Mécanique du point : Td mecanique du point materiel mécanique de point
Télécharger PDFUniversité Cadi Ayyad
Année Universitaire 2014/2015
Faculté des Sciences
Semlalia-Marrakech
Département de Physique
Module de Mécanique du Point Matériel
Série N°4
Filières SMP/SMC/SMA
Exercice 1 : Théorème de l’énergie mécanique
Soit M un véhicule que l’on considère comme un point matériel, situé à l’intérieur de la Terre à une distance r de son centre. M subit l’attraction gravitationnelle de la masse de la sphère de rayon r concentrée en O.
On considère que la forme de la Terre est sphérique et que sa masse volumique est constante. On note le rayon de la Terre par RT et g0 l’accélération de la pesanteur à la surface de la Terre.
1. Montrer que l’attraction gravitationnelle peut s’écrire sous la forme F = −(mg0r/RT2) er, où er est le vecteur radial de la base sphérique. En déduire l’énergie potentielle Ep dont dérive F. On prend Ep(r = 0) = 0.
Soit un tunnel rectiligne AB ne traversant pas O et muni de l’axe HX. Un véhicule assimilé à un point matériel de masse m glisse sans frottement dans le tunnel. Il part du point A, à la surface terrestre, sans vitesse initiale. On repère la position du véhicule dans le tunnel par OM = OH + HM = d k0 + x X.
2. Calculer la vitesse du véhicule. En déduire son énergie cinétique.
3. Calculer l’énergie mécanique Em et montrer qu’elle est constante. Quelle est sa valeur ?
4. Calculer la vitesse maximale du véhicule.
5. En utilisant le théorème de l’énergie mécanique, établir l’équation différentielle. Résoudre l’équation et montrer que l’équation horaire est donnée par x(t) = √(RT2 − d2) cos(√(ω2 + g0/RT) t).
Exercice 2 : Orbite géostationnaire
On rappelle qu’une orbite géostationnaire est celle d’un satellite restant toujours à la verticale d’un même point du globe terrestre.
On note par S le satellite que l’on considère comme un point matériel. La période de rotation de la Terre est T = 86164 s, son rayon RT ≈ 6,4 × 103 km et sa masse MT ≈ 6 × 1024 kg. La constante gravitationnelle est G ≈ 6,7 × 10−11 S.I.
1. Calculer la vitesse angulaire Ωg d’un satellite sur l’orbite géostationnaire. Quel est le référentiel d’étude Rg ? Est-il galiléen ?
2. On se propose d’établir les expressions du rayon de l’orbite géostationnaire Rg ainsi que son altitude hg. a) Montrer que le mouvement du satellite est plan. Établir l’expression de l’accélération du satellite γ(S/Rg) en utilisant le principe fondamental de la dynamique (PFD). En déduire les expressions de Rg et de hg. Faire leurs applications numériques.
b) En déduire la valeur de la vitesse vg = k vg(S/Rg)k du satellite sur l’orbite géostationnaire. Faire son application numérique.
c) Montrer que cette orbite est forcément dans le plan de l’équateur.
Exercice 3 : Orbite elliptique
Avant de placer un satellite sur une orbite géostationnaire, le lanceur l’injecte à la périphérie d’une orbite elliptique, dite orbite de transfert, à une altitude h0 = 200 km de la base de lancement et avec une vitesse v0 telle que l’apogée A de l’orbite de transfert soit sur l’orbite géostationnaire. Au moment où le satellite se trouve en A, on actionne des moteurs qui réajustent sa vitesse et le transfèrent sur l’orbite géostationnaire.
Les notations et les résultats de l’exercice précédent concernant une orbite géostationnaire sont utilisés sans démonstration.
1. Déterminer les paramètres de l’ellipse : le demi-grand-axe a, l’excentricité e et le paramètre p en fonction de RT, h0 et hg. Faire leurs applications numériques.
2. En utilisant la formule de Binet de l’accélération et le PFD, établir la relation entre la constante des aires C en fonction de MT, G et p.
3. En déduire la vitesse v0 à donner au satellite lors de son lancement et la vitesse v1 qu’il atteint à l’apogée A. Faire leurs applications numériques.
4. Quelle est la différence des vitesses en A que doivent fournir les moteurs pour que le satellite soit placé sur son orbite géostationnaire ?
5. En utilisant la troisième loi de Kepler, calculer le temps que passe le satellite sur l’orbite de transfert.
Exercice 4 : Orbite hyperbolique
Une météorite M, très loin de la Terre, possède une vitesse v0 portée par une droite située à la distance b de l’axe (Δ) du centre de la Terre O. On note par m la masse de la météorite, MT la masse de la Terre, RT son rayon et G la constante de gravitation universelle. On travaille dans le référentiel géocentrique, supposé galiléen. La position de M est repérée par les coordonnées polaires (r, θ), OM = r ur. La trajectoire de la météorite est une branche d’hyperbole de foyer O, le centre de la Terre.
Noter que l’on utilise les notations (ur, uθ) pour la base polaire et (r, θ) les coordonnées correspondantes.
1. Montrer que le moment cinétique de la météorite par rapport à O et son énergie mécanique sont conservés.
2. En déduire l’expression de rmin, lorsque la météorite se trouve au sommet S de l’hyperbole, en fonction de v0, G, MT et b.
3. Déterminer la valeur minimale bmin de b pour que la météorite ne rencontre pas la Terre.
4. Dans le cas où b > bmin, déterminer l’angle de déviation φ de la météorite.
FAQ
1. Qu’est-ce qu’une orbite géostationnaire ?
Une orbite géostationnaire est une trajectoire circulaire d’un satellite autour de la Terre à une altitude telle que sa période de révolution correspond exactement à celle de la rotation terrestre (23 heures, 56 minutes et 4 secondes). Le satellite reste ainsi toujours au-dessus du même point de la surface terrestre.
2. Pourquoi le référentiel géocentrique est-il considéré comme galiléen dans l’exercice 4 ?
Le référentiel géocentrique est supposé galiléen car il est en translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel inertiel (comme le référentiel héliocentrique). Les forces gravitationnelles agissant sur la météorite sont centrales, ce qui permet d’appliquer les lois de Newton dans ce référentiel.
3. Qu’est-ce que la troisième loi de Kepler ?
La troisième loi de Kepler stipule que le carré de la période de révolution T d’un satellite autour d’un astre est proportionnel au cube du demi-grand-axe a de son orbite : T2 = (4π2/GM) a3, où G est la constante gravitationnelle et M la masse de l’astre.