quel est le r ́ef ́erentiel
d’ ́etudeRg ? Est-il galil ́een ?
2. On se propose d’ ́etablir les expressions du rayon de l’orbite g ́eostationnaireRg ainsi que son altitudeh g. a)Montrer que le mouvement du satellite est plan. Etablir l’expression de l’acc ́el ́eration du satellite~γ(S/R g
). En utilisant le PFD, d ́eduire l’expression deRg ainsi que celle dehg . Faire leurs appli-
cations num ́eriques.
b)En d ́eduire la valeur de la vitessevg =k~vg (S/R)kdu satellite sur l’orbite g ́eostationnaire. Faire
son application num ́erique.
c)Montrer que cette orbite est forc ́ement dans le plan de l’ ́equateur.
Exercice 3
orbite elliptique
Avant de placer un satellite sur une orbite g ́eostationnaire, le lanceur des satellites, comme Ariane pour
l’exemple, l’injecte `a la p ́erig ́ee d’une orbite elliptique, dite orbite de transfert, `a une altitudeh0 = 200km
de la base de lancement et avec une vitesse, que l’on notev0 , telle que l’apog ́eeAde l’orbite de transfert soit
sur l’orbite g ́eostationnaire. Au moment o`u le satellite se trouve enA, on actionne des moteurs qui r ́eajuste
sa vitesse et le transf`erent sur l’orbite g ́eostationnaire.
Les notations et les r ́esultats de l’exercice pr ́ec ́edentsconcernant une orbite g ́eostationnaire sont utilis ́es
sans d ́emonstration.
1. D ́eterminer les param`etres de l’ellipse : le demi grand-axea, l’excentricit ́eeet le param`etrepen
fonction deRT ,h0 ethg . Faire leurs applications num ́eriques.
2. En utilisant la formule de Binet de l’acc ́el ́eration, d’une part, et du PFD, d’autre part, ́etablir la
relation entre la constante des airesCen fonction deMT ,Getp.
3. En d ́eduire la vitessev0 `a donner au satellite lors de son lancement et la vitessev1 qu’il atteint `a
l’apog ́eeA. Faire leurs applications num ́eriques.
4. Quelle est la diff ́erence des vitesses enAque doivent fournir les moteurs pour que le satellite soit
plac ́e sur son orbite g ́eostationnaire ?
5. En utilisant la troisi`eme loi de Kepler, calculer le temps que passe le satellite sur l’orbite de transfert.
Exercice 4
Orbite hyperbolique
Une m ́et ́eoriteMa, tr`es loin de la Terre, une vitesse~v 0=v 0~u ∆
port ́ee par une droite situ ́ee `a la distance
bde l’axe (∆) du centre de la TerreO, voir figure ci-contre.
On note parmla masse du m ́et ́eorite,MT la masse de laTerre,R T
son rayon etGla constante de gravitation univer-
selle. On travaille dans le r ́ef ́erentiel g ́eocentrique, suppos ́e
galil ́een. La position deMest rep ́er ́ee par les coordonn ́ees
polaires (r, θ),−−→ OM=r~ur . La trajectoire du m ́et ́eorite est
une branche d’hyperbole de foyerO, le centre de la Terre.
Noter bien que l’on utilise les notations(~ur , ~uθ )pour la base
polaire et(r, θ)les coordonn ́ees correspondantes.
1. Montrer que le moment cin ́etique de la m ́et ́eorite par rapport `aOet son ́energie m ́ecanique sont
conserv ́es.
2. En d ́eduire l’expression dermin , lorsque la m ́et ́eorite se trouve au sommetSde l’hyperbole, en
fonction dev0 ,G,MT etb.
3. D ́eterminer la valeur minimalebmin debpour que la m ́et ́eorite ne rencontre pas la Terre.
4. Dans le cas o`ub > bmin , d ́eterminer l’angle de d ́eviationφde la m ́et ́eorite.