Mécanique du point : Td mecanique du point materiel
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Faculte des Sciences
El Jadida
Groupe de Physique Th ́eorique
Laboratoire de Physique de la Mati`ere Condens ́ee
Fili`ere
Sciences de la Mati`ere Physique Chimie–SMPC1– Module
M ́ecanique du Point Mat ́eriel
Ahmed Jellal1 Travaux Dirig ́
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.').(.8.%&+.%0B◦ ;2P75P7+P=
5PW$)(40$%&$(5$0+#V4($%&08$5&$'(00'(6.N-'($=: 3 Série n° 2 (solution): Système de coordonnées et cinématique
Exercice 1
Repère cartésien 1) !
""""""#
= $
""""""#
+ $!
"""""""#
= %&#+ '(#+ )*"# 2), """""#
= &#+ (#+ *--
""""#
et .
"""""#
= (#+ *"# ,.
"""""#
= .
"""""#
/ ,
"""""#
= (#+ *"# / &#/ (#/ *"# = /&#
Exercice 2
Repère cylindrique Les coordonnées cylindriques sont 0
12 32)4 !
""""""#
= $
""""""#
+ $!
"""""""#
= 156 """#+ )*"# 1) Si on superpose les coordonnées cartésiennes et les cordonnées cylindriques On : ------7 % = 1-89:034
' = 1-:;<034
) = )--------------
------>---? @A0 34 =B C
--------------------
1 =D %E + 'E ) = )----------------
2) 56 """# : Vecteur unitaire porté par $
""""""# ; 56 """# =FG """""""#H FG
"""""""#H 5I """"# : Vecteur unitaire perpendiculaire à !
"""# dans le plan polaire suivant le sens de $ %
"""# : Vecteur unitaire complète le trièdre O.N.D &! """#,' """"#,% """#
( : Base locale où repère local en coordonnées cylindriques )* +* -..... !
"""#= ./012 $3 4# 5 1672 $3 8#..............' """"#=
9 !
"""#9$ = :1672$34# 5 /012 $3 8#% """#= ;"# .................................................
4
Exercice 3
Repère sphérique
(Voir cours)
Exercice 4
Spirale Logarithmique 1)! !
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'&(# $
! ) !
= "%& *&#
'&(&# $
!+ "%& *&#
'&(&# ,
! -
) !- =. 2&"%& *&#
'&(&
/! = "%& *0 &#
'&(&# $
!+ "%& *0 &#
'&(&# ,
!+ "%& *0 &#
'&(&# ,
!1 "%& *0 &#
'&(&# $
! 2) a. Dans le trièdre de Frenet on a ) !
3/! = &4 -
) !- 55 &3&6 /7 )0 89 5
&& = &6 55 ): 89 soit -
) !3/! -= -; <- >? d’où 89 =- ;
<- -
; !
3@ !- b. Dans le trièdre de Frenet8 9= -; <- -
; !
3@ !- Dans A# $
!B&&&#, !B #C !D ) !
3/! = E" &*& "& *5 3F 25& "& *0 5= F5& 52" 0& *: soit &- ) !3/! -
= 2"0 &* :
a. Comparons les deux égalités : 8G =0& .0& $
<' <0$ H' <
I&&& /! = 2"%& *0 &#
'&(&# ,
! 8G =. 2&"% #, 5
Exercice 5
Mouvement Hélicoïdales !! =
", !# $, !%##! &
' = ()*+- ./0 ##
1 = (+23- ./0 ###
4 = 5#.#/############; 67! = (89 !: 5./8; ! 1.
< != ", !# $, !%##! &
'> = ?(#.#+23-./0
1> = (#.#)*+- ./0 ###@#
4> = 5#.###################### < != 89 !, 8A, !#8;# !& B######(#.### 5#.####| <| = .#C (D : 5D /E- F0 =
<A <; =(#. 5#.= (#5# = )+/8#G#/ 2. H! =
", !# $, !%##! &
'I = ?(#.D #)*+- ./0 ####
1I = ?(#.D #+23-./0###@#
4I = B#################################
H! =8 9
!, 8A, !#8;# !& ?(#.D ######B## B##| H| = (#.D le rayon de courbure est (J =K LM KK L !
NO !K =P M-#Q RST R0 MR K
L !
NO !
K dans le trièdre -8 U!,###8 V
!, 8; !
0 on calcul < !
NH! =& B######(#.##N# 5#.####& ?(#.D ######B## B##= &B###### ?(#5#.W ##( D##. W## K
< !NH! K
= (.W C( D
: 5
D d’où (J =| <W |K < !NH! K= .W -#(D : 5D 0W D(. WX (D : 5D =( D
: 5D (
Exercice 6
1) 67! =
", !# $!Y ' = Z/D ? Z
1 = /############# ;
= !"" et # = 2!$ % 2" &"" # = 2 $
% 2" le trajectoire est une branche de parabole t 0 1 2 y 0 1 2 x -2 0 6 6 2) !"= #,!"$ %"& '( = 4)
*( = 1 ; +!" #= $16% &
+ 1
3) L’hodographe c’est l’ensemble des points virtuels '(tel que )'(
!!!!!!!!"
= !"= *,
!"- ."/ 0( = 4%
2( = 1
4) 3" =*, !"- ."/ 05 = 4
25 = 7 ;| 3"| = 4 38 =9 || 9%= 16%$ 16%& + 13 :& = 3& ; 38 &
= 16 ;
<16%>& 16%& + 1= 1616% &
+ 1--?--3 := 4$ 16%& + 1
5) Le rayon de courbure @A =& 3: =
<16%& + 1>B &4
Exercice 7
changement de référentiel 1) a) ))(
!!!!!!!"
= C<%>*-!" DE
!!!!!"
= CF <%>*-
!" et 3DE !!!!!"= C5 <%>*-
!" b) Vitesse relative et d’entrainement de M @E <)E ,0E ,2(> est animé de translation et de rotation G @ )E '
!!!!!!!!"
= H<%>I
!!!" #
!!!"
= $%(&)'
!!!" ; #* !!!"
= #+, !!!!!"
- .
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