Mécanique du point : Td mecanique du point materiel
Télécharger PDFUniversité Chouaib Doukkali
Faculté des Sciences
El Jadida
Groupe de Physique Théorique
Laboratoire de Physique de la Matière Condensée
Filière : Sciences de la Matière Physique Chimie (SMPC1)
Module : Mécanique du Point Matériel
Ahmed Jellal
Travaux Dirigés Avec Solutions
Exercice 1 : Repère cartésien
1) On a :
→V1 = 2t →i1 + t →i2 + →i3
→V2 = 4t →i1 − t →i2 − t →i3
Calculons le produit scalaire →V1 · →V2 :
→V1 · →V2 = (2t →i1 + t →i2 + →i3) · (4t →i1 − t →i2 − t →i3)
= 2t * 4t + t * (−t) + →i3 · (−t →i3)
= 8t² − t² − t
= 7t² − t
Calculons la dérivée temporelle du produit scalaire :
d(→V1 · →V2) / dt = d(7t² − t) / dt
= 14t − 1
Exercice 2 : Repère cylindrique
Les coordonnées cylindriques sont définies par :
→V1 = r(t) →er + z(t) →k
→V2 = r(t) →eθ + z(t) →k
→V3 = r(t) →eφ + z(t) →k
1) Dans le repère cartésien, on a :
→er = →i1
→eθ = cos(θ) →i1 + sin(θ) →i2
→k = →i3
2) Vecteur unitaire porté par →er :
→er = →i1
Vecteur unitaire perpendiculaire à →er dans le plan polaire suivant le sens de →eθ :
→eθ = cos(θ) →i1 + sin(θ) →i2
Vecteur unitaire complétant le trièdre O →er, →eθ, →k :
→k = →i3
Exemple de base locale en coordonnées cylindriques
→V1 = r(t) →er + z(t) →k
→V2 = r(t) →eθ + z(t) →k
→V3 = r(t) →eφ + z(t) →k
Exercice 3 : Repère sphérique
Voir cours.
Exercice 4 : Spirale Logarithmique
1) On a :
→V1 = r(t) →er
→V2 = r(t) →eθ
2) a. Dans le trièdre de Frenet, on a :
→T = d→V1 / dt
→N = d→T / dt · |→T|
b. Dans le trièdre de Frenet :
→T · d→T / dt = 0
→N · d→T / dt = 0
Comparaison des égalités
→T · d→T / dt = 0
→N · d→T / dt = 0
Exercice 5 : Mouvement Hélicoïdal
→V1 = →i1 + 2t →i2 + 3t →i3
→V2 = 2t →i1 − t →i2 + →i3
→V3 = 4t →i1 − 2t →i2 − 3t →i3
Calcul du produit vectoriel
→V1 · (→V2 ∧ →V3) = 2
Exercice 6 : Trajectoire et Hodographe
1) Trajectoire :
→V1 = →i1 + t² →i2
→V2 = 2t →i1 + →i2
2) On a :
→V1 = →i1 + t² →i2
→V2 = 2t →i1 + →i2
3) L'hodographe est l'ensemble des points virtuels →V(t) tels que :
→V(t) = d→OM / dt
4) On a :
→V1 = →i1 + t² →i2
→V2 = 2t →i1 + →i2
5) Le rayon de courbure est donné par :
R = |→V(t)|³ / |→V(t) ∧ d→V(t) / dt|
Exercice 7 : Changement de référentiel
1) a) →V_A = d→OA / dt
→V_B = d→OB / dt
→V_M = d→OM / dt
b) Vitesse relative et d'entraînement :
→V_M = →V_A + →V_B
→V_A = d→OA / dt
→V_B = d→OB / dt
c) Accélérations relative, d'entraînement et de Coriolis :
→γ_M = →γ_A + →γ_B + 2(→Ω ∧ →V_M)
→γ_A = d→V_A / dt
→γ_B = d→V_B / dt
→Ω = ω →k
d) →OM = →OA + →AM
→V4 = d→V_M / dt
e) →V4 = d→V_M / dt = d(→V_A + →V_B) / dt
FAQ
Q : Qu'est-ce qu'un repère cartésien ?
R : Un repère cartésien est un système de coordonnées défini par trois axes perpendiculaires entre eux, généralement notés →i1, →i2 et →i3.
Q : Comment calculer le produit vectoriel en coordonnées cylindriques ?
R : Pour calculer le produit vectoriel en coordonnées cylindriques, il faut utiliser les vecteurs unitaires →er, →eθ et →k qui forment la base locale.
Q : Qu'est-ce que l'hodographe ?
R : L'hodographe est l'ensemble des vecteurs vitesse d'un point mobile, ce qui permet de visualiser la trajectoire de la vitesse.